概率論復(fù)習(xí)綱要

概率論復(fù)習(xí)綱要PAGEPAGE8概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)綱要

第一章概率論的基本概念要求掌握：樣本空間、隨機(jī)事件的概念;會(huì)用事件的運(yùn)算及關(guān)系表達(dá)復(fù)雜事件;A、B互不相容：AB=；A、B相互對立（互逆事件）：AB=，A+B=;A、B相互獨(dú)立：P(AB)=P(A)P(B)典型的古典概型與(幾何概型問題);伯努里概型；概率的基本性質(zhì)：0P(A);P()=1;P()=0;可列可加性概率的加法公式即多除少補(bǔ)原理（重點(diǎn)是兩個(gè)事件的）：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB);條件概率：;概率的乘法公式：P(A)>0,P(AB)=P(A)P(B|A);全概率公式和貝葉斯公式：若B1,B2,┅,Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分,且P(Bi)>0則有全概率公式;貝葉斯公式:;第二章隨機(jī)變量及其分布要求掌握：隨機(jī)變量的概念;隨機(jī)變量的分布函數(shù);常見的離散型隨機(jī)變量及其分布律;常見的連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度及隨機(jī)變量函數(shù)的分布。離散型：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布；連續(xù)型：正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)是事件{Xx}的概率FX(x)=P{Xx}分布函數(shù)FX(x)具有基本性質(zhì)如：F(x)單調(diào)不減，0F(x)1,右連續(xù)，P{x1<Xx2}=FX(x2)-FX(x離散型隨機(jī)變量例:X=xk-101pk0.10.30.6連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)F(x)連續(xù)密度函數(shù)f(x)非負(fù)例:已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為(x),求其線性變換=a+b的概率密度.解:先求隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)=P{x}=P{a+bx}當(dāng)a>0=P{}=F()的概率密度為分布函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=F(x)=[F()]=()注記:當(dāng)a<0F(x)=P{x}=P{a+bx}=P{}=1-P{<}=1-F()f(x)=F(x)=[1-F()]=-()例如在[1,5]上服從均勻分布,則=3-1的概率密度為∴f(x)=()=例:已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為(x),求其平方變換=2的概率密度解:隨機(jī)變量的分布函數(shù)當(dāng)x0F(x)=P{x}=P{2x}=0當(dāng)x>0F(x)=P{x}=P{2x}=P{||}=F()-F(-)=2的概率密度f(x)=F(x)=[F()-F(-)]=例:~N(0,1)的概率密度(x)為偶函數(shù),∴=2~(1)的概率密度為:f(x)=,x>0第三章多維隨機(jī)變量及其分布要求掌握：二維離散型隨機(jī)變量及其分布律;二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度;邊緣分布與條件分布;隨機(jī)變量的獨(dú)立性;兩個(gè)隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征要求掌握：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差，矩與相關(guān)系數(shù)。公式概覽：1-1離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律pij=P{X=xi,Y=yj}XY012pi.=P{X=i}00.10.10.20.410.20.30.10.6p.j=P{Y=j}0.30.40.3事件{X=xi,Y=yj}表示事件{X=xi}與{Y=yj}都發(fā)生1-2關(guān)于的邊緣分布律x關(guān)于的邊緣分布律y1-3當(dāng)相互獨(dú)立pij=P{X=xi,Y=yj}=xy1-4條件分布P{X=xi|Y=yj}=P{Y=yj|X=xi}=——————————————————————————————————————————————————————————————————1-5E(X)=；E(X2)=；D(X)=E(X2)-E2(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)E(X)=00.4+10.6=0.6;E(X2)=020.4+120.6=0.6;E(Y)=00.3+10.4+20.3=1;E(Y2)=020.3+120.4+220.3=1.6;D(X)=E(X2)-E2(X)=0.6-0.36=0.24;D(Y)=E(Y2)-E2(Y)=0.6XY012P{XY=j}0.60.30.1Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.5-0.6=-0.12-1二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度f(x,y)與邊緣密度的關(guān)系————————————————————————————————————————————————————————————————————2-2條件密度2-3獨(dú)立性f(x,y)=fX(x)fY(y)——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————例：設(shè)X1,X2…Xn相互獨(dú)立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=求證:例：設(shè)X~N(μ,σ2),X1,X2…Xn是來自總體X的樣本則X1,X2…Xn相互獨(dú)立均服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布,樣本方差,求D(S2)解:由P152定理一,∵D(Y)=2(n-1)∴D(S2)=常用結(jié)論與公式1.隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則隨機(jī)變量X2Y2相互獨(dú)立.2.隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且X~N(),Y~N(),則X+Y~N().3.隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且X~(n1),Y~(n2),則X+Y~(n1+n2).4.