2022屆上海市高三上學(xué)期一模暨春考模擬卷一數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆高三一模暨春考數(shù)學(xué)模擬試卷一一．填空題〔本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分〕1.集合，，那么__________.【答案】【解析】【分析】通過解一元二次不等式，求解函數(shù)值域，結(jié)合，，用列舉法表示集合，再結(jié)合補集的定義，即得解【詳解】由題意，，又又由于，又故故答案為：2.一個關(guān)于、的二元一次方程組的增廣矩陣是，且，那么__________；【答案】【解析】【分析】根據(jù)增廣矩陣可求出，再由求出，即可求解.【詳解】由題意可知，解得，又因為，所以，故，即，故答案為：3.是虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，()，那么的取值范圍為__________；【答案】【解析】【分析】由為純虛數(shù)，可得，那么，即得解【詳解】由題意，為純虛數(shù)，故，即故答案為：4.假設(shè)，那么__________【答案】或【解析】【分析】根據(jù)行列式及對數(shù)的運算法那么、性質(zhì)求解.【詳解】因為，所以，即，解得或，故答案為：或5.在報名的8名男生和5名女生中，選取6人參加志愿者活動，假設(shè)男生甲和女生乙不同時參加，那么事件發(fā)生的概率為__________(結(jié)果用數(shù)值表示)．【答案】【解析】【分析】根據(jù)組合知識計算總的取法，再由間接法求出男生甲和女生乙不同時參加的取法，根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】13人中任選6人參加有種，再除去甲乙2人同時參加的情況有種，由古典概型可知.故答案為：6.圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，過此圓錐的頂點作一截面，那么截面面積最大為__________【答案】【解析】【分析】圓錐軸截面頂角〔兩母線夾角〕小于等于時，軸截面面積最大，軸截面夾角大于時，母線夾角為時截面面積最大.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，那么，，圓錐的高，設(shè)軸截面中兩母線夾角為，那么，，所以當兩母線夾角為時，過此圓錐頂點的截面面積最大，最大面積為.故答案為：7.假設(shè)二項式的展開式中的三次項的系數(shù)是168，那么__________【答案】1或【解析】【分析】利用二項式定理展開式公式可得，令可得的三次項的系數(shù)為：，解得，由等比數(shù)列前n項和公式，以及當時，，，代入即得解【詳解】由二項式定理展開式公式可得展開式的通項公式為：，令可得：，那么的三次項的系數(shù)為：，據(jù)此可得：，解得：，故當時，那么當時，當時，故答案為：1或8.橢圓()的焦點、，拋物線的焦點為，假設(shè)，假設(shè)恒成立，那么的取值范圍為__________；【答案】【解析】【分析】由，可得橢圓焦點在軸上，用坐標表示可得，即得解【詳解】由題意，故、、三點共線，即橢圓焦點在軸上，故橢圓的焦點為，拋物線的焦點用坐標表示，有可得，即故即的取值范圍為故答案為：9.設(shè)是定義在上以2為周期的奇函數(shù)，當時，，那么函數(shù)在[4，6]上的解析式是__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期及函數(shù)為奇函數(shù)，分段求解函數(shù)的解析式即可.【詳解】因為是定義在上以2為周期的奇函數(shù)且時，，設(shè)，那么，所以，設(shè)，那么，,故.綜上可得，函數(shù)在上解析式是，故答案為：10.，且滿足，假設(shè)存在使得成立，那么點構(gòu)成的區(qū)域面積為__________【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為，即,即，那么對應(yīng)的區(qū)域為以為圓心，的圓的外部，用三角形面積減去區(qū)域內(nèi)弓形的面積即可【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：對應(yīng)的區(qū)域為三角形OAB，假設(shè)存在R使得成立，那么令,那么,那么方程等價為，即，∵存在R使得成立，∴,即，那么對應(yīng)的區(qū)域為以為圓心，的圓的外部，即如下圖的陰影局部由,解得,即，A(4,0),那么三角形OAB的面積，直線的傾斜角為，那么,取為直線交圓所得弦的中點，那么因此三角形OAB區(qū)域內(nèi)的弓形面積為：故陰影局部面積為：故答案為：11.正三棱錐的所有棱長均為1，L，M，N分別為棱的中點，那么該正三棱錐的外接球被平面所截的截面面積為________．【答案】．【解析】【分析】結(jié)合條件計算出正三棱錐外接球球心的位置，得到球心到兩個面的距離相等，即可計算出截面面積.【詳解】解：由條件知平面與平面平行，且點P到平面的距離之比為．設(shè)H為正三棱錐的面的中心，與平面交于點K，那么平面，平面，故．正三棱錐可視為正四面體，設(shè)O為其中心〔即外接球球心〕，那么O在上，且由正四面體的性質(zhì)知．結(jié)合可知，即點O到平面等距．這說明正三棱錐的外接球被平面所截得的截面圓大小相等．從而所求截面的面積等于的外接圓面積，即．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答此題的關(guān)鍵是確定正三棱錐外接球的球心位置，在解答此類題目時要注意幾何體的特征，還可以考慮一些特殊位置等.12.設(shè)，滿足：關(guān)于x的方程恰有三個不同的實數(shù)解，且，那么的值為_____．【答案】144．