船舶靜力學(xué)(新版教材)

PartI數(shù)學(xué)和力學(xué)基礎(chǔ)部分流體靜力學(xué)船舶與海洋工程靜力學(xué)研究的是船舶、海洋平臺(tái)及其他海洋浮式結(jié)構(gòu)在靜水中的浮性、穩(wěn)性和抗沉性等流體靜力學(xué)特性。若不考慮結(jié)構(gòu)的變形，無論是船舶或海洋平臺(tái)，都可作為一個(gè)浮于水面的剛體來對(duì)待。浮體在靜水中的流體靜力學(xué)特性是船舶和海洋平臺(tái)靜力學(xué)的共性問題，也是本章所要討論的問題。浮體的坐標(biāo)系為了討論浮體的流體靜力學(xué)特性，首先需要建立一個(gè)坐標(biāo)系。為了研究方便，通常建立兩個(gè)坐標(biāo)系：一個(gè)是大地坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系設(shè)定為右手坐標(biāo)系，xoy坐標(biāo)平面取為靜水面，z軸鉛垂向上為正。另一個(gè)是聯(lián)體坐標(biāo)系，聯(lián)體坐標(biāo)系固結(jié)于浮體，坐標(biāo)原點(diǎn)的位置視具體研究問題而定，對(duì)于船舶或海洋平臺(tái)等海洋結(jié)構(gòu)物，聯(lián)體坐標(biāo)系的坐標(biāo)平面通常取為結(jié)構(gòu)的對(duì)稱面。xxGyGzGOGxByBzBO靜水面水線面聯(lián)體坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系圖1.1浮體的坐標(biāo)系示意圖坐標(biāo)變換平面或空間中的任意一點(diǎn)都可以用某個(gè)平面或空間坐標(biāo)系下的坐標(biāo)來描述。空間點(diǎn)的位置在不同坐標(biāo)系下具有不同的表達(dá)形式，空間點(diǎn)在兩個(gè)不同坐標(biāo)系間坐標(biāo)值的轉(zhuǎn)換關(guān)系稱為坐標(biāo)變換。直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換可分為平移變換和旋轉(zhuǎn)變換兩種類型。z1x1y1z2x2y2z1x1y1z2x2y2o1o2P圖1.2平移變換 （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s11）1.1）展開后為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s12）旋轉(zhuǎn)變換：當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)相同，但是對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸不重合，則空間任意一點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值可以用旋轉(zhuǎn)變換來實(shí)現(xiàn)。旋轉(zhuǎn)變換的一般形式為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s13）上式中，是時(shí)坐標(biāo)系中第i個(gè)坐標(biāo)軸的單位列矢量，時(shí)坐標(biāo)系中第j個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，，在正交坐標(biāo)系下，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣是單位正交矩陣。任意兩個(gè)坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換度可以看做是平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的一種組合形式，坐標(biāo)變換可以用統(tǒng)一的擴(kuò)展矩陣形式表示： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s14）x1x1y1x2y2Pabx2y2x1y1O2O1圖1.3平面坐標(biāo)變換下面來討論兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題。坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，坐標(biāo)系的軸和坐標(biāo)系的軸之間的夾角為。夾角的取值以軸方向?yàn)?度，軸繞逆時(shí)針方向?yàn)檎??？臻g任意一點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。 （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s15）寫成擴(kuò)展矩陣的形式為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s16）空間坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換空間坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換空間坐標(biāo)系的平移變換和平面坐標(biāo)系的平移變換是類似的，下面重點(diǎn)討論兩個(gè)空間坐標(biāo)系和之間的旋轉(zhuǎn)變換?？臻g坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)具有三個(gè)自由度，坐標(biāo)系的方向可用三個(gè)歐拉角來描述。為了方便起見，將每次沿著一個(gè)歐拉角進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，通過三次旋轉(zhuǎn)過渡到坐標(biāo)系。將OzG軸設(shè)定為公轉(zhuǎn)軸，OxB軸設(shè)定為自轉(zhuǎn)軸，并按如下方式來定義三個(gè)歐拉角：設(shè)OxB軸在xGoGyG平面上的投影為ox1，ox1與oxG軸之間的夾角為定義為首搖角（相當(dāng)于剛體運(yùn)動(dòng)中的公轉(zhuǎn)角），oxB與ox1之間的夾角為縱傾角（相當(dāng)于剛體運(yùn)動(dòng)中的章動(dòng)角），在x1ozG平面上，做垂直于oxB軸的oz2軸，oz2軸和ozB之間的夾角為橫傾角（相當(dāng)于剛體運(yùn)動(dòng)中的自轉(zhuǎn)角）。`eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)xGyGzGx1y2(y1)xB(x2)z2zByB圖1.4空間坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換兩個(gè)坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)變換可分三步進(jìn)行，首先繞ozG軸旋轉(zhuǎn)角，oxG軸和oyG軸分別轉(zhuǎn)至ox1和oy1位置，然后繞oy1軸旋轉(zhuǎn)角，將ox1軸和ozG軸旋轉(zhuǎn)至oxB和oz2位置，最后繞oxB軸旋轉(zhuǎn)角，通過三次旋轉(zhuǎn)變換后可將變換至。三次變換相當(dāng)于依次繞浮體聯(lián)體坐標(biāo)系的zB軸，yB軸和xB軸依次旋轉(zhuǎn)，，角，，，角以對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)軸的右手螺旋方向?yàn)檎?。初始時(shí)刻聯(lián)體坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系重合，第一步，繞聯(lián)體坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)，變換公式為：或： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s17）第二步，繞聯(lián)體坐標(biāo)系的y軸（y1軸）旋轉(zhuǎn)，變換公式為：或 （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s18）第三步，繞聯(lián)體坐標(biāo)系的x軸（x2軸）旋轉(zhuǎn)，變換公式為：或 （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s19）合成后得： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s110）對(duì)（1.10）式進(jìn)行合并： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s111）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s112）矩陣形式的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可記作:； （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s113）； （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s114）在研究浮體的流體靜力問題是，水平面內(nèi)的位移不影響浮體的靜力學(xué)特性，因此在研究靜力學(xué)問題是，通?？稍O(shè)定首搖角，這時(shí)轉(zhuǎn)換矩陣可簡(jiǎn)化為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s115）坐標(biāo)變換關(guān)系為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s116）對(duì)于單純的縱傾狀態(tài)： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s117）對(duì)于單純的橫傾狀態(tài)： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s118）旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的結(jié)合下面再考慮旋轉(zhuǎn)變換和平移變換相結(jié)合的情況。假設(shè)浮體繞靜水面上的任意一點(diǎn)S旋轉(zhuǎn)，S點(diǎn)在聯(lián)體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，在大地坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為。浮體的角位移為。則聯(lián)體坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s119）浮體形狀的描述為了準(zhǔn)確計(jì)算浮體的靜水力特性，需要對(duì)浮體的外表面進(jìn)行準(zhǔn)確的描述。一般情況下，對(duì)于浮體的外表面是不規(guī)則曲面，很難用統(tǒng)一的函數(shù)形式來描述。在工程實(shí)踐中。通常采用數(shù)值的方式給出浮體的近似外形，通常采用的方法有切片法和面元法兩種。切片法采用一族（等距）平行平面和曲面相交，將曲面的形狀用截交線的形式給出。面元法則將曲面分割成若干互不重疊的完全覆蓋曲面的單元曲面，每個(gè)單元曲面用平面或樣條曲面來近似，這樣，若給出了每個(gè)單元曲面的頂點(diǎn)位置，則曲面的位置就確定了。切片法比較適合于工程設(shè)計(jì)，面元法則更適合于數(shù)值計(jì)算。切片法（船舶靜力學(xué)教材，型線圖部分）面元法（待撰寫）阿基米德定理浮體浮于水面時(shí)，浮體的濕表面受到垂直表面向內(nèi)的靜水壓力的作用。所有靜水壓力的合力表現(xiàn)為浮體所受的浮力。在大地坐標(biāo)系下對(duì)浮體的受力進(jìn)行分析。根據(jù)帕斯卡定理，靜水壓力和水的深度成正比，若水的密度為，重力加速度為g，則物體表面任意一點(diǎn)的壓力為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s120）xyxyznp0p0p0p0-gzzx圖1.5浮體的靜水壓力 圖1.6浮力微元做功在物體表面對(duì)壓力進(jìn)行積分，可得到物體所受的浮力。