2022-2023學(xué)年上海九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練第9講 求銳角的三角比的值解析版

第9講求銳角的三角比的值

30°、45°、60°的三角比值

知識梳理一銳角三角比的值的大小變化情況

使用計算器求銳角三角比的值

特殊的銳角三角比的值

題型探究根據(jù)特殊的銳角三角比的值求角度

應(yīng)用：計算、比大小、判斷三角形形狀

課后作業(yè)

知識一、特殊銳角三角比的值

atanacotasinacosa

W1色

而

30°322

加也

45°

1122

%/31_

乖

60°~r22

備注：一個銳角的正切與正弦隨著角度的增大而增大；一個銳角的余切與余弦隨著角度的

增大而減小.

銳角相等，則相對應(yīng)的三角比的值相等.

題型探究

W題型，特殊三角比值

瓦【例1】（1）如圖，在舟AABC中，/C=90。，NA=45。，

=a.求/4的三角比的

值.

B

【答案】sinA=,cosA=4^,tanA=l,cotA=1.

22

【解析】?/Z4=45°,

sinA-sin45°=，cosA=cos45°=，

22

tanA=tan45°=l,cotA=cot45°=l.

【總結(jié)】本題主要考查特殊角45角的三角比的值.

(2)如圖，在用AABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=a,求N4的三角比的值.

B

【答案】sinA='，cosA=,tanA-,cotA=V3

223

【解析】：/4=30。

sinA=sin30°=4，cosA=cos30°=—,

22

tanA=tan30°=—，cotA=cot30°=百.

3

【總結(jié)】本題主要考查特殊角30。，60。角的三角比的值.

(3)填空:

tan60°=；cot45°=；sin30°=；cos45°=

【答案】V3,1,1,旦

22

【解析】主要考察特殊角的銳角三角比值.

題型二、根據(jù)三角比值求角度

【例2】用特殊銳角的三角比填空:

2

(1)(2)

2T

(3)1=(4)T=——=

【答案】(1)sin30°,cos60°；(2)sin45°,cos45°；

(3)tan45°,cot45°；(4)sin60°,cos30°.

【解析】主要考察特殊角的銳角三角比值.

【例3】求滿足下列條件的銳角a：

(1)cosa--=0；(2)—\/3tanoc+\/3=0.

2

【答案】(1)cr=30°；(2)。=45。.

【解析】(1)由題意可得：cosa=裊，則a=30°；

2

(2)由題意可得：tane=l,則a=45。.

舉一反三

1.若cosa=-，貝ij/.a-

【答案】60°.

【解析】主要考查特殊角的銳角三角比的值.

2.若tan尸=1,則Nq=

【答案】45°.

【解析】主要考查特殊角的銳角三角比的值.

3.若6tan(a+15o)=l,則銳角&的度數(shù)是

【答案】15。

【解析】V>/3tan(a+15°)=l,Atan(a+15°)=^,夕+15。=30。，Aa=l5°.

4.（2021.西安市第八十六中學(xué)九年級期末）在RlZXAfiC中，如果各邊長度都擴(kuò)大為原來的

2倍，那么銳角A的余弦值（)

A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.擴(kuò)大4倍D.沒有變化

【答案】D

【解析】如圖，cosA=——,

根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，得

BC2BC

~AB~2AB

???余弦值不變,

故選D.

5.（2020?湖南）在RtAABC中，ZC=90°,如果sinA=cosA,那么NA的值是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】C

【解析】解：由已知，sinA=益，cos人法

*.*sinA=cosA

???BC=AC

'：ZC=90°

???ZA=45°

故選：C

君題型三、特殊銳角三角比的值的應(yīng)用

電【例4】（計算）（1）（2019?上海浦東新區(qū)?）計算：tan45°-3cot60°+2cos30°+2sin30’.

【答案】2

【解析】原式二l-3x3+2x3+2x，

322

=1-百+G+1

=2.

(2)(2021?上海九年級專題練習(xí))計算：tan45°-2sin600+12萬

【答案】-5+36.

【解析】

解：原式=|1-百|(zhì)+2石-4

=6-1+26-4

=—5+3^3.

