相似三角形的判定 數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊

第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件初中數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第1課時(shí)相似三角形的判定（1）相似多邊形各角分別相等、各邊成比例相似三角形三角分別相等、三邊成比例類比引入可否用比較少的條件來判定三角形相似呢？類比全等三角形全等三角形復(fù)習(xí)回顧全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等[——北師版七年級數(shù)學(xué)下冊教材P93、P98、P101、P103]①一個(gè)條件②兩個(gè)條件③三個(gè)條件①SSS②ASA③AAS④SAS返回探究新知∽△ABC△A'B'C'∠A=∠A'∠B=∠B'∠C=∠C'需要6個(gè)條件嗎？探究新知∽△ABC△A'B'C'∠A=∠A'∠B=∠B'∠C=∠C'需要6個(gè)條件嗎？角相等邊成比例2個(gè)2個(gè)+4個(gè)至少需要幾個(gè)條件呢？分類討論想一想(1)一個(gè)條件①一個(gè)角相等②兩邊成比例只有一個(gè)角相等，兩個(gè)三角形相似嗎？只有兩邊成比例，兩個(gè)三角形相似嗎？ABCA'B'C'ABCA'B'C'反例：反例：想一想(2)兩個(gè)條件有哪幾種情況呢？∠A=∠A'∠B=∠B'∠C=∠C'角相等邊成比例(2)兩個(gè)條件①一個(gè)角相等一個(gè)角相等＋＝兩角分別相等②一個(gè)角相等兩邊成比例＋＝兩邊成比例且兩角相等③兩邊成比例兩邊成比例＋＝三邊成比例a.兩邊成比例且夾角相等b.兩邊成比例且其中一邊的對角相等(2)兩個(gè)條件①一個(gè)角相等＋＝兩角分別相等一個(gè)角相等做一做與同伴合作，兩個(gè)人分別畫△ABC和△A′B′C′，使得∠A＝∠A′＝∠α，∠B＝∠B′＝∠β；那么三邊的比相等嗎？這樣的兩個(gè)三角形相似嗎？幾何畫板.gsp判定定理1

定理

兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，那么△ABC∽△A'B'C'ABCA'C'B'數(shù)學(xué)語言：如圖，D、E分別是△ABC的邊AB和AC上的點(diǎn)，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的長.平行角相等例1解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.ABCDE∴△ADE∽△ABC（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）.△相似∴∴【選自教材P90隨堂練習(xí)】1.有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形是否相似？為什么？2.頂角相等的兩個(gè)等腰三角形是否相似？為什么？相似，理由是：直角相等，一銳角相等，即有兩角分別相等，根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”可知這兩個(gè)三角形相似.相似，理由是：因?yàn)轫斀窍嗟龋瑑蓚€(gè)底角也分別相等.隨堂練習(xí)【選自教材P90習(xí)題4.5第1題】1.在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，∠E＝50°，

這兩個(gè)三角形相似嗎？為什么？解：相似.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠C＝50°，即∠C＝∠E，又已知∠A＝∠D，所以△ABC∽△DEF.鞏固練習(xí)【選自教材P90習(xí)題4.5第2題】2.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.找出圖中的相似三角形，并說明理由.ABCDO解：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC∴△ABO∽△CDO.ABCD解（1）△ABC∽△DBA,