物體表面的靜水壓力是垂直于物面并指向物體內(nèi)部的，取n為物體的單位外法線方向，其中大氣壓為常數(shù)，在閉曲面上的積分為零，積分項(xiàng)只剩下濕表面上的相對(duì)壓力項(xiàng)，最后利用高速定理可將曲面積分轉(zhuǎn)換為體積分： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s121）其中SW是浮體和水的接觸面，是浮體水下部分的排水體積，為浮體的排水量。同樣也可以獲得浮力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的矩為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s122）其中，為水下體積的形心縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)。綜上所述，浮體的浮力僅取決于浮體水下部分的形狀，浮力的大小等于物體排開水的重量，浮力的作用線通過水下體積的形心。（阿基米德定理）下面考慮物體逐漸浸入水中時(shí)浮力所做的功。在物體上取一底面積為dxdy的鉛直微柱體，在微柱體浸入水中的過程中，若柱體浸深為h，相對(duì)壓力做功為 （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s123）對(duì)于整個(gè)浮體，浮力做的功為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s124）利用高斯定理，將上式轉(zhuǎn)化為體積分， （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s125）其中 （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s126）是水下部分體積的形心。由此可見，浸入過程中浮力做的功等于浮體當(dāng)前排水量乘以浮心深度。由于浮力是保守力，浮力做的負(fù)功可以看做是系統(tǒng)勢(shì)能的增量，因此可以定義浮力勢(shì) （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s127）由于浸入過程中，浮體的重心也會(huì)下降，考慮浮體的重力勢(shì)后，整個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能可定義為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s128）注意到，上述整個(gè)推導(dǎo)過程都是基于大地坐標(biāo)系進(jìn)行的，z軸方向始終是鉛垂方向。上式表明：浮體的勢(shì)能等于排水量乘以浮心到重心的鉛垂方向距離。浮體的浮態(tài)浮體的浮力僅取決于水下部分形狀。而與浮體在水平面上的位置無關(guān)，因此浮體在水平面上的運(yùn)動(dòng)（縱蕩、橫檔、首搖）不會(huì)對(duì)浮體的靜水力特性產(chǎn)生影響。從平衡和穩(wěn)定性的角度來說，靜水中的浮體在水平面自由度上沒有回復(fù)力，在不考慮水動(dòng)力的情況下，任意大小的力都能使浮體在水平面內(nèi)改變位置，當(dāng)外力消失后，浮體也不會(huì)回到原來位置。但是在垂直面的自由度上，由于浮體位置的變化帶來了浮體水下體積的改變，因此浮體在垂直面上的三個(gè)自由度上具有回復(fù)力。著也是船舶與海洋工程靜力學(xué)研究的關(guān)鍵問題之一。浮體水下部分的形狀和體積可以由三個(gè)垂直面自由度的位移（吃水、橫傾、縱傾）來唯一確定。為了研究方便，通常在聯(lián)體坐標(biāo)系中下定義浮體浮態(tài)的三個(gè)參數(shù)：吃水T定義為靜水面上各點(diǎn)在聯(lián)體坐標(biāo)系中的垂向坐標(biāo)值。若靜水面在聯(lián)體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，則定義處得吃水為。橫傾角定義為聯(lián)體坐標(biāo)系x軸方向的角位移?？v傾角定義為聯(lián)體坐標(biāo)系y軸方向的角位移。浮體的浮態(tài)可用橫傾角、和縱傾角和特定參考點(diǎn)處的吃水T(如聯(lián)體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)處的吃水)等三個(gè)參數(shù)來確定。將橫傾角和傾角都為零的浮態(tài)定義為正浮狀態(tài)。正浮狀態(tài)可用吃水T來描述。將橫傾角為零的浮態(tài)定義為縱傾狀態(tài)，縱傾狀態(tài)可用吃水T和縱傾角來描述將縱傾角為零的浮態(tài)定義為橫傾狀態(tài)，橫傾狀態(tài)可用吃水T和橫傾角來描述當(dāng)浮體的橫傾角和傾角都不為零的狀態(tài)稱為任意浮態(tài)，任意浮態(tài)需要用吃水T、橫傾角和縱傾角三個(gè)參數(shù)來描述。浮體在靜水中的平衡浮體平衡方程浮體在水中處于平衡態(tài)時(shí)，浮體所受的合外力為零。（為了方便起見，在浮體上的任意垂向載荷都等效為浮體的重力和外力矩的組合），在大地坐標(biāo)系下，浮體的平衡方程為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s129）其中,M為外力矩。展開后得： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s130）（1.29）和（1.30）中，上標(biāo)G表示是在大地坐標(biāo)系中的分量，以區(qū)別于聯(lián)體坐標(biāo)系。若浮體的聯(lián)體坐標(biāo)系相對(duì)于大地坐標(biāo)系的角位移為，將大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)替換為聯(lián)體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，則平衡方程可改寫為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s131）在（1.31）式中，力矩項(xiàng)仍沿用了大地坐標(biāo)系中的分量形式。從式中可以看出，在任意狀態(tài)下浮體的平衡方程中存在縱傾和橫傾的耦合項(xiàng)。