初中數(shù)學(xué)《二次函數(shù)》十大題型匯編含解析

二次函數(shù)【十大題型】【題型1辨別二次函數(shù)】.........................................................................................................................................1【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】..............................................................................................................3【題型3由二次函數(shù)的定義求字母的取值范圍】..................................................................................................4【題型4二次函數(shù)的一般形式】.............................................................................................................................6【題型5求二次函數(shù)的值】.....................................................................................................................................7【題型6判斷函數(shù)關(guān)系】.........................................................................................................................................9【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式(幾何圖形】.............................................................................................................11【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式(增長率)】.................................................................................................................14【題型9列二次函數(shù)關(guān)系式(循環(huán)】.....................................................................................................................15【題型10列二次函數(shù)關(guān)系式(銷售】.....................................................................................................................16知識點1：二次函數(shù)的定義一般地，形如ax2+bx+c、bc是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y=ax2+bx+c（ab、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．【題型1辨別二次函數(shù)】【例】（23-24九年級上江西南昌階段練習(xí)）下列函數(shù)解析式中，?一定是?的二次函數(shù)的是（）1A?=2??2【答案】CB?=2?+?2C?=2?2?1D?=?2+?【分析】本題考查二次函數(shù)的識別，形如?=??2+??+?(?≠的函數(shù)是二次函數(shù)，根據(jù)定義逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：A?=時，?=2??2=，不是二次函數(shù)，不合題意；B?=2?+?2?是?的一次函數(shù)，不合題意；C?=2?2?1?一定是?的二次函數(shù)，符合題意；1D?=?2+中含有分式，不是二次函數(shù)，不合題意；?故選C．【變式1-1】（23-24九年級上·安徽安慶階段練習(xí)）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）1A?=2??1【答案】CB?=√?2?1C?=?2?1D?=2??=??2+??+?（?、bc為常數(shù)，?≠）的函數(shù)叫二次函數(shù)．根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、函數(shù)?=2??1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；B、函數(shù)?=√?2?1根號內(nèi)含有x，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；C、函數(shù)?=?2?是二次函數(shù)，故本選項符合題意；1D、函數(shù)?=分母中含有，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意．2?故選：．【變式1-2】（23-24九年級下·江蘇專題練習(xí)）下列函數(shù)關(guān)系式中，二次函數(shù)的個數(shù)有（）1（1?=3(??1)2+12?=（6?=??2+．3?=3?2?24?=?4+2?2?15?=3?(2??)+3?2；?2?A1個B．2個C．3個D4個【答案】B?=??2+??+?(?,?,??≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項后，能寫成?=??2+??+?(?,?,??≠0)的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是．【詳解】解：（?=3(??1)2+1是二次函數(shù)，故符合題意；1（2?