隨機(jī)變量相互獨(dú)立,分布函數(shù)為FX(x)FY(y)則隨機(jī)變量M=max{X,Y}的分布函數(shù)FM(z)=FX(z)FY(z)隨機(jī)變量N=min{X,Y}的分布函數(shù)FN(z)=[1-FX(z)][1-FY(z)]5.D(X)=E(X2)-E2(X),Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)6.E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)7.D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2abCOV(X,Y)相互獨(dú)立E(XY)=E(X)E(Y)D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)9.相互獨(dú)立,協(xié)方差Cov(X,Y)=0,相關(guān)系數(shù)ρ=0,不相關(guān)反之不一定,即不相關(guān),不一定相互獨(dú)立.（圓盤上均勻分布可作為反例）只有當(dāng)(X,Y)為二維正態(tài)分布,相互獨(dú)立,不相關(guān)為等價(jià)關(guān)系.————————————————————————————————————————————————————————————————————第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1.大數(shù)定律定理一（Chebyshev特殊情形）設(shè)X1,X2…Xn…相互獨(dú)立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=.定理二（Bernoulli）設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率,則對任意正數(shù)ε>0,證明:引進(jìn)隨機(jī)變量X1,X2…Xn相互獨(dú)立同為0-1分布,E(Xi)=p,D(Xi)=pqnA=X1+X2+…+Xn,由定理一定理三（Khinchine）:設(shè)X1,X2…Xn…相互獨(dú)立同分布,且E(Xi)=μ,則對任意正數(shù)ε>0,§2.中心極限定理定理一（獨(dú)立同分布）設(shè)X1,X2…Xn…相互獨(dú)立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=則即即定理三(DeMoivre-Laplace):二項(xiàng)分布Yn~B(n,p)Yn=X1+X2+…+Xn,X1,X2…Xn相互獨(dú)立同為0-1分布,E(Xi)=p,D(Xi)=pq則即例:一批產(chǎn)品中優(yōu)等品率為0.8,從中任取500件,求優(yōu)等品未超過81%的概率.解:設(shè)500件中優(yōu)等品的件數(shù)為ξ,則ξ~B(500,0.8)50081%=405np=400,npq=80第六章樣本及抽樣分布要求掌握：總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量的概念,樣本均值、樣本方差的計(jì)算三大統(tǒng)計(jì)學(xué)分布2分布，t分布，F(xiàn)分布的構(gòu)造式定義。若X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本,則X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立且與總體X有相同的分布即有E(Xi)=E(X)D(Xi)=D(X)統(tǒng)計(jì)量是樣本X1,X2,…,Xn不含未知參數(shù)的函數(shù)常用統(tǒng)計(jì)量：樣本均值,樣本方差1.設(shè)X1,X2,…,Xn來自正態(tài)總體X~N(μ,σ2)的樣本則樣本均值**2.設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立且均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則3.設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立且均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則與相互獨(dú)立;且~4.設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立且均為正態(tài)分布N(μ,σ2),則與相互獨(dú)立;且=~5.設(shè)X,Y相互獨(dú)立且X~N(0,1),Y~則T=6*.設(shè)X1,X2,…,Xn來自正態(tài)總體X~N(μ,σ2)的樣本樣本均值,樣本方差,則*7.設(shè)X1,X2,…,Xn1和Y1,Y2,…,Yn2分別為來自兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體X~N(μ1,σ2)和Y~N(μ2,σ2)的樣本,則8.設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且X~,Y~,則設(shè)X1,X2,…,Xn1和Y1,Y2,…,Yn2分別為來自兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體X~N(μ1,σ)和Y~N(μ2,)的樣本,則第七章參數(shù)估計(jì)要求掌握：矩估計(jì)、極大似然估計(jì),估計(jì)量的無偏性、有效性,正態(tài)總體的均值與方差的雙邊區(qū)間估計(jì)一、矩估計(jì)（MomentEstimation）設(shè)X1,X2是來自總體X的樣本,θ1,θ2總體X的分布函數(shù)的未知參數(shù),若總體X的一階原點(diǎn)矩E(X),二階原點(diǎn)矩E(X2)存在,A1=為X的一階樣本原點(diǎn)矩,A2=為X的二階樣本矩因?yàn)橛纱髷?shù)定律A1=依概率收斂于E(X),A2=依概率收斂于E(X2)故令A(yù)1作為E(X)的估計(jì),故令A(yù)2作為E(X2)的估計(jì)即令=A1=,=A2=,通常E(X)與E(X2)含有未知參數(shù)θ1,θ2,即可得到未知參數(shù)θ1,θ2與樣本的估計(jì)關(guān)系，得出矩估計(jì)量。例1:總體X~,未知,X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本,求:的矩估計(jì)量.解:∵E(X)=,且只有一個(gè)未知參數(shù)，由=A1=∴為的矩估計(jì)量.例2:總體X在[a,b]上服從均勻分布,a,b未知,X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本,試求參數(shù)a,b的矩估計(jì)量.解:∵E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12∴E(X2)=(b-a)2/12+(a+b)2/4由=A1=,=A2=二、極大似然估計(jì)（MaximalSimilarityEstimation）設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本,總體X的分布函數(shù)為F(x,θ),θ是未知參數(shù),若X為連續(xù)型隨機(jī)