2020-2021學(xué)年浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析版

2020-2021學(xué)年浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線方程得出和開口方向即可求得.【詳解】由拋物線方程可得，開口向左，則準(zhǔn)線方程為.故選：D.2．若，則的虛部為（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)的周期性求出的值，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求復(fù)數(shù)，從而求復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因為，所以由，得，所以的虛部為.故選：A.3．若，則是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念求的值，從而可判斷出結(jié)論.【詳解】因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，即此方程組無解，所以復(fù)數(shù)不可能為純虛數(shù)，所以是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的既不充分也不必要條件.故選：D.4．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)等式得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡方程，然后利用的幾何意義可求得的最大值.【詳解】設(shè)，由題意得，圓心到原點的距離為2，.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長公式、圓的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.5．關(guān)于的說法，錯誤的是（）A．展開式中的二項式系數(shù)之和為2048 B．展開式各項系數(shù)和為0C．展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大 D．展開式中第6項的系數(shù)最小【答案】C【分析】利用二項式系數(shù)性質(zhì)可判斷AC；利用賦值法可判斷B；根據(jù)展開式各項系數(shù)為判斷D.【詳解】可得展開式中的二項式系數(shù)之和為，故A正確；令，可得展開式各項系數(shù)和為0，故B正確；展開式共12項，其中中間第6、7項的二項式系數(shù)最大，故C錯誤;展開式各項的系數(shù)為，可得當(dāng)時，該項系數(shù)最小，故D正確.綜上，錯誤的選項是C.故選：C.6．已知，則的圖象是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)奇偶性排除兩個選項，再取特值計算并判斷得解.【詳解】原函數(shù)定義域為R，由知是R上奇函數(shù)，選項C，D不滿足；在圖象上取點，，直線PQ：，而時，，，顯然，即點在直線PQ上方，選項B不滿足，選項A符合要求.故選：A7．某命題與自然數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時該命題成立，則可推得時該命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)時該命題不成立，則可推得（）A．當(dāng)時，該命題不成立 B．當(dāng)時，該命題成立C．當(dāng)時，該命題成立 D．當(dāng)時，該命題不成立【答案】D【分析】根據(jù)題干的逆否命題可判斷.【詳解】可得題干等價于其逆否命題：當(dāng)時該命題不成立，則可推得時該命題也不成立．所以當(dāng)時該命題不成立，則當(dāng)時，該命題也不成立，當(dāng)時，該命題不成立，則當(dāng)時，該命題也不成立.故選：D.8．已知，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中真命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】舉反例可以說明①④不正確，利用立方差公式可以證明②正確，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以證明③正確．【詳解】對于①，若，取，則，①錯誤；對于②，因為，，所以，，②正確；對于③，因為，所以，即有，③正確；對于④，若，取，則，④錯誤．所以真命題的個數(shù)是2．故選：B．9．如圖所示，一個圓柱形乒乓球筒，高為12厘米，底面半徑為2厘米．球筒的上底和下底分別粘有一個乒乓球，乒乓球與球筒底面及側(cè)面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計），一個平面與兩個乒乓球均相切，且此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出這個組合體的軸截面，借助平面幾何知識求得橢圓長軸即可得解.【詳解】作出這個組合體的軸截面，它是矩形MNPQ內(nèi)兩個與矩形三邊都相切的圓O1和圓O2，如圖，矩形MNPQ是球筒軸截面，圓O1和圓O2是兩個乒乓球的截面大圓，線段CD是與乒乓球相切的平面被軸截面所截圖形，線段CD是橢圓的長軸，點A是平面與乒乓球相切的切點，由對稱性知線段CD與O1O2互相平分于點O，過D作DB⊥O1O2于B，連O1A，則O1A⊥OD，O1A=DB，而，則，所以，橢圓長半軸長，顯然橢圓短軸長為球筒底面圓直徑，短半軸長，半焦距，橢圓離心率為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.10．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，無正的零點B．當(dāng)，在上必有零點C．當(dāng)時，存在，使得D．當(dāng)時，存在，使得【答案】D【分析】對A，B選項舉出符合條件的例子計算并判斷；對C，D選項借助導(dǎo)數(shù)探討在指定區(qū)間上的函數(shù)值情況判斷并作答.【詳解】對于A選項：，取，則，即有正零點，A不正確；對于B選項：，時，當(dāng)時，此時恒為正，沒有零點，B不正確；對于C選項：，，，時，而，函數(shù)在上都遞增，由與的圖象特征知在上有唯一交點，則存在，有時時，即在上遞增，在上遞減，而，，C不正確；對于D選項：，，，，，而，又函數(shù)在上都遞增，它們在上有唯一交點x1，由選項C的解析知，存在，在上遞增，在上遞減，，，所以存在有，D正確.故選：D【點睛】方法點睛：方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).二、填空題11．已知復(fù)數(shù)z滿足方程（i為虛數(shù)單位），則________．【答案】【分析】設(shè)，代入方程化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)相等建立關(guān)系即可求出.【詳解】設(shè)，則，則由得，即，即，，解得，或.故答案為：.12．