高二數(shù)學(xué)（江蘇理科）（新高三）暑期作業(yè)復(fù)習(xí)方法策略講-“圓錐曲線(xiàn)”的全國(guó)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第14講“圓錐曲線(xiàn)”的復(fù)習(xí)要緊抓定義、方程與性質(zhì)圓錐曲線(xiàn)是平面解析幾何的核心部分，也是歷年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，復(fù)習(xí)時(shí)緊緊抓住橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，用代數(shù)方法系統(tǒng)研究圓錐曲線(xiàn)的其他重要性質(zhì),滲透研究圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的基本方法．1．緊抓定義、方程與性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)．通過(guò)復(fù)習(xí)，要對(duì)橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，了然于胸．對(duì)于橢圓，搞清楚標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特點(diǎn):mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n），明確決定焦點(diǎn)位置的因素，清楚a，b，c，e的關(guān)系．對(duì)于雙曲線(xiàn)，搞清楚標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特點(diǎn)：mx2＋ny2＝1（mn<0)，明確決定焦點(diǎn)位置的因素，清楚a，b，c，e的關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線(xiàn)方程的關(guān)系,漸近線(xiàn)方程與離心率e的關(guān)系．對(duì)于拋物線(xiàn)，能從標(biāo)準(zhǔn)方程中確定焦點(diǎn)位置(看一次項(xiàng))，開(kāi)口方向(看一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)）,焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程．2．能熟練地求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．立足課本，梳理出求圓錐曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的基本類(lèi)型,會(huì)選擇最適當(dāng)?shù)姆椒?熟練地利用定義、幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，注意分類(lèi)討論，對(duì)有些問(wèn)題能合理的避免分類(lèi)討論．3．立足橢圓，用代數(shù)方法研究性質(zhì),滲透基本方法,提高運(yùn)算能力．解析幾何問(wèn)題的突出特點(diǎn)，一是運(yùn)算量大，二是變形技巧強(qiáng)．要提高解決解析幾何問(wèn)題的能力，一要提高運(yùn)算能力，二要掌握解決問(wèn)題的基本方法．立足橢圓,對(duì)橢圓的一些性質(zhì),如橢圓上的點(diǎn)到中心、焦點(diǎn)的最大（小）距離，過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)最大(?。┲?，橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所連線(xiàn)段夾角的最大值等，不要只記結(jié)論，要利用函數(shù)、方程思想動(dòng)手解決，從問(wèn)題解決的過(guò)程中體會(huì)函數(shù)、方程思想,設(shè)而不求的方法，提高運(yùn)算與變形能力．例1（1）求滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．①經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），離心率e＝eq\f(\r(6),3）；②經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（eq\f(1,3），eq\f(1,3）)，P2(0，－eq\f(1，2））．(2)求滿(mǎn)足條件：漸近線(xiàn)方程為y＝±2x，且過(guò)點(diǎn)（2，2）的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．解后反思求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要根據(jù)條件靈活地選擇定義、幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求解．焦點(diǎn)位置不確定時(shí),注意分類(lèi)討論，但盡量避免分類(lèi)討論．例2如圖，F(xiàn)1,F2是橢圓C1：eq\f(x2，4)＋y2＝1與雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是________．解后反思1．由矩形的幾何特征聯(lián)想其性質(zhì)，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系：AFeq\o\al（2，1）＋AFeq\o\al（2，2)＝F1Feq\o\al(2,2），是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；2．與焦點(diǎn)三角形（橢圓、雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連結(jié)而成的三角形）有關(guān)的問(wèn)題，往往要利用橢圓、雙曲線(xiàn)的定義解決問(wèn)題．例3設(shè)F1、F2分別是橢圓E：eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a〉b〉0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1斜率為1的直線(xiàn)l與E相交于A、B兩點(diǎn),且AF2,AB，BF2成等差數(shù)列．（1)求E的離心率;(2)設(shè)點(diǎn)P（0，－1)滿(mǎn)足PA＝PB，求E的方程．解后反思1．焦點(diǎn)三角形與橢圓、雙曲線(xiàn)的定義緊密聯(lián)系；2．弦長(zhǎng)問(wèn)題、弦中點(diǎn)問(wèn)題是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)的基本問(wèn)題．弦長(zhǎng)公式是兩點(diǎn)間距離公式的變形．當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí),讓直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，得到關(guān)于x或y的二次方程，對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)一般是設(shè)而不求，而是整體利用x1＋x2，x1x2（y1＋y2，y1y2)．3．不直接利用幾何條件PA＝PB，而是聯(lián)想幾何性質(zhì)：點(diǎn)P在弦AB的垂直平分線(xiàn)上，繼而得到代數(shù)關(guān)系,給解決問(wèn)題帶來(lái)很大方便．總結(jié)感悟1．求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要根據(jù)條件靈活地選擇定義、幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求解．焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，注意分類(lèi)討論，但盡量避免分類(lèi)討論．