高二數(shù)學(xué)二第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面與平面垂直的判定【教案】

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3.2平面與平面垂直的判定整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析在空間平面與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問(wèn)題平面化的典范?？臻g中平面與平面垂直的定義是通過(guò)二面角給出的,二面角是高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn).使學(xué)生掌握兩個(gè)平面互相垂直的判定，提高學(xué)生空間想象能力，提高等價(jià)轉(zhuǎn)化思想滲透的意識(shí)，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度分析、思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。三維目標(biāo)1。探究平面與平面垂直的判定定理，二面角的定義及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。2。掌握平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.3。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求二面角的方法,培養(yǎng)學(xué)生歸納問(wèn)題的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面與平面垂直判定。教學(xué)難點(diǎn)：平面與平面垂直判定和求二面角.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)兩平面的位置關(guān)系：（1）如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩平面平行若α∩β=，則α∥β.(2）如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則兩平面相交若α∩β=AB,則α與β相交。兩平面平行與相交的圖形表示如圖1.圖1導(dǎo)入新課思路1。（情境導(dǎo)入）為了解決實(shí)際問(wèn)題，人們需要研究?jī)蓚€(gè)平面所成的角.修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐用必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度。為此，我們引入二面角的概念，研究?jī)蓚€(gè)平面所成的角。思路2。(直接導(dǎo)入)前邊舉過(guò)門(mén)和墻所在平面的關(guān)系，隨著門(mén)的開(kāi)啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？今天我們一起來(lái)探究?jī)蓚€(gè)平面所成角問(wèn)題。推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題①二面角的有關(guān)概念、畫(huà)法及表示方法。②二面角的平面角的概念.③兩個(gè)平面垂直的定義.④用三種語(yǔ)言描述平面與平面垂直的判定定理，并給出證明.⑤應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在哪里？討論結(jié)果：①二面角的有關(guān)概念.二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫二面角的面。二面角常用直立式和平臥式兩種畫(huà)法:如圖2（教師和學(xué)生共同動(dòng)手）。直立式：平臥式：（1）（2）圖2二面角的表示方法:如圖3中,棱為AB，面為α、β的二面角,記作二面角α—AB—β.有時(shí)為了方便也可在α、β內(nèi)(棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角P—AB—Q。圖3如果棱為l，則這個(gè)二面角記作αlβ或PlQ。②二面角的平面角的概念.如圖4，在二面角αlβ的棱上任取點(diǎn)O,以O(shè)為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成∠AOB。圖4再取棱上另一點(diǎn)O′，在α和β內(nèi)分別作l的垂線O′A′和O′B′，則它們組成角∠A′O′B′.因?yàn)镺A∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的兩邊分別平行且方向相同,即∠AOB=∠A′O′B′.從上述結(jié)論說(shuō)明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān).由此結(jié)果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。圖中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的定義.二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。教室的墻面與地面，一個(gè)正方體中每相鄰的兩個(gè)面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的.兩個(gè)平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類似,也是用它們所成的角為直角來(lái)定義,二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角.兩個(gè)平面互相垂直的定義可表述為:如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直.直二面角的畫(huà)法:如圖5.圖5④兩個(gè)平面垂直的判定定理。如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：α⊥β。兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖6.圖6證明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B，ABα.求證：α⊥β.分析：要證α⊥β，需證α和β構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個(gè)二面角是直二面角,需找到其中一個(gè)平面角,并證明這個(gè)二面角的平面角是直角.證明：設(shè)α∩β=CD，則由ABα，知AB、CD共面?！逜B⊥β,CDβ，∴AB⊥CD，垂足為點(diǎn)B.在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線BE⊥CD,則∠ABE是二面角αCDβ的平面角。又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,∴α⊥β。⑤應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在于：在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.應(yīng)用示例思路1例1如圖7，⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α,C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn).圖7求證：平面PAC⊥平面PBC。證明：設(shè)⊙O所在平面為α,由已知條件，PA⊥α，BCα，∴PA⊥BC?！逤為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC.又∵PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，∴BC⊥平面PAC?！連C平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC。變式訓(xùn)練如圖8，把等腰Rt△ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置,使CD=AC，圖8（1)求證:平面ABD⊥平面ABC;（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）證明:由題設(shè),知AD=CD=BD，作DO⊥平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC?！郞是△ABC的外心，即AB的中點(diǎn).∴O∈AB，即O∈平面ABD.∴OD平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC。（2）解：取BD的中點(diǎn)E,連接CE、OE、OC，∵△BCD為正三角形,∴CE⊥BD。又△BOD為等腰直角三角形，∴OE⊥BD?！唷螼EC為二面角CBDA的平面角。同(1)可證OC⊥平面ABD?！郞C⊥OE.∴△COE為直角三角形.設(shè)BC=a，則CE=，OE=，∴cos∠OEC=.