2022-2023學(xué)年上海九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期課時同步練第23章：解直角三角形（單元測試）（解析版）

第23章：解直角三角形（單元測試）

一、單選題

1.在AA6C中，NC=90。，若cosB=走，則sinA的值為（）

2

A.石B.且C.立D.；

322

【答案】C

【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出/B,再求NA,即可求解.

【解答】在AABC中，ZC=90°,若cosB=^^，則NB=30。

2

故ZA=60°,所以sinA=—

2

故選：C

【點評】本題考查的是三角函數(shù)，掌握特殊角的三角函數(shù)值是關(guān)鍵.

2.RSABC中，NABC=9O,AB=3,BC=4,則tan/ACB的值等于（）

A.-B.-C.-D.-

5534

【答案】D

【解析】根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)定義直接求解.

【解答】已知RSABC中,ZABC=90°,AB=3,BC=4,

403

AtanZACB=—=一，

BC4

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義.關(guān)鍵找對鄰邊、對邊、所用三角函數(shù).

3.cos45。的值等于（）

A.；B.—C.BD.6

222

【答案】B

【解答】試題分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得cos45。=①，故答案選B.

2

考點：特殊角的三角函數(shù)值.

4.如圖所示，漁船在A處看到燈塔C在北偏東60方向上，漁船正向東方向航行了12海里到達(dá)B處，在B處

看到燈塔C在正北方向上，這時漁船與燈塔C的距離是（）

A.12省海里B.6省海里C.6海里D.4百海里

【答案】D

【解答】試題解析：由已知得：ZBAC=905-60=30,

在Rl/XABC中，

BC=ABtan30=12x^1=473（海里）

3

故選D.

5.在aAABC中，ZC=90,當(dāng)NA=60,”=36時，c的值是（）

A.c=4B.c=5C.c=6D.c=7

【答案】c

【解答】解：在:RfAABC中，-90?'與乙4=60'，a=3>/3

則sinA=sin60°=—=

c2c

貝I]c=6,

故選C.

6.AABC中，ZA:ZB:ZC=1:2:3,CDJ_AB于點。，若BC=a,則CD等于()

B.冬

A.—aC.

2

【答案】B

【解析】首先由已知AABC中，NA:NB:NC=1:2:3,求出NA=3(T，ZB=60.ZACB=90',由CZ)_L/W,

在Rt^BCD中求得HD的長.

【解答】VZA：ZB：NC=1：2：3,

：.ZA=180x=30°,

1+2+3

ZB=180°x-5—=60°,

1+2+3

ZACB=\80°x—1—=90°,

1+2+3

CDLAB,

???在RS38中，

CD=BC*sinZB=a.

2

故選B.

B

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和及解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,則tanB的值是（）

B

【答案】D

【解答】分析：根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊求解即可.

AC4

詳解：".'AB=5,BC=3,.，.AC=4,cosA=-----=—.

AB5

故選D.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰

邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

8.cos30。的值為（）

A.1B.-C.迫D.立

232

【答案】D

【解析】

330。=立.

2

故選D.

9.--樹干被臺風(fēng)吹斷，折成與地面成30,角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則樹干原來的高度為（）

米.

A.—B.20-\/3C.—y/iD.20

33

【答案】B

【解析】根據(jù)題意間出圖形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【解答】如圖所示：A8=20米，NA8C=30。，

/.AC=ABHan30°=20x（米）:

33

8。=?-=竺叵（米），

cosB3

：.AC+BC==20y/3（米）.

33

故選B.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.

10.如圖，已知在RSABC中，NC=90,D是BC邊上一點，AD=J^,NCAD=/ABC=a,且tana=g,

則BD的長為（）

【答案】B

【解析】先解Rt△CAD,由tanNCAD=g=；,可設(shè)CD=x，則AC=2x,根據(jù)勾股定理得出x?+

AC2

（2x）2=（百）2,求出x=l,那么CD=1,AC=2.再解RtaCAB,由tan/ABC=g

,求出BC=4,然后根據(jù)BD=BC-CD即可求解.

CD

【解答】RtACAD?|\ZC=90°,tanZCAD=—=12,

AC

J可設(shè)CD=x,則AC=2x,

???AD=6

，由勾股定理得：X2+（2X）2=（石產(chǎn)，

解得X=l,

ACD=1,AC=2.

