安徽省池州市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理含解析

PAGE24-安徽省池州市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理（含解析）滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘留意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清晰，將條形碼精確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆填涂；非選擇題必需運(yùn)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰.3.請(qǐng)依據(jù)題號(hào)依次在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4.保持答題卡卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)運(yùn)用涂改液、修正帶、刮紙刀.5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)集合和集合所表示的意義，依據(jù)集合的交集運(yùn)算，得到答案.【詳解】因?yàn)榧霞媳硎緷M意的點(diǎn)的集合，即直線的圖像，集合表示滿意的點(diǎn)的集合，即直線的圖像，所以表示兩條直線的交點(diǎn)，解，得所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的描述法，集合交集的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限為（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得到，再得到在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限.【詳解】，則，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在其次象限故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)潔題.3.如圖所示，中，，半圓O的直徑在邊BC上，且與邊AB，AC都相切，若在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分（半圓O內(nèi)）的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件得到半圓的半徑，然后計(jì)算出的面積和半圓的面積，依據(jù)幾何概型的公式，得到答案.【詳解】如圖所示，，，，所以的面積，半圓O的面積，依據(jù)幾何概型公式得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求幾何概型-面積型的概率，屬于簡(jiǎn)潔題4.將函數(shù)的圖象向左平移后得到曲線，再將上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍得到曲線，若的解析式為，則的解析式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將橫坐標(biāo)壓縮到原來的一半得到，再向右平移得到函數(shù)【詳解】先將圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的一半得到曲線，再將曲線上全部的點(diǎn)向右平移得到函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)三角函數(shù)的圖像變換求變換前的解析式，屬于簡(jiǎn)潔題.5.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)解析式，得到，解出的取值范圍，得到定義域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有意義，所以，解得所以解集為所以定義域?yàn)?，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求詳細(xì)函數(shù)定義域，屬于簡(jiǎn)潔題.6.已知雙曲線的兩條漸近線均與圓相切，則雙曲線C的離心率為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先得到雙曲線的漸近線，然后依據(jù)漸近線與圓相切，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑，得到和的關(guān)系，求出離心率，得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線為因?yàn)閮蓷l漸近線均與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離等于半徑即，又因?yàn)檎淼玫剑孰p曲線C的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線漸近線，依據(jù)直線與圓相切求參數(shù)關(guān)系，求雙曲線的離心率，屬于簡(jiǎn)潔題.7.已知實(shí)數(shù)x，y滿意不等式，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)約束條件畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與連線的斜率，從而求出其最大值.【詳解】依據(jù)約束條件畫出可行域，圖中陰影部分為可行域，目標(biāo)函數(shù)，表示可行域中點(diǎn)與連線的斜率，由圖可知點(diǎn)與連線的斜率最大，故的最大值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求分式型目標(biāo)函數(shù)的最大值，屬于中檔題.8.如圖所示，矩形ABCD的邊AB靠在墻PQ上，另外三邊是由籬笆圍成的.若該矩形的面積為4，則圍成矩形ABCD所須要籬笆的（）A.最小長(zhǎng)度為8 B.最小長(zhǎng)度為 C.最大長(zhǎng)度為8 D.最大長(zhǎng)度為【答案】B【解析】【分析】設(shè)，得到，所求的籬笆長(zhǎng)度為，依據(jù)基本不等式，得到最小值.【詳解】設(shè)，因?yàn)榫匦蔚拿娣e為，所以，所以圍成矩形所須要的籬笆長(zhǎng)度為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值，屬于簡(jiǎn)潔題.9.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件和二倍角公式，先計(jì)算出的值，再將所要求的，依據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的給值求值，二倍角公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，屬于中檔題.10.