齊次化妙解圓錐曲線（解析版）

OA+kOB=+=4n,kOAkOB=?=-4m.11直線mx+ny=1與橢圓+=1交于A(x1,y1(,B =1聯(lián)立得2-4n- 1聯(lián)立得(12n2-4(2+24mn+12m2-3=0，程.2整理得15y2+2kxy+(4-k2)x2=0；222+2k+(4-k2)=0；易知kOA=和kOB=是方程152+2k+(4-k2)=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得kOA+kOB=y=kx+4①y=kx+4①2+1)x2+32kx+60=0，x1+x2kOM+kON=+=+=2k+=2k+=2，解得k=-15，故所求直線方程為y=-15x+4. (y=kx+m02x2+4kmb2x+2b2(m2-b2)=0，所以x1x2=2b2(m2+b2)y1x1x2+y1y2=+=+=0，又因?yàn)橹本€Q1Q2方程等價(jià)于為y-y0=-(x-x0)，即y=-x++y0，33=0，所以2=0，化簡可得+-m2x2-n2y2-2mnxy=0，2n22+(1-2m2b2)x2-4mnb2xy=0，2n22-4mnb2+1-2m2b2=0，1k2=1-2m2b2=-1又因?yàn)橹本€Q1Q2方程等價(jià)于為y-y0=-(x-x0)，即y=-x++y0，1.設(shè)直線方程為m(x-xo)+n(y-y且兩直線間存在斜率關(guān)系(顯性或隱性)如果你發(fā)現(xiàn)但要注意敘述的嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性否則易被老師扣去過程分44 OA=，kOB=.將直線y=kx+b變形得-=1，記m=，n=-，則直線可化為my+nx=1，2=2px(my+nx)，整理得y2-2pmxy-2pnx2=0，2-2pm-2pn=0，易知kOA=和kOB=是方程2-2pm-2pn=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得kOA?kOB=-2pn=-1，即n=，代入求直線方程my+nx=1得my+x=1，即x=2pmy+2p， 題目1直線x+2y-3=0與圓x2+y2+x-6y+c=0相交于P，OPOQ=-1，適合用齊次化來處理.代入圓x2+y2+x-6y+c=0得x2+y2+(x-6y)?+c2=0，kOPOQ==-1，計(jì)算可得c=3. 2=2px(p>0(上一點(diǎn)A(2,a(到其焦點(diǎn)的距離為3.-=3?p=2?y2=4x.POQO=-1， 552=4x，由拋物線定義可得|AB|=x1+x2+2，=8.1x2+y1y2=0，+n得：y2-4my-4n=0，1y2=-4n；x1x2=n2；∴n2-4n=0，解得n=0或n=4，y-ny-nx-m錐聯(lián)立，一次項(xiàng)乘以mx+ny，常數(shù)項(xiàng)乘以(mx+ny(2，構(gòu)造ay2+bxy+cx2=0，然后等式兩邊同時(shí)除以x2(前面注明x不等于02+b?+c=0，可以直接利用韋達(dá)定理得出斜率之和或者斜率之積，+266+4=4x-1+4,即(y-2)2+4(y-2(=4x-1，一次項(xiàng)化成二次項(xiàng)得：(y-2)2+4(y-2([m(x-1)+n(y-2)]=4x-1[(x-1)+n(y-2)],即(1+4n)2+(4m-4n(-4m=0,kpAkPB=PA+kPB=0．求證：直線AB斜率為定值.+3x2+(6x+12y((mx+ny(=0，(12n+4(y2+6(2m+n(xy+(6m+3(x2=0，同時(shí)除以x2，(12n+4(2+6(2m+n(+(6m+3(=0，Al+kPlBl=+==0，-6(2m+n(=0，mx+ny=1的斜率-=.772+4t2+6t+12t=0，:設(shè)直線ms+nt=6可方便運(yùn)算，3s2+4t2+t(ms+nt)+2t(ms+nt)=0，化簡得：(4+2n(2+(2m+n(+(3+m)=0，:.=.==0，x-1=s,y-=t,n=-2m代入ms+nt=6，得m(x-1)-2m(y-=6，:直線AB的斜率是. 線AB過定點(diǎn).