點(diǎn)評(píng)：欲證面面垂直關(guān)鍵在于在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線.例2如圖9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為60°，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30°，沿這條直道從堤腳向上行走到10m時(shí)人升高了多少？（精確到0。1m）圖9解：取CD上一點(diǎn)E，設(shè)CE=10m,過(guò)點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線EG,垂足為G，則線段EG的長(zhǎng)就是所求的高度。在河堤斜面內(nèi)，作EF⊥AB，垂足為F，并連接FG，則FG⊥AB,即∠EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角，∠EFG=60°，由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×≈4.3（m）.答:沿直道行走到10m時(shí)人升高約4.3m.變式訓(xùn)練已知二面角αABβ等于45°，CDα,D∈AB，∠CDB=45°。求CD與平面β所成的角。解：如圖10，作CO⊥β交β于點(diǎn)O，連接DO，則∠CDO為DC與β所成的角。圖10過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，連接CE,則CE⊥AB.∴∠CEO為二面角αABβ的平面角,即∠CEO=45°.設(shè)CD=a,則CE=,∵CO⊥OE,OC=OE，∴CO=?！逤O⊥DO，∴sin∠CDO=.∴∠CDO=30°，即DC與β成30°角。點(diǎn)評(píng)：二面角是本節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn),作二面角的平面角最常用的方法是:在一個(gè)半平面α內(nèi)找一點(diǎn)C，作另一個(gè)半平面β的垂線，垂足為O，然后通過(guò)垂足O作棱AB的垂線，垂足為E,連接AE,則∠CEO為二面角α—AB—β的平面角.這一過(guò)程要求學(xué)生熟記.思路2例1如圖11，ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD，PA=AD=2,∠BAD=60°.圖11（1）求證:平面PBD⊥平面PAC；（2）求點(diǎn)A到平面PBD的距離;（3）求二面角APBD的余弦值.(1）證明:設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接PO,∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC。∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD,∴的PA⊥BD。又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.(2）解:作AE⊥PO于點(diǎn)E，∵平面PBD⊥平面PAC，∴AE⊥平面PBD.∴AE為點(diǎn)A到平面PBD的距離.在△PAO中,PA=2,AO=2·cos30°=，∠PAO=90°，∵PO=，∴AE=?！帱c(diǎn)A到平面PBD的距離為.(3）解：作AF⊥PB于點(diǎn)F，連接EF，∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB.∴PB⊥平面AEF，PB⊥EF?！唷螦FE為二面角APBD的平面角.在Rt△AEF中,AE=,AF=,∴sin∠AFE=,cos∠AFE=?！喽娼茿PBD的余弦值為。變式訓(xùn)練如圖12,PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)。（1）求證：MN∥平面PAD；(2）求證：MN⊥CD；（3）若二面角PDCA=45°，求證:MN⊥平面PDC.圖12圖13證明：如圖13所示，（1）取PD的中點(diǎn)Q，連接AQ、NQ,則QNDC，AMDC，∴QNAM.∴四邊形AMNQ是平行四邊形?！郙N∥AQ。又∵M(jìn)N平面PAD,AQ平面PAD,∴MN∥平面PAD.（2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD。又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又∵AQ平面PAD，∴CD⊥AQ。又∵AQ∥MN，∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD，CD⊥PD?！唷螾DA是二面角PDCA的平面角?！唷螾DA=45°。又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD?！郃Q⊥PD.又∵M(jìn)N∥AQ,∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PD，∴MN⊥平面PDC.例2如圖14,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn)，M為線段AC1的中點(diǎn)圖14（1）求證：直線MF∥平面ABCD；（2）求證：平面AFC1⊥平面ACC1A1（3）求平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小.(1）證明：延長(zhǎng)C1F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接∵F是BB1的中點(diǎn)，∴F為C1N的中點(diǎn),B為CN的中點(diǎn).又M是線段AC1的中點(diǎn)，故MF∥AN.又∵M(jìn)F平面ABCD，AN平面ABCD,∴MF∥平面ABCD。（2）證明：連接BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,可知AA1⊥平面又∵BD平面ABCD,∴A1A⊥BD?！咚倪呅蜛BCD為菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A=A，AC、A1A平面ACC1A1∴BD⊥平面ACC1A1在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，∴四邊形DANB為平行四邊形。故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1又∵NA平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1(3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC1A1，又AC1平面ACC1A1，∴BD⊥AC1∵BD∥NA，∴AC1⊥NA.又由BD⊥AC，可知NA⊥AC,∴∠C1AC就是平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角或補(bǔ)角在Rt△C1AC中，tan∠C1AC=，故∠C1AC=30∴平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°.變式訓(xùn)練如圖15所示，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，且AB=2,SC=SD=2。圖15（1）求證:平面SAD⊥平面SBC；（2）設(shè)BC=x，BD與平面SBC所成的角為α,求sinα的取值范圍。（1)證明：在△SDC中，∵SC=SD=，CD=AB=2，∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD。又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC.∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC?！逥S平面SAD，∴平面SAD⊥平面SBC.（2）解:由（1),知DS⊥平面SBC,∴SB是DB在平面SBC上的射影?！唷螪BS就是BD與平面SBC所成的角,即∠DBS=α.那么sinα=?！連C=x,CD=2DB=,∴sinα=.由0＜x＜+∞,得0＜sinα＜.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)。拓展提升如圖16，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BAD=60°，N是PB中點(diǎn)，過(guò)A、D、N三點(diǎn)的平面交PC于M,E為AD的中點(diǎn).圖16（1）求證：EN∥平面PCD;(2)求證：平面PBC⊥平面ADMN；（3）求平面PAB與平面ABCD所成二面角的正切值.(1)證明:∵AD∥BC，BC面PBC，AD面PBC,∴AD∥面PBC。又面ADN∩面PBC=MN,∴AD∥MN.∴MN∥BC.∴點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).∴MNBC。又E為AD的中點(diǎn)，∴四邊形DENM為平行四邊形?！郋N∥DM?！郋N∥面PDC。（2）證明:連接PE、BE，∵四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠BAD=60°，∴BE⊥AD。又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.又∵PA=AB且N為PB的