高二數(shù)學（江蘇理科）（新高三）暑期作業(yè)復習方法策略講-“圓錐曲線”的全國

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第14講“圓錐曲線”的復習要緊抓定義、方程與性質(zhì)圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，也是歷年高考重點考查的內(nèi)容之一，復習時緊緊抓住橢圓、雙曲線、拋物線的定義、圖形、標準方程、幾何性質(zhì)，用代數(shù)方法系統(tǒng)研究圓錐曲線的其他重要性質(zhì),滲透研究圓錐曲線問題的基本方法．1．緊抓定義、方程與性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識．通過復習，要對橢圓、雙曲線、拋物線的定義、圖形、標準方程、幾何性質(zhì)，了然于胸．對于橢圓，搞清楚標準方程的代數(shù)特點:mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n），明確決定焦點位置的因素，清楚a，b，c，e的關(guān)系．對于雙曲線，搞清楚標準方程的代數(shù)特點：mx2＋ny2＝1（mn<0)，明確決定焦點位置的因素，清楚a，b，c，e的關(guān)系，標準方程與漸近線方程的關(guān)系,漸近線方程與離心率e的關(guān)系．對于拋物線，能從標準方程中確定焦點位置(看一次項)，開口方向(看一次項系數(shù)符號）,焦點坐標，準線方程．2．能熟練地求圓錐曲線的標準方程．立足課本，梳理出求圓錐曲線標準方程的基本類型,會選擇最適當?shù)姆椒?熟練地利用定義、幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求圓錐曲線的標準方程，焦點位置不確定時，注意分類討論，對有些問題能合理的避免分類討論．3．立足橢圓，用代數(shù)方法研究性質(zhì),滲透基本方法,提高運算能力．解析幾何問題的突出特點，一是運算量大，二是變形技巧強．要提高解決解析幾何問題的能力，一要提高運算能力，二要掌握解決問題的基本方法．立足橢圓,對橢圓的一些性質(zhì),如橢圓上的點到中心、焦點的最大（小）距離，過焦點的弦長最大(?。┲?，橢圓上的點與兩焦點所連線段夾角的最大值等，不要只記結(jié)論，要利用函數(shù)、方程思想動手解決，從問題解決的過程中體會函數(shù)、方程思想,設而不求的方法，提高運算與變形能力．例1（1）求滿足下列條件的橢圓的標準方程．①經(jīng)過點（3，0），離心率e＝eq\f(\r(6),3）；②經(jīng)過兩點P1（eq\f(1,3），eq\f(1,3）)，P2(0，－eq\f(1，2））．(2)求滿足條件：漸近線方程為y＝±2x，且過點（2，2）的雙曲線的標準方程．解后反思求圓錐曲線的標準方程時，要根據(jù)條件靈活地選擇定義、幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求解．焦點位置不確定時,注意分類討論，但盡量避免分類討論．例2如圖，F(xiàn)1,F2是橢圓C1：eq\f(x2，4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是________．解后反思1．由矩形的幾何特征聯(lián)想其性質(zhì)，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系：AFeq\o\al（2，1）＋AFeq\o\al（2，2)＝F1Feq\o\al(2,2），是解決問題的關(guān)鍵；2．與焦點三角形（橢圓、雙曲線上的點與兩焦點連結(jié)而成的三角形）有關(guān)的問題，往往要利用橢圓、雙曲線的定義解決問題．例3設F1、F2分別是橢圓E：eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a〉b〉0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A、B兩點,且AF2,AB，BF2成等差數(shù)列．（1)求E的離心率;(2)設點P（0，－1)滿足PA＝PB，求E的方程．解后反思1．焦點三角形與橢圓、雙曲線的定義緊密聯(lián)系；2．弦長問題、弦中點問題是直線與圓錐曲線相交時的基本問題．弦長公式是兩點間距離公式的變形．當直線與圓錐曲線相交時,讓直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于x或y的二次方程，對交點坐標一般是設而不求，而是整體利用x1＋x2，x1x2（y1＋y2，y1y2)．3．不直接利用幾何條件PA＝PB，而是聯(lián)想幾何性質(zhì)：點P在弦AB的垂直平分線上，繼而得到代數(shù)關(guān)系,給解決問題帶來很大方便．總結(jié)感悟1．求圓錐曲線的標準方程時，要根據(jù)條件靈活地選擇定義、幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求解．焦點位置不確定時，注意分類討論，但盡量避免分類討論．2．一般用設而不求的方法解決弦長問題、弦中點問題．直線與圓錐曲線的交點坐標是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到關(guān)于x或y的二次方程的解，對交點坐標設而不求，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．3．由圖形的幾何特征聯(lián)想幾何性質(zhì)，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，是解決解析幾何問題的重要手段．【誤區(qū)警示】對于弦中點問題，也可將所設交點A（x1,y1），B（x2，y2）的坐標代入曲線方程，兩式相減，就可得到弦的中點坐標與弦所在直線的斜率之間的關(guān)系，此法稱為“點差法”,合理應用此法可簡化有關(guān)計算，但需注意，在雙曲線中應用此法，最后應檢驗所求得直線與曲線是否相交．A級1．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線經(jīng)過點(－1，1），則該拋物線焦點坐標為__________．2．