聯(lián)立得y2-x2-4x(mx+ny(-2(mx+ny(2=0，(1-2n2(y2-(4n+4mn(xy-(2m2+4m+1(x2=0，-2n2(2-(4n+4mn(-(2m2+4m+1(=0，kPlAl+kPlBl=+=-=0，4n+4mn=4n(m+1(=0，n=0或m=-1，AB不與x軸垂直，n≠0，:m=-1，-x+ny=1過 xpyxpy88在新坐標(biāo)中轉(zhuǎn)換為：+=-1，即k+k=-1.展開得：x/2+4y/2+8y/=0整理為：(4+8n)y/2+8mx/y/+x/2=0+8mk/+1=0所以k+k=-=-1，所以2m-2n=1?m=n+代入mx/+ny/=1，整理得n(x/+y/)+-1=0，對于任意n都成立.=2=-1=2=-1 ∴+y2=1.+x2=，x1x2=，且Δ=16k2(k-1(2-8k(k-2((1+2k2(>0，解得k>0或k<-2.kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k(+=2k+(2-k(?99=2k+(2-k(?=2k-2(k-1(=2.即有直線AP與AQ斜率之和為2.mx+ny=1過點(diǎn)(1,2(，m+2n=1，m=1-2n，x2+2(y-1(2=2，x2+2y2-4y=0，2y2+x2-4y(mx+ny(=0，k1+k2=-=-==2. 點(diǎn).-1,代入∵直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，∴kP2A+kP2B=+==-1，x2+8ktx+4t2-4=0，x1+x2=，x1x2=，則kP2A+kP2B=+=1+4k2:mx+ny=1，+y2+2y=0，x2+4y2+8y(mx+ny(=0，(8n+4(y2+8mxy+x2=0，2，(8n+4(2+8m+1=0，(8n+4(k2+8mk+1=0，k1+k2=-=-1，=EF+EF/=2、3，b2=a2-c2=2，:所求橢圓方程為+=1.②-①,可得k1==-=-.，設(shè)M(xM,yM(，直線AB的方程為y-1=k1(x-1(，即y=k1x+k2，代入橢圓方程并化簡得(2+3k(x2+6k1k2x+3k-6=0，:xM=，yM=，==，直線MN的方程為y-2=.=-，即中點(diǎn)的軌跡方程為2(x2-x(-(x+1([+3[(y+1(2-(y+1([=0，2x2+3y2+3y(mx+ny(+2x(mx+ny(=0，(3+3n(y2+(2n+3m(xy+(2+2m(x2=0，，得(3+3n(k2+(2n+3m(k+2+2m=0，“k1+k2=1，:-=1，-m-n=1， 2為定值.2=4y:拋物線C:x2=4y.-4kx-8k=0.由Δ=16k2+32k>0，得k>0或k<-2，1+x2=4k，x1x2=-8k，=(x1+2((x2+2(=x1x2+2(x1+x2(+4=-8k+8k+4=1.. 2+4yl2+6xl+12yl=0①,2+4yl2+6xl(mxl+nyl)+12yl(mxl+nyl)=0，2+(6n+12m)xlyl+(3+6m)xl2=0，kAEl+kAFl=-=2，化簡得n=-m-，代入直線mxl+nyl=1得mxl+(-m-yl=1，整理得mxl-yl(-yl-1=0，直線ElFl恒過xl-yl=0和直線-yl-1=0的交點(diǎn)(-,-，則直線EF恒定過點(diǎn)(-,-.AElAFl==2，即m=4n+，直線ElFl的方程為n(4xl+yl)+xl-1=0，直線ElFl恒過4xl+yl=0和直線xl-1=0的交點(diǎn),-，則直線EF恒定過點(diǎn),-.【解析】設(shè)直線EF的方程為y=kx+m，即y-=k(x-1)+k+m-，變形得=1，將橢圓+=1變形為+=14k+m+y-2+6(1-2k)(x-1)(y-+(3m-3k-(x-1)2=0，4k+m+2+6(1-2k)+3m-3k-=0?,代入直線EF的方程得y=kx+=k(x+-，所以直線EF恒定過定點(diǎn)(-,-.②由韋達(dá)定理得kAE?kAE=3m-3k-=2，所以m=11k+4(k+m+-5，代入直線EF的方程為y=kx+-=k(x--，所以直線EF恒定過定點(diǎn),-.(y=kx+b)x2+8kbx+4b2-12=0，x1+x2=-8kbx1去分母得(kx1+b-(x2-1)+(kx2+b-(x1-1)=2(x1-1)(x2-1)(2k-2)x1x2+(b-k+(x1+x2)+1-2b=0，(2k-2)?+(b-k+-+1-2b=0，故b=-，或b=-k+.當(dāng)b=-時(shí)，直線EFy=kx+b=k(x+-恒過定點(diǎn)(-,-；舍去. 