△ABC∽△DAC,△DBA∽△DAC,3.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D.（1）請指出圖中所有的相似三角形；（2）你能得出AD2＝BD·DC嗎？【選自教材P90習(xí)題4.5第3題】3.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D.（1）請指出圖中所有的相似三角形；（2）你能得出AD2＝BD·DC嗎？ABCD解：（2）能得出AD2＝BD·DC.理由如下：由（1）可知△DBA∽△DAC，∴即AD2＝BD·DC.【選自教材P90習(xí)題4.5第3題】4.將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，（圖中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)），請?jiān)趫D中找出兩對相似而不全等的三角形，并說明它們相似的理由.ABCDEFG解：△ABE∽△DAE.理由：∠BEA＝∠AED，∠B＝∠DAE＝45°，△ADC∽△EDA.理由：∠CDA＝∠ADE，∠DCA＝∠DAE＝45°.【選自教材P90習(xí)題4.5第4題】5.如圖，為了測量一個(gè)大峽谷的寬度，位于峽谷一側(cè)的地質(zhì)勘探人員在對面的巖石上觀察一個(gè)特別明顯的標(biāo)志點(diǎn)O，再在他們所在這一側(cè)選點(diǎn)A、B、D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后確定DO和AB的交點(diǎn)C.測得AC＝120m，CB＝60m，BD＝50m，你能幫助他們算出峽谷的寬AO嗎？解：由AB⊥AO，DB⊥AB，得∠OAC＝∠DBC＝90°，又∠ACO＝∠BCD，所以△ACO∽△BCD.∴AOCBD【選自教材P91習(xí)題4.5第5題】①兩角分別相等③兩邊成比例且其中一邊的對角相等②兩邊成比例且夾角相等④三邊成比例課堂小結(jié)(2)兩個(gè)條件①只有一個(gè)角相等②只有兩邊成比例類比分類兩個(gè)三角形相似至少需要幾個(gè)條件呢？(1)一個(gè)條件兩千六百多年前，埃及有個(gè)國王，想知道已經(jīng)給他蓋好了的大金字塔的確實(shí)高度，于是，命令祭司們?nèi)フ闪俊？墒牵瑳]有一個(gè)祭司知道該怎樣測量，在這個(gè)問題面前，祭司們個(gè)個(gè)束手無策。顯然，人是不可能爬到那么高大的塔頂上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎樣來測量呢？一時(shí)，金字塔的高度成了一個(gè)難題。同時(shí)懸賞求解答。趣味拓展有一個(gè)叫法涅斯的學(xué)者，看到國王的詔書后，決心解決這個(gè)難題。他想了好幾個(gè)解題的方案，但都行不通。失敗并沒有使他灰心。法涅斯索性來到外面，一邊踱步，一邊思索解決的辦法，以致撞到樹上。于是，他轉(zhuǎn)了個(gè)彎，又走下去。太陽把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到哪里。這時(shí)，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以請?zhí)杹韼兔δ?？在古埃及人的眼里，太陽是萬能的，太陽能給人溫暖，能幫助人們確定方向。法涅斯眼前一亮，他清楚記得，早上和傍晚每個(gè)物體都拖著一個(gè)長長的影子，而中午每個(gè)物體的影子都很短……那么，是不是有一個(gè)時(shí)刻，物體的影子就等于物體的高度呢？他自言自語起來。想到這里，法涅斯就找了一根竿子，豎在太陽底下，認(rèn)真觀察、測量起來。經(jīng)過幾天的觀察、測量，法涅斯終于證實(shí)了自己的想法一有一個(gè)時(shí)候，物體的影子等于物體的高度。于是，他去測量好金字塔底邊的長度，并把數(shù)據(jù)記下來。然后，他毫不猶豫地揭下了懸掛的詔書。國王得到“有人揭下招字”的報(bào)告后，高興萬分，派人把法涅斯召進(jìn)王官，盛情款待.一切準(zhǔn)備停當(dāng)后，國王選擇了一個(gè)風(fēng)和日麗的日子，舉行測塔儀式。測塔這天，國王在祭司們的陪同下，和法涅斯一起來到金字塔旁?？礋狒[的人黑壓壓一片，喧嘩奢，擁擠著，他們等待著莊嚴(yán)的一刻到來。法涅斯站在測塔指揮臺上，儼然像個(gè)天使，一動也不動地注視著自己的影子?？纯磿r(shí)間快到了，太陽光給每一個(gè)在場的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子。當(dāng)法涅斯確定他自己的影子已等于他的身高時(shí)，便發(fā)出了測塔的命令。這時(shí)，助手們立即測出了金字塔的陰影的長。接著，法涅斯十分準(zhǔn)確地算出了金字塔的高度，最后，他還把測量金字塔高度的秘密告訴大家。場上，發(fā)出一陣熱烈的歡呼聲。顯然，法涅斯利用相似三角形的原理測得了塔高。在法涅斯以前，還沒有人知道這個(gè)原理呢！法涅斯第一次發(fā)現(xiàn)、利用這個(gè)原理。在那個(gè)時(shí)代，這是一個(gè)偉大的創(chuàng)舉！在這個(gè)基礎(chǔ)上，法涅斯進(jìn)一步研究，得出一個(gè)法則：在任意兩個(gè)對應(yīng)角相等的三角形中，對應(yīng)邊的比率也相等。從而，找到了在任何季節(jié)，在任何時(shí)候都能測塔高的方法。第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件初中數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第2課時(shí)相似三角形的判定（2）新課導(dǎo)入兩個(gè)三角形有兩邊成比例，它們一定相似嗎？1.5cm3cm1cm2cm不一定1.5cm3cm1cm2cm探究新知如果再增加一個(gè)條件，你能說出有哪幾種可能的情況嗎？我們先來考慮增加一角相等的情況.其中一邊的對角或兩邊的夾角①任意畫△ABC；②再畫△A′B′C′，使∠A′=∠A，且；③量出∠B及∠B′的度數(shù)，∠B＝∠B′嗎？由此可以推出∠C=∠C′嗎？為什么？④由上面的畫圖，你能發(fā)現(xiàn)△ABC與△A′B′C′有何關(guān)系？與你周圍的同學(xué)交流.⑤改變k值的大小，再試一試.ABCA′B′C′△ABC∽△A′B′C′做一做ABCA′B′C′相似三角形的判定定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.幾何語言：∵∴△ABC∽△A′B′C′例

