2022年內(nèi)蒙古通遼市(初三學(xué)業(yè)水平考試)中考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

2022年內(nèi)蒙古通遼市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試試卷數(shù)學(xué)

一、選擇題（本題包括12道小題，每小題3分，共36分，每小題只有一個正確答案，請?jiān)诖痤}卡

上將代表正確答案的字母用25鉛筆涂黑）

1.-3的絕對值是（）

11c

A.—B.3C.—D.—3

33

2.冬季奧林匹克運(yùn)動會是世界上規(guī)模最大冬季綜合性運(yùn)動會，下列四個圖是歷屆冬奧會圖標(biāo)中的一部分，其中

是軸對稱圖形的為（）

族

3.節(jié)肢動物是最大的動物類群，目前已命名的種類有120萬種以上，將數(shù)據(jù)120萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.12xl06B.1.2xlO7C.1.2x105D.1.2xl06

4.正多邊形每個內(nèi)角為108°,則它的邊數(shù)是（）

A4B.6C.7D.5

5.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中《盈不足》卷記載了一道有

趣的數(shù)學(xué)問題：“今有共買物，人出八，贏三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”譯文：“今有人合伙

購物，每人出8錢，會多出3錢；每人出7錢，又差4錢，問人數(shù)，物價(jià)各多少？”設(shè)人數(shù)為x人，物價(jià)為y錢,

根據(jù)題意，下面所列方程組正確的是（）

8x+3=y8x-3=y8x+3=y8x-3=y

B.\D.《

7x-4=y[7x+4=y7x+4=y7x-4=y

6.如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM,QV反射后，反射光線CD與A3平行，當(dāng)NABM=35。

時，NDCN的度數(shù)為（）

A.55°B.70°C.60°D.35°

7.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=（x-iy+l的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，

所得函數(shù)的解析式為（）

A.y=（x-2）2-1B.j=（x-2）2+3

C.y=d+lD.y-x2-l

8.如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，以A3為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,D,則

cos/ADC的值為（）

L一屋/J

A2713口3加C.2D.在

131333

]-2k匚的解為正數(shù)，則上的取值范圍為（）

9.若關(guān)于x的分式方程：2---------=-

x-22-X

Ak<2B.左<2且左力0

C.k>—1D.左>一1且后W0

10.下列命題：①（加?幾之）二5；②婁攵據(jù)1,3,3,5的方差為2；③因式分解

3

X-4X=X（^+2）（X-2）；④平分弦的直徑垂直于弦；⑤若使代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則九之1.其

中假命題的個數(shù)是（）

A.1B.3C.2D.4

11.如圖，正方形A5CD及其內(nèi)切圓。，隨機(jī)地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰影部分概率是（）

。一c

12.如圖，點(diǎn)。是r內(nèi)一點(diǎn)，AD與1軸平行，3。與〉軸平行，BD=6，ZBDC=120°,

k

SAB°=—96l,若反比例函數(shù)y=—（x<°）的圖像經(jīng)過c，。兩點(diǎn)，則上的值是（）

2X-

A.-6A/3B.-6C.-126D.-12

二、填空題（本題包括5道小題，每小題3分，共15分，將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫線上）

13.菱形ABCD中，對角線AC=8,BD=6,則菱形的邊長為.

14.如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求Na的度數(shù)°.

15.如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點(diǎn)，AE=AB,BE=DE，則tanN8DE=

16.在RjABC中，ZC=90°,有一個銳角為60°,A8=6,若點(diǎn)尸在京繾AB上（不與點(diǎn)A,8重合），且

ZPCB=3Q°,則AP的長為.

17.如圖，是一ABC的外接圓，AC為直徑，若AB=26，BC=3,點(diǎn)P從8點(diǎn)出發(fā)，在內(nèi)運(yùn)動且

始終保持NCBF=N￡WP,當(dāng)C，尸兩點(diǎn)距離最小時，動點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為.