若浮體的橫搖角很小時(shí)，縱傾和橫傾方程可以解耦為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s132）浮態(tài)變化對(duì)浮力和浮心位置的影響靜水面與浮體的截面稱為水線面。在聯(lián)體坐標(biāo)系下，若浮體繞水線面上的任意一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則水線面方程為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s133）整理后得： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s134）將浮體處于正浮狀態(tài)時(shí)的水線面定義為正浮水線面SW0：。正浮水線面SW0的面積為 （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s135）正浮水線面的形心 （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s136） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s137）假設(shè)正浮水線面附近浮體的外表面都與正浮水線面垂直，（當(dāng)浮體的傾角較小時(shí)，這樣的假定帶來的誤差很小。）則浮體的浮力可以用兩個(gè)部分來表示，第一部分是正浮狀態(tài)時(shí)的浮力，第二部分是正浮水線和傾斜水線間的浮力。在正浮水線以下部分體積的排水量和復(fù)興位置分別為：（z<Tc） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s138）浮心位置： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s139） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s140） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s141）正浮水線和傾斜水線之間部分： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s142）傾斜后的形心位置： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s143） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s144） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s145）等體積傾斜過程通常情況下，浮體在外力矩作用下傾斜時(shí)，排水量保持不變，因此有：； （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s146）由于： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s147）因此在微幅等體積傾斜過程中，必然有： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s148） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s149）因此有：，。上述結(jié)論也可推廣到一般情況。也就是說，當(dāng)浮體在外力矩作用下發(fā)生等體積微幅傾斜時(shí)，浮體旋轉(zhuǎn)軸必定通過當(dāng)前水線面的漂心位置。在等體積微幅傾斜情況下，任意浮態(tài)的浮心位置為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s150） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s151） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s152）（1.50）~（1.52）中： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s153） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s154） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s155）將（1.50）~（1.52）代入平衡方程（1.31）得： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s156） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s157）對(duì)于通常的海上浮式結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)狀態(tài)是無外力矩作用時(shí)的平衡狀態(tài)，因此有： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s158） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s159）另外，當(dāng)傾斜角度很小時(shí)，和為小量，（1.56）和（1.57）式中略去高階量后得： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s160） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s161）寫成矩陣形式為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s162）（1.60）和（1.61）中，含有的項(xiàng)代表了縱傾和橫傾之間的耦合項(xiàng)，當(dāng)坐標(biāo)軸和水線面的慣性主軸平行時(shí)，交叉二階矩為零，（1.60）和（1.61）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s163） （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s164）在（1.63）和（1.64）中， （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s165）和 （STYLEREF1\s1.SEQ公式\*ARABIC\s166）為常數(shù)。