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F（3，0），離心率等于eq\f(3,2）,則雙曲線C的方程是____________．3．橢圓x2＋my2＝1的焦點在x軸上,長軸長是短軸長的2倍，則m＝________．4．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A（x0，y0）是C上一點，AF＝eq\f(5,4）x0，則x0＝________．5．已知F1(－1，0）,F2(1，0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x的直線與橢圓C交于A，B兩點，且AB＝3，則C的方程為______________．6．設AB是橢圓Г的長軸,點C在Г上，且∠CBA＝eq\f(π,4），若AB＝4,BC＝eq\r（2),則Г的兩個焦點之間的距離為________．7。拋物線x2＝2py（p〉0)的焦點為F,其準線與雙曲線eq\f（x2，3)－eq\f(y2，3)＝1相交于A、B兩點,若△ABF為等邊三角形，則p＝________．B級8．已知雙曲線C：eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1(a〉0，b〉0）的離心率為eq\f（\r(5),2），則C的漸近線方程為__________．9．點P是橢圓eq\f（x2，25）＋eq\f(y2，16)＝1上一點，F(xiàn)1,F2是橢圓的兩個焦點，且△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1，當P在第一象限時，P點的縱坐標為________．10．過拋物線y2＝2px（p〉0）的焦點F的直線與拋物線相交于M，N兩點，自M,N向準線l作垂線,垂足分別為M1，N1，則∠M1FN1＝________．11．設F為拋物線C:y2＝4x的焦點,過點P（－1，0)的直線l交拋物線C于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，若FQ＝2,則直線l的斜率等于________．12．（2016·全國Ⅱ改編)已知F1,F2是雙曲線E：eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦點,點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1，3），則E的離心率為________．13。如圖所示，點A、B分別是橢圓eq\f(x2，36）＋eq\f(y2，20)＝1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.（1）求點P的坐標；(2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于MB,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

第14講“圓錐曲線”的復習要緊抓定義、方程與性質(zhì)題型分析例1解（1）①當橢圓的焦點在x軸上時，由橢圓性質(zhì)知，a＝3,由eq\f(c,a）＝eq\f（\r（6),3）,得c＝eq\r（6)，故b2＝a2－c2＝9－6＝3,橢圓的標準方程為eq\f（x2,9)＋eq\f(y2,3）＝1；當橢圓的焦點在y軸上時，由橢圓性質(zhì)知，b＝3，由eq\f（c,a)＝eq\f（\r(6),3),即eq\f(a2－b2,a2）＝eq\f（2,3),得a2＝27，橢圓的標準方程為eq\f（y2,27）＋eq\f(x2,9）＝1.綜上，橢圓的標準方程為eq\f(x2，9)＋eq\f（y2，3)＝1或eq\f(y2,27）＋eq\f（x2，9）＝1.②方法一當橢圓的焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1(a〉b〉0)，依題意，知eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f(（\f(1，3）)2,a2）＋\f(（\f（1，3))2，b2）＝1，,\f（(－\f(1，2))2，b2）＝1，)）?eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1，4）.））∵a2＝eq\f(1，5)〈eq\f（1,4)＝b2,∴方程無解．當橢圓的焦點在y軸上時,設橢圓的標準方程為eq\f（y2,a2）＋eq\f(x2,b2）＝1（a>b〉0），依題意，知eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(\f(（\f（1,3)）2，a2）＋\f（（\f（1,3））2，b2)＝1，,\f（(－\f（1，2)）2,a2）＝1，))?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4），，b2＝\f(1,5)。))故所求橢圓的標準方程為eq\f(y2，\f（1,4))＋eq\f(x2，\f（1，5)）＝1.方法二設所求橢圓的方程為Ax2＋By2＝1（A>0,B>0，A≠B）．依題意,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A(\f（1,3））2＋B（\f（1,3)）2＝1，,B(－\f(1，2)）2＝1，））?eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（A＝5，，B＝4.))故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2，\f（1,5)）＋eq\f（y2，\f(1，4）)＝1.（2）方法一當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線的標準方程為eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a〉0，b〉0），則eq\f（b,a）＝2，且eq\f(4,a2)－eq\f(4,b2)＝1,解得a2＝3，b2＝12.雙曲線的標準方程為eq\f(x2，3)－eq\f(y2,12）＝1.當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線的標準方程為eq\f(y2，a2）－eq\f(x2,b2)＝1（a>0,b〉0)，則eq\f(a,b)＝2，且eq\f（4，a2）－eq\f(4，b2)＝1，無解．