陜西省榆林市府谷縣府谷中學(xué)、府谷一中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

府谷中學(xué)、府谷一中高二年級(jí)第一次質(zhì)量調(diào)研檢測(cè)卷數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章一第二章第2節(jié)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．已知空間向量，則（）A．0 B．1 C．2 D．33．在四棱柱中，若，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則實(shí)數(shù)（）A．1 B．2 C． D．5．已知為實(shí)數(shù)，直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知空間中三點(diǎn)，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A． B． C．3 D．7．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．8．在正三棱錐中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．如圖，直線的斜率分別為，傾斜角分別為，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．10．在正方體中，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量為（）A． B． C． D．11．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為定值C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上D．當(dāng)時(shí)，平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的2倍，則直線的方程為_(kāi)________．13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則三棱錐的體積為_(kāi)________．14．在校長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，則線段的長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2．（1）用空間向量方法證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．16．（本小題滿分15分）已知的三個(gè)頂點(diǎn)是．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求的角平分線所在直線的方程．17．（本小題滿分15分）如圖，已知平行六面體．（1）若，求的長(zhǎng)度；（2）若，求與所成角的余弦值．18．（本小題滿分17分）如圖，四邊形是直角梯形，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（本小題滿分17分）如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，且．（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

府谷中學(xué)、府谷一中高二年級(jí)第一次質(zhì)量調(diào)研檢測(cè)卷?數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．A直線的斜率為，所以其傾斜角為．故選A．2．B．故選B．3．C．故選C．4．A當(dāng)時(shí)，，所以，解得．故選A．5．B易知兩直線的斜率存在，當(dāng)時(shí)，則解得，由推不出，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，可以推出，必要性成立．故選B．6．D夾角的余弦值為．因此夾角的正弦值為，故以為鄰邊的平行四邊形的面積為．故選D．7．C，設(shè)平面的法向量，則即令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離．故選C．8．D在正三棱錐中，，所以，又，所以．．故選D．9．AD由圖可得，所以A，D正確．故選AD．10．AC空間的一組向量可以成為基底的充分必要條件是這組向量不共面．選項(xiàng)A中，直線所在的平面是，而與平面相交，所以不共面，故這組向量可以成為基底，A正確；選項(xiàng)B中，滿足，所以這三個(gè)向量共面，這組向量不可以成為基底，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，直線所在的平面是，而與平面相交，所以不共面，這組向量可以成為基底，C正確；選項(xiàng)D中，因?yàn)?，所以共面，這組向量不可以成為基底，D錯(cuò)誤．故選AC．11．BCD當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在上，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因，故點(diǎn)在棱上，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故B正確；當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，則，即，又，故在線段上，故C正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋鬃C，從而可得平面，從而可得，又，從而得到平面，故D正確．故選BCD．12．或設(shè)在軸上的截距為，則在軸上的截距為，若，則過(guò)原點(diǎn)，故的方程為，即；若，則的方程為，所以，所以，所以的方程為，即．綜上所述，直線的方程為，或．13．2由題意得，所以的面積為，點(diǎn)都在平面上，點(diǎn)到平面的距離3，所以三棱錐的體積為．14．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．所以，設(shè)，其中，則．又，所以，所以，又，所以，所以，所以，此時(shí)，即線段的長(zhǎng)度的最小值為．15．如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，2），．所以．（1）證明：設(shè)平面的法向量為，由得令，得．因?yàn)?，所以，又平面，所以平面．?）解：由（1），得平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．16．解：（1）設(shè)邊上的高所在直線的斜率為，直線的斜率，所以，所以，故所求直線方程為，即．（2）由題意得，設(shè)分別為與同向的單位向量，則所以，所以的平分線所在直線的斜率為，（或：所以的中點(diǎn)為，故，由等腰三角形的性質(zhì)知，的平分線所在的直線斜率為，）故所求直線方程為，即．17．解：（1），因?yàn)?，所以，所以．?）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)與所成的角為，則，即與所成角的余弦值為．18．（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即．又因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以．又因?yàn)?，所以，又平面，所以平面．?）解：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則設(shè)，則，即點(diǎn)，則三棱錐的體積，解得，所以．則，設(shè)平面的法向量，由令，得平面的一個(gè)法向量，易知，為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值是．19．（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，所以兩兩垂直，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．根據(jù)題意，得．所以．因?yàn)?，所以共面，又有公共點(diǎn)