2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)雙曲線

2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)

雙曲線

1.雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程(1)定義在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)

F

1，

F

2的距離的差的①

等于常數(shù)(小于｜

F

1

F

2｜且大

于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.定點(diǎn)

F

1，

F

2叫做雙曲線的②

?，兩焦點(diǎn)間的距

離叫做③

?.集合語言：

P

＝{

M

｜｜｜

MF

1｜－｜

MF

2｜｜＝2

a

，2

a

＜｜

F

1

F

2｜}，｜

F

1

F

2｜＝2

c

，其中

a

，

c

為常數(shù)且

a

＞0，

c

＞0.a.當(dāng)2

a

＝2

c

時(shí)，

P

點(diǎn)的軌跡是④

?；b.當(dāng)2

a

＞2

c

時(shí)，

P

點(diǎn)軌跡不存在.絕對值

焦點(diǎn)

焦距

兩條射線

一、知識點(diǎn)講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)(2)標(biāo)準(zhǔn)方程a.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

x

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑤

(

a

＞0，

b

＞0)；b.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

y

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑥

(

a

＞0，

b

＞0).

規(guī)律總結(jié)焦點(diǎn)位置的判斷在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，看

x

2項(xiàng)與

y

2項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)，若

x

2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)

在

x

軸上；若

y

2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在

y

軸上，即“焦點(diǎn)位置看正負(fù)，焦點(diǎn)隨著

正的跑”.

思維拓展雙曲線的第二定義、第三定義

雙曲線的第三定義：{

P

｜

kPA

·

kPB

＝

e

2－1，

e

＞1，其中

kPA

，

kPB

分別表示點(diǎn)

P

與

兩定點(diǎn)

A

，

B

連線的斜率，

e

為離心率}(注意，此時(shí)確定的雙曲線不包含兩個(gè)頂點(diǎn)，

且焦點(diǎn)在

x

軸上).2.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)范圍｜x｜≥a，y∈R｜y｜≥a，x∈R對稱性對稱軸：⑦

；對稱中心：⑧

?焦點(diǎn)F1⑨

，F(xiàn)2⑩

??F1?

，F(xiàn)2?

?頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長為

?

，虛軸長為?

；實(shí)半軸長為a，虛半軸長為bx軸，y軸

原點(diǎn)

(－c，0)

(c，0)

(0，－c)

(0，c)

2a

2b

標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)焦距｜F1F2｜＝?

?離心率漸近線直線?

?直線?

?a，b，c的關(guān)系a2＝?

?2c

(1，＋∞)

c2－b2

(2)特殊雙曲線等軸雙曲線共軛雙曲線定

義實(shí)軸長與虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙

曲線.如果一雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是

另一雙曲線的虛軸和實(shí)軸，那么這

兩個(gè)雙曲線互為共軛雙曲線.性

質(zhì)(1)它們有共同的漸近線；(2)它們

的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；(3)它們的離心

率的倒數(shù)的平方和等于1.常用結(jié)論1.雙曲線的焦點(diǎn)三角形與焦半徑

(2)△

PF

1

F

2內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)的絕對值為定值

a

.(3)當(dāng)點(diǎn)

P

(

x

0，

y

0)在雙曲線右支上時(shí)，｜

PF

1｜＝

ex

0＋

a

，｜

PF

2｜＝

ex

0－

a

；當(dāng)

點(diǎn)

P

(

x

0，

y

0)在雙曲線左支上時(shí)，｜

PF

1｜＝－

ex

0－

a

，｜

PF

2｜＝－

ex

0＋

a

.(4)當(dāng)點(diǎn)

P

在雙曲線右支上時(shí)，｜

PF

1｜min＝

a

＋

c

，｜

PF

2｜min＝

c

－

a

.2.雙曲線中兩個(gè)常見的直角三角形

1.下列說法正確的是(

D

)A.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線D二、基礎(chǔ)題練習(xí)2.[浙江高考]漸近線方程為

x

±

y

＝0的雙曲線的離心率是(

C

)B.1D.2

C

4.已知等軸雙曲線過點(diǎn)(5，3)，則該雙曲線方程為

?.

11

命題點(diǎn)1

雙曲線的定義及應(yīng)用

A.1B.2C.4D.8A三、知識點(diǎn)例題講解及方法技巧總結(jié)

(2)已知圓

C

1：(

x

＋3)2＋

y

2＝1，

C

2：(

x

－3)2＋

y

2＝9，動圓

M

同時(shí)與圓

C1和圓

C

2相外切，則動圓圓心

M

的軌跡為(

C

)A.雙曲線B.橢圓C.雙曲線左支D.雙曲線右支[解析]設(shè)動圓

M

的半徑為

r

，由動圓

M

同時(shí)與圓

C

1和圓

C

2相外切，得｜MC

1｜＝

1＋

r

，｜MC

2｜＝3＋

r

，｜MC

2｜－｜MC

1｜＝2＜6，所以動圓圓心

M

的軌跡是以點(diǎn)

C

1

(－3，0)和

C

2(3，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支.C方法技巧1.雙曲線定義的主要應(yīng)用(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的動點(diǎn)軌跡是否為雙曲線；(2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離或范圍問題.2.解決焦點(diǎn)三角形問題常利用雙曲線的定義以及余弦定理.