=，不是二次函數(shù)，故不符合題意；?2??（3?=3?2?2是二次函數(shù)，故符合題意；（4?=?4+2?2?不是二次函數(shù)，故不符合題意；（5?=3?(2??)+3?2=6?不是二次函數(shù)，故不符合題意；（6?=??2+，不確定m是否為，不一定是二次函數(shù)，故不符合題意；綜上所述，二次函數(shù)有2個．故選：．【變式1-3】（23-24九年級上·湖南長沙期末）下列函數(shù)①?=5??5；②?=3?2?；③?=4?3?3?2；1④?=2?2?2?+1；⑤?=．其中是二次函數(shù)的是．?2【答案】②④④②【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2，二次項系數(shù)不為0，逐一判斷．【詳解】解：①?=5??5為一次函數(shù)；②?=3?2?1為二次函數(shù)；③?=4?3?3?3自變量次數(shù)為3，不是二次函數(shù)；④?=2?2?2?+1為二次函數(shù)；1⑤?=函數(shù)式為分式，不是二次函數(shù)．?2故答案為②④．【題型2由二次函數(shù)的定義求字母的值】【例】（23-24九年級下廣東東莞·期中）已知函數(shù)?=(??1)??2+1是二次函數(shù)，則?=【答案】?1．【分析】根據(jù)定義得：形如?=??2+??+?(?、?、?是常數(shù)，且?≠0)的函數(shù)是二次函數(shù)，列方程可求得答案．【詳解】解：依題意得：?2+1=2??1≠，解得?=?．故答案為：?．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義．注意：二次函數(shù)?=??2+??+??是常數(shù)，本題關(guān)鍵點為?≠0．【變式2-1】（23-24九年級上·江蘇揚州階段練習(xí)）如果?=2?|?|+3??1是關(guān)于?的二次函數(shù)，則?=．【答案】±2【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，直接利用二次函數(shù)的定義得出答案．【詳解】解：∵?=2?||+3??1是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴|?|=2，解得：?=±2．故答案為：±2．【變式2-2】（23-24九年級上·湖北周測）如果函數(shù)?=(??1)??2??+2+???是關(guān)于x的二次函數(shù)，則?=．【答案】0根據(jù)二次函數(shù)的定義得到??1≠?2??+2=和方程即可得到k的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得??1≠且?2??+2=2，解得?=．故答案為：0．【變式2-3】（23-24九年級下·廣東廣州期末）如果?=(??3)???1?+??3是二次函數(shù)，佳佳求出k為3，敏敏求出k的值為－1，她們倆中求得結(jié)果正確的是．【答案】敏敏【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，由定義得|??1|=??3≠0，即可求解；理解定義：一般地，形如?=??2+??+?（a、c?≠）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵?=(??3)???1?+??是二次函數(shù)，∴|??1|=2，解得?=3，?=?，12又∵??3≠0，即?≠3，∴?=?，故敏敏正確．【題型3由二次函數(shù)的定義求字母的取值范圍】【例323-24九年級上上海嘉定·?=(??1)?2+???（??的取值范圍是．【答案】?≠1【分析】根據(jù)：形如?=??2+??+?(?≠0)，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)，得到??1≠，即可．【詳解】解：由題意，得：??1≠，∴?≠1；故答案為：?≠1．【變式3-123-24九年級上·浙江嘉興?=(?2???2+(??1)??m(1)若這個函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，求m的值．(2)若這個函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求m的取值范圍．【答案】?=；(2)?≠且?≠．【分析】（）根據(jù)一次函數(shù)的定義即可解決問題；（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義即可解決問題．【詳解】（）解：依題意?2??=0且??1≠，所以?=；（2）解：依題意?2??≠0，所以?≠且?≠．【變式3-223-24九年級上·廣東江門階段練習(xí)）已知關(guān)于?的二次函數(shù)?=(?2?1)?2+??2?值范圍是（A?≠1）B?≠?1C?≠±1D．為任意實數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得?2?1≠，解出答案即可．【詳解】因為關(guān)于?的二次函數(shù)?=(?2?1)?2+??2，∴?2?1≠，解得：?≠±1．故選：．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)?=??2+??+?(?≠概念，熟練掌握二次函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．【變式3-323-24九年級下·四川遂寧?=(?2-2)?2+(+2)求?的取值范圍【答案】?≠√且?≠-√2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可得不等式?2-2，解不等式即可求得．【詳解】解：∵函數(shù)?=(?2-2)?2?2)?是二次函數(shù)，∴?2-2，解得?≠±√，故答案為：?≠√?≠-√．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握和運用二次函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【題型4二次函數(shù)的一般形式】【例】（23-24九年級上四川南充·階段練習(xí)）二次函數(shù)?=?2?3?+5的二次項是，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是．【答案】?2?35【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可?！