(rY[

(3)(2021?湖南九年級三模)計算：|3.14—兀|+3.14+—+1-2cos45°+(V2-l)+(-1)2°，9

2

【答案】兀

61

【解析】解：原式=兀一3.14+3.14—2、絲十一^

2V2-1

=7T—V2+V2+1—1=71-

cot450+tan60°

⑷⑵19?上海九年級期中）計算：麗布曰-33。。；

【答案】2

【解析】

cot450+tan60°

解:-cot30°

2(sin60°-cos60°)

1+6

-后

2(竟)

=2+6-百

=2

網(wǎng)【例5】（比大?。?）（2021?浙江九年級一模）已知"ABC是銳角三角形，若AB>AC,

則（）

A.sinA<sinBB.sinB<sinCC.sinA<sinCD.sinC<sinA

【答案】B

【解析】

解：△ABC是銳角三角形，若AB>AC,

則/C>NB,

則sinB<sinC.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°?90。間變化時，①正弦值隨著角度的增大

（或減小）而增大（或減?。孩谟嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）；③

正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?

(2)(2020?上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司)比較大?。簍an430cot46°.

【答案】＜

【解析】

Qcot46°=tan44°,tan430<tan44°，

tan43°<cot46°，

故答案為：＜.

【例6】（判斷三角形形狀）（2021?上海九年級一模）在中，如果sinA=g,

cotB=立，那么這個三角形一定是（）

3

A.等腰三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形

【答案】D

【解析】

....1cG

?sinA=—,cotB=——

23

AZA=30°,ZB=60°,

，ZA+ZB=90°,

???這個三角形一定是直角三角形,

故選：D.

“舉一反三

1.（2021?湖南株洲市?九年級期末）在放△ABC中，ZC=90°,若NA=30。，則sin4的值

是（)

B-Tc-fD1

A.12

【答案】A

【解析】

解：VZA=30°,

sinA=一

2

故選：A,

2.（2021?廣東深圳市?中考真題）計算|1-1@1160。|的值為（）

D.1一直

A.1-73B.0C.^3—1

3

【答案】C

【解析】

|l-tan60°|=|1->/3|=5/3-1

故選c.

3.（2021?天津中考真題）tan30。的值等于（）

A.立B.—C.1D.2

32

【答案】A

【解析】解：由題意可知，tan3(r=立,

3

故選：A.

（2021?湖南九年級一模）在^"IBC中，若sinA—母+cosB—]]=0,則NC的度

4.

數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【解析】

sin」(R百丫

4-cos6-------=0

22

sinA--=0,cosB--=0

22

.\ZA=60°,ZB=30°

???ZC=180°-30°-60°=90°

故選D

5.（2021?上海九年級一模）計算：V2cos450+sin260°=

7

【答案叱

【解析】解：原式=6義號吟）2

7

4

7

故答案為：-

sin30。

6.（2020?上海市民辦文綺中學(xué)九年級期中）計算:

cos45°-cos60°

【答案】V2+1

【解析】

1

解：原式=送［=上=應(yīng)+】?

T-2

故答案是：\/2+1-

7.（2021?上海九年級專題練習(xí)）計算：2-2|+2020+3tan30

【答案】0

【解析】

2-2|+2020°+(-g)+3tan30°

/o

=2->/5+1-3+3X-

3

=2-豆+1-3+6

=0

知識二、使用計算器求銳角三角比的值

特殊銳角三角比的值，可以通過幾何計算求得.任意銳角的三角比的值，通常利用計算

器求得.

只要計算器上有入出|、應(yīng)］、回曲或詞）鍵，就可以用來求銳角三角比的值.通常，計算器所

顯示的這個三角比的值是它的近似值.

由于我們現(xiàn)在遇到的表示銳角的大小的單位都是"度、分、秒”，因此在使用計算器求銳

角三角比的值時，首先必須進(jìn)入DEG（角度）模式.

【例7】(1)求sin15。和cos20。的值(精確到0.0001).

【答案】sinl5°=0.2588;cos20°=0.9397.

【解析】解在DEG模式下，按下面的順序依次按鍵：

sin15

屏幕顯示：

sin150

???sinl5%0.2588.

再按下面的順序依次按鍵：

cos20

屏幕顯示：

cos20°~0.9397.

⑵求下列各三角比的值（精確到0.0001）:

(1)sin73042,;(2)cot71012'35".

【答案】(1)sin73°42M).9598.

【解析】解（1）按下面的順序依次按鍵：

00SE10|2]BE]

屏幕顯示：

sin73042°

Asm73°42^0.9598.

（2）按下面的順序依次按鍵：

m+回回目已回囪已回回

E日

屏幕顯示：

融凝91

?,.cot71°12'35"-0.3402.

(3)己知sin=0.6217,求銳角a(精確到1").