若,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：三個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的比值都是，因此三者可化為的形式，該函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，從而得到三個(gè)對(duì)數(shù)的大小關(guān)系.詳解：，，，令，則在上是單調(diào)增函數(shù).又，所以即.故選D.點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)的大小比較，要視察不同對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的關(guān)系，還要關(guān)注對(duì)數(shù)本身的底數(shù)與真數(shù)的關(guān)系，從而找到合適的函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性比較對(duì)數(shù)值的大小.11.已知三棱錐中，為中點(diǎn)，平面，，，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.若為的外心，則B.若為等邊三角形，則C.當(dāng)時(shí)，與平面所成角的范圍為D.當(dāng)時(shí)，為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則在三角形內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】B【解析】【分析】利用射影相等可知，利用反證法可知不成立，構(gòu)造線面角，可得其正弦值的范圍為，故可推斷線面角的范圍，利用線面平行的性質(zhì)可知軌跡為中與邊平行的中位線.【詳解】若為的外心，則，由射線相等即可知，故A正確；假設(shè)，則再依據(jù)，得平面，則，與為等邊三角形沖突，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，過作，連結(jié)，易知為與平面所成角，，故的范圍為，故C正確；取，分別為，的中點(diǎn)，則平面平面，則線段為在三角形內(nèi)的軌跡，其長(zhǎng)度為，故D正確【點(diǎn)睛】本題為立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假推斷，處理這類問題，可以用已知的定理或性質(zhì)來證明，也可以用反證法來說明命題的不成立.此類問題通常是中檔題.12.已知雙曲線的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線與兩條漸近線分別交于A，B，且，則直線AB的斜率為（）A.或 B.或 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的離心率求出漸近線方程，依據(jù)，得到為中點(diǎn)，得到與的坐標(biāo)關(guān)系，代入到漸近線方程中，求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到的斜率，得到答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，又，所以，所以雙曲線漸近線為當(dāng)點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在直線上時(shí)，設(shè)，由及B是AF中點(diǎn)可知，分別代入直線方程，得，解得，所以，所以直線AB的斜率，由雙曲線的對(duì)稱性得，也成立.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線漸近線方程，坐標(biāo)轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.等腰直角三角形ABC中，，則有________.【答案】-2.【解析】【分析】先求出，再依據(jù)向量數(shù)量積公式，求出的值，得到答案.【詳解】等腰直角三角形ABC中，，所以所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)算向量的數(shù)量積，屬于簡(jiǎn)潔題.14.的值為________.【答案】.【解析】【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得到答案.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，特別角三角函數(shù)值，屬于簡(jiǎn)潔題.15.數(shù)列的最大項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)為________.【答案】11.【解析】【分析】，時(shí)，，得到關(guān)于的不等式組，解得的范圍，結(jié)合，得到的值，再與時(shí)進(jìn)行比較，得到答案.詳解】令，當(dāng)時(shí)，設(shè)為最大項(xiàng)，則即解得.而，所以又時(shí)，有，所以數(shù)列的最大項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列中的最大項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)潔題.16.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，則球O的表面積為________.【答案】【解析】【分析】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，依據(jù)棱長(zhǎng)求出外接球的半徑，然后求出外接球的表面積，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，邊長(zhǎng)分別為，，，則，所以，所以，則球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求三棱錐外接球的表面積，屬于中檔題.三、解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列公比，依據(jù)，得到關(guān)于的方程，解出，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）寫出的通項(xiàng)，依據(jù)等差數(shù)列的求和公式，得到答案.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)解得（負(fù)值舍去），所以；（2）由已知得，，所以為等差數(shù)列，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)潔題.18.如圖所示，在中，的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.（1）求b和；（2）如圖，設(shè)D為AC邊上一點(diǎn)，，求的面積.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）通過正弦定理邊化角，整理化簡(jiǎn)得到的值，再利用余弦定理，求出，依據(jù)正弦定理，求出；（2）依據(jù)正弦定理得到，即，依據(jù)勾股定理得到，依據(jù)三角形面積公式，求出的面積.