當(dāng)和大于零時(shí)，回復(fù)力矩為正，當(dāng)外力矩消失后，浮體可以回到正浮狀態(tài)；當(dāng)和小于零時(shí)，回復(fù)力矩為負(fù)，當(dāng)外力矩消失后，浮體會(huì)繼續(xù)傾斜。因此和可作為浮體小角度傾斜時(shí)的穩(wěn)定性判據(jù)，被稱為穩(wěn)心高。近似計(jì)算方法在工程實(shí)踐中，曲面的形狀通常采用數(shù)值的方式給出，因此在計(jì)算在計(jì)算物體的體積、形心以及慣性矩時(shí)通常采用數(shù)值積分的方式來計(jì)算面積、體積、形心和慣性矩等幾何參數(shù)。幾乎所有的數(shù)值積分都可以在定積分： （STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s11）的基礎(chǔ)上通過擴(kuò)展后得到。（2.1）式中，分段連續(xù)函數(shù)可以看做是一條分段連續(xù)的曲線，積分I則可看做是曲線和x軸在區(qū)間內(nèi)圍成的面積。不論是是什么函數(shù)形式或函數(shù)具體代表了什么物理含義，在沒有特殊要求的情況下，都可以作為一個(gè)整體來對(duì)待。因此下面從曲面面積的角度來推導(dǎo)定積分（2.1）的數(shù)值積分方法，其結(jié)論是通用的。梯形法如圖1.5所示，曲線和x軸之間的面積可用積分表示： （STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s12）y0y0y1y2y3yNyx圖1.5在曲線方程未知的情況下，不能直接通過積分的手段獲得精確的面積，只能采用數(shù)值的方法來得到面積的近似解。在已知曲線上有限個(gè)離散點(diǎn)坐標(biāo)，并將曲線用以離散點(diǎn)為頂點(diǎn)的折線來代替，則可將整個(gè)曲線下的圖形看作若干個(gè)梯形的組合。若離散點(diǎn)的x坐標(biāo)是均勻分布的，相鄰兩點(diǎn)的間距為l，各節(jié)點(diǎn)依次編號(hào)為0，1，2，…，N。各節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y坐標(biāo)為：y0，y1，y2，…,yN。梯形組的面積和為： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s13)將曲線下面積近似成梯形組的面積，曲線下面積 (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s14)其中為修正量，為雖有節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)的和。辛普生法梯形法采用一系列梯形的面積和來近似曲線下的面積，該方法誤差較大，為了提高計(jì)算精度，可以用高階曲線來代替原曲線，用高階曲線下的面積來近似原曲線下的面積。新普生法采用高階拋物線來代替原曲線。其中采用二次拋物線的稱為辛普生第一法，采用三次拋物線的稱為新普生第二法。辛普生第一法新普生第一法采用二次拋物線代替原曲線，二次拋物線方程為： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s15)含有三個(gè)待定系數(shù)，因此需要連續(xù)三個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值來確定拋物線方程的三個(gè)系數(shù)。若節(jié)點(diǎn)分布是等間距的，節(jié)點(diǎn)間距為l，取任意三個(gè)連續(xù)的節(jié)點(diǎn)，其縱坐標(biāo)分別為，設(shè)拋物線方程為： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s16)拋物線下的面積為： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s17)根據(jù)三個(gè)節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，可得到如下方程 (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s18) (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s19) (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s110)根據(jù)（1.39）式可得 (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s111) (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s112) (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s113)將(1.40)式帶入（1.38）式得： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s114)由于新普生第一法一次計(jì)算三個(gè)連續(xù)節(jié)點(diǎn)間兩塊曲邊梯形的面積，一般要求曲線的等分?jǐn)?shù)為偶數(shù)2N。對(duì)于圖1.5所示的連續(xù)曲線，曲線下面積 (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s115)新普生第二法新普生第二法采用三次拋物線代替原曲線，三次拋物線方程為： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s116)含有四個(gè)待定系數(shù)，因此需要連續(xù)四個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值來確定拋物線方程的系數(shù)。