【解析】【分析】令，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行計算，即可得到結(jié)果.【詳解】解：令，那么關(guān)于t的方程恰有三個不同的實數(shù)解．由于為偶函數(shù)，故方程的三個實數(shù)解關(guān)于數(shù)軸原點對稱分布，從而必有．以下求方程的實數(shù)解．當時，，等號成立當且僅當；當時，單調(diào)增，且當時；當時，單調(diào)減，且當時．從而方程恰有三個實數(shù)解．由條件知，結(jié)合得．于是．故答案為：144【點睛】關(guān)鍵點點睛：要求解方程的根，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行求解，考查轉(zhuǎn)化能力.二．選擇題〔本大題共4題，每題5分，共20分〕13.“〞是“〞的〔〕A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】由，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可判斷【詳解】由題意，故“〞推不出“〞，即充分性不成立；“〞也推不出“〞，即必要性不成立故“〞是“〞的既不充分也不必要條件應(yīng)選：D14.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題：①；②；③的共軛復(fù)數(shù)為；④的虛部為．其中正確的命題〔〕A.②③ B.①② C.②④ D.③④【答案】C【解析】【詳解】，的虛部為．所以選②④，選C.15.將函數(shù)圖象上的點向左平移〔〕個單位長度得到點，假設(shè)位于函數(shù)的圖象上，那么〔〕A.，的最小值為 B.，的最小值為C.，最小值為 D.，的最小值為【答案】A【解析】【詳解】由題意得，，可得，因為位于函數(shù)的圖象上所以，可得，s的最小值為，應(yīng)選A.【名師點睛】三角函數(shù)圖象的變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮．特別注意：①平移變換時，當自變量x的系數(shù)不為1時，要將系數(shù)先提出；②翻折變換要注意翻折的方向；③三角函數(shù)名不同的圖象變換問題，應(yīng)先將三角函數(shù)名統(tǒng)一，再進行變換.16.在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離〞，又設(shè)點及上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離〞，記作，給出以下三個命題：①對任意三點、、，都有；②點和直線，那么；③定點、，動點滿足〔〕，那么點的軌跡與直線〔為常數(shù)〕有且僅有2個公共點；其中真命題的個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【詳解】設(shè)，由題意可得：同理可得：,那么：，命題①成立；設(shè)點Q是直線y=2x-1上一點，且Q〔x,2x-1〕，可得，由，解得，即有，當時取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，無最小值.綜上可得，P,Q兩點的“切比雪夫距離〞的最小值為.說法②正確.定點、，動點滿足〔〕，那么：，顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點對稱，故不妨設(shè)x≥0，y≥0.(1)當時，有，得：；(2)當時，有，此時無解；(3)當時，有；那么點P的軌跡是如下圖的以原點為中心的兩支折線.結(jié)合圖象可知，點軌跡與直線〔為常數(shù)〕有且僅有2個公共點，命題③正確.綜上可得命題①②③均正確，真命題的個數(shù)是3.此題選擇D選項.點睛：“新定義〞主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法那么、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是根底數(shù)學(xué)知識，所以說“新題〞不一定是“難題〞，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.三．解答題：17.在中，．求的取值范圍．【答案】【解析】【分析】由條件得到角的值，分類討論兩種情況，然后結(jié)合兩角和的正弦公式逆用求得取值范圍.【詳解】解：記．由條件知或．當時，，其中，此時當時，，其中，此時，其中．注意到，函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，又，故．綜上所述，的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答此題的關(guān)鍵是熟練運用兩角和正弦公式，需要注意對角的分類討論.18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．〔1〕求點到平面的距離；〔2〕求二面角平面角的余弦值．【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕建立空間直角坐標系，計算平面PBC的法向量，由點面距離的向量公式即得解；〔2〕計算平面PCD的法向量，結(jié)合〔1〕中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解【詳解】〔1〕由題意，平面，，，以A為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖的空間直角坐標系那么P〔0，0，1〕，B〔1，0，0〕，C〔1，2，0〕，D〔0，3，0〕，設(shè)平面PBC的一個法向量為=〔x，y，z〕，=(1，0，﹣1)，=(0，2，0)，=(﹣1，1，0)，那么，取x=1，得=(1，0，1)，∴點D到平面PBC距離．