如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且

，求DE的長.ABCDE解：∵AE=1.5，AC=2，又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC（兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似）例

如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且

，求DE的長.ABCDE∵BC=3，如果△ABC與△A′B′C′兩邊成比例，且其中一邊所對的角相等，那么這兩個(gè)三角形一定相似嗎？由此你能得到什么結(jié)論？50°4ABC3.2250°EDF1.6兩邊對應(yīng)成比例且其中一邊所對的角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定相似。想一想隨堂練習(xí)1.如圖，每組中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？CABEF1133（1）（2）35°2.5453.535°夾角的兩邊不成比例2.如圖，P是△ABC的邊AB上的一點(diǎn).（1）如果∠ACP=∠B，△ACP與△ABC是否相似？為什么？ABCP解：相似.理由如下：∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC.（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）2.如圖，P是△ABC的邊AB上的一點(diǎn).（2）如果

，△ACP與△ABC是否相似？為什么？如果

呢？ABCP解：如果，則△ACP∽△ABC（兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似）如果，則無法判斷△ACP與△ABC是否相似.3.如圖，畫一個(gè)三角形，使它與△ABC相似，且相似比為1:2.ABCFE①取AB、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF.則△ABC∽△EBF，且相似比為1:23.如圖，畫一個(gè)三角形，使它與△ABC相似，且相似比為1:2.ABCFE②分別延長AB、BC，使EB=2AB，F(xiàn)B=2CB.則△ABC∽△EBF，且相似比為1:2課堂小結(jié)ABCA′B′C′相似三角形的判定定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.幾何語言：∵∴△ABC∽△A′B′C′第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件初中數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第3課時(shí)相似三角形的判定（3）復(fù)習(xí)導(dǎo)入我們接著來考慮增加的條件是“另兩邊成比例”的問題.探究新知如果兩個(gè)三角形的三邊成比例，那么這兩個(gè)三角形一定相似嗎？①任意畫△ABC；②再畫△A′B′C′，使；③量出∠A及∠A′的度數(shù)，∠A＝∠A′嗎？④由上面的畫圖，你能發(fā)現(xiàn)△ABC與△A′B′C′有何關(guān)系？說說你的理由.⑤改變k值的大小，再試一試.ABCA′B′C′做一做△ABC∽△A′B′C′（兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似）ABCA′B′C′相似三角形的判定定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.幾何語言：∴△ABC∽△A′B′C′∵例

如圖，在△ABC和△ADE中，，∠BAD=20°，求∠CAE的度數(shù).ADCEB∴△ABC∽△ADE（三邊成比例的兩個(gè)三角形相似）解：∵∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC