2020-2021學年北京市西城區(qū)高二下學期期末考試數(shù)學試題-

北京市西城區(qū)2020—2021學年度第二學期期末試卷高二數(shù)學2021.7本試卷共5頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢笇懺诖痤}卡上，在試卷上作答無效。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）與的等差中項是（A）（B）（C）（D）（2）已知函數(shù)，則（A）（B）（C）（D）（3）在拋物線上，若橫坐標為的點到焦點的距離為，則（A）（B）（C）（D）（4）如圖，在正方體中，為的中點，則直線與所成角的余弦值為（A）（B）（C）（D）（5）圓和圓的位置關系為（A）內切（B）相交（C）外切（D）外離（6）設是公比為的等比數(shù)列，且．若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（7）將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，記為“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則隨機變量的方差（A）（B）（C）（D）（8）在空間直角坐標系中，已知，且的面積為．過作平面于點．若三棱錐的體積為，則點的坐標可以為（A）（B）（C）（D）（9）記為數(shù)列的前項和．若，則（A）有最大項，有最大項（B）有最大項，有最小項（C）有最小項，有最大項（D）有最小項，有最小項（10）已知函數(shù)．若有且只有一個零點，且，則實數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）已知函數(shù)，則_____．（12）已知雙曲線的焦距為，則實數(shù)_____；的漸近線方程為_____．（13）甲、乙兩地降雨的概率分別為和，兩地同時降雨的概率為．則在甲地降雨的條件下，乙地也降雨的概率為_____．（14）用鐵皮圍成一個容積為的無蓋正四棱柱形水箱，需用鐵皮的面積至少為_____．（注：鐵皮厚度不計，接縫處損耗不計）（15）已知點列，其中．是線段的中點，是線段的中點，…，是線段的中點，…．記．則_____；_____．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）已知是等比數(shù)列，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若等差數(shù)列滿足，求的前項和．（17）（本小題13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．（18）（本小題15分）如圖，在長方體中，底面是邊長為的正方形，，分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面之間的距離．（19）（本小題14分）某超市銷售種不同品牌的牙膏，它們的包裝規(guī)格均相同，銷售價格（元/管）和市場份額（指該品牌牙膏的銷售量在超市同類產(chǎn)品中所占比重）如下：牙膏品牌銷售價格市場份額（Ⅰ）從這種不同品牌的牙膏中隨機抽取管，估計其銷售價格低于元的概率；（Ⅱ）（?。┣蟮闹?；（ⅱ）（Ⅲ）品牌的牙膏銷售價格不變，所占市場份額之比不變．設本月牙膏的平均銷售價為每管元，下月牙膏的平均銷售價為每管元，比較的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）（20）（本小題15分）已知橢圓的離心率為，且過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點作斜率為的直線交橢圓于點，直線分別交直線于點．求證：為的中點．（21）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）證明：．北京市西城區(qū)2020—2021學年度第二學期期末試卷高二數(shù)學參考答案2021.7一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B（2）C（3）D（4）D（5）C（6）C（7）B（8）B（9）A（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（13） （14）（15）注：（12）、（15）題第一空2分，第二空3分。三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）設等比數(shù)列的公比為．由題設，， …………2分解得．…………4分所以．…………6分（Ⅱ）設等差數(shù)列的公差為．因為，所以．…………8分．…………10分所以的前項和．…………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）．…………2分令，得．…………4分與的變化情況如下：↗↘↗所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和．…………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．所以在區(qū)間上的最大值為．…………9分在區(qū)間上的最小值為．…………11分因為，且，所以在區(qū)間上的最小值為．…………13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）取的中點，連接．因為，且；，且，所以，且．所以四邊形為平行四邊形．所以．…………1分在矩形中，因為分別為的中點，所以．所以．…………2分又平面，…………3分所以平面．…………4分（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系．…………5分則，，，．所以，，．設平面的法向量為，則即…………7分令，則，，于是．…………8分設直線與平面所成角為，則．…………11分（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以直線與平面之間的距離為點到平面的距離．…………13分所以直線與平面之間的距離為．…………15分（19）（共14分）解：（Ⅰ）記“從該超市銷售的牙膏中隨機抽取管，其銷售價格低于元”為事件．由題設，．…………3分（Ⅱ）（?。┯深}設，品牌的牙膏抽取了管，品牌的牙膏抽取了管，所以．…………5分（ⅱ）隨機變量的可能取值為．； …………6分； …………7分．…………8分所以的分布列為：…………9分的數(shù)學期望為．…………11分（Ⅲ）．…………14分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由題設，得…………2分解得，．所以橢圓的方程為．…………4分（Ⅱ）由題意，設直線的方程為．由得．…………5分由，得．設，，則，．…………7分=1\*GB3①當時，直線的方程為．令，得點的橫坐標．…………8分同理可得點的橫坐標．…………9分…………10分．…………12分因為，所以．所以為的中點．…………13分=2\*GB3②當時，，．直線的方程為，可求得．所以直線的方程為，從而．此時依然有．…………15分綜上，為的中點．（21）（共15分）解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為．…………1分且，．…………3分