2．一般用設(shè)而不求的方法解決弦長(zhǎng)問(wèn)題、弦中點(diǎn)問(wèn)題．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)是直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，得到關(guān)于x或y的二次方程的解，對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．3．由圖形的幾何特征聯(lián)想幾何性質(zhì)，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，是解決解析幾何問(wèn)題的重要手段．【誤區(qū)警示】對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題，也可將所設(shè)交點(diǎn)A（x1,y1），B（x2，y2）的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)方程，兩式相減，就可得到弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線(xiàn)的斜率之間的關(guān)系，此法稱(chēng)為“點(diǎn)差法”,合理應(yīng)用此法可簡(jiǎn)化有關(guān)計(jì)算，但需注意，在雙曲線(xiàn)中應(yīng)用此法，最后應(yīng)檢驗(yàn)所求得直線(xiàn)與曲線(xiàn)是否相交．A級(jí)1．已知拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，1），則該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________．2．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于eq\f(3,2）,則雙曲線(xiàn)C的方程是____________．3．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則m＝________．4．已知拋物線(xiàn)C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A（x0，y0）是C上一點(diǎn)，AF＝eq\f(5,4）x0，則x0＝________．5．已知F1(－1，0）,F2(1，0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x的直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且AB＝3，則C的方程為_(kāi)_____________．6．設(shè)AB是橢圓Г的長(zhǎng)軸,點(diǎn)C在Г上，且∠CBA＝eq\f(π,4），若AB＝4,BC＝eq\r（2),則Г的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______．7。拋物線(xiàn)x2＝2py（p〉0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)eq\f（x2，3)－eq\f(y2，3)＝1相交于A、B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形，則p＝________．B級(jí)8．已知雙曲線(xiàn)C：eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1(a〉0，b〉0）的離心率為eq\f（\r(5),2），則C的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_________．9．點(diǎn)P是橢圓eq\f（x2，25）＋eq\f(y2，16)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)P在第一象限時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______．10．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px（p〉0）的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于M，N兩點(diǎn)，自M,N向準(zhǔn)線(xiàn)l作垂線(xiàn),垂足分別為M1，N1，則∠M1FN1＝________．11．設(shè)F為拋物線(xiàn)C:y2＝4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P（－1，0)的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若FQ＝2,則直線(xiàn)l的斜率等于________．12．（2016·全國(guó)Ⅱ改編)已知F1,F2是雙曲線(xiàn)E：eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1，3），則E的離心率為_(kāi)_______．13。如圖所示，點(diǎn)A、B分別是橢圓eq\f(x2，36）＋eq\f(y2，20)＝1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線(xiàn)AP的距離等于MB,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

第14講“圓錐曲線(xiàn)”的復(fù)習(xí)要緊抓定義、方程與性質(zhì)題型分析例1解（1）①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓性質(zhì)知，a＝3,由eq\f(c,a）＝eq\f（\r（6),3）,得c＝eq\r（6)，故b2＝a2－c2＝9－6＝3,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2,9)＋eq\f(y2,3）＝1；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由橢圓性質(zhì)知，b＝3，由eq\f（c,a)＝eq\f（\r(6),3),即eq\f(a2－b2,a2）＝eq\f（2,3),得a2＝27，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2,27）＋eq\f(x2,9）＝1.綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，9)＋eq\f（y2，3)＝1或eq\f(y2,27）＋eq\f（x2，9）＝1.②方法一當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1(a〉b〉0)，依題意，知eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f(（\f(1，3）)2,a2）＋\f(（\f（1，3))2，b2）＝1，,\f（(－\f(1，2))2，b2）＝1，)）?eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1，4）.））∵a2＝eq\f(1，5)〈eq\f（1,4)＝b2,∴方程無(wú)解．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2,a2）＋eq\f(x2,b2）＝1（a>b〉0），依題意，知eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(\f(（\f（1,3)）2，a2）＋\f（（\f（1,3））2，b2)＝1，,\f（(－\f（1，2)）2,a2）＝1，))?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4），，b2＝\f(1,5)。))故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2，\f（1,4))＋eq\f(x2，\f（1，5)）＝1.