線與AC相交于點(diǎn)D.2從而a=2,c=、2,b2=a2-c2=2，故所求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為+=1.2(y=kx-1由+=1消去y得(2k2+1)x2-4kx-2=0，顯然Δ=(-4k)2+8(2k2+1)=k2+8>0+x2=,x1x2=-.==k2+-=k2+=--、2即直線PM與PN的斜率之積為定值. y2+22py-2px=0?,不妨設(shè)直線AB的方程為：mx+ny=1，2+2、2py(mx+ny)-2px(mx+ny)=0，2pm-2pn)xy-2pmx2=0，yxyx2pm-yxyx2pm-2pn)y1xy1xx和kPB=易知kPA=PB/=-2pm=-1，即m=1+2n，+2n(x/+ny/=1得(2+y/)n+x/-1=0，(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線ABxx則直線AB的斜率為k==(x1+x2(=×4=1.xxxx+2(x1+x2(+20=0，即為-4t+8+20=0xx的方程為y=x+7.B/+ny=1，4y+4=x2+4x+4，x2+4(x-y((mx+ny(=0，x2+4(mx2+nxy-mxy-ny2(=0，(1+4m(x2+4(n-m(xy-4ny2=0，x≠0，同除以x2，得-4n2+4(n-m(+(1+4m(=0， 4nk2-4(n-m(k-(1+4m(=0，mx+ny=1，斜率-=1，m=-n，k1k2==-1， 1+4m=4n，n=，m=-，-x+y=1，x-y+8=0右2，上1，(x-2(-(y-1(+8=0，x-y+7=0. 2(y=kx+m聯(lián)立+=1，得(2k2+1(x2+4kmx+2m2-6=0，由Δ=(4km(2-4(2k2+1((2m2-6(>0，知m2<6k2+3，1+x2=-4km」AM丄AN，:A—.A—=(x1-2,y1-1(.(x2-2,y2-1(=0，即(k2+1(x1x2+(km-k-2((x1+x2(+m2-2m+5=0，:(k2+1(.+(km-k-2((-+m2-2m+5=0，化簡整理得，4k2+8km+3m2-2m-1=(2k+m-1((2k+3m+1(=0，:m=1-2k或m=-，當(dāng)m=-時(shí)，y=kx-，過定點(diǎn),-.設(shè)D(x0,y0(，則y0=kx0+m，:x0-2+(y0-2=2+2==，:|DQ|=-2(2++2=，為定值.」AM丄AN，:A—.A—=(t-2,s-1(.(t-2,-s-1(=t2-4t-s2+5=t2-4t+2=0，解得t=或=-2+-1(2=，為定值.(x+2(2+(y+1(2=1Lmx+ny=1+2y(x+2(2+(y+1(2=1Lmx+ny=1+(4m+4n(xy+(4m+1(x2=0，得：(4n+2(k2+(4m+4n(k+(4m+1(=0，」AM丄AN，:kAM.kAN=-1，:=-1，4m+1=-4n-2，=|AP|=. 1+y2=-4m:(t+2(2y1y2+(t-2(my1+my2+=0，即(t+2(2y1y2+(t-2m2y1y2+(y1+y2(+=-+=0，化簡得-32(t+2(2+(t-2[-32m2-32m2+64(m2+2([=0，即(t+2(2-4(t-2=0，t+2=±2(t-，解得t=-或t=.Ol:mx+ny=12+2y2-4x(mx+ny(=0，2y2-4nxy+(1-4Ol:mx+ny=1等式兩邊同時(shí)除以x，22-4n+(1-4m(=0，kAP.kAQ=kAM.kAN==-，“MD丄ND，:kMD.kND=-1，==4，4 =1;聯(lián)立橢圓方程得x2+4mkx+2=0,則x1+x2=-,x1x2=.y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=,由PA⊥PB,得(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,代入得4k2+8mk+3m2=0，m=-2k,m=-k,直線AB的方程為y=k(x-所以過定點(diǎn),0(.設(shè)直線為mx+ny=1；下面對橢圓方程進(jìn)行化簡x2+4x+2y2=0；變成x2+4x(mx+ny)+2y2=0?2y2 齊次化運(yùn)算為什么不是解決圓錐曲線的常規(guī)武器是常規(guī)武器呢？首先我們總結(jié)一下齊次化運(yùn)算步驟消元的基本思路是消未知數(shù)，而本方法是消去常數(shù)，這也是學(xué)生不適應(yīng)之處．但更大的難點(diǎn)是f 與橢圓方程可得整理得：(y+9(x2+6yx+9y-81=0，解得：x=-3或x=，x-思路二：連接CB，由橢圓第三定義得，kCAkCB=-,而kCAkCB=-,kCA=,kBD=kBP==，BCkBD=-,就可以采用本方法解答.設(shè)x-3=t，得t2+9y2+6t=0,故設(shè)6=mt+ny易算．計(jì)算如下：2+n.+(m+1(=0→k1k2==-→m=-4→-4(x-3(+ny=6，可知直線CD過定點(diǎn) 1=2k2得到kACkAD=-,即可采用齊次化運(yùn)算了..=-，設(shè)y+1=t，得x2+4t2-8t=0,所以設(shè)8=mx+n(y+1)=mx+nt易算．計(jì)算如下：的方程的方程：y=x-. =8．P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交=3，故橢圓E的方程是+y2=1.+m2(x2+6m2x+9m2-81=0，由韋達(dá)定理-3xc=?xc=，代入直線PA的方程為y=(x+3(得：yc=，+m2(x2-6m2x+9m2-9=0，由韋達(dá)定理3xD=?xD=，代入直線PB的方程為y=(x-3(得yD=，即x=.(mx+ny=19+y=1，聯(lián)立得：x2-6x+9y2=0，x2-6x(mx(mx+ny=1 將橢圓C：+y2=1和直線AB：x=my+1按照{(diào)平移至以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，得+y/2=1和x/+2=my/+1，x/2+2y/2+2y/+2=0，將my/-x/=1代入x/2+2y/2+4x/+2=0構(gòu)造齊次化得x/2+2y/2+4x/(my/-x/)+2(my/-x/)2=0，整理得(2m2+2)y/2-x/2=0?.2+2)y2+2my-1=0， -2m-1y1+y2=m2+2，y1y2 -2m-1要證∠OMA=∠OMB，即證kAM+kBM=0，2-2)+y2(x1-2)=0，用x=my+1消去x得：2my1y2-(y1+y2)=0，線MA和直線MB的傾斜角互補(bǔ)(即斜率之和為零). 2=8x；xy=xl-1=yyl2=8(xl-1)，即yl2-8xl2+1)yl2+(16mn-8n)xlyl+(8m2-8m)xl2=0，2得：l y2 x.kBPl+kBQl=-，所以m=，所以xl+nyl=1，即yl=，xl-1l==xl-1l==yy直線BM的方程：y=x+1，或y=-x-1.2+2，消x得y2-2ty-4=0，即y1+y2=2t，y1y2=-4，(y1+y2(2y1x1+2y2x2+2則有kBN+kBM=+=(y1+y2(2y1x1+2y2x2+2則有kBN+kBM=+(x1+2((x2+2(((x1+2((x2+2(y2=2x(mx+ny(-4(mx+ny(2，y2=2mx2+2nxy-4(m2x2+n2y2+2mnxy(，(1+4n2(y2+(8mn-2n(xy+(4m2-2m(x2=0，+4n2(k2+(8mn-2n(k+4m2-2m=0，k1+k2=-82n=-2n1(n1(=x=1=1x=1x或x=1=1x=1x或2、2==-221<2，x2<2，由y1=kx1-k，y2=kx2-k得kMA+kMB=--，將y=k(x-1(代入+y2=1可得(2k2+1(x2-4k2x+2k2-2=0，∴x1+x2=，x1x2=，1x2-3k(x1+x2(+4k=(4k3-4k-12k3+8k3+4k(=0，從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角:mx+ny=1過(-1,0(即-m=1．