驹斀狻拷猓憾魏瘮?shù)?=?2?3?+的二次項是?2，一次項系數(shù)是?，常數(shù)項是，故答案為：①?2，②?，③，?=??2+??+?(???是常數(shù)，?≠0)????????是常數(shù)項．【變式4-123-24九年級上·全國y=?4(1+2x)(x?3)化為一般形式為：【答案】y=?8x2+20x+12．【分析】先利用整式的乘法得到（x-3+2x2-6x），然后去括號合并即可得到二次函數(shù)的一般式．【詳解】y=?4(1+2x)(x?3)=?4(x?3+2x?6x)=?8x2+20x+12，故答案為y=?8x+20x+12.【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)的三種形式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的三種形式.【變式4-2】（23-24九年級上·安徽六安階段練習(xí)）二次函數(shù)?=(??2)(5?2?的二次項系數(shù)是【答案】?2．【分析】先進行多項式的乘法運算，再合并同類項化成一般式即可．【詳解】解：?=(??2)(5?2?)=5??2?2+10+4?，=??2++9?+10，∴二次項系數(shù)是?，故答案為：?．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握化成一般形式，確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項．【變式4-3】（23-24九年級上·廣東汕尾階段練習(xí)）把y＝(3x-2)(x3)化成一般形式后，一次項系數(shù)與常數(shù)項的和為．【答案】1【分析】先將其化為一般式，即可求出一次項系數(shù)和常數(shù)項，從而求出結(jié)論．【詳解】解：y＝(3x-2)(x3)=3x＋7x-6∴一次項系數(shù)為7，常數(shù)項為-6∴一次項系數(shù)與常數(shù)項的和為＋（=1故答案為：1．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)的一般式，掌握二次函數(shù)的一般形式是解題關(guān)鍵．【知識點2列二次函數(shù)關(guān)系式】(1)理解題意：找出實際問題中的已知量和変量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；(2)分析關(guān)系：找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；(3)列函數(shù)表達式：設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達式寫成用自變量表示的函數(shù)的形式.【題型5求二次函數(shù)的值】【例523-24九年級下·四川達州·?(cm3與溫度?(°C)之間1的關(guān)系滿足二次函數(shù)?=?2+104(?>0)，則當(dāng)溫度為4°C時，水的體積為cm3．8【答案】106【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，細心計算是解題的關(guān)鍵．將t=4代入解析式求值即可．1【詳解】解：∵?=?2+104(?>0)，81當(dāng)t=4°C時，?=×42+104=106(cm3，8∴水的體積為106cm3．故答案為：106【變式5-123-24九年級上·江蘇鹽城?(m)與開始剎車時的速度?(m/s)之間滿1足二次函數(shù)?=?2?>0)，若該車某次的剎車距離為4m，則開始剎車時的速度為m/s．16【答案】8【分析】將?=4代入即可求解．1【詳解】解：令?=4，則4=?2，16解得：?=8（負值舍去）故答案為：8【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，將?=代入是解題的關(guān)鍵．【變式5-223-24全國·20m/sh(m)與時間t(s)滿足關(guān)系h=20t?5t2，當(dāng)h=20m時，物體的運動時間為【答案】2s．【分析】分析知，高h=20m有兩種情況，一是在上升過程某一時刻高為，或者是下降時高為h代入關(guān)系式即可分別得到時間．【詳解】根據(jù)題意，把=20代入關(guān)系式得：20?52?20=0,即(2)2=0，解得=2，∴物體運動時間為2；故答案為2.【點睛】考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征與物理運動問題的結(jié)合,進行準(zhǔn)確的運算即可.【變式5-3】（23-24九年級上·安徽安慶階段練習(xí)）如圖，在期末體育測試中，小朱擲出的實心球的飛行高138度（米）與水平距離（米）之間的關(guān)系大致滿足二次函數(shù)?=-?2+?+，則小朱本次投擲實心球的成1055績?yōu)椋ǎ〢7m【答案】C【分析】根據(jù)實心球落地時，高度y=0，把實際問題可理解為當(dāng)y時，求x的值即可．B．mC．mD8.5m138【詳解】解：在?=-?2+?+中，令=0得：1055138?+?+=0，2-1055解得=-2（舍去）或x，∴小朱本次投擲實心球的成績?yōu)?故選：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達的實際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．【題型6判斷函數(shù)關(guān)系】【例】（23-24九年級上北京朝陽·期末）如圖，矩形綠地的長和寬分別為30m和20m．若將該綠地的長、寬各增加??m2y與x之間的函數(shù)關(guān)系是次函數(shù)關(guān)系”或二次函數(shù)關(guān)系）“正比例函數(shù)關(guān)系”“一【答案】二次函數(shù)關(guān)系【分析】根據(jù)矩形面積公式求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案．【詳解】解：由題意得?=(30+?)(20+?)=?2+50?+600，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系，故答案為；二次函數(shù)關(guān)系．y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24九年級上·浙江嘉興開學(xué)考試）下列函數(shù)關(guān)系中，可以用二次函數(shù)描述的是（A．圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系）B．三角形的高一定時，面積與底邊長的關(guān)系C．在一定距離內(nèi)，汽車行駛速度與行駛時間的關(guān)系D．正方體的表面積與棱長的關(guān)系【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)，反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的定義一一判斷即可．【詳解】解：A．圓的周長c與圓的半徑r之間的關(guān)系是：?=2π?，故他們之間的關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；1B．三角形的高h?=??，故他們之間的關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；2C．在一定距離s內(nèi)，故他們之間的關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；D．正方體的表面積Sa的關(guān)系：?=6?2，S和a是二次函數(shù)關(guān)系，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式6-223-24九年級上·浙江杭州y﹣yy與xy與2y與x1212的函數(shù)關(guān)系是（A．正比例函數(shù)C．二次函數(shù)【答案】C）B．一次函數(shù)D．以上均不正確【分析】設(shè)y＝k，ykx2，根據(jù)yy﹣y＝kxkx2，由此得到答案．11221212【詳解】解：設(shè)y＝k，y＝kx2，1122則ykx﹣kx，12所以y是關(guān)于x的二次函數(shù)，故選：．【點睛】此題考查列函數(shù)關(guān)系式，正確理解正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24九年級下·福建福州期末）如圖，正方形????⊙?的周長之和為?（?為常數(shù)）cm，設(shè)圓的半徑為?cm?cm?cm2?在一定范圍內(nèi)變化時，?和?都隨?的變化而變化，則?與，S?滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】D11【分析】根據(jù)圓的周長公式和正方形的周長公式先得到?=???+??=?正方形??圓?=陰影24111????=??????????+?2，由此即可得到答案．22224416【詳解】解：∵正方形????和⊙?的周長之和為?cm，圓的半徑為?cm，正方形的邊長為?cm，∴4?+2??=?，11∴?=???+?，24∵?=?正方形??圓，211111∴?=?2???2=????+?????2=??2????2????+?2，244416∴y與xS與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的識別、正方形的周長與面積公式，理清題中的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．【題型7列二次函數(shù)關(guān)系式(幾何圖形】【例23-24九年級上全國·∠?=90°??=????=????△???的內(nèi)接矩形，如果??的長為?，矩形????的面積為?，則?與?的函數(shù)關(guān)系式為．1【答案】?=??2+10?2【分析】根據(jù)題意可得△???，△???是等腰直角三角形，得出??=??=??=??，進而根據(jù)矩形的面積即可求解．【詳解】∵∠?=，??=??，∴∠?=∠?=45°．∵四邊形????是△???的內(nèi)接矩形，∴∠???=∠???=90°，??=????=??，∴∠???=∠???=，∴??=??=??=??．∵??=20，??=?，∴?????=?????=20??，11∴??=??=??=??=(?????)=10??，22112．∴?=??10???=??+10?221故答案為：?=??2+10?．2【點睛】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24九年級下·遼寧本溪期中）已知一正方體的棱長是3cm，設(shè)棱長增加?cm時，正方體的表面積增加?cm2y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A?=6?2?36?C?=?2+36?B?=?6?2+36?D?=6?2+36?【答案】D【分析】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意直接列式即可作答．【詳解】根據(jù)題意有：?=6(?+3)2?6×32=6?2+36?，故選：D．【變式7-223-24九年級上·山西太原26cm，寬22cm，相框邊的寬為??cm，相框內(nèi)的面積是??cm2y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】?=4?2?96?+572(0<?<11)【分析】本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)整理并求出?的取值范圍即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得?=(26?2?)(22?2?)展開得：?=572?52??44?+4?2整理得：?=4?2?96?+572根據(jù)題意，得?>0?26?2?>0;22?2?>0解得：0<?<11．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為?=4?2?96?+572(0<?<11)，故答案為：?=4?2?96?+572(0<?<11)【變式7-323-24九年級上·廣東東莞??△?????⊥????=??=3，設(shè)直線?=?截此三角形所得的陰影部分的面積為?，則?與?之間的函數(shù)關(guān)系式為（）11A?=?【答案】BB?=?2C?=?2D?=?2?122【分析】??△???中，??⊥????=??=3∠???=∠?=45°∠???=∠?=45°，即∠???=∠???=45°，進而證明??=??=?，最后根據(jù)三角形的面積公式，求出??之間的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：如圖所示，∵??△???中，??⊥??，且??=??=3，∴∠???=∠?=45°，∵??⊥??，∴??∥??，∴∠???=∠?=45°，∴∠???