三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標(biāo)出，請?jiān)诖痤}卡上寫出各

題解答的文字說明、證明過程或計(jì)算步驟）

18.計(jì)算：V2-V6+4|l-V3|sin600-Q^.

〃+1＞0

（4、〃_2

19.先化簡，再求值：Q4----，請從不等式組＜4。-5＜］的整數(shù)解中選擇一個合適的數(shù)求值.

IaJa

20.如圖，一個圓環(huán)被4條線段分成4個相等的區(qū)域，現(xiàn)有2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一

個，將這兩個吉祥物放在任意兩個區(qū)域內(nèi).

（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在區(qū)域①的概率；

（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個區(qū)域的概率.（用樹狀圖或列表法表示）

21.某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算A3的長度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，73^1.7）,

22.某學(xué)校在本校開展了四項(xiàng)“課后服務(wù)”項(xiàng)目（項(xiàng)目A：足球；項(xiàng)目籃球；項(xiàng)目C：跳繩；項(xiàng)目。：書

法），要求每名學(xué)生必選且只能選修其中一項(xiàng)，為了解學(xué)生的選修情況，學(xué)校決定進(jìn)行抽樣調(diào)查，并根據(jù)收集的數(shù)

選修情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

項(xiàng)目

圖1圖2

(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有人；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，8所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是。；

(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

(3)若全校共有1200名學(xué)生，估計(jì)該校選修籃球和跳繩兩個項(xiàng)目的總?cè)藬?shù).

23.為落實(shí)“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計(jì)劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩

個商店的優(yōu)惠活動如下：

甲：所有商品按原價(jià)8.5折出售；

乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價(jià)付費(fèi)，超過300元的部分打7折.

設(shè)需要購買體育用品的原價(jià)總額為X元，去甲商店購買實(shí)付y甲元，去乙商店購買實(shí)付y乙元，其函數(shù)圖象如圖所

小.

(1)分別求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)兩圖象交于點(diǎn)A,求點(diǎn)A坐標(biāo)；

(3)請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算.

24.如圖，在火力493中，ZAOB=90°,以。為圓心，。3的長為半徑的圓交邊A3于點(diǎn)。，點(diǎn)C在邊。4上

且CE>=AC,延長CD交的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：CD是圓的切線;

4r-

(2)已知sin/OCD=g,AB=4后,求AC長度及陰影部分面積.

25.已知點(diǎn)E在正方形A3CD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形A3CD有公共點(diǎn)A.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在AD上，尸在AB上，求后QG的值為多少;

CE

(2)將正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)。(0°<々<90。)，如圖2,求：——的值為多少；

DG

(3)AB=8也，AG=—AD,將正方形AFEG繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<360。)，當(dāng)C,G,E三

2

點(diǎn)共線時，請直接寫出。G的長度.

26.如圖，拋物線y=—必+法+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與V軸交于C點(diǎn)，直線方程為y=X-3.

(2)點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，若SPBC=GSM「請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)。是拋物線上一點(diǎn)，若NACQ=45。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

2022年內(nèi)蒙古通遼市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試試卷數(shù)學(xué)

一、選擇題（本題包括12道小題，每小題3分，共36分，每小題只有一個正確答案，請?jiān)诖痤}卡

上將代表正確答案的字母用25鉛筆涂黑）

1.-3的絕對值是（）

11c

A.—B.3C.—D.—3

33

【答案】B

【分析】根據(jù)絕對值的定義化簡即可.

【詳解】解：：卜3|=3,

-3的絕對值是3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的概念，能夠熟練的求出某個有理數(shù)的絕對值是解決本題的關(guān)鍵.

2.冬季奧林匹克運(yùn)動會是世界上規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動會，下列四個圖是歷屆冬奧會圖標(biāo)中的一部分，其中

是軸對稱圖形的為（）

磷京。&。發(fā)

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，即可求解.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣

的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關(guān)鍵.