m=-1，x2+4x+2y2+2=0，x2+4x(mx+ny(+2y2+2(mx+ny(2=0，(2+2n2(y2+(4n+4mn(xy+(1+4m+2m2(x2=0，+2n2(k2+(4n+4mn(k+1+4m+2m2=0，k1+k2=-=0，+1(x2+4kx-6=0，Δ=16k2+24(2k2+1(>0，根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式可得kQA+kQB=2k+(1-t(-=，令4-t=0，可得t=4符合題意.l方程：y=kx+1，x1x2=2k1，+1(x2+4kx-6=0，Δ=16k2+24(2k2+1(>0，x1x2=2k1，∴kQA+kQB=+====2k+(1-t(-==0，根是由初中的一元二次方程知識(shí)可知：若x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，則ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，我們把a(bǔ)x2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)叫做二次方程的雙根式，所謂的點(diǎn)乘雙根法就是構(gòu)建雙根式是去解決含x1+x2和x1x2或者可轉(zhuǎn)化為含含x1+x2和x1x2的計(jì)算問題，其中以向量的數(shù)量積有關(guān)的問點(diǎn)乘雙根法是通過對雙根式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)進(jìn)行賦值x=x0和y=y0，直接計(jì)算(x1-x0)(x2-x0y1 2-2)+y1y2=0，(y=kx+m(y=kx+m)x2+8mkx+4(m2-3)=0，)x2+8mkx+4(m2-3)=(3+4k2)(x-x1)(x-x2)①體代換以達(dá)到簡化計(jì)算的目的，故對雙根式①中的x進(jìn)行賦值x=2得4(3+4k2)+16mk+4(m2-3)=(2-x1)(2-x2)，3+4k2整體求出(x1-2)(x2-2)=16k2+16mk3+4k2接下來先求出y1y2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2(x1+x2+，只需對雙根是進(jìn)行賦值x=-，并兩邊同時(shí)乘以k2可得y1y2=k2(x1+x2+2+16mk+4m2+3m2-12k2=0，3+4k23+4k22+16mk+7m2=0，分解因式得(7m+2k)(m+2k)=0，∴m=-k或m=-2k，當(dāng)m=-k時(shí)，直線ly=kx+m )，直線AB：x=my+1(其中m=)，2-1)①=m2(y1+y2++(y1-1)?(y2-1)=0y2-4my-4=0，y2-4my-4=m2(y-y1)(y-y2)②.令y=-，得+8-4=m2(--y1((--y2(，所以m2y1+y2+=+4=0④++4=0，k2x2-2(2+k2)x+k2=0，x1+x2=4+1+y2=k(x1+x2-2)=，y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4，1-1)2+1)+1-1)2-1)=0，x1x2+(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0，-x1)，B/則y0 定點(diǎn).OA設(shè)AB：x=my+n①,A(x1,y1)，B(x2注意到kOA=，kOB=，所以kOA和kOB方程n2+2pm-2p=0的兩個(gè)根，所以n=2p，代入①可得x=my+2p，x2+y1y2=(my1+n)(my2+n)+y1y2=m2(y1+y2++y1y2①.+n，y2-2pmy-2pn=0，又因?yàn)閥1和y2是方程y2-2pmy-2pn=0，所以y2-2pmy-2pn=(y-y1)(y-y2)，令y=0，則-2pn=y1y2②;令y=-，則=(y1+y2+③.代入x=my+n可得x=my+2p，所以直線AB恒定過定點(diǎn)(2p,0)x2-2雙曲線的方程.OAOB=-1，適合用齊次化來處理.+y2+xy+-x2=0，兩邊同除以x2，+k2+k+-=0，注意到kOA=，kOB=，k+-=0的兩個(gè)根，所以kOA?kOB=+k+-=0的兩個(gè)根，所以kOA?kOB=+cc -2+b2)2+b2)3x-y=3ay(x2a)，消去y得4x2+4ax-3x-y=3a1+x2=-a，x1x2=-，由弦長公式得AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+(-a)2-4(-=4，x2+y1y2=x1x2+(x1-c)(x2-c)=0①.