AC21

?.?在RSCAB中,NC=90。，tanZABC=——=——=—,

BCBC2

/.BCM,

:.BD=BC-CD=4-1=3.

故選B

【點評】本題考查解直角三角形.關(guān)鍵找對鄰邊、對邊、恰當(dāng)選擇三角函數(shù)函數(shù).

11.如圖，為了測量河岸A、B兩點的距離，在與AB垂直的方向點C處測得AC=a,NACB=50。，那么

AB等于（）

A.asin50°B.atan50°C.acos50°

tan50

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，可得RSABC,同時可知AC與NACB.根據(jù)三角函數(shù)的定義解答.

【解答】根據(jù)題意，在RSABC,有AC=a,ZACB=50°,且tan50°=—,

則AB=ACxtan5（T=a?tan50。，

故選B.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，要熟練掌握三角函數(shù)的定義.

12.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡角為a,堤壩高BC為50米，則迎水坡面AB的長度是（）

A.50-tana米B.50?sina米

【答案】D

【解析】根據(jù)解直角三角形的知識可知：29=sina,即可求出AB.

［解答］---=sina,

故選D.

【點評】本題考查的是解三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

13.某輪船由西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東75。，繼續(xù)航行7海里后，在B處測得小島P

的方位是北偏東60。，則此時輪船與小島P的距離BP=（）

桃小北

A.7海里B.14海里C.3.5海里D.4海里

【答案】A

【解析】過P作AB的垂線PD,在直角△BPD中可以求的NPAD的度數(shù)是30度，即可證明△APB是等腰

三角形，即可求解.

【解答】過P作PDLAB于點D.

ZPBD=ZPAB+ZAPB=90°-60°=30°,NPAB=90-75=15。,；.NPAB=NAPB,，BP=AB=7（海里）

故答案選A.

【點評】本題考查的知識點是解直角三角形的應(yīng)用-方向角的問題，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握解直角三角形

的應(yīng)用-方向角的問題.

14.如圖，某偵察機(jī)在空中A處發(fā)現(xiàn)敵方地面目標(biāo)B,此時從飛機(jī)上看目標(biāo)B的俯角為a,已知飛行高度

AC=4500米，tana=好，則飛機(jī)到目標(biāo)B的水平距離BC為（）

6

A.5400石米B.5400白米C.5600石米

D.5600石米

【答案】A

【解析】利用所給角的正切函數(shù)求得線段BC的長即可.

【解答】由題知，在△ABC中，ZC=90°,ZABC=a,AC=45（X）,

tana=—=BC=5400非■

BC6

【點評】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.

15.如圖，由山腳下的一點4測得山頂。的仰角是45、從A沿傾斜角為3（T的山坡前進(jìn)1500米到8,再次

測得山頂。的仰角為6（）,則山高CO為（）

D

A.550（6+1）米B.650（百+1）米C.750（6+l）米D.85O（G+1）米

【答案】C

【解析】首先根據(jù)題意分析圖形：過點B作CD,AC的垂線，垂足分別為E,尸，構(gòu)造兩個直角三角形

"DE，分別求解可得。尸與E8的值，再利用圖形關(guān)系，進(jìn)而可求出答案.

【解答】過點B作CQ,AC的垂線，垂足分別為E,F,

：/8AC=30°,A8=1500米，

:.BF=EC=75G米.

AF=A8.cos/8AC=1500x2^=7506（米）.

2

設(shè)FC=x米，

/力BE=60°,

.,.OE=6X米.

又4c=45°,

：.AC=CD.

即：7506+尸750+@，

解得k750.

則CD=750（6+1）米.

故選C.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-俯角、仰角問題，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形，

并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

16.工地上有甲、乙二塊鐵板，鐵板甲形狀為等腰三角形，其頂角為45,腰長為12a”；鐵板乙形狀為直角

梯形，兩底邊長分別為4cm、10a”,且有一內(nèi)角為601現(xiàn)在我們把它們?nèi)我夥D(zhuǎn)，分別試圖從一個直徑為

8.5C772的圓洞中穿過，結(jié)果是（）

A.甲板能穿過，乙板不能穿過B.甲板不能穿過，乙板能穿過

C.甲、乙兩板都能穿過D.甲、乙兩板都不能穿過

【答案】A

【解析】把一邊水平放置，看最高頂點到對邊邊所在直線的距離是否小于圓洞的直徑即可.