方法二設(shè)所求橢圓的方程為Ax2＋By2＝1（A>0,B>0，A≠B）．依題意,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A(\f（1,3））2＋B（\f（1,3)）2＝1，,B(－\f(1，2)）2＝1，））?eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（A＝5，，B＝4.))故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，\f（1,5)）＋eq\f（y2，\f(1，4）)＝1.（2）方法一當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a〉0，b〉0），則eq\f（b,a）＝2，且eq\f(4,a2)－eq\f(4,b2)＝1,解得a2＝3，b2＝12.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，3)－eq\f(y2,12）＝1.當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2，a2）－eq\f(x2,b2)＝1（a>0,b〉0)，則eq\f(a,b)＝2，且eq\f（4，a2）－eq\f(4，b2)＝1，無(wú)解．綜上,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2，3）－eq\f（y2,12)＝1.方法二依題意設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x2－eq\f(y2,4）＝λ（λ≠0），將點(diǎn)(2，2）代入求得λ＝3,所以所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2，3）－eq\f（y2,12)＝1。例2eq\f（\r（6），2)解析F1F2＝2eq\r(3)。設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1.∵AF2＋AF1＝4，AF2－AF1＝2a,∴AF2＝2＋a，AF1＝2－a。在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴AFeq\o\al（2,1)＋AFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al（2，2)，即（2－a）2＋(2＋a）2＝(2eq\r(3))2，∴a＝eq\r（2），∴e＝eq\f（c，a）＝eq\f（\r（3),\r(2)）＝eq\f（\r(6)，2）。例3解(1)由橢圓定義知AF2＋BF2＋AB＝4a,又2AB＝AF2＋BF2，得AB＝eq\f（4,3)a.l的方程為y＝x＋c,其中c＝eq\r（a2－b2).設(shè)A（x1，y1），B（x2,y2)，則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c,，\f（x2,a2）＋\f（y2，b2）＝1。）)化簡(jiǎn)得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，則x1＋x2＝eq\f(－2a2c，a2＋b2）,x1x2＝eq\f（a2（c2－b2)，a2＋b2).因?yàn)橹本€(xiàn)AB的斜率為1，所以AB＝eq\r(2）｜x2－x1｜＝eq\r(2［(x1＋x2）2－4x1x2]），即eq\f(4，3)a＝eq\f（4ab2，a2＋b2)，故a2＝2b2，所以橢圓E的離心率e＝eq\f（c,a)＝eq\f(\r（a2－b2），a）＝eq\f（\r(2）,2).(2)設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為N(x0，y0),由（1）知x0＝eq\f（x1＋x2，2）＝eq\f(－a2c,a2＋b2)＝－eq\f（2,3）c，y0＝x0＋c＝eq\f(c，3)。由PA＝PB得kPN＝－1，即eq\f(y0＋1,x0）＝－1，得c＝3，從而a＝3eq\r(2），b＝3。故橢圓E的方程為eq\f（x2,18)＋eq\f（y2,9)＝1.線(xiàn)下作業(yè)1．(1，0）解析由于拋物線(xiàn)y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－eq\f(p，2)，由題意得－eq\f(p，2）＝－1，p＝2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1,0）)。2。eq\f(x2，4)－eq\f（y2，5）＝1解析由題意知：c＝3，e＝eq\f（c，a）＝eq\f（3,2)，∴a＝2;b2＝c2－a2＝9－4＝5，故所求雙曲線(xiàn)方程為eq\f（x2，4）－eq\f（y2,5）＝1.3．44．1解析由拋物線(xiàn)的定義，可得AF＝x0＋eq\f（1，4)，∵AF＝eq\f(5，4)x0，∴x0＋eq\f（1，4)＝eq\f(5，4)x0，∴x0＝1。5.eq\f（x2，4)＋eq\f(y2,3）＝1解析設(shè)橢圓C的方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2）＝1(a〉b〉0)，則c＝1。因?yàn)檫^(guò)F2且垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且AB＝3,所以eq\f(b2,a）＝eq\f（3,2），b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，橢圓的方程為eq\f（x2,4）＋eq\f(y2，3)＝1。6.eq\f（4\r(6)，3)解析不妨設(shè)橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4）＋eq\f(y2,b2）＝1，于是可算得C(1，±1），得b2＝eq\f（4,3)，2c＝eq\f(4\r（6),3）。7.6解析由題意知Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(p,\r(3)），－\f(p，2))），代入方程eq\f（x2，3)－eq\f(y2,3）＝1得p＝6.8．y＝±eq\f（1,2)x解析由e＝eq\f（c，a)＝eq\f(\r（5）,2)知，a＝2k,c＝eq\r（5)k(k∈R＋),由b2＝c2－a2＝k2知b＝k。所以eq\f(b，a)＝eq\f(1,2）.即漸近線(xiàn)方程為y＝±eq\f（1,2)x。9。eq\f(8，3)解析PF1＋PF2＝10,F1F2＝6，S△PF1F2＝eq\f（1,2)(PF1＋PF2＋F1F2）·1＝8＝eq\f（1，2）F1F2·yP＝3yP.所以yP＝eq\f（8，3).10．90°解析如圖,由拋物線(xiàn)的定義，得MF＝MM1，NF＝NN1?！唷螹FM1＝∠MM1F，∠NFN1＝∠NN1F.設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為F1，∵M(jìn)M1∥FF1∥NN1，∴∠MM1F＝∠M1FF1,∠NN1F＝∠N1FF1。而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°，∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°,即∠M1FN1＝90°。11．±1解析設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k（x＋1)，A（x1，y1)、B(x2，y2)、Q（x0，y0)，解方程組eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（y＝k(x＋1),,y2＝4x。））化簡(jiǎn)得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0∴x1＋x2＝eq\f(4－2k2,k2），y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝eq\f（4，k）.∴x0＝eq\f（2－k2,k2)，y0＝eq\f（2,k).由eq\r（（x0－1）2＋（y0－0）2)＝2得：eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1