高考數學一輪復習 第5章 數列 第1講 數列的概念與簡單表示法學案-人教版高三全冊數學學案

第1講數列的概念與簡單表示法

考點回顧考綱解讀考向預測

年份卷型考點題號分值

2019年高考對數列概念的考查不會直

接命題，可能與遞推數列、等差數列、等比

2017遞推公式17121.會熟練求解數列的通項公式.

2.掌握數列是特殊的函數，能用函數列及數列求和相結合，也可能是解答題的

第一步.預測涉及類型有：①由求；

2016III遞推公式1712數的有關性質分析數列的有關S”a”

性質(如單調性等).②根據遞推關系求通項4;③根據&=/

2015(〃)求最值(weN*).

板塊一知識梳理?自主學習

［必備知識］

考點1數列的定義

按照一定順序排列的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫做這個數列的項.

考點2數列的分類

分類原則滿足條件

f類型j

有窮數列項數有限

按項數分類

無窮數列項數無限

遞增數列冊+1)＞。門

其中

遞減數列冊+iW”

按項與項間776”

常數列

的大小關系4L1

分類從第2項起，有些項大于

擺動數列它的前一項.有些項小于

它的前一項的數列|

考點3數列的表示法

數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

考點4數列的通項公式

如果數列｛aj的第〃項與底曳1之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做

這個數列的通項公式.

［必會結論］

1.若數列｛aj的前〃項和為S,通項公式為2,

S,n=l,

則a=

nSn—Sn—l,〃22.

31n1，

2.在數列｛4｝中，若為最大，則

a?+i.

&3，n~\，

若天最小,則

&Wa+i.

3.數列與函數的關系

數列是一種特殊的函數，即數列是一個定義在非零自然數集或其子集上的函數，當自變

量依次從小到大取值時所對應的一列函數值，就是數列.

［考點自測］

1.判斷下列結論的正誤.(正確的打“J”，錯誤的打"X”)

(1)根據數列的前幾項歸納出數列的通項公式可能不止一個.()

(2)數列：1,0,1,0,1,0,…，通項公式只能是a〃=i+(；D.()

⑶如果數列口的前〃項和為S,則對V〃GN*,都有為+1=S+1—S.()

(4)若數列用圖象表示，則從圖象上看都是一群孤立的點.()

答案⑴V(2)X(3)V(4)J

9Q45

2.［課本改編］數列1,d，…的一個通項公式&是()

3579

nnnn

D-

A，2〃+l273T?2n—32n+3

答案B

解析由已知得，數列可寫成;，故該數列的一個通項公式為產彳.故選B.

135277—1

3.［課本改編］在數列｛a｝中，@=La-+(—1)〃(啟2,/7￡N*),則二的值是

()

A-1---5--n1--5----p3—n3—

16848

答案C

11

---+2

解析由已知得石2=1+(—1)2=2,.*.253=2+(―1)3,22

,、528133工小小

=3,.*.355=3+(―1),???a=3，，-=77X3=7.故選C.

3念224

4.已知_f(l)=3,廣(刀+1)(〃￡N*).則_f(4)=.

答案I

解析由/<1)=3,得H2)=2,f(3)=],A4)="

z?+1

5.[2018?山東師大附中月考]已知數列｛2｝的前〃項和￡=.，則a5+a=.

答案?

解左…析念+.ac=「&6+-1一14+1=§7一45=91?

6.[課本改編]在數列｛a｝中，2=2,o+i=4+/[八,則數列為=

答案3--

n

解析由題意，得為+i——品=刀(刀?])=]一a\V

=

an(a—劣一1)+(a-1-5/2-2)+…+(&—4)+a

=3T+(￡-S)+…+>W+2=3T

板塊二典例探究?考向突破

考向由數列的前幾項求數列的通項公式

例1寫出下面各數列的一個通項公式:

(1)—1,7,—13,19,???；

..379

⑵5,1,正正，…;

⑶工1_513_2961

'"2'4'8'16'32'64'

(4)1,3,6,10,15,???；

(5)3,33,333,3333,

解(1)符號問題可通過(一1)〃或(一1)田表示，其各項的絕對值的排列規(guī)律為：后面

的數的絕對值總比前面數的絕對值大6,故通項公式為a”=(—1)"(6〃一5).

3^79

⑵將數列統一為5,E，行,行,…，對于分子3,5,7,9,…，是序號的2倍加1,可得

乙0JLUJ.I

分子的通項公式為4=2〃+1,對于分母2,5,10,17,…，聯想到數列1,4,9,16,…，即數

列{/},可得分母的通項公式為c〃=4+i,因此可得它的一個通項公式為為=誓1.