3.節(jié)肢動物是最大的動物類群，目前已命名的種類有120萬種以上，將數(shù)據(jù)120萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.12xl06B.1.2xlO7C.1.2xl05D.1.2xl06

【答案】D

【分析】絕對值大于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axlO”，“為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1,

據(jù)此可以解答.

【詳解】解:120萬=1200000=1.2X106.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)一般形式為ax10",其中

l<|a|<10,“是正整數(shù)，正確確定。的值和〃的值是解題的關(guān)鍵.

4.正多邊形的每個內(nèi)角為108°,則它的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.7D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)相鄰的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角求出每一個外角的度數(shù)為72。，再用外角和360。除以72。，計(jì)算即可得

解.

【詳解】解：,??正多邊形的每個內(nèi)角等于108。，

每一個外角的度數(shù)為180。-108°=72°,

...邊數(shù)=360°+72°=5,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，對于正多邊形，利用多邊形的外角和除以每一個外角的度數(shù)求邊數(shù)更

簡便.

5.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中《盈不足》卷記載了一道有

趣的數(shù)學(xué)問題：“今有共買物，人出八，贏三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”譯文：“今有人合伙

購物，每人出8錢，會多出3錢；每人出7錢，又差4錢，問人數(shù)，物價(jià)各多少？”設(shè)人數(shù)為x人，物價(jià)為y錢，

根據(jù)題意，下面所列方程組正確的是（）

8x+3=y8x-3=y8x+3=y8x-3=y

B.<D.<，

7x-4=y7x+4=y7x+4=y7x-4=y

【答案】B

【分析】根據(jù)譯文可知“人數(shù)x8-3=錢數(shù)和人數(shù)x7+4=錢數(shù)”即可列出方程組.

8x-3=y

【詳解】解：由題意可得，I,

7x+4=y

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查列二元一次方程組.解題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程.

6.如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡OM,QV反射后，反射光線CD與A6平行，當(dāng)NA5M=35。時,

NDCN的度數(shù)為（）

C.60°D.35°

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得：ZABM=ZOBC,ZBCO=ZDCN,然后平行線的性質(zhì)可得/BCD=70。，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：ZABM=ZOBC,ZBCO=ZDCN,

?.,ZABM=35°,

：.ZOBC=35°,

：.ZABC=180°-ZABM-ZOBC=180°-35°-35°=110°,

9

：CD//ABf

：.ZABC+ZBCD=180°,

???ZBCD=180°-ZABC=70°,

ZBCO+ZBCD+ZDCN=180°,ZBCO=ZDCN,

：.ZDCN=1(180?！猌BCD)=55°.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=(x-Ip+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，

所得函數(shù)的解析式為()

A.y=(x-2)~-1B.y=(x-2)+3

C.y=x1+\D.y-x1-1

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：將二次函數(shù)丁=(無-17+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解

析式為j=(x—1+1)+1—2=%2—1

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的平移規(guī)律.關(guān)鍵是確定平移前后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，尋找平移規(guī)律.

8.如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，以A3為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,D,則

cosNAOC的值為()

A?誓B,竺1C

13-t

【答案】B

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后根據(jù)圓周角定理的推論得出NAOC=NCBA,NAC3=90°，

計(jì)算出cosNCBA即可得到cosZADC.

【詳解】解：：AB為直徑，CB=3,AC=2,

ZACB=90°，AB2=CB1+AC2，

/.=713,

??s"胡=0=上=亞

AB71313

:AC=AC,

:.ZADC=ZCBA,

/.COSNADC=M^

13

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)和三角函數(shù)，掌握勾股定理及圓周角定理的推論是關(guān)鍵.