【詳解】（1）因?yàn)?，所以在中，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，由余弦定理得，，所以，在中，由正弦定理，所以；?）在中，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，而所以，由，設(shè)，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)潔題.19.如圖，三棱錐D-ABC中，，E，F(xiàn)分別為DB，AB的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面ABC；（2）求二面角D-CE-F的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，可得，，從而得到平面，得到，由，，得到，從而得到平面，所以平面平面；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用余弦定理和勾股定理，得到，，得到的法向量，平面的法向量，依據(jù)向量夾角的余弦公式，得到二面角的余弦值【詳解】（1）如圖取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以平面，平面所?因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，則.又因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫鍰AB，所以平面平面.（2）因?yàn)槠矫?，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，為軸，AD為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋谥?，，所?在中，，所以點(diǎn)，，.設(shè)平面的法向量為.所以，即，可取.設(shè)平面的法向量為.所以，即，可取，則因?yàn)槎娼菫殁g二面角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定，面面垂直的判定，利用空間向量求二面角的夾角余弦值，屬于中檔題.20.高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成果頻率分布直方圖如圖所示，成果分組區(qū)間為：.其中a，b，c成等差數(shù)列且.物理成果統(tǒng)計(jì)如表.（說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分）分組頻數(shù)6920105（1）依據(jù)頻率分布直方圖，請(qǐng)估計(jì)數(shù)學(xué)成果的平均分；（2）依據(jù)物理成果統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)估計(jì)物理成果的中位數(shù)；（3）若數(shù)學(xué)成果不低于140分的為“優(yōu)”，物理成果不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人，從今6人中隨機(jī)抽取3人，記X為抽到兩個(gè)“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和期望值.【答案】（1）（分）；（2）75分；（3）見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率之和等于，a，b，c成等差數(shù)列，，解出的值，利用頻率分布直方圖，求出平均分；（2）依據(jù)物理成果統(tǒng)計(jì)表，得到中位數(shù)所在的成果區(qū)間，得到答案；（3）依據(jù)數(shù)學(xué)成果“優(yōu)”和物理成果“優(yōu)”，得到兩科均為“優(yōu)”的人數(shù)，計(jì)算出每種狀況的概率，寫出分布列，得到期望值.【詳解】（1）依據(jù)頻率分布直方圖得，又因，解得，故數(shù)學(xué)成果的平均分（分），（2）總?cè)藬?shù)50分，由物理成果統(tǒng)計(jì)表知，中位數(shù)在成果區(qū)間，所以物理成果的中位數(shù)為75分.（3）數(shù)學(xué)成果為“優(yōu)”的同學(xué)有4人，物理成果為“優(yōu)”有5人，因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)“優(yōu)”的同學(xué)總數(shù)為6名同學(xué)，故兩科均為“優(yōu)”的人數(shù)為3人，故X的取值為0、1、2、3..所以分布列為：X0123P期望值：.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的特點(diǎn)，依據(jù)頻率分布直方圖求平均值，依據(jù)統(tǒng)計(jì)表求中位數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于簡(jiǎn)潔題.21.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）求證：在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，代入得到切線斜率，利用切點(diǎn)，點(diǎn)斜式寫出切線方程，得到答案；（2）依據(jù)解析式，得到為偶函數(shù)，且，對(duì)求導(dǎo)，得到，推斷出的正負(fù)，得到的單調(diào)性，結(jié)合，由零點(diǎn)存在定理得到在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，從而得到在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1），又，所以切點(diǎn)為.故在處的切線方程為；（2）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且，則只需證明在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)即可.，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在定理，可知存在使得，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因此在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)圖像上在一點(diǎn)的切線，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，零點(diǎn)存在定理，屬于中檔題.22.已知圓，圓，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2，證明：直線l過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，得到，，從而得到，得到，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l斜率存在時(shí)，設(shè)，代入橢圓方程，得到，，表示出直線QA與直線QB的斜率，依據(jù)，得到，的關(guān)系，得