-3a2)x2+6a2cx-3a2c2-5a2b2=0，又因?yàn)閤1和x2是方程(5b2-3a2)x2+6a2cx-3a2c2-5a2b2=0，2-3a2)x2+6a2cx-3a2c2-5a2b2=(5b2-3a2)(x-x1)(x-x2).2-5b212令x=0得3a2c2+52-5b2123x2-y2=3a2y=a)，消去y得4x2+4ax3x2-y2=3a21+x2=-a，x1x2=-，由弦長公式得AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+(-a)2-4(-=4， 2：y=-(x-1)，-(2k2+4)x+k2=0的兩個(gè)根為x1，x2，2x2-(2k2+4)x+k2=k2(x-x1)(x-x2)，+1)(x2+1)==4+，2， )，N?N=(x1-x2-+(y1-y2-=0①yy=kx+2=2x2,消y得x2-x-1=0=(x-x1)(x-x2)②,將x=代入②式得-x1-x2(=-1③;yy=kx+2=2x2,消x得y2+(4+y+4=(y-y1)(y-y2)④,將y=代入④得8-y1-y2(=--+4⑤, 2>，要證OA2+OB2<AB2(因?yàn)锳B2=OA2+OB2-2|OA||OB|cos∠AOB)?)，①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x1=x2=-1，則y1=，y2=-，則?=x1x2+y1y2=1-=1-==<0=-2+=-+=0，所以O(shè)A2+OB2<AB2a所以?=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+1)(x2+1)⑴.ry=k(x+1)x2+y2=1得b2x2+a2k2(x+1)2-a2b2=0，22x2+a2k2(x+1)2-a2b2=(a2k2+b2)(x1-x)(x2-x)，=②;+1)(x2+1)=③,2k2+b2a2k2+b2a2k2+b2，將②③代入①得?=a2k2-a2b2+k2?b2-a2b2=2k2+b2a2k2+b2a2k2+b2，2=b2+c2=b2+1，則b2=a2-1，所以a2+b2-a2b2=2a2-1-a2(a2-1)=-a4+3a2-1=-(a2-2+<0，所以O(shè)A?OB<0，綜上可得：OA2+OB2< 故曲線C的方程為x2+=1.(y=kx+1x2+=1，消去y并整理得(k2+4)x2+2kx(y=kx+1故x1+x2=-，x1x2=-.1x2+y1y2=0，而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，k2+4k2+4k2+42.于是x1x2+y1y2=-3-3k2-2k2+1=0k2+4k2+4k2+42.=-，x2=，x2+y1y2=0①,(y=kx+1將y1y2=k2(x1+x1+代入①得?=x1x2+k2(x1+x1+=0②.x2+=1得(k2+4)x2+2kx-3=(k2+4)(x-x1)(x-(y=kx+1令x=0得x1x2=③;4令x=-，則(k2+4)(x1+x1+=-4，即(x1+x1+=④.4=y2=1，即x1=-，x2=,故A(-,1=m(y-1)(其中m=)，故有x1x2=m2(y1-1)(y2-1)因?yàn)?=x1x2+y1y2=0，所以m2(y1-1)(y2-1)+y1y2=0①.x=m(y-1)x2+=1得4m2(y-1)2+y2-4=(4m2+1)(y-yx=m(y-1)將②③代入①m2?-3+4m2-4=0，即=x+y-(x+y)=(x-x)+4(1-x-1+x)=-3(x1-x2)(x1+x2)=. (2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB1=2=，x1+x2=4，于是直線AB的斜率k=====1.將y=x+m代入y=，得x2-4x-4m=0，當(dāng)Δ=16(m+1)>0即m>-1時(shí)，x1=2-2、m+1，x2=2+2、m+1，所以直線AB的方程:y=x+7.