]-2k1

9.若關(guān)于九的分式方程：2-------=——的解為正數(shù)，則％的取值范圍為（）

x—22—x

A.k<2B.左<2且左

C.k>—1D.左>—1且左。0

【答案】B

【分析】先解方程，含有人的代數(shù)式表示X,在根據(jù)尤的取值范圍確定上的取值范圍.

c1—2左1

【詳解】解:2------=----

x—22—x

；.2（x-2）-1+2左=-1,

解得：x=2—k,

:解為正數(shù)，

2—左>0,

k<2,

二?分母不能0,

.,.無w2,

，2—左22,解得kwO,

綜上所述：左<2且左WO,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，求不等式的解集，能夠熟練地解分式方程式解決本題的關(guān)鍵.

10.下列命題：①（加蘇了=療”5；②數(shù)據(jù)1,3,3,5的方差為2；③因式分解d—4x=x（x+2）（x—2）；④

平分弦的直徑垂直于弦；⑤若使代數(shù)式G萬在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則xNi.其中假命題的個數(shù)是（）

A.1B.3C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)積的乘方，方差的計(jì)算，多項(xiàng)的因式分解，垂徑定理的推論，二次根式有意義的條件，逐項(xiàng)判斷即

可求解.

【詳解】解：①（加力2）3=機(jī)3"6,故原命題假命題；

②數(shù)據(jù)1,3,3,5的平均數(shù)為1（1+3+3+5）=3,所以方差為

-[（1-3）2+（3-3）2+（3-3）2+（5-3）2]=2,是真命題；

4L—

③JV3—4x=x（%2—4）=%（％+2）（x—2）,是真命題；

④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故原命題是假命題；

⑤使代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x-lNO,即x'l,是真命題；

假命題的個數(shù)是2.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方，方差的計(jì)算，多項(xiàng)的因式分解，垂徑定理的推論，二次根式有意義的條件,

熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，正方形A3CD及其內(nèi)切圓。，隨機(jī)地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰影部分的概率是（）

DC

【答案】B

【分析】設(shè)正方形的邊長為。，則其內(nèi)切圓的直徑為。，分別求出正方形和陰影部分的面積，再利用面積比求出概

率，即可.

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為則其內(nèi)切圓的直徑為a,

其內(nèi)切圓的半徑為巴，正方形的面積為。2,

2

陰影部分的面積為/“義（￡|=11—7卜2，

2

?,?隨機(jī)地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰影部分的概率是（4）

-=1---

a24

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算，關(guān)鍵是明確幾何測度,利用面積比求之.

12.如圖，點(diǎn)。是UQ4BC內(nèi)一點(diǎn)，與*軸平行，6。與丁軸平行,BD=<3,ZB￡>C=120°,

9lk

SWCD=-B若反比例函數(shù)y=—a<0）的圖像經(jīng)過c，。兩點(diǎn)，則上的值是（）

2x

A.-6A/3B.-6C.—12?D.-12

【答案】C

【分析】過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E,延長交"于點(diǎn)F,可證明ACOE之△ABE(AAS),則OE=BD=6由

SABDC=9BD?CF=G6可得CF=9,由/BZ)C=120。，可知/CL不=60。，所以DF=3g,所以點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為4

#;設(shè)C(加，也),D{m+9,46),則/=百〃7=4百(m+9),求出機(jī)的值即可求出人的值.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CELy軸于點(diǎn)E,延長3。交CE于點(diǎn)R

,/四邊形0ABe為平行四邊形,

C.AB//OC,AB=OC,

：.ZCOE=ZABD,

軸，

ZADB=90°,

：./\COE^AABD(AAS),

OE-BD-百,

,/SbBDG；?BD?CF=-V3,

22

???CF=9,

VZBDC=120°,

???ZCDF=60°,

:?DF=36

點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為473，

設(shè)C（m,超），D（m+9,4g）,

?.?反比例函數(shù)廣士（x<0）的圖像經(jīng)過C、。兩點(diǎn)，

x

k=G777=46（優(yōu)+9）,

：.k=-n^3.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合問題，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐

標(biāo)，并根據(jù)幾何關(guān)系消去參數(shù)的值是本題解題關(guān)鍵.

二、填空題（本題包括5道小題，每小題3分，共15分，將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫線上）

13.菱形ABCD中，對角線AC=8,BD=6,則菱形的邊長為.

【答案】5

【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出OA、0B,再利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】如圖，

:四邊形ABC。是菱形,

11

：.0A=-AC=4,OB=—BD=3,AC±BD,

22

AB=1(J笛+OB?=5

故答案為5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記菱形的各種性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

14.如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求Na的度數(shù)

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB〃CD,故可得出NA3D的度數(shù)，由角平分線的定義求出/防尸的度數(shù)，再由

EF是線段3。的垂直平分線得出NEEB、/2E尸的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】解:如圖，

AB//CD,

ZABD=ZCDB=60°,

由尺規(guī)作圖可知，8E平分/ABD,

：.ZEBF=-ZABD=-x60°=30°,

22

由尺規(guī)作圖可知EF垂直平分BD,

：.ZEFB=9Q°,

：.ZBEF=90°-ZEBF=60°,

Za=ZBEF=60°.

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖-基本作圖、角平分線以及垂直平分線的知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握5種基本作

圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)

作已知直線的垂線）.

15.如圖，在矩形ABCD中，E為A￡>上的點(diǎn)，AE=AB,BE=DE，則tanN8DE=.

【答案】V2-l##-l+V2

【詳解】解：設(shè)AB=1,

在矩形A3CD中，E為AD上的點(diǎn)，AE=AB,BE=DE，

ED=BE=VAE2+AB2=72，

AD^AE+ED=l+>/2，

4R1f—

/.tan=——=——產(chǎn)=企—1,

AD1+72

故答案為：V2-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握正確的定義是解題的關(guān)鍵.

16.在ABC中，ZC=90°,有一個銳角為60°,A3=6,若點(diǎn)P在京繾A3上（不與點(diǎn)A,3重合），且

ZPCB=30°,則AP的長為.

9

【答案】^或9或3

2

【分析】分NABC=60、/A8C=30。兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)NABC=60°時，則/氏4c=30°,

BC=-AB=3,

2

AC=>JAB--BC2=3c

當(dāng)點(diǎn)尸在線段AB上時，如圖，

?/NPCB=30°,

/.ZBPC=90",BPPC±AB,

AP=ACcosABAC=3A/3X—=-；

22

當(dāng)點(diǎn)尸在A3的延長線上時，

ZPCB=30°,ZPBC=ZPCB+ZCPB,

：.ZCPB^30°,

ZCPB=ZPCB,

：.PB=BC=3,

：.AP=AB+PB=9；

當(dāng)NABC=30°時，則/BAC=60。，如圖，

AC=-AB=3,

2

?：ZPCB=30°,

ZAPC=60°,

AZACP=60°,

???ZAPC=ZB\C=ZACP,

???△APC為等邊三角形，

：,R\=AC=3.

Q

綜上所述，AP的長為或9或3.

2

Q

故答案為：旦或9或3

2

【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等邊三角形的判定和

性質(zhì)等，分類求解是本題解題的關(guān)鍵.

17.如圖，0。是一ABC的外接圓，AC為直徑，若AB=2。BC=3,點(diǎn)尸從3點(diǎn)出發(fā)，在上ABC內(nèi)運(yùn)動且

始終保持/CBP=/BAP,當(dāng)C,尸兩點(diǎn)距離最小時，動點(diǎn)。的運(yùn)動路徑長為.

【答案】走了.

3

【分析】根據(jù)題中的條件可先確定點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長最小時點(diǎn)P的位置,

進(jìn)而求出點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長.

【詳解】解：AC為的直徑，

:.ZABC=9Q).

:.ZABP+ZPBC=9Q).

Q/PAB=/PBC,

..NPAB+NABP=90°.

???:.ZAPB^90°.