〔2〕由〔1〕可得平面PBC的一個法向量為=(1，0，1)，設(shè)平面PCD的一個法向量為，，=(﹣1，1，0)，那么，取，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖得二面角為鈍角故19.點、依次為雙曲線〔，〕的左、右焦點，且，，．〔1〕假設(shè)，以為方向向量的直線經(jīng)過，求到的距離；〔2〕假設(shè)雙曲線上存在點，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】【分析】〔1〕由題意知，，根據(jù)的關(guān)系求出，根據(jù)向量的共線定理設(shè)出直線方程，再代入點，求出直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式計算距離；〔2〕設(shè)出點，根據(jù)數(shù)量積公式得，再根據(jù)點在雙曲線上得，聯(lián)立求解以后根據(jù)代入不等式求范圍即可.【詳解】〔1〕依題意，，那么雙曲線，，，設(shè)直線，將代入解得：，此時，到的距離為；〔2〕設(shè)雙曲線上的點滿足，即，又，∴，即，∵，且，∴，又因為，∴實數(shù)的取值范圍是．【點睛】解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去或建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系或者不等關(guān)系求解.20.下表為函數(shù)局部自變量取值及其對應(yīng)函數(shù)值，為了便于研究，相關(guān)函數(shù)值取非整數(shù)值時，取值精確到0.01.00據(jù)表中數(shù)據(jù)，研究該函數(shù)的一些性質(zhì)；〔1〕判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；〔2〕判斷函數(shù)在區(qū)間[0.55,0.6]上是否存在零點，并說明理由；〔3〕判斷的正負，并證明函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù).【答案】〔1〕奇函數(shù)，見解析；〔2〕存在，理由見解析；〔3〕，見解析【解析】【分析】〔1〕通過代入點解得，再利用奇偶性的定義即可判斷出奇偶性．〔2〕根據(jù)零點判斷法那么，為連續(xù)函數(shù)，只需在區(qū)間內(nèi)尋找符號相反的兩個值即可．〔3〕根據(jù)〔1〕與〔2〕可知，為奇函數(shù)且在上存在零點．由此可判斷在也存在零點，即可設(shè)兩個零點為與，并代入點建立包含與的不等式，即可判斷的符號．利用的符號采用定義法證明單調(diào)性，即證明【詳解】〔1〕因為，所以，，由，所以為奇函數(shù)．〔2〕由可得，，所以在，所以在上存在零點．〔3〕因為在上存在零點，是奇函數(shù)，所以在上存在零點，所以，而，所以因為在上存在零點，所以，．設(shè)，因為；所以，又因為，所以所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)．【點睛】此題主要考查函數(shù)奇偶性、零點存在定理以及定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，綜合性比擬強，需掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．21.對于數(shù)列：，，(，)，定義“變換〞：將數(shù)列變換成數(shù)列：，，，其中()，且．這種變換“記作．繼續(xù)對數(shù)列進行“變換〞，得到數(shù)列：，，，依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束．〔1〕試問：2，6，4經(jīng)過不斷的“變換〞能否結(jié)束？假設(shè)能，請依次寫出經(jīng)過“變換〞得到的各數(shù)列；假設(shè)不能，說明理由；〔2〕設(shè)：，，，．假設(shè)：，2，()，且的各項之和為2021．求，；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)數(shù)列再經(jīng)過次“變換〞得到的數(shù)列各項之和最小，求的最小值，并說明理由．【答案】〔1〕不能，理由見解析〔2〕a＝1006，b＝1004〔3〕502，理由見解析【解析】【分析】〔1〕首先要弄清“T變換〞的特點，其次要嘗試著去算幾次變換的結(jié)果，看一下有什么規(guī)律，顯然只有當變換到數(shù)列的三項都相等時，再經(jīng)過一次“T變換〞才能得到數(shù)列的各項均為零，否那么“T變換〞不可能結(jié)束;〔2〕的解答要通過條件得出a是B數(shù)列的最大項，從而去掉絕對值符號得到數(shù)列A是單調(diào)數(shù)列，得到答案;〔3〕的解答要抓住B經(jīng)過6次“T變換〞后得到的數(shù)列也是形如“b，2，b+2〞的數(shù)列，與數(shù)列B“結(jié)構(gòu)〞完全相同，且最大項減少12，從而數(shù)列和減少24，經(jīng)過6×83+4＝502次變換后使得各項的和最小，于是k的最小值為502．【詳解】〔1〕數(shù)列A：2，6，4不能結(jié)束，各數(shù)列依次為4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．以下重復(fù)出現(xiàn)，所以不會出現(xiàn)所有項均為0的情形．〔2〕因為B的各項之和為2021，且a≥b，所以a為B的最大項，所以|a1﹣a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．當a1≥a2≥a3時，可得由a+b+2＝2021，得2〔a1﹣a3〕＝2021，即a＝1006，故b＝1004．當a3≥a2≥a1時，同理可得a＝1006，b＝1004．〔3〕方法一：由B：b，2，b+2，那么B