⑶各項的分母分別為牙啰？**…，易看出第2,3,4項的分子分別比分母少3.因此把

1234

第1項變?yōu)橐灰?—丁Q，原數列可9—化3為一9———3,七9—3,—2—二3，丁，…，

所以&=（一1）”?下

⑷將數列改寫為與，亨3義44X5因而有為=及產，也可用逐

2，-I-

差法&-&=2,83-82=3,3A—續(xù)=4,為一a=5,…，劣一5/2-1—/7,各式累加得區(qū)=，

9999999999

（5）將數列各項改寫為鼻，，—,分母都是3,而分子分別是10-1,102

oV<joo

—1,103—1,104—1,?,,,所以1）.

觸類旁通

觀察法求通項公式的常用技巧

求數列的通項公式實際上是尋找數列的第〃項與序號A之間的關系，常用技巧有：（1）

借助于（一1）”或（一1）5來解決項的符號問題；（2）項為分數的數列，可進行恰當的變形，

尋找分子、分母各自的規(guī)律以及分子、分母間的關系；（3）對較復雜的數列的通項公式的探

求，可采用添項、還原、分割等方法，轉化為熟知的數列，如等差數列、等比數列等來解決.

考向由與S的關系求通項a?

例2(1)已知數歹!J{aj的前〃項和S=2〃2—3〃，則a〃=.

答案4/2-5

解析(1)ai=S=2—3=—1,

2

當時，an=Sn-Sn-i=(2,n~3n)—[2(n-1)—3(n-1)]=4/7—5,

由于ai也適合此等式，.?.a〃=4〃-5.

⑵設S為數列回}的前〃項的和，且S=](a〃-1)(〃GN*),則為=.

a"

33a

解析當刀>2時，an=Sn—Sn-i=-｛an—r)-—1),整理，得&=34—i,即一^=3,

乙LJQ，n—1

又a=3,.?.數列｛a｝是以3為首項，3為公比的等比數列，.??a〃=3".

(3)已知數列｛&｝,滿足石1+2石2+3&+…+〃2=2",則為=.

2,77=1,

答案12G、

---,刀22

n

解析當〃=1時，由已知，可得包=21=2,

n

當時，51+252+353H---\~nan=2,①

故Z1+2&+3&+…+(〃-1)4—1=2"I②

cyn—l

由①一②得7?a=2"—2"T=2'T,an=.

277=1,

顯然〃=1時不滿足上式，.72=<277-1

—,〃22.

n

觸類旁通

給出S與a的遞推關系，求為的常用思路：一是利用s—S-1=a（〃三2）轉化為a的遞

推關系，再求其通項公式；二是轉化為S的遞推關系，先求出S與刀之間的關系，再求&.

【變式訓練】(1)已知數列｛2｝的前刀項和S=3〃+l,則a=.

答案142,X37"2，=1,G2

解析當〃=1時，&=S=3+1=4；

/?-1/?-1

當刀22時，an=Sn—Sn-\=(3"+1)—(3+1)=2X3.

當77=1時，2X31T=2W2,

4,72=1,

所以a=

2X3"-1,啟2.

2ni

⑵[2018?廣州模擬]設數列｛a｝滿足.3i+3.32+3a3H---\-3~an=^則an=.

答案J

O

77

x

解析因為a+3a2+32續(xù)+…+3'an=~,①

則當時，

n—1

謝+3/+3.3+…+3"2^-1=~-,②

①一②得3"一%=(,所以為=埸(刀22).

由題意知a=：,符合上式，所以為=(.

(3)已知數列｛a｝的前〃項和為S,&=1,S=2a+i,貝！JS=.

答案目T

解析由已知S=2a+i,得S=2(S+LS),

S13

==

即2Sn+l3Snj-~~,而S=4=l,

3n乙

所以S,=flV1.

由遞推公式求數列的通項公式

=

9命題角度1形如3?+ianf(n),求3n

例3在數列｛4｝中，ai=4,+1=(〃+2)為，求數列｛a｝的通項公式.

解由遞推關系得色”==，

ann

又51=4,

5/7—1改刀+1n刀一1

曳—?&=----?---

Hn-2氏￡?包=〃一］?n—277—3

2)(〃+1)(〃￡N*).

?命題角度2形如an+i=an+f(n),求an

例4(1)12015?江蘇高考］設數列｛a｝滿足&=1,且4+1—2=刀+1(〃￡“)，求數

前10項的和.