A.1D

(2)已知

F1，

F2分別為雙曲線

C

：

x2－

y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

P

在

C

上，∠

F

1

PF

2＝60°，則△

F1

PF2的面積為

?.

命題點(diǎn)2

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2

(1)已知定點(diǎn)

F

1(－2，0)，

F

2(2，0)，

N

是圓

O

：

x

2＋

y

2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)

F

1

關(guān)于點(diǎn)

N

的對稱點(diǎn)為

M

，線段

F

1

M

的垂直平分線與直線

F

2

M

相交于點(diǎn)

P

，則點(diǎn)

P

的軌跡方程是(

B

)B

D

D

－3

角度2

離心率例4

(1)[2021全國卷甲]已知

F

1，

F

2是雙曲線

C

的兩個(gè)焦點(diǎn)，

P

為

C

上一點(diǎn)，且∠

F

1

PF

2＝60°，｜

PF

1｜＝3｜

PF

2｜，則

C

的離心率為(

A

)

A

A.(1，2)B

方法技巧1.求雙曲線的離心率的方法

(3)構(gòu)造關(guān)于

a

，

b

，

c

的齊次式求離心率：由已知條件得出關(guān)于

a

，

b

，

c

的齊次

式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于

e

的方程求解.2.求雙曲線離心率的取值范圍的方法(1)借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系求解，如焦半徑｜

PF

1｜∈[

c

－

a

，＋∞)或｜

PF

1｜∈[

a

＋

c

，＋∞)、三角形中兩邊之和大于第三邊等；(2)考慮平面幾何圖形的臨界位置，建立關(guān)于

a

，

c

的不等關(guān)系求解.角度3

與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問題

A.4B.8C.16D.32

B

A[解析]不妨設(shè)點(diǎn)

F

為雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)

B

在

y

軸正半軸上，則

F

(－

c

，0)，

B

(0，

b

)，直線

BF

的方程為

bx

－

cy

＝－

bc

.如圖所示，以

O

為圓心，

A

1

A

2為直徑作

圓

O

，則

P

1，

P

2在圓

O

上.

方法技巧求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問題的方法1.幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來

求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求解.2.代數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)或不等式，利用函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解.

C.2x±3y＝0D.3x±2y＝0A

A.5B.6C.7D.8C

B四、命題點(diǎn)習(xí)題講解

C.2D.3D

當(dāng)且僅當(dāng)

A

，

P

，

F

2三點(diǎn)共線，即點(diǎn)

P

位于P'位置時(shí)，等號成立，

故選D.

D五、習(xí)題實(shí)戰(zhàn)演練2.半徑不等的兩定圓

O

1，

O

2無公共點(diǎn)(

O

1，

O

2是兩個(gè)不同的點(diǎn))，動圓

O

與圓

O1，

O

2都內(nèi)切，則圓心

O

的軌跡是(

D

)A.雙曲線的一支B.橢圓或圓C.雙曲線的一支或橢圓或圓D.雙曲線的一支或橢圓D[解析]兩定圓

O

1，

O

2無公共點(diǎn)，則它們的位置關(guān)系是外離或內(nèi)含.設(shè)兩定圓

O

1，

O

2的半徑分別為

r

1，

r

2(

r

1＞

r

2)，圓

O

的半徑為

R

.

又圓

O

與圓

O

1，

O

2都內(nèi)切，則

當(dāng)兩圓

O

1，

O

2外離時(shí)，｜OO

1｜＝

R

－

r

1，｜OO

2｜＝

R

－

r

2，∴｜OO

2｜－｜OO

1｜＝

r

1－

r

2＜｜

O

1

O

2｜，此時(shí)圓心

O

的軌跡是雙曲線的一支；當(dāng)兩圓

O

1，

O

2內(nèi)含時(shí)，｜

OO

1｜＝

r

1－

R

，｜

OO

2｜＝

R

－

r

2，∴｜

OO

2｜＋｜

OO

1｜＝

r

1－

r

2＞｜

O

1

O

2｜，此時(shí)圓心

O

的軌跡是橢圓.故選D.

A

B

A.8B.12C.16D.24C

B.2D

B.3D.2B

C

C.