【答案】必38°26'25"

【解析】解按下面的順序依次按鍵：

[SHIFTl卜哥回口回回I1!0H

[SHIFT!三

屏幕顯示:

???心38。26'25”

課后作業(yè)

1.（2021?河北九年級期末）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為NA,關(guān)于/A

的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間，敘述正確的是（）

A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡

C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡緩程度與/A的三角函數(shù)值無關(guān)

【答案】A

【解析】

解：A選項，sirM的值越大，/A越大，梯子越陡，A正確;

B選項，cosA的值越大，NA越小，梯子越緩，B錯誤;

C選項，tanA的值越小，NA越小，梯子越緩，C錯誤;

D選項，根據(jù)NA的三角函數(shù)值可以判斷梯子的陡緩程度，D錯誤;

故選：A.

2.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）/ABC中，ZC=90°,下列關(guān)系中正確

的是（)

A.tanAB.tanA=-------C.tanA-cotB=1D.cotAtan3=1

cotAcotB

【答案】A

【解析】解：如圖所示，RSABC中，設(shè)AC=b,BC=a,AB=c.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義:

B

1a，1,.

A、tanA=—，cotA=—,-----,,,tanA=-,故成z立；

bacotAbcotA

B、VtanA=—,cotB=—,/.tanA,故不成立;

bbcotBacot8

C、??TanA=f,colB=-,tanAcotB^1,故不成立;

bb

D、VcotA=—，tanB=—,/.cotAtanS^l,故不成立;

a

故選：A.

3.（2021?山東九年級期末）如圖，正方形4BC。中，對角線AC、8。交于點(diǎn)O,點(diǎn)M、N

分別為。8、OC的中點(diǎn)，貝Usin/OMN的值為（）

R

B1cD

人A-2--f-T

【答案】C

【解析】

解：在正方形ABC。中,

OB=OC,NMON=90°,

又?.?點(diǎn)M、N分別為08、0c的中點(diǎn),

???ON=OM,

:?NOMN=45。,

5

：.sin/OMN=sin45。=—.

2

故選：c.

4.（2021?天津九年級二模）0cos45。的值等于（）

A.1￡>.----C.2D.—

22

【答案】A

【解析】

V2cos45=V2x—=1

2

故答案為：A

且

5.（2020?全國九年級課時練習(xí)）在△ABC中，若l-cosC=0,NB,ZC

2

都是銳角，則NA的度數(shù)是（)

A.15°B.60°C.75°D.30°

【答案】C

【解析】解：:JsinB一^~+l；-cosC］二°.

.'.sinB--=0：；-cosC=0.

22

即sinB=—;cosC=g.

22

，/B=45°,ZC=60°.

ZA=180°-ZB-ZC=180°-45°-60°=75°.

故選：C.

6.（2019?上海九年級課時練習(xí)）用不等號連接下面的式子.

(I)cos50°cos20°(2)tan180tan21°

【答案】VV

【解析】

當(dāng)a為銳角時，其余弦值隨角度的增大而減小，，cos50°<cos20°；

當(dāng)a為銳角時，其正切值隨角度的增大而增大，，tanl8°<tan21°.

故答案為<;<.

2sin260°

7.（2021?上海九年級一模）計算：3|tan30°-l|

cot300-1cos245°

【答案】|

【解析】

2sin260°

解:3|tan30°-l|+

cot300-1cos245°

3：現(xiàn)2(6+1)4

〔3J(V3-l)(^+l)1

=3-V3+V3+l--

2

5

2

8.(2021.上海)計算|cot300-1|-2sin60°+(cos60°)°+—.

tan30°

【答案】出

【解析】

1

|cot300-l|-2sin60°+（cos60。）°4---------------

tan30°

WT-2X日+1+喪

T

=y/3—1—>73+1+y/3

9.（2021?上海九年級專題練習(xí)）計算：2cos60,-cot30°+4sHi245

tan60-1

【答案】2

【解析】

4x1

解：原人嗎-而召

=1—y/3+2

6T

=2.

10.（2021?上海九年級專題練習(xí)）計算：2016°-（亞尸+8?+|2-cos45"卜

【答案】5-V2

【解析】

解：原式=1-變+2+2-變=5-&.

22

的

11.在AABC中，NA、Nfi均是銳角，且-g=0,請判斷AABC形

狀，并說明理由.

【答案】等腰直角三角形

【解析】**,12sinA—V51+cot=0f

]1J2

2sinA—y[2=0?—cotB——=0,解得：sinA=----，cotB=1.

332

AZA=45°,ZB=45°,工AABC為等腰直角三角形.

12.（2021?全國九年級專題練習(xí)）如圖，將矩形A8CO沿對角線6。對折，點(diǎn)。落在E處,

的與AO相交于點(diǎn)F.

E

.........—

B

(1)求證：是等腰三角形;

(2)若8C=4,8=2,求N4陽的正弦值.

4

【答案】(