解由題意可得，品=4+(/一a)+(含-&)+?,?+(為—2―J=1+2+3+…+〃

嗎2則9=而3r2｝$),數歹此［的前io項的和為2+2+…+5

2(F5寸…+記一司=五

(2)若數列｛aj滿足：a=l,&>+1=%+2",求數列｛aj的通項公式.

n

解由題意知an+\—an=2,

1—2n

a—(2—a-\)+(5n-i—劣一2)+…+(&-a)+&=2"1+2^2+,,,+2+1=-T=2"-

nn1—z

V命題角度3形如a+1=汨〃+6(力力0且ZW1),求為

例5已知數列｛a｝中，ai=l,劣+i=2a+3,求為.

=

解設遞推公式為+1=22+3可以轉化為an+\~t=2｛an-t),即an+\2an—t,解得t

=-3.

故遞推公式為為+i+3=2(2+3).

令6〃=a+3,則61=劭+3=4,且牛曳告^=2.

bna十3

所以｛4｝是以及=4為首項，2為公比的等比數列.

所以4=4X2〃T=2"+［即品=2〃十】一3.

，命題角度4形如“尸瓦B,，為常數)，求為

例6已知數列｛aj中，&=1,求數列｛aj的通項公式.

解?劣+1=QJ2,ai=l,??w0,

1111

則

即

---=-又-XI-

a2472al

是以1為首項，;為公差的等差數列,

11-、1〃+12/加

觸類旁通

由遞推關系式求通項公式的常用方法

(1)已知a且an—an-\=f^n),可用“累力口法”求an.

(2)已知&且生=/(〃)，可用“累乘法”求當.

Q-n—1

(3)已知&且為+1=。a+6,則為+i+A=q(a+A)(其中A可由待定系數法確定)，可轉

化為等比數列3+R.

(4)形如Z+1=五大(4B,C為常數)的數列，可通過兩邊同時取倒數的方法構造新數

Ban十C

列求解.

,--------------------------------1&幺師筆記?歸納領悟I-----------------------------

MINGSHIBQIC-^SUTNALINGWU

C核心規(guī)律

已知遞推關系求通項，一般有以下方法：

(1)算出前幾項，再歸納、猜想；

(2)累加法、累乘法、待定系數法.

滿分策略

1.數列是一種特殊的函數，在利用函數觀點研究數列時，

一定要注意自變量的取值，如數列2=F(A)和函數y=『(x)的單調性是不同的.

2.數列的通項公式不一定唯一.

3.在利用數列的前A項和求通項時，往往容易忽略先求出a,而是直接把數列的通項公

式寫成a?=Sn—Sn-i的形式，但它只適用于的情形.

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

數學思想系列6——用函數思想解決數列的單調性問題

[2018?南京段考]數列｛aj的通項公式是a〃=/+A〃+4.

(1)若《=—5,則數列中有多少項是負數？〃為何值時，&,有最小值？并求出最小值.

(2)對于〃eN*,都有&+Da.求實數"的取值范圍.

解題視點(1)求使當〈0的〃值；從二次函數看為的最小值.(2)數列是一類特殊函數,

通項公式可以看作相應的解析式f(n)=4+h+4.F(〃)在N*上單調遞增，可利用二次函數的

對稱軸研究單調性，但應注意數列通項中n的取值.

解⑴由〃「5〃+4〈0,解得1〈水4.

；.A=2,3,.?.數列中有兩項是負數,即為愈，a3.

2

,.■aB=7?—5T?+4=^—|j—|,由二次函數性質，得當〃=2或〃=3時，a〃有最小值，

其最小值為az=a3=—2.

(2)由a〃+〉a.知該數列是一個遞增數列，

又因為通項公式a?—n+kn+4：,

可以看作是關于〃的二次函數，考慮到〃CN*,

k3

所以一手亍即得“>一3.

答題啟示(1)在利用二次函數的觀點解決該題時，一定要注意二次函數對稱軸位置的

選取.，(2)本題易錯答案為k>-2.原因是忽略了數列作為函數的特殊性，即自變量是正整數.

■跟蹤訓練

已知數列。中，&=1+市廣(松心

aGR,且a#0).

(1)若a=—7,求數列｛a｝中的最大項和最小項的值；

⑵若對任意的〃GN*,都有a0Wa成立，求a的取值范圍.

解⑴.."1+房二”4回，且B。)，

又*=—7,

結合函數_f(x)=1+。1<的單調性,可知1>@>/>&>為,外>注〉&>,?>a>1(刀￡“).