綜上,雙曲線的標準方程為eq\f（x2，3）－eq\f（y2,12)＝1.方法二依題意設雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4）＝λ（λ≠0），將點(2，2）代入求得λ＝3,所以所求雙曲線的標準方程為eq\f（x2，3）－eq\f（y2,12)＝1。例2eq\f（\r（6），2)解析F1F2＝2eq\r(3)。設雙曲線的方程為eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1.∵AF2＋AF1＝4，AF2－AF1＝2a,∴AF2＝2＋a，AF1＝2－a。在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴AFeq\o\al（2,1)＋AFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al（2，2)，即（2－a）2＋(2＋a）2＝(2eq\r(3))2，∴a＝eq\r（2），∴e＝eq\f（c，a）＝eq\f（\r（3),\r(2)）＝eq\f（\r(6)，2）。例3解(1)由橢圓定義知AF2＋BF2＋AB＝4a,又2AB＝AF2＋BF2，得AB＝eq\f（4,3)a.l的方程為y＝x＋c,其中c＝eq\r（a2－b2).設A（x1，y1），B（x2,y2)，則A、B兩點坐標滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c,，\f（x2,a2）＋\f（y2，b2）＝1。）)化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，則x1＋x2＝eq\f(－2a2c，a2＋b2）,x1x2＝eq\f（a2（c2－b2)，a2＋b2).因為直線AB的斜率為1，所以AB＝eq\r(2）｜x2－x1｜＝eq\r(2［(x1＋x2）2－4x1x2]），即eq\f(4，3)a＝eq\f（4ab2，a2＋b2)，故a2＝2b2，所以橢圓E的離心率e＝eq\f（c,a)＝eq\f(\r（a2－b2），a）＝eq\f（\r(2）,2).(2)設線段AB的中點為N(x0，y0),由（1）知x0＝eq\f（x1＋x2，2）＝eq\f(－a2c,a2＋b2)＝－eq\f（2,3）c，y0＝x0＋c＝eq\f(c，3)。由PA＝PB得kPN＝－1，即eq\f(y0＋1,x0）＝－1，得c＝3，從而a＝3eq\r(2），b＝3。故橢圓E的方程為eq\f（x2,18)＋eq\f（y2,9)＝1.線下作業(yè)1．(1，0）解析由于拋物線y2＝2px（p＞0）的準線方程為x＝－eq\f(p，2)，由題意得－eq\f(p，2）＝－1，p＝2，焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1,0）)。2。eq\f(x2，4)－eq\f（y2，5）＝1解析由題意知：c＝3，e＝eq\f（c，a）＝eq\f（3,2)，∴a＝2;b2＝c2－a2＝9－4＝5，故所求雙曲線方程為eq\f（x2，4）－eq\f（y2,5）＝1.3．44．1解析由拋物線的定義，可得AF＝x0＋eq\f（1，4)，∵AF＝eq\f(5，4)x0，∴x0＋eq\f（1，4)＝eq\f(5，4)x0，∴x0＝1。5.eq\f（x2，4)＋eq\f(y2,3）＝1解析設橢圓C的方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2）＝1(a〉b〉0)，則c＝1。因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，且AB＝3,所以eq\f(b2,a）＝eq\f（3,2），b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，橢圓的方程為eq\f（x2,4）＋eq\f(y2，3)＝1。6.eq\f（4\r(6)，3)解析不妨設橢圓Г的標準方程為eq\f(x2,4）＋eq\f(y2,b2）＝1，于是可算得C(1，±1），得b2＝eq\f（4,3)，2c＝eq\f(4\r（6),3）。7.6解析由題意知Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(p,\r(3)），－\f(p，2))），代入方程eq\f（x2，3)－eq\f(y2,3）＝1得p＝6.8．y＝±eq\f（1,2)x解析由e＝eq\f（c，a)＝eq\f(\r（5）,2)知，a＝2k,c＝eq\r（5)k(k∈R＋),由b2＝c2－a2＝k2知b＝k。所以eq\f(b，a)＝eq\f(1,2）.即漸近線方程為y＝±eq\f（1,2)x。9。eq\f(8，3)解析PF1＋PF2＝10,F1F2＝6，S△PF1F2＝eq\f（1,2)(PF1＋PF2＋F1F2）·1＝8＝eq\f（1，2）F1F2·yP＝3yP.所以yP＝eq\f（8，3).10．90°解析如圖,由拋物線的定義，得MF＝MM1，NF＝NN1?！唷螹FM1＝∠MM1F，∠NFN1＝∠NN1F.設準線l與x軸的交點為F1，∵MM1∥FF1∥NN1，∴∠MM1F＝∠M1FF1,∠NN1F＝∠N1FF1。而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°，∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°,即∠M1FN1＝90°。11．±1解析設直線l的方程為y＝k（x＋1)，A（x1，y1)、B(x2，y2)、Q（x0，y0)，解方程組eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（y＝k(x＋1),,y2＝4x。））化簡得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0∴x1＋x2＝eq\f(4－2k2,k2），y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝eq\f（4，k）.∴x0＝eq\f（2－k2,k2)，y0＝eq\f（2,k).由eq\r（（x0－1）2＋（y0－0）2)＝2得：eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1