若節(jié)點(diǎn)分布是等間距的，節(jié)點(diǎn)間距為l，取任意三個(gè)連續(xù)的節(jié)點(diǎn)，其縱坐標(biāo)分別為，設(shè)拋物線方程為： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s117)拋物線下的面積為： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s118)根據(jù)四個(gè)節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，可得到如下方程 (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s119) (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s120) (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s121) (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s122)（1.46A）+（1.46D）得： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s123)(1.46B）+（1.46C）得： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s124)（1.47A）-（1.47B）式得 (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s125)[9(1.47B)(1.47A)]/16得： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s126)將（1.48）式和（1.49）式帶入（1.45）式得： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s127)由于新普生第二法一次計(jì)算四個(gè)連續(xù)節(jié)點(diǎn)間三塊曲邊梯形的面積，一般要求曲線的等分?jǐn)?shù)為3N。對(duì)于圖0.5所示的連續(xù)曲線，曲線下面積 （STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s128）單塊面積的新普生法新普生法第一（二）法要求曲線的分塊數(shù)為2（3）的倍數(shù)，如果分塊數(shù)不符合要求，則數(shù)值積分公式不能直接應(yīng)用，下面考慮單塊面積的新普生公式。用i-1，i，i+1點(diǎn)構(gòu)造二次曲線，然后求i-1，i之間的面積。 (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s129)將（1.40）式帶入（1.52）式得： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s130)同法可得： (STYLEREF1\s2.SEQ公式\*ARABIC\s131)對(duì)于任意分塊數(shù)的曲線，若采用第一法積分，若分塊數(shù)是奇數(shù)，則剩下的單塊面積可用（1.53）或（1.54）來計(jì)算。若采用第二法積分，若剩下的分塊時(shí)兩塊，則可采用第一法，若剩下一塊，則可采用1.53）或（1.54）來計(jì)算。這樣，對(duì)于任意分塊數(shù)的情況，都可以得到合適的解決方案。乞貝雪夫法乞貝雪夫法應(yīng)用不等間距坐標(biāo)點(diǎn)的均值來計(jì)算曲線下的面積。用次拋物線代替實(shí)際曲線，采用不等間距的幾個(gè)縱坐標(biāo)的均值來計(jì)算拋物線下的面積。乞貝雪夫的各縱坐標(biāo)關(guān)于積分區(qū)間的中心對(duì)稱。將x軸的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在積分區(qū)間的中點(diǎn)處，下面來推導(dǎo)坐標(biāo)點(diǎn)的位置。當(dāng)坐標(biāo)點(diǎn)為偶數(shù)數(shù)時(shí)，設(shè)2N次拋物線的的方程為：曲線下面積為：坐標(biāo)點(diǎn)位置取為：則有：其中。通過比較可得：當(dāng)坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，坐標(biāo)點(diǎn)依次為：，和偶數(shù)節(jié)點(diǎn)類似，坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足方程坐標(biāo)數(shù)與坐標(biāo)位置的關(guān)系見表（）坐標(biāo)數(shù)123420.5774----------30.70710------40.79480.1876------50.83250.37450---60.86620.42250.2666---70.88390.52970.32390---80.89740.59380.46020.1026---90.91160.60100.52880.16790100.91620.68730.50000.31270.0838高斯法高斯法采用不等間距的縱坐標(biāo)處函數(shù)值的加權(quán)平均值來計(jì)算曲線面積高斯法精確性較高，5個(gè)縱坐標(biāo)的高斯法相當(dāng)于9個(gè)縱坐標(biāo)的辛氏法或9個(gè)縱坐標(biāo)的乞貝雪夫法。數(shù)值積分方法在面積和體積計(jì)算中的應(yīng)用1.7.1面積、形心1.7.1.1水線面面積、型心和慣性矩的計(jì)算在正浮狀態(tài)，船舶的水線面通常是對(duì)稱的船舶的水線面通常是對(duì)稱的，在船舶型值表中通常給出某吃水處各站的半寬值。例1.2假設(shè)某船舶站距為l=7m，某吃水處半寬水線如圖（1.6）所示，表（1.1）給出了該半寬水線的型值，要求計(jì)算該水線面的面積、漂心和關(guān)于過漂心且平行于x軸的軸的慣性矩IT和關(guān)于過漂心且平行于y軸的軸的慣性矩IL。圖1.6某船半寬水線表1.1某船型值表站號(hào)012345678910型值1.4802.6903.8905.0005.6005.8005.3104.5003.3702.1400.800【分析】：設(shè)船舶的半寬為y(x)，則面積、漂心可按以下公式計(jì)算：面積：注意，由于是半寬水線，水線面面積是積分值的2倍靜矩：；由于對(duì)稱性，漂心的y坐標(biāo)為零當(dāng)漂心縱坐標(biāo)未知時(shí)，平行于y軸的中和軸位置未知，因此IL可用平行軸公式計(jì)算：縱傾慣性矩：平行于x軸的中和軸就是x軸本身，因此橫傾慣性矩：由于給出了各站的型值，因此實(shí)際計(jì)算采用數(shù)值積分的方法進(jìn)行。為了利用梯形法或新普生法，首先將被積函數(shù)看做x的函數(shù)：第k站處被積函數(shù)的值分別為：，若數(shù)值積分公式為：上式中，為積分系數(shù)，取決于具體積分方法，對(duì)于梯形法，對(duì)于新普生第一法則有，n=N/2，N為偶數(shù)。這樣，面積、靜矩和慣性矩?cái)?shù)值積分公式分別為：水線面面積：上面各式中，m為x軸零點(diǎn)所在的站號(hào)，在本例題中，N=10，m=5。注意到各項(xiàng)求和函數(shù)的關(guān)系：為了方面起見，將稱為力臂，稱做面積函數(shù)，稱做靜矩函數(shù)，和稱做慣性矩矩函數(shù)。通常數(shù)值積分采用列表的方法進(jìn)行計(jì)算?！窘狻坑眯缕丈ǖ谝环斜砬蠼獗?.2站號(hào)半寬積分系數(shù)面積函數(shù)力臂靜矩函數(shù)慣性矩函數(shù)（IL）慣性矩函數(shù)ITIIIIIIIVVVIVIIVIIIII×IIIIV×VVI×Vy^301.48011.480-5-7.40037.0003.24212.690410.760-4-43.040172.16019.46523.89027.780-3-23.34070.02058.86435.000420.000-2-40.00080.000125.00045.600211.200-1-11.20011.200175.61655.800423.20000.0000.000195.11265.310210.620110.62010.620149.72174.500418.000236.00072.00091.12583.37026.740320.22060.66038.27392.14048.560434.240136.9609.800100.80010.80054.00020.0000.512119.140-19.900670.620866.730面積：m2靜矩：m3漂心：m慣性矩：m4縱傾慣性矩：m4橫傾慣性矩：m4【注意】面積、靜矩和慣性矩計(jì)算中的系數(shù)1/3是因?yàn)榱斜碛?jì)算時(shí)，積分系數(shù)取1，4，2，4….的緣故。本題也可用梯形法或新普生第二法進(jìn)行計(jì)算，只需更換相應(yīng)的積分系數(shù)即可。1.7.1.2橫剖面面積計(jì)算和形心的計(jì)算例1.3某船橫剖面在各水線處半寬見表1.3，水線間距為1m，設(shè)計(jì)水線為5m，求a.設(shè)計(jì)水線處橫剖面水線部分的面積和形心。b.各水線處橫剖面面積和形心（計(jì)算橫剖面面積——吃水曲線）。表1.3水線號(hào)01234567半寬值0.000.941.461.761.982.182.352.52A．列表計(jì)算設(shè)計(jì)水線處的面積和形心（采用梯形法）水線號(hào)半寬系數(shù)面積函數(shù)靜矩函數(shù)IIIIIIIVVII*IIIIV*I00.000.50.000.0010.9410.940.9421.4611.462.9231.7611.765.2841.9811.987.9252.1811.095.4562.35172.520.5求和7.2322.51面積14.46靜矩45.03形心縱坐標(biāo)z=M/A3.11B．計(jì)算不同吃水時(shí)的面積和面積關(guān)于基平面的矩面積：；關(guān)于基平面的矩由于積分上限是變化的，可采用變上限積分的列表算法變上線積分求水線下橫剖面面積水線號(hào)半寬成對(duì)和自上而下和面積IIIIIIIVVIV*Dt/2000010.940.940.940.4721.462.43.341.6731.763.226.563.2841.983.7410.35.1552.184.1614.467.2362.354.5318.999.49572.524.8723.8611.93變上線積分求水線下橫剖面面積關(guān)于基平面的矩水線號(hào)半寬靜矩函數(shù)成對(duì)和自上而下和靜矩IIIIIIIVVIV*Dt^2/20000010.940.940.940.940.4721.462.923.864.82.431.765.288.2136.541.987.9213.226.213.152.1810.918.8245.0222.5162.3514.12570.0235.0172.5217.6431.74101.7650.881.7.1.3扇形面積計(jì)算（見教材）1.71.7.3.1按水線面面積計(jì)算排水體積和形心按水線面面積計(jì)算排水體積和形心的思想是：先將排水體積用平行于水線面的平面切成若干薄片，每個(gè)薄片當(dāng)作柱體看待。這樣，排水體積可按下式計(jì)算：任意吃水z處的薄片的形心位置為，則排水體積的形心為：其中為水線面關(guān)于y軸的靜矩。對(duì)于浮心縱坐標(biāo)，還可以按排水體積曲線進(jìn)行計(jì)算：在船舶靜力學(xué)中，排水體積、浮心隨吃水的變化曲線是非常重要的靜水力曲線，可采用變上限積分的方法獲得排水體積、浮心位置曲線。例：1.7.3.2按橫剖面計(jì)算排水體積和形心按橫剖面計(jì)算排水體積和形心的方法是將排水體積用平行于中站面的平面截成若干柱體，任意底面在x處的柱體，其形心為：，其中為橫剖面的形心縱坐標(biāo)，這樣，排水體積可按下式進(jìn)行計(jì)算：其中為橫剖面水線部分關(guān)于基平面的靜矩。例：數(shù)值積分的精度和提高精度的方法增加中間坐標(biāo)增加縱坐標(biāo)的數(shù)目，可相應(yīng)提高精確度，增加工作量eq\o\ac(○,1)選擇船長(zhǎng)20站，吃水7~9等分，計(jì)算結(jié)果允許的誤差，但首尾末端、舭部曲率變化大，為提高計(jì)算的精確度增加中間坐標(biāo)或編點(diǎn)修正。2端點(diǎn)坐標(biāo)修正三種情況：船體曲線在端點(diǎn)上，即，用梯形法計(jì)算少算OCA面積·修正方法：目測(cè)法船體曲線超過端點(diǎn)直接按計(jì)算少計(jì)算GED面積·修正方法：目測(cè)法作直線DE使陰影面積相等連接AD，過E作EF//AD交DG長(zhǎng)線于F，即③船體曲線不到端點(diǎn)，如果多算SBCE·修正：目測(cè)法證明：未端面積又采用－橫剖面端點(diǎn)修正方法同上，但需靈活應(yīng)用。計(jì)算面積靜矩，慣性矩原則上要畫出被積函數(shù)曲線問題：端點(diǎn)修正的例題是針對(duì)梯形法的，辛氏法是否要端點(diǎn)修正？積分儀器eq\o\ac(○,1)面積儀：求水線面橫剖面積；eq\o\ac(○,2)積分儀：是求任何封閉平面圖形面積，面積對(duì)某一固定軸的靜矩或慣性矩；eq\o\ac(○,3)積分法圖儀：繪制任何曲線下面積的積分曲線的儀器。優(yōu)點(diǎn)：方法簡(jiǎn)單、節(jié)省時(shí)間、提高效率精確程度取決于儀器本身的精確度，操作人員熟練程度靜矩計(jì)算的修正橫剖面水下部分形心計(jì)算和浮心縱坐標(biāo)計(jì)算時(shí)的誤差及處理方法面元法***高斯公式和Stokes積分公式高斯積分可將散度的體積分轉(zhuǎn)換為閉曲面上的面積分：式中：為體積表面的單位外法線方向。Stokes積分則將曲面上旋度的積分轉(zhuǎn)化為曲面邊界的曲線積分其中，曲線積分方向?yàn)榍娣ㄏ虻挠沂致菪较?。?dāng)曲面為平面時(shí)，上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：積分曲線C為逆時(shí)針方向。通過高斯積分和Stokes積分以及一些簡(jiǎn)化措施，可以將體積分降階為曲線積分。面元法計(jì)算公式在船舶與海洋工程靜力學(xué)中，面積的計(jì)算主要是水線面面積、形心以及二階矩的計(jì)算，若考慮以后阻力計(jì)算的需求，還應(yīng)計(jì)算浮體的濕表面積。通常情況下，面元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)都是在聯(lián)體坐標(biāo)系中給出的，因此我們?cè)诼?lián)體坐標(biāo)系下討論具體的計(jì)算方法。在本節(jié)中，浮體外表面默認(rèn)采用面元法建模，即將浮體外表面分割成若干小的曲面Sk，其中k為小曲面的編號(hào)。船舶與海洋工程靜力學(xué)計(jì)算的對(duì)象是浮體水下部分的體積及外表面，而浮體采用面元法建模時(shí)通常定義的是整個(gè)浮體的外表面，而不是船體水下部分的形狀，因此為了計(jì)算浮體的靜水力性能，首先應(yīng)該根據(jù)實(shí)際的浮態(tài)計(jì)算水線的位置。在聯(lián)體坐標(biāo)系下，若聯(lián)體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)處得吃水為T，浮體的縱傾角為，橫傾角為，則水線面法向量為：聯(lián)體坐標(biāo)系下的水線面方程為：和（2.？？）式可以用來計(jì)算體積，（2.？？）表示閉曲面在任意平面上的總投影面積為零（上下表面的投影正負(fù)抵消）。利用（2.？？？）式，我們可以用濕表面上的積分來計(jì)算浮體的水線面面積，由于水線面為平面，法線方向是一致的，因此在水線面上的積分，法線方向課放到積分外面，因此有：水線面面積：采用（2.？？？）計(jì)算排水體積時(shí)，必須要考慮水線面上的積分，若利用水線面方程（），則有：上式在水線面上的函數(shù)值為零，因此有：若將整個(gè)浮體水線以下部分作為一個(gè)整體來對(duì)待，則浮體濕表面和水線面組成了包圍排水體積的閉曲面。在這個(gè)閉曲面上做曲面積分：其中為濕表面，為水線面，n為閉曲面的外法線方向。根據(jù)上式可得：其中，是水線面的發(fā)現(xiàn)方向，指向空氣方向?yàn)檎?，為水線面的面積，由于水線面為平面，因此水線面的法向可以提到積分號(hào)外面。這樣，水線面面積：排水體積的計(jì)算：當(dāng)水線面面積不為零時(shí)，水線面漂心應(yīng)等于，，面積計(jì)算水線的計(jì)算水線面面積和形心的計(jì)算水線面慣性矩的計(jì)算體積計(jì)算PartII船舶靜力學(xué)船體的描述§1-1主尺度、船形系數(shù)和尺度比船舶形狀對(duì)船舶性能有很大影響。船舶的主尺度、船形系數(shù)及尺度比是表示船體大小、形狀、肥瘦程度的幾何參數(shù)，這些參數(shù)對(duì)船舶設(shè)計(jì)制造、使用和分析性能十分有用。一、船舶外形表示法用投影到三個(gè)相互垂直的基本平面來表示，稱主坐標(biāo)平面。1、中線面：是通過船寬中心的縱向垂直平面，它把船體分成左右相互對(duì)稱的兩部分。（是船體的對(duì)稱面）2、中站面：是通過船長(zhǎng)中點(diǎn)（垂線間長(zhǎng)、設(shè)計(jì)水線長(zhǎng)）的橫向垂直平面，把船分成首尾兩部分。3、基平面：能過船長(zhǎng)中點(diǎn)龍骨板上緣的平行設(shè)計(jì)水線面的平面，它與中線面中站面相互垂直。船體型表面在中線面上的投影是中縱剖面。船體型表面在中站面上的投影是中橫剖面。船體型表面位于設(shè)計(jì)水處的平行于基平面的截面稱為設(shè)計(jì)水線面。二、主尺度(principaldimension)主尺度是表示船舶大小的參數(shù)，包括船長(zhǎng)、型寬、型深和吃水。（1）船長(zhǎng)[L]Length船長(zhǎng)：總長(zhǎng)，垂線間長(zhǎng)，設(shè)計(jì)水線長(zhǎng)?？傞L(zhǎng)（overall）：自船首最前端至船尾最后端平行于設(shè)計(jì)水線的最大水平距離。垂線間長(zhǎng)(perpendiculars)：首垂線：是通過設(shè)計(jì)水線與首柱前緣的交點(diǎn)可作的垂線（⊥設(shè)計(jì)水線面）尾垂線：一般舵柱的后緣，如無舵柱，取舵桿的中心線。軍艦：通過尾輪郭和設(shè)計(jì)水線的交點(diǎn)的垂線。無特殊說明，船長(zhǎng)指垂線間長(zhǎng)。設(shè)計(jì)水線長(zhǎng)：設(shè)計(jì)水線在首柱前緣和尾柱后緣之間的水平距離。應(yīng)用場(chǎng)合：靜水力性能計(jì)算用：分析阻力性能用：船進(jìn)塢、靠碼頭或通過船閘時(shí)用：2、型寬[B](breadthmoulded)——指船體兩側(cè)型表面（不包括船體外板厚度之間垂直于平線面的最大水平距，一般在船長(zhǎng)中央處）對(duì)于設(shè)計(jì)水線處，滿載水線處的寬稱設(shè)計(jì)水線寬、滿載水線寬。最大寬度：指包括外