【解答】過點B作于點D,

?.?等腰三角形，頂角為45。,AB=12cm,

A12x2^=672<8.5,

二甲能穿過圓洞.

在直角梯形48CD中，AD//BC,ZB=90°,過2點作BE,CD,垂足為E,

VZC=60°,8￡=8。嘀116()。=56>8.5,不能通過；

故選A.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出最高頂點到對邊所在直線的距離是解答本題的關(guān)鍵.

17.在△ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,則sinA的值是()

A.-B.-C.-D.-

4553

【答案】B

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可.

在4ABC中,NC=90。,

VAC=4,BC=3,

/.AB=J32+42=5.

AB5

故答案選：B.

【點評】本題考查的知識點是銳角三角形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握銳角三角形的定義.

18.“新中梁山隧道”于2017年11月21日開放通行，原中梁山隧道將封閉升級，擴(kuò)容改造工程預(yù)計2018

年3月全部完工,屆時將實現(xiàn)雙，向8車道通行，隧道通行能力將增加一倍，沿線交通擁堵狀況將有所緩解.圖

中線段AB表示該工程的部分隧道.無人勘測機(jī)從隧道側(cè)的A點出發(fā)時，測得C點正上方的E點的仰角為

45°,無人機(jī)飛行到E點后，沿著坡度i=l：3的路線EB飛行，飛行到D點正上方的F點時，測得A點的

俯角為12。，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，則隧道AD段的長度約為（）米,

（參考數(shù)據(jù)：tanl2°*0.2,cos12°~0.98）

C.300D.540

【答案】B

【解析】根據(jù)坡度的概念和俯角的概念解答即可.

【解答】解：由題意得，NEAC=45。，EC=100米,

.?.AC=EC=100米,

；BE的坡度為I：3,

.,.BC=3EC=3OO米,

AAB=300+100=400米,

設(shè)DF=x米,

；BE的坡度為I：3,

.?.BD=3DF=3x米,

VZDAF=12°,tanl2°=0.2,

；.AD=5DF=5x米,

則8x=400,

解得x=50,

.'AD=250米.

故選B.

【點評】本題考查的是解直角三角形、熟記銳角三角函數(shù)的定義、根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30日，在A點測得D點的仰角NEAD-45。,

在B點測得D點的仰角為/CBD=60。，測得甲、乙這兩座建筑物的高度分別為（）米.

A.1073,30B.30,3O5/3C.30G-3,30D.30V3-30,30x/3

【答案】D

【解析】在RSBCD中可求得CD的長，即求得乙的高度，延長AE交CD于F,則AF〃BC,求得/AFD

=90。，在RSADF中可求得DF,則可求得CF的長，即可求得甲的高度.

【解答】延長AE交CD于F,貝ljAF〃BC,

VAB1BC,DC±BC,

.,.AF±DC,

，NAFD=NAFC=/ABC=ZBCD=90°.

.??四邊形ABCF為矩形，

.?.AF=BC=30m,FC=AB.

,.,ZDAE=45°,

；./ADF=45。，

，DF=AF=30m,

在RtABCD中，DC=BC?tan/DBC=30>/J,

FC=DC-DF=30G-30,

答：甲建筑物的高AB為（306-30）m,乙建筑物的高DC為306m.

故選D.

【點評】本題主要考查角直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，利用特殊角求得相應(yīng)線段的長是解題的關(guān)

鍵.

20.如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan/BAC的值為（）

B-IC-f

【答案】B

【解析】連接BD,先利用勾股定理逆定理得4ABD是直角三角形，再根據(jù)正切函數(shù)的定義求解可得.

則BD2=12+F=2,AD2=22+22=8,AB2=l2+32=10,

ABD2+AD2=AB2,

.1△ABD是直角三角形，且/ADB=90。,

則tan/BAC=^=磊+

故選B.

【點評】本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形并掌握勾股定理逆定理、正切函數(shù)的

定義.

21.如圖，RSABC中，NCAB=90。,在斜邊CB上取點M,N（不包含C、B兩點），且tanB=tanC=tanNMAN=l,

設(shè)MN=x,BM=n,CN=m,則以下結(jié)論能成立的是（）

A.m=nB.x=m+nC.x>m+nD.x2=m2+n2

【答案】D

【解析】將△ABM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至AACN，，連接NN，；證明△AMN/△ANN，，則有MN=NN1

在RtANNC中，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論.