點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，且在△ABC的內(nèi)部，

如圖，記以為直徑的圓的圓心為。一連接。。交（。］于點(diǎn)尸'，連接OiRCP

QCP2O]C—O]P,

當(dāng)點(diǎn)a，p,c三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)p在點(diǎn)p'處時，CP有最小值,

AB=

■■OXB=A/3

Be3

在RtNBCO、中，tanABOXC=-----=—r=

OXB，3

NBO[C=60.

"『A

.C,p兩點(diǎn)距離最小時，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為且

71.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對圓周角是直角，弧長公式，由銳角正切值求角度，確定點(diǎn)P的路徑是解答本題

的關(guān)鍵.

三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標(biāo)出，請?jiān)诖痤}卡上寫出各

題解答的文字說明、證明過程或計(jì)算步驟）

18.計(jì)算：JL&+4卜-班卜in60°-.

【答案】4

【分析】根據(jù)二次根式的乘法，化簡絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：原式=2石+4(6—1卜￥—2

=2百+6-26-2

=4

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握二次根式的乘法，化簡絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)累

是解題的關(guān)鍵.

a+1>0

[4)a-2

19.先化間，再求值：a——十——請從不等式組4a—5<]整數(shù)解中選擇一個合適的數(shù)求值.

IaJa

、3-

【答案】4+2〃，3

【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后根據(jù)不等式組求出，的值并代入原式即可求出答

案.

(4、a-2

【詳解】解：a——+——

(aJa

_a1-4a2

aa-2

(a+2)(〃-2)a?

aa-2

=6+2〃，

a+1>0①

‘色三1②’

I3

解不等式①得：a>-l

解不等式②得：a<2,

*,*-1<a<2,

：a為整數(shù)，

取0,1,2,

：aw0,a—2w0,

o=l,

當(dāng)a=l時，原式=儼+2%1=3.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則以及乘除

運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

20.如圖，一個圓環(huán)被4條線段分成4個相等的區(qū)域，現(xiàn)有2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一

個，將這兩個吉祥物放在任意兩個區(qū)域內(nèi).

(1)求：吉祥物“冰墩墩”放在區(qū)域①的概率；

(2)求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個區(qū)域的概率.(用樹狀圖或列表法表示)

【答案】(1)-

4

⑵3

4

【分析】(1)根據(jù)概率公式直接求解;

(2)根據(jù)列表法求概率即可求解.

【小問1詳解】

吉祥物“冰墩墩”放在區(qū)域①的概率:,

故答案為：一

4

【小問2詳解】

?②③④

?①②①③①④

②②①②③②④

③③①③②③④

④④①④②④③

共有12種等可能結(jié)果，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個區(qū)域的共有8種可能，

Q3

吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個區(qū)域的概率為一=一.

124

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式與列表法求概率，掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵.

21.某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算A3的長度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，73^1.7）.

【答案】A3的長度約為9.8米

【分析】延長84交CE的垂線。G于點(diǎn)p，交于點(diǎn)G廁四邊形DFBE是矩形，根據(jù)圖示，可得四邊形

DFBE是正方形,解RtACGD,Rt_AGF,即可求解.

【詳解】解：如圖，延長必交CE的垂線DG于點(diǎn)P，AC,。f交于點(diǎn)G,則四邊形DFBE是矩形,

NFDB=45°,

:.DF=FB，

，四邊形DFBE是正方形，

：.BF=EB=14,

ZDCG=90°-60°=30°,AF//CD,

:.ZFAG=ZDCG=3Q°,

Rt^COG中，DG=tanZDCG-CD=—x20=^^

33

:.GF=DF—DG=14—^^

3

U-20^

RtA4FG中，AF=———=—^-=——=^-=14^-20,

tanZFAGtan30°v3

T

AB=BF—Ab=14—14百+20=34—14出土9.8米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