???數列｛a｝中的最大項為戊=2,最小項為a=0.

1

小…12

(2)a-1+a+2(/?-l)=1+一二i

n~2

:對任意的〃GN*,都有aWa成立，

1

-

2

結合函數f(x)=12￡的單調性,

X'2

知5〈一〈6,.*.-10<3<-8.

故a的取值范圍為(-10,-8).

板塊四模擬演練?提能增分

[A級基礎達標]

1.已知數列娟，乖，2木，…,貝是該數列的()

A.第5項B.第6項C.第7項D.第8項

答案C

解析由數列斕，乖,2小，…的前三項小，巾,乖可知，數列的通項公式為an=

、2+3(〃-1)=、3〃-1,由=可得〃=7.故選C.

2.[2018?上饒模擬]已知數列｛&｝滿足a+1+a=〃，若a=2,則為一切=()

A.4B.3C.2D.1

答案D

解析由a+1+a=〃，得a+2+&+1=刀+1,兩式相減得為+2—a=1,令〃=2,得&

—^2=1.故選D.

3.[2018?濟寧模擬]若S為數列口的前〃項和，且$==彳，則上等于()

〃十18

561

A.-B.7C.-D.30

6530

答案D

解析???當〃22時，a=S_S_1=十一口=二,??工=5乂(5+1)=30.故選

n-r1n77(77+1)為

D.

4.已知數列｛a｝滿足a=1,a+ia=2"(〃￡N*),則&o=()

A.64B.32C.16D.8

答案B

解析..&+同=2O,...&+2為+尸2小，兩式相除得黃=2.又&功=2'ai=l,：.32=2.

田1088

則--—---,-—=2*4,56即dio=25=32.故選B.

氏%&&

5.在各項均為正數的數列｛a｝中，對任意見〃仁N*,都有?a.若a=64,則

卷等于()

A.256B.510C.512D.1024

答案C

解析在各項均為正數的數列｛a｝中，對任意山,都有為+〃=為?%.，為=為?當

=64,&=8.

:.。9=%?<93=64X8,a=512.故選C.

6.[2018?遼寧實驗中學月考]設數列｛2｝的前刀項和為S,且S=2(2—1),貝

()

A.2nB.2/7-1C.2"D.2n~l

答案C

解析當〃=1時，&=S=2Q1—1),可得當=2；當時，3n=Sn—Sn-l=2an—2an

-i,:?an=2an—\,；?a=2?2"T=2".選C.

7.若數列｛a｝的前刀項和S=;?2—10〃(〃￡N*),則數列｛〃為｝中數值最小的項是()

A.第2項B.第3項C.第4項D.第5項

答案B

解析10〃，.??當2時，dn=Sn~Sn-1=2/1—11；

當77=1時，&=S=—9也適合上式.

/.an=2〃-11(〃￡N*).

記廣(〃)=〃劣=刀(2〃-11)=2〃2—11〃，此函數圖象的對稱軸為直線〃=?，但〃￡N*,，

當〃=3時，/1(〃)取最小值.于是，數列｛刀為｝中數值最小的項是第3項.故選B.

8.已知數列｛&｝中，ai=l,若品=2a—1+1(〃22),則石5的值是.

答案31

解析,.,劣=22-1+1,.,?2+1=2(a-1+1),

o+1

工T=2，又81=1，「?｛d+1｝是以2為首項，2為公比的等比數列，即a〃+l=2X2"

<9/7-1+1

5

T=2",a5+l=2,即&5=3L

9.[2018?洛陽模擬]數列｛2｝中，a=l,對于所有的〃22,x￡N*,都有

2?切?&....an=n,貝1!.

?山61

臺案16

解析由題意知：劭?色?當....a—1=(〃一1)2,

所以為“啟2),

'外=旦

所以as+25=

15)+4J16-

10.[2015?全國卷H]設S是數列｛aj的前〃項和，Ma=-l,&2+1SS+i,則S=

_1

答案

n

11

=

解析*.*dn+lSn-\-l—Sn,「?S+l—S=S+1S,又由@=-1J知SWO,g一亮=L

是等差數列，且公差為T,而?;T，

—l+(〃—l)x(—i)=一〃，...S=-3

[B級知能提升]

1.[2018?天津模擬]已知正數數列｛劣｝中,ai=l,(77+2)?an+\—(7?+1)an-\-anan+\—0,

〃￡N*,則它的通項公式為（）

12

A.B.

刀+1

C.3，n'D.a=n

2n

答案B

由題意可得萱=%,則3，nQ-n—\及n“一12

解析3，n