【解答】解：tanB=tanC=tanZMAN=1,

???NB=NC=NMAN=45。,

VZCAB=90°,

AAC=AB,

將4BAM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至AACN，，點B與點C重:合，點M落在N，處，連接NN\

則有AN，=AM,CNF=BM,Z1=Z3,

VZMCN=45°,

/.Zl+Z2=45°,

AZ2+Z3=45°,

:.ZNANr=ZMAN.

在△MAN與△NAN中，

AM=AN'

{/MAN=/NAN，,

AN=AN

.?.△MAN^ANCN'(SAS),

???MN=NN',

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，NACN，=NB=45。，

JZNCNf=ZACNZ+ZACB=90°,

.??NN'2=NC2+N'C2,

即x2=n2+m2,

故選D.

【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)、全等三角形、等腰直角三角形、勾股定理、三角函數(shù)等知識點.解題關(guān)鍵

是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.

22.如圖是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中點A,B,C均為格點，則sin/BAC為()

B

C

、亞「M

----RD.-7-5-V.-----Lnf.-V---i-o-

25510

【答案】D

【解析】直接利用網(wǎng)格結(jié)合正方形的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理得出答案.

【解答】如圖所示：連接BD,交ACT點E,

由正方形的性質(zhì)可得：BD1AC,

故BD=7^,AB=6，

也

則sin/BAC=_2_.

而正一記

故選D.

【點評】此題主要考查了解直角三角形，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

23.在RSA8C中，ZC=90°,sinB=—,則cosA的值為（）

5?12〃12-13

A.—B.—C.—D.—

1251312

【答案】C

【解析】△ABC中，/C=90。，則/A+NB=90。，根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解.

12

【解答】由RtAABC中，ZC=90°,sinB=—,得

12

cosA=sinB=--,

13

故選C.

【點評】本題考查在直角三角形中互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，互為余角的三角函數(shù)關(guān)系：一個角

的正弦等于它余角的余弦.

24.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡角為a,堤壩高BC為50米，則迎水坡面AB的長度是（）

C,丈米D.里米

A.5()-tana米B.50-sina米

tanasina

【答案】D

BC

【解析】根據(jù)解直角三角形的知識可知:—=sina,即可求出AB.

BA

【解答】???Qna,

?A*50

sina

故選D.

【點評】本題考查的是解三角形的應(yīng)用,熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

25.河堤的橫斷面如圖，堤高10米，迎水斜坡AB長26米，那么斜坡AB的坡度i是

【答案】1:2.4

【解析】解宜角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題,，坡度1=垂直距離+水平距離.

【解答】由勾股定理得,BC=J"?_AJ=24米,

則斜坡AB的坡度i=AC:BC=l:2.4,

故答案為1:2.4.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，關(guān)鍵是：坡度1=垂直距離+水平距離.

26.在RtAABC中，ZC=90°,a=2,b=3,則cosA=_.

【答案】3岳

13

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出AC的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出答案.

【解答】解：???NC=90°,a=2,b=3,

22

.*.AB=C=>/3+2=713

.ACb33如

??cosAA=-----=—==-------.

ABc13

B

27.如圖，DE為△ABC的中位線，點F為DE上一點，且/AFB=90。，若AB=8,BC=10,則EF的長為

【解析】首先根據(jù)三角形的中位線定理求得DE的長，然后利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可求得FD的

長，則EF即可求得.

【解答】解：：DE為AABC的中位線，

.,.DE=gBC=gxlO=5,

???/AFB為直角，D是AB的中點，即FD是直角△ABF的中線，

.,.FD=yAB=1x8=4,

/.EF=DE-FD=5-4=1,

故答案為：1.

【點評】本題考查了三角形的中位線定理以及直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線定理以及直角二角

形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決此題的關(guān)鍵.

28.如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔40&海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，

到達(dá)位于燈塔P的南偏東30。方向上的B處，則海輪行駛的路程AB為海里（結(jié)果保留根號）.

北

【答案】40+4073.

【解答】解：在RsAPC中,VAP=40及，ZAPC=45°,/.AC=PC=40.