22.某學(xué)校在本校開展了四項(xiàng)“課后服務(wù)”項(xiàng)目（項(xiàng)目A：足球；項(xiàng)目B：籃球；項(xiàng)目C：跳繩；項(xiàng)目。：書

法），要求每名學(xué)生必選且只能選修其中一項(xiàng)，為了解學(xué)生的選修情況，學(xué)校決定進(jìn)行抽樣調(diào)查，并根據(jù)收集的數(shù)

據(jù)繪制了圖1和圖2兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

選修情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

項(xiàng)目

圖1

(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有人；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，8所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是

(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(3)若全校共有1200名學(xué)生，估計(jì)該校選修籃球和跳繩兩個項(xiàng)目的總?cè)藬?shù).

【答案】(1)200、108；

(2)見解析(3)900人

【分析】(1)由A活動的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，用360。乘以8活動人數(shù)所占比例即可得;

(2)用總?cè)藬?shù)減去其它活動人數(shù)求出C的人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；

(3)用樣本估計(jì)總體可得結(jié)論.

【小問1詳解】

本次調(diào)查的學(xué)生共有30?15%=200(人)，

扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是360°X幽=108°,

200

故答案為：200、108；

【小問2詳解】

C活動人數(shù)為200-(30+60+20)=90(人),

補(bǔ)全圖形如下：

項(xiàng)目

【小問3詳解】

12。。5=900（人）

所以，估計(jì)該校選修籃球和跳繩兩個項(xiàng)目的總?cè)藬?shù)為900人.

【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是

解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小.

23.為落實(shí)“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計(jì)劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩

個商店的優(yōu)惠活動如下:

甲：所有商品按原價(jià)8.5折出售;

乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價(jià)付費(fèi)，超過300元的部分打7折.

設(shè)需要購買體育用品的原價(jià)總額為x元，去甲商店購買實(shí)付y甲元，去乙商店購買實(shí)付為元，其函數(shù)圖象如圖所

/K.

(1)分別求y甲，y乙關(guān)于1的函數(shù)關(guān)系式；

(2)兩圖象交于點(diǎn)A,求點(diǎn)A坐標(biāo)；

(3)請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算.

x(0<x<300)

【答案】(1)y甲=0.85x；y乙與x的函數(shù)關(guān)系式為y乙=

0.7x+90(x>300)

(2)(600,510)

(3)當(dāng)x<600時，選擇甲商店更合算；當(dāng)x=600時，兩家商店所需費(fèi)用相同；當(dāng)x>600時，選擇乙商店更合算.

【分析】(1)根據(jù)題意，可以分別寫出甲、乙兩家商店y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論列方程組解答即可；

(3)由點(diǎn)A的意義并結(jié)合圖象解答即可.

【小問1詳解】

由題意可得，y甲=0.85x；

乙商店：當(dāng)0WE300時，y乙與x的函數(shù)關(guān)系式為y乙=苫；

當(dāng)x>300時，y乙=300+(x-300)x0.7=0.7x+90,

%(0<x<300)

由上可得，y乙與尤的函數(shù)關(guān)系式為y乙=

0.7x+90(x>300)

【小問2詳解】

y申=0.85x-L600

由<，解得《

y乙=0.7x+90%=510'

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(600,510)；

【小問3詳解】

由點(diǎn)A的意義，當(dāng)買的體育商品標(biāo)價(jià)為600元時，甲、乙商店優(yōu)惠后所需費(fèi)用相同，都是510元，

結(jié)合圖象可知，

當(dāng)x<600時，選擇甲商店更合算；

當(dāng)x=600時，兩家商店所需費(fèi)用相同；

當(dāng)x>600時，選擇乙商店更合算.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性

質(zhì)解答.

24.如圖，在HLAC出中，ZAOB=90°,以。為圓心，05的長為半徑的圓交邊A5于點(diǎn)。，點(diǎn)C在邊。4上

且CD=AC,延長CD交的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：CD是圓的切線;

(2)已知sinNOCD=],AB=475.求AC長度及陰影部分面積.