現(xiàn)某路口對一周內(nèi)過往人員進行健康碼檢查，安排7名工作人員進行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙兩人需要安排在相鄰兩天，且甲不排在周三，則不同的安排方法有________種．【答案】1200【分析】先利用相鄰捆綁法求得甲乙相鄰的安排方法種數(shù)，再減去甲乙相鄰且甲在周三的安排方法種數(shù)即可.【詳解】先考慮甲乙相鄰的安排方式，將甲乙看做一個整體，連同其余的5人做全排列，然后甲乙兩人之間作全排列，有種方法，其中，甲排在周三的安排方式有,∴符合條件的安排方法種數(shù)有，故答案為：1200.【點睛】本題考查排列的應(yīng)用，關(guān)鍵是相鄰問題捆綁法和反面問題相減法的應(yīng)用.13．若對任意的實數(shù)，不等式恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】【分析】對給定不等式等價變形，構(gòu)造函數(shù)借助其單調(diào)性轉(zhuǎn)化成新函數(shù)最值即可得解.【詳解】，，，令，，即在上單調(diào)遞增，則，令，，時，時，在上遞增，在上遞減，時，即，正數(shù)k的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：不等式恒成立問題，等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵.三、雙空題14．在的展開式中，常數(shù)項為________（用數(shù)字作答），有理項共有______項．【答案】2404【分析】先求出二項式的展開式的通項公式，令的指數(shù)等于0，求出的值，即可求得展開式中的常數(shù)項，令指數(shù)為整數(shù)，即得有理項.【詳解】，令，則，常數(shù)項為，令為整數(shù)，則,故有理項共有4項.故答案為：240；4.【點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用.15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是雙曲線左支上一點，則________；若雙曲線的離心率為2，則雙曲線的漸近線方程是_________．【答案】-2【分析】由雙曲線方程求出實半軸長，再由雙曲線定義即可得解；由離心率求出m值，由雙曲線方程寫出漸近線方程即可得解.【詳解】由給定方程知，雙曲線實半軸長a=1，點P是雙曲線左支上，則，由雙曲線定義得-2；依題意：雙曲線半焦距c=，則離心率，解得，雙曲線的漸近線方程為.故答案為：-2；16．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成無重復(fù)數(shù)字的6位自然數(shù)．（1）可以組成_______個不同的偶數(shù)；（2）若要求相鄰兩個數(shù)字奇偶性不同，則可以組成_______個．（均用數(shù)字作答）．【答案】36072【分析】先取一個偶數(shù)字排在個位，再排余下五位即可得解；先排3三個奇數(shù)字，再利用插空法排三個偶數(shù)字即可得解.【詳解】在三個偶數(shù)字中取一個排在個位有3種，余下五個數(shù)字排位有種，組成的不同偶數(shù)個數(shù)是個；讓三個奇數(shù)占位有種，每種占位形成只含一個邊空的3個間隔有2種，把三個偶數(shù)字插入這三個間隔有種，共有個.故答案為：360；72【點睛】思路點睛：解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．17．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽粒，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原．如圖，三角形是底邊和腰長分別為和的等腰三角形的紙片，將它沿虛線（中位線）折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的四面體，若該四面體內(nèi)包一蛋黃（近似于球），則蛋黃的半徑的最大值為________（用最簡根式表示）；在該四面體的所有棱和面所成的異面直線所成的角、二面角中最小的角的余弦值為________．【答案】【分析】將折疊后的四面體置于長方體中，求得長方體的長寬高，進而求得四面體的體積，利用體積，表面積，內(nèi)切球的半徑的關(guān)系求得內(nèi)切球的半徑，利用體積法求得四面體的各面上的高，從而得到各棱與相應(yīng)面所成的角的余弦值，在長方體中不難求得四面體的對棱所成角的余弦值，然后比較得到答案.【詳解】如圖所示，對折疊之前的平面圖形中各點進行標(biāo)記，同時將折疊后的幾何體置于長方體中.設(shè)長方體的長寬高分別為x,y,z.,解得∴四面體ADEF為,四面體ADEF的全面積為,內(nèi)切球半徑r,則,∴,設(shè),取DQ的中點M,連接,則,故長為6的兩組對棱所成的角的余弦值都是.長為4的兩組對棱所成的角為直角；由于四面體ADEF各個面的面積都是，所以各個面上的高都是相等的，設(shè)為h,則,,當(dāng)棱的長選取最長為6時，該棱與相應(yīng)各面所成的角最小，其正弦值為,余弦值,∴各異面直線所成的角，線面所成的角中最小的角的余弦值是，故答案為：；.【點睛】本題考查異面直線所成的角，線面角，內(nèi)切球的半徑，棱錐的體積，屬中高檔題，將折疊后得四面體置于長方體中進行研究是一種十分重要的便捷的方法，要注意體會和掌握.四、解答題18．已知曲線與曲線在公共點處的切線相同，（1）求實數(shù)a的值；（2）求證：時，．【答案】（1）1；（2）證明見解析.【分析】(1)對分別求導(dǎo)，由它們在1處的導(dǎo)數(shù)值相等而得解；(2)對不等式兩端作差判斷符號或作差構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)即可作答.【詳解】(1)依題意，，，又曲線與曲線在公共點處的切線相同，則，得；(2)時，，于是，令，，時時，即在上遞減，在上遞增，時，即，綜上得時，．【點睛】思路點睛：證明不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為不等式兩端作差所得函數(shù)的最值問題解決.19．如圖，已知四邊形為菱形，對角線與相交于O，，平面平面直線，平面，．（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）根據(jù)四邊形為菱形，得到，利用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論利用線面平行的性質(zhì)定理證明；（Ⅲ）以O(shè)為坐標(biāo)原點、OA，OB，OF為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取CD中點M，連EM，OM，求得平面一個法向量為，然后由向量和該法向量的夾角余弦值的絕對值即為所求.【詳解】（Ⅰ）因為四邊形為菱形，所以，平面，平面平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知直線平面，又因為平面平面直線平面，所以；（Ⅲ）因為四邊形為菱形，所以，因為平面，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點