在RSBPC中，：ZPBC=30°,二BC=PCcot30°=40x=40百,

...AB=AC+BC=40+40百(海里).

故答案為40+406

【點評】本題考查了方位角、宜角三角形、銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識.解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化

為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線.

29.在207國道襄陽段改造工程中，需沿AC方向開山修路(如圖所示)，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的

另一邊同時施工.從AC上的一點8取448￡>=140,BD=lOOOm,ZD=50.為了使開挖點E在直線AC

上，那么￡>E=m.(供選用的三角函數(shù)值：sin500=0.766().cos50=0.6428,tan50=1.192)

【答案】642.8

【解答】vZABD=140%

..."8E=180,-1400=40',

?.-ND=50',

ZE=1800-ZDBE-AD=180-40-50=90,

3造

BD

DE

即=0.6428,

1000

解得：QE=642.8，〃.

故答案為：642.8

30.公園里有一塊形如四邊形的草地，測得BC=CD=10米，NB=NC=120。，ZA=45°.則這塊

草地的面積為

【答案】(150+256)加

【解析】根據(jù)BC=CD,ZC=120°,那么等腰^BCD的兩個底角相等為30°,連接BD,根據(jù)/8=120。則4BAD

為直角三角形，那么把四邊形進(jìn)行分割計算即可.

D

解：連接BD,過C作CE_LBD于E,

VBC=DC=10,ZABC=ZBCD=I2O°,

AZ1=Z2=3O°,AZABD=90°.

CE=5,

...BE=5G,

,/ZA=45°,

.?.AB=BD=2BE=106,

丁?SpqiilriABCD=SAABD+SABCD

=-AB?BD+-BD?CE

22

=；xl（）若xlO6+；xlO百x5

=150+25^（米2）

故答案為：（150+25白）米2

【點評】考查解直角三角形在實際生活中的應(yīng)用；把四邊形問題整理為三角形問題是解決本題的突破點,

作等腰三角形底邊上的高，是常用的輔助性方法.

3

31.在mAABC中，ZA=90,BC=10,cosB=-,AC=.

【答案】8

【解析】根據(jù)析A=90。,BC=10,cosB二1,根據(jù)三角函數(shù)可得AC的長.

【解答】解：

工

4C

n3nAB

?.?在RsABC中，ZA=90°,BC=10,cosB——，cosB—，

5BC

ABC=6.

AC=^BC2-AB2=>/102-62

=8.

故答案為8.

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確銳角三角函數(shù)指的是哪兩條邊的比值.

32.計算石tan30「tan45"=.

【答案】1

【解答】解：原式=故答案為1.

33.在高200米的山頂上測得正東方向兩船的俯角分別為15和75，則兩船間的距離是（精確到1米,

tan15c=2-V3）

【答案】40（）6

【解析】在直角△ABC中，根據(jù)AB、NACB可以求得BC的長度，在直角4ADB中，根據(jù)AB、ZBAD

可以求得BD的長度，根據(jù)CD=CB-BD可以求得CD的長度，即可解題.

【解答】如圖：

根據(jù)題意得：ZC=ZEAC=15°,ZADB=ZEAD=75°,

AZDAB=15°,

*q,BD

在ABD中，tanNDAB=,

AB

Vtan15°=2-73,

/.BD=AB*tanl50=400-2006，

AB

在R（AABC中，tanNACB=tanl50=—7,

BC

200「

/.BC=—~蘇=400+200V3,

.?.CD=BC-BD=4006,

二兩船間的距離是4006

故答案為400g.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-俯角和仰角問題，本題中計算BC、BD的值是解題的關(guān)鍵.

34.小智同學(xué)在距大雁塔塔底水平距離為138米處，看塔頂?shù)难鼋菫?4.8。（不考慮身高因素），則大雁塔市

約為米.（結(jié)果精確到01米）

【答案】63.5

【解析】先作出圖形，則AB=138米，NA=24.8。，最后，在RtA

ABC中，利用三角函數(shù)的定義可求得BC的長.

【解答】解：如圖，

在RtAABC中，

AB=138米，/A=24.8。，

BC

"：—=tan24.8°,

AB

：.BC=ABtan24.8°~138x0.46~63.5（米）.

故答案為:63.5.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.