【答案】(1)證明見詳解；

(2)AC=3,陰影部分面積為笆-4〃.

3

【分析】(1)連接證明/。。6=90。即可；

(2)在R7X0C。中，由勾股定理求出OC、OD、CD,在放ZkOCE中，由勾股定理求出0E,用aOCE的面積減

扇形面積即可得出陰影部分面積.

【小問1詳解】

證明：連接。。

OD=OB

：.NOBD=/ODB

'：AC=CD

???ZA=ZADC

?.,ZADC=ZBDE

：.ZA=ZEDB

NA03=90。

???ZA+ZABO=90°

：.ZODB+ZBDE=90°

即OD_LCE,

又少在5上

???8是圓的切線；

【小問2詳解】

解：由（1）可知，ZODC=90°

在□△OC。中，sinZOCD=-=—

5OC

設(shè)OD=OB=4x,貝！JOC=5x,

22

???CD=J。。?—。。2=^5X）+（4X）=3x

：.AC=3x

：.OA=OC+AC=8x

在心△048中：032+042=452

即：（4X）2+（8X2）=（4A/5）2

解得x=l,（-1舍去）

：.AC=3,OC=5,OB=OD=4

4OF

在在心△OCE中，sinZOCD=-=—

5CE

二設(shè)OE=4?則CE=5y,

:OE2+OC2=CE2

（4y）2+52=（5y）2

解得y=—,（—舍去）

33

OE=4y=~

90萬OB?」x型x5-4?=型-4萬

S陰影=-OEOC-

2360233

???陰影部分面積為笆-4〃.

3

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判斷和性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、陰影部分面積的求法，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用勾

股定理和三角函數(shù)求出相應(yīng)的邊長，并能將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形與扇形面積的差.

25.已知點(diǎn)E在正方形A3CZ)的對角線AC上，正方形AEG與正方形A3CD有公共點(diǎn)A.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在上,產(chǎn)在AB上，求ODG的值為多少;

CE

(2)將正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<tz<90°),如圖2,求：——的值為多少;

DG

(3)AB=86，AG=—AD，將正方形AFEG繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<360。)，當(dāng)C,G,E三

2

點(diǎn)共線時，請直接寫出。G的長度.

【答案】(1)2(2)亞

(3)4(^/^一^/^)

【分析】(1)根據(jù)題意可得GE〃DC,根據(jù)平行線分線段成比例即可求解;

AGAD1

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，可得＞=丁='，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NZMG=NC4￡,進(jìn)而證明

AEACJ2

GAD^EAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)勾股定理求得CG,EC,進(jìn)而根據(jù)qG4Z)s￡4。，由相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

正方形AFEG與正方形A3CD有公共點(diǎn)A,點(diǎn)G在A。上，f在A3上，

:.GE//DC

AGAE

15G~^C

EC_AE

,DG-AG

四邊形AFEG是正方形

AE=yflAG

-2CE乏CEJ2AE_r-r-_

??癡G-k-k-丹也-2

【小問2詳解】

如圖，連接AE，

正方形AEEG繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)。（?！悖肌?0°）,

:.ZDAG=ZCAE

AGAD_1

AE-AC-庭

GADsEAC

?烏-任-0

DGAD

【小問3詳解】

如圖，

D

AD—AB-8-\/2,AG——x8-\/2=8>AC-y/2AB—16'

G,E,C三點(diǎn)共線，

RtA4GC中，GC=VAC2-AG2=A/162-82=873-

:.CE=GC-GE=86-8,

由（2）可知一G4￡>S_EAC,

?烏-生-拒

,?—―7乙,

DGDA

.℃—8ax（出8）=4逃一回.

"AC16

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),

綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，拋物線y=—必+法+。與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與>軸交于C點(diǎn)，直線方程為y=x-3.

(2)點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，若SPBC=GSM「請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3