=∠???=45°，∴??=??=?，1∴△???=??×??212(0<?≤3)，=?21即：?=?2<?≤．2故選：．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的面積等知識點．解題的關(guān)鍵是能夠找到題目中的有關(guān)面積的等量關(guān)系．【題型8列二次函數(shù)關(guān)系式(增長率)】【例】（23-24九年級上四川自貢·期末）一部售價為4000元的手機，一年內(nèi)連續(xù)兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，則兩次降價后的價格（元）與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A?=4000(1??)C?=8000(1??)B?=4000(1??2D?=8000(1??)2【答案】B【分析】根據(jù)兩次降價后的價格等于原價乘以（1每次降價的百分率）2，列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：∵每次降價的百分率都是x，∴兩次降價后的價格y（元）與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是?=4000(1??)2．故選：B【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8-123-24九年級上·安徽合肥2023年第一季度???總值約為2.6千億元人民幣，若我市第三季度???總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為xyx的函數(shù)表達式是（A?=2.6(1+2?)C?=2.6(1+?)2）B?=2.6(1??2D?=2.6+2.6(1+?)+2.6(1+?)2【答案】C【分析】第二季度???總值為2.6(1+?，第三季度為2.6(1+?)2，得解；【詳解】解：第三季度???總值為?=2.6(1+?)(1+?)=2.6(1+?)2；故選：C【點睛】本題考查增長率問題，理解固定增長率下增長一期、二期后的代數(shù)式表達是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24九年級上·安徽蚌埠階段練習(xí)）為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每盒零售價由16元降為?元，設(shè)平均每次降價的百分率是?，則?關(guān)于?的函數(shù)表達式為．【答案】?=16?2?32?+16【分析】根據(jù)增長率問題列出函數(shù)解析式即可．16元降為???關(guān)于?的函數(shù)表達式為：?=16(1??)2=16?2?32?+16，即?=16?2?32?+16．故答案為：?=16?2?32?+16．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24九年級上·全國階段練習(xí)）某學(xué)校去年對實驗器材投資為2萬元，預(yù)計今明兩年的投資總額為y萬元，年平均增長率為xy與x的函數(shù)解析式【答案】?=2?2+6?+4．【分析】由已知可得今年投資是（+1）萬元，明年投資是21+）2萬元；故y=2（+1）+2（1+）2．【詳解】解：依題意可得=2x+1+21+）22?2+6?+4故答案為2?2+6?+．【點睛】本題考核知識點：列二次函數(shù)，解題關(guān)鍵點：理解題意列出函數(shù)關(guān)系式．【題型9列二次函數(shù)關(guān)系式(循環(huán)】【例】（23-24九年級上遼寧大連·期中）已知有n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數(shù)為mmn的函數(shù)解析式為．11【答案】?=?2??22【分析】根據(jù)n個球隊都要與除自己之外的(??球隊個打一場，因此要打?(??1)場，然而有重復(fù)一半的場次，即可求出函數(shù)關(guān)系式．?(??1)11【詳解】解：根據(jù)題意，得?==?2??，22211故答案為：m=n2?n．22【點睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（23-24九年級上·全國單元測試）寒假九(1)班n名同學(xué)為了相互表達春節(jié)的祝愿，約定每兩名同學(xué)之間互發(fā)一次信息，那么互發(fā)信息的總次數(shù)m與n的函數(shù)關(guān)系式可以表示為（）111Am=n(n+1)Bm=n(n?1)Cm=n2Dm=n(n?1)222【答案】Dnn-1信息，進而得出總次即可．【詳解】∵九(1)班n名同學(xué)為了相互表達春節(jié)的祝愿，約定每兩名同學(xué)之間互發(fā)一次信息，∴互發(fā)信息的總次數(shù)m與n的函數(shù)關(guān)系式可以表示為：m=n(n?1).故答案選：D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.【變式9-2】（23-24九年級上·山東德州階段練習(xí)）有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有y人患了流感，每輪傳染中，平均一個人傳染了xy與x之間的函數(shù)關(guān)系式為【答案】y=x2+2x+1.【詳解】試題解析：第一輪流感后的人數(shù)為1+?,第二輪流感后的人數(shù)為1+?+?(?+1)=?2+2?+1.∴?=?2+2?+1.?與?之間的函數(shù)關(guān)系式為?=?2+2?+1.故答案為?=?2+2?+1.【變式9-3】（23-24九年級上·甘肅定西階段練習(xí)）籃球聯(lián)賽中，每兩個球隊之間進行兩場比賽，設(shè)有x個球隊參賽計劃共打yy與x之間的函數(shù)關(guān)系為【答案】?=?2??．【分析】根據(jù)題意找到比賽場數(shù)與球隊數(shù)量的關(guān)系即可．【詳解】解：每個球隊和剩下的(??1)個球隊比賽，每兩個球隊之間進行兩場比賽，∴?=?(??1)=?2??．故答案為：?=?2??．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確得出二次函數(shù)的解析式是求解本題的關(guān)鍵．【題型10列二次函數(shù)關(guān)系式(銷售】【例】（23-24九年級上廣東廣州·期末）某商店購進某種商品的價格是7.5元件，在一段時間里，單價是1