3

35.如圖，D是△ABC的邊AC上一點，CD=2,AD,AE_LBC于點E,若BD=8,sinZCBD=-,貝ljAE的

長為.

【解析】過點D作DH_LBC,垂足為H.根據(jù)三角函數(shù)求出DH的長度，再證明△CDHsaCAE,運用相

似三角形的性質(zhì)求AE的長.

【解答】解：過點D作DHLBC,垂足為H,

3

DH=BD-sinZCBD=8x-=6.

4

VDH1BC,AE±BC,

???DH〃AE,△CDH^ACAE.

.DHCD_2AD_2

GA-3AD~3f

33

???AE=-DH=-x6=9.

22

【點評】本題綜合考查了相似三角形、解直角三角形等知識點，作輔助線是關(guān)鍵.難度較大.

36.如圖，在四邊形ABCD中，AB=J兩，AD=7,BC=8,tanZB=1,ZC=ZD,則線段CD的長為

【解析】作AH1BC于H,在CB上截取CE,使得CE=AD,連接AE,作DM_LAE于M,CN_LAE于N.構(gòu)

造等腰梯形，把等腰梯形分成兩個全等三角形一個矩形解決問題即可.

【解答】解：如圖，作AH±BC于H,在CB上截取CE,使得CE=AD,連接AE,作DMLAE于M,CN±AE

于N,

.,?四邊形ADCE是等腰梯形，則AADM經(jīng)△ECN,可得AM=EN,四邊形MNCD是矩形，可得CD=MN,

在RtaABH中，VtanB=|,AB=回，

/.AH=5,BH=2,

VBC=8,EC=AD=7,

，BE=8-7=1,

???EH=BH-BE=I,

在Rt/kAEH中，AE=y/AH2+EH2=726,

VAECN^AEAH,

.ENEC

??=,

EHAE

AEN=7V26,

26

?ANAT7M7J26

..AM=EN=——,

26

.?.CD=MN=AE-AM-EN=^^,

13

故答案為5區(qū)

13

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中

考填空題中的壓軸題.

12

37.△ABC中，AB=AC,sinA=—,則tanB=____.

13

【答案】43

2

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，由等腰三角形的性質(zhì)求出BD的長，根據(jù)勾股定理求出AD的長，再根據(jù)銳角

三角函數(shù)的定義即可求出tanB的值.

12

【解答】解：如圖，△ABC中，AB=AC,sinA=—，過A作AD_LBC于D,過B作BE_LAC于E,

設(shè)BE=13a,則AB=12a,

在RSABE中，AB=13a,BE=12a,貝UAE=5a,CE=AC=AE=AB-AE=8a,

在RtZkBCE中，BE=12a,CE=8a,貝ijBC=4而a,BD=2如a,

在Rt^ABD中，=3舊a,

AD37rL_3

故3Bn=^=

24i3a~2

故答案為q.

【點評】此題考查了解直角三角形，熟記相關(guān)概念以及熟練運用勾股定理是解此題的關(guān)鍵.

38.如圖，NAOB=45。，點M,N在邊OA上，0M=3,0N=7,點P是篁繾OB上的點，要使點P,M,N

構(gòu)成等腰三角形的點P有個.

【答案】3

【解析】先求出點M、N到在OB的距離，再根據(jù)等腰三角形的判定逐個畫出即可.

【解答】解：

過M作MMz10B于M，，過N作NN'IOB于N\

VOM=3,ON=7,ZAOB=45°,

；.MN=4,MM,=OMxsin45°=->/2<4,NN'=ONxsin450=50>4,MH=M,N,=4xsin45o=272<4,

所以只有一小兩種情況：①以M為圓心，以4為半徑畫弧，交直線0B于P、P2,此時△NPiM和△NMP2

都是等腰三角形；

②作線段MN的垂直平分線，交直線PB于冷，此時△MNP3是等腰三角形，

即有3個點P符合，

故答案為：3.

【點評】本題考查餓等腰三角形的判定，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵.

39.如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B,C在同一水平上），某工程師乘坐熱氣球

從B地出發(fā)，垂直上升100m到達(dá)A處，在A處觀測C地的俯角為30。，則B、C兩地之間的距離為

m.

30°

B*--------------------------------------C

【答案】1006

【解析】利用題意得到NC=30。，AB=100,然后根據(jù)30。的正切可計算出BC.