=(2-x1,1-y1)，B—=(2-x2,1-=(2-x1,1-y1)，B—=(2-x2,1-y2)，AMAMy設(shè)直線AB的方程:y=x+m，聯(lián)立{y=x+m=x24化簡得x2-4x-4m=0，2是方程x2-4x-4m=0的兩個(gè)根，故有x2-4x-4m=(x-x1)(x-x2)②,2-1)=(x1+m-1)(x2+m-1)，令x=1-m代入②得(x1+m-1)(x2+m-1)=m2-2m-3④,將③④代入①得-4-4m+m2-2m-3=0，解之得m=7或m=-1(舍去)，xl2+4xl-4yl=xl2+4xl(mxl-myl)-4yl(mxl-myl)=0，4myl2-8mxlyl+4mxl2+xl2=0，故由韋達(dá)定理得kMA/?kMB/==-1，m=-，直線A/B/的方程為x/-y/=-8，平移回原坐標(biāo)系得直線AB方程為(x-2)-(y-1)=-8，即x-y+7=0. y2=8x.x2+y1y2=(y1-m)(y2-m)+y1y2=0①.m消去x得y2-8y+8m=0，又因?yàn)閥1和y2是y2-8y+8m=0的兩個(gè)根，所以y2-8y+8m=(y-y1)(y-y2)，令y=0得8m=y1y2②;令y=m，m2=(y1-m)(y2-m)③,將②③代入①得m2+8m=0，解得m1=0或m2=-8， FOF2-2,y2)=0，1-2)2-2)+k2(x1+2)(x2+2)=0①=1=12+5k2(x2+5k2(x+2)2-20=0則方程x2+5k2(x+2)2-20=0可以等價(jià)轉(zhuǎn)化(1+5k2)(x1-x)(x2-x)=0即x2+5k2(x+2)2-20=(1+5k2)(x1-x)(x2-x)令x=2，4+80k2-20=(1+5k2)(x1-2)(x2-2)?(x1-2)(x2-2)=將x1=my1-2，x2=my2-2代入①得(my1-4)(my2-4)+y1y2=0②.(my-2)2+5y2-20=(m2+5)(y1-y)(y2-y)=0，y1y2= -16m2+5m2?m2-16距離的最大值.=c==-，化簡得：y=+(1-m(2,又+=1，解得m=或m=1(舍去)，此時(shí)P到直線l的距(y=kx+m+=1且整理可得：(3+4k2(x2+8kmx+4m2-12=0，-y2-=-(x1-1((x2-1(，x1+x2(+(m-2+=0，整理可得2k2+4m2-3m+6km-=0，即(k+m-(2k+4m+3(=0，k+m-=0或2k+4m+3=0，(1-2+-2=，由于>3x2+6x+4(y2+3y(=0，4y2+3x2+6(x+2y((mx+ny(=0，(12n+4(y2+6(2m+n(xy+(6m+3(x2=0，等式兩邊同時(shí)除以x2，(12n+4(2+6(2m+n(+(6m+3(=0，kPA?kPB=-，=-，-m-n=1，(1-2+-2=，由于> 2=2px過點(diǎn)A(2,4(.2=8x(2)證明：顯然直線PQ斜率不為0，故可設(shè)PQ：x=my+t，將PQ的方程與y2=8x聯(lián)立得y2-8my-8t=設(shè)P(x1,y1(2(，則y1+y2=8m，y1y2=-8t，所以Δ>0?64m2+32t>0?2m2+t>0，kPA===，同理：kQA=，y1+4y2+4，y1+4y2+4，∴2(y1+y2(=y1y2+4(y1+y2(，1y2=-2(y1+y2(，即t=2m，代入直線得x=my+2m=m(y+2(， 2=12AM+kAN=0求出6(k-1((b+3k-1(=0，得到k=1；出S△OMN=從而求出△OMN的面積的最大值.2-8>0，解得a2>8，故C:+=1，則Δ=36k2b2-4(1+3k2((3b2-12(=-12(b2-12k2-4(>0，則b2<12k2+4，+x2=,x1x2=，y1-1+x1-3y1-1+x1-3 =y2-1(x2-3((y1-1(+(x1-3((y =x2-3(x1-3((x2-3(=(x2-3((kx1+b-1(+(x1-3((kx2+b-=(x1-3((x2-3(=2kx1x2+(b-1-3k((x1+x2(-6b+6(x1-3((x2-3(=0，即6(k-1((b+3k-1(=0，Δ=36b2-16(3b2-12(>0，解得-4<b<4，x1+x2(2-4x1x2=·2?2-(3b2-12(=1+1=16b2-b4=-(b2-8(2+64，2=8值或范圍. 所以雙曲線C的方程為-=1.Δ=64k2m2+4(1-4k2((4m2+4(>0，m2+1-4k2>0①,=2k(-+(m-2k(-4m=1，--2-+4整理得(m+2k((m+2k-1(=0.此時(shí)，將m=1-2k代入①得(1-2k(2+1-4k2=2-4k>0,k<，進(jìn)行求解. =、3求解；>b>0(的離心率e=，又因?yàn)閍2=b2+c2，所以橢圓的方程為+=1；與橢圓方程聯(lián)立求得M,N,-，又A(-2,0(，-=-4=,=-4=,kAN=42-(-2(2所以kAM?kAN=