【解答】根據(jù)題意得NC=30。，AB=100,

?.?9絲

BC

100100挈=iooGr

，BC=-----^=-----100y/3(m).

tan30°tan30°—

3

故答案為ioo6.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看

的視線與水平線的夾角.解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角當(dāng)圖形中沒

有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形.

40.如圖,△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=8,現(xiàn)將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30。至△DEB,DE交

AB于點F,則線段EF的長為.

【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性得至l」NEBC=NEBF=NFBD=/D=30°,設(shè)EF=x,則FB=FD=2x,ED=3x,在RtADEB

中，利用ND的余弦值中的邊角關(guān)系列出有關(guān)x的方程求解x的值即可.

【解答】丁NA=30。,現(xiàn)將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30。至4DEB,

/.ZEBC=ZEBF=ZFBD=ZD=30°,

/.FB=FD

VZC=90°,

.?.設(shè)EF=x,貝l]FB=FD=2x,

，ED=3x,

V在RtADEB中，

cosZD=—=—=

0682

解得:、啰

故答案為：生叵

3

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角：角形的知識點相結(jié)合，學(xué)生需要利用旋轉(zhuǎn)不變性得到角度，并

找對已知邊和恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)是解題關(guān)鍵.

A

41.在RtAABC中，ZC=90°,AB=2,BC=6，則sin§=.

【答案】|

【解析】根據(jù)NA的正弦求出NA=60。，再根據(jù)30。的正弦值求解即可.

【解答】解：sin4=,

AB2

：.乙4=60°,

:.sin—=sin30=—.

22

故答案為g.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30。、45。、60。角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

42.如圖，△ABC是等邊三角形，點D是BC邊上任意一點，DEJ_AB于點E,DF_LAC于點F.若BC=2,

貝ljDE+DF=.

【答案】百

【解析】設(shè)BD=x,則CD=2-x.根據(jù)△ABC是等邊三角形，可知NB=NC=60°.再由三角函數(shù)得，ED=3x,

2

同理，DF=28-瓜.因此可求得DE+DF=@x+2E瓜二日

222

三、解答題

43.人要使用斜靠在墻面上的梯子安全地攀到梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足

50<a<75°.現(xiàn)有一個6m的梯子.問：

B

A型-------lr

（1）使用這個梯子最高可以安全攀到多高的墻？（精確到0.1m）

（2）當(dāng)梯子的底端距離墻面2.4m時，此時人是否能夠安全地使用這個梯子？

（sin50°?0.77,cos50?0.64,tan50?1.19,sin750?0.97,cos75?0.26,tan75?3.73）

【答案】（D5.82米；（2）此時人能夠安全地使用這個梯子.

【解析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sina=^g,進(jìn)而求出BC的長；

（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出a的余弦值，進(jìn)而得出a的取值范圍即可得出答案.

【解答】解：（1）當(dāng)a=75。，則sina=/=杵，

AB6

故BC=6x0.97=5.82（m）,

故使用這個梯子最高可以安全攀到5.82m的墻；

（2）當(dāng)梯子的底端距離墻面2.4m時,

2.4八，

cosa=——=0.4,

6

cos50=0.64,cos75。0.26，

J50。va<75。，

???此時人能夠安全地使用這個梯子.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是三角函數(shù)的建模能力.

44.計算：A/i8-（-3）<,-6cos45°+（^）-'

【答案】1

【解析】根據(jù)算術(shù)平方根、零指數(shù)塞、負(fù)整數(shù)指數(shù)累和cos450=也得到原式=30-1-6x^+2,然后進(jìn)

22

行乘法運算后合并即可.

詳解：原式=3忘-l-6x也+2,

2

=372-1-372+2

=1.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算：先進(jìn)行乘方或開方運算，再進(jìn)行乘除運算，然后進(jìn)行實數(shù)的加減運算.也

考查了零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕以及特殊角的三角函數(shù)值.

45.計?算：我+(；)-2-gtan30。.

【答案】10

【解析】原式第一項開立方，第二項利用負(fù)整數(shù)指數(shù)幕法則計算，第三項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，

即可得到結(jié)果.

試題解析：原式=2+9-1

=10.

46.計算：2-2卜2cos45。+(-1)2+通

【答案】3

【解析】0句.414,小于2,去抻絕對值后，變?yōu)?-夜，cos45°=］，(-I)、］，&=2&

【解答】解：原式=2-&-2x也+1+2加

2

=2-V2-V2+l+2>/2

=3

【點評】本題考查了含有絕對值、三角函數(shù)、基、及二次根式的綜合計算.難度不大，需要牢記運算規(guī)則

和三角函數(shù)值.

47.在RQABC中，ZC=90°.

(1)已知4=4,6=8,求c；

(2)已知6=10,ZB=60°,求a,c；

(3)已知c=20,ZA—60°,求n,b.

【答案】(l)c=4后；(2)a=吆8,c=3^5；(3)a=10jJ,^=10.

33

【解析】(1)由已知條件根據(jù)勾股定理即可求得c的長；

(2)由已知條件結(jié)合直角三角形中邊、角間的關(guān)系即可求得a和c的長：

(3)由已知條件結(jié)合直角三角形中邊、角間的關(guān)系即可求得a和b的長.

【解答】詳解：

(1):在RlAABC中，ZC=90°,a=4,。=8,

c=yla2+kr=4石；

(2)*.?在RSABC中,ZC=90°,b=10,ZB=60°,

.b101010A/3

??d------=--------——產(chǎn)==-----，

tanBtan60J3

b106206

c=---------=------=10+——=-----:

sinBsin60023

(3)???在RSABC中，ZC=90°,c=20,ZA=60°,

20x2=106,

=c-sinA=20xsin60=

2

b=c-cosA=20xcos60"=20x—=10.

2

【點評】熟記：“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義，理解直角三角形中邊、角間的關(guān)系”是正確解答本

題的關(guān)鍵.

48.計算：卜—55/^—（5—+4cos45.

【答案】0

【解析】先將各項分別化簡，然后合并.

【解答】解：原式=卜1卜1場-（5F）°+4COS45

=1——x2x^-l+4x—

22

=72

49.如圖，在筆直的海岸線1上有兩個觀測點A和B,點A在點B的正西方向，AB=2km.若從點A測得

船C在北偏東60。的方向，從點B測得船C在北偏東45。的方向，則船C離海岸線1的距離為km.（結(jié)

【答案】1+V3

【解答】解：如圖所示，過點C作CDLAB,交AB延長線于點D,

設(shè)CD=x,

ZCBD=ZBCD=45°,

，BD=CD=x,

又：AB=2,

/.AD=AB+BD=2+x,

在Rt?ACD'IT,,??ZCAD=30°,

:.AD=CD=y/3CD=瓜

tan30

，2+x=&x

CD=X=1+6

故答案為：1+百

50.如圖，一扇窗戶垂直打開，即OM_LOP,AC是長度不變的滑動支架，其中一端固定在窗戶的點A處,

另一端在OP上滑動，將窗戶OM按圖示方向內(nèi)旋轉(zhuǎn)35。到達(dá)ON位置，此時點A,C的對應(yīng)位置分別是點

B,D,測量出NODB=25。，點D到點O的距離為30cm,求滑動支架BD的長.

(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù):sin25°^0.42,cos250~0.91,tan25°~0.47,sin55°~0.82,cos55°^0.57,tan55°~1.43)

【答案】滑動支架BD的長大約為25cm

【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得BE的長，然后根據(jù)sin/BDE的值即可求得BD的長，本題得以解決.

【解答】解:在RSBOE中,ZBOE=55°,

BE

tan55°=----

OE

BE

AOE=

tan55°

在RtABDE中,ZBDE=25°,

BE

tan25°=——

DE

tan25°

.??DO=30,

BEBE

DO=DE+OE=+-------T=30,

tan25°tan55°

解得,BEE0.6,

在RtABDE中，/BDE=25°,

疝25。=些

BD

BF

???BD=---------25,

sin25°

答：滑動支架BD的長大約為25cm.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思

想解答.

51.如圖，小俊在A處利用高為1.5米的測角儀AB測得樓EF頂部E的仰角為30。，然后前進(jìn)12米到達(dá)C

處，又測得樓頂E的仰角為60。，求樓EF的高度.（結(jié)果保留根號）

E

G6Q°\D30°^\5

【答案】11.9.

【解答】試題分析：由已知得到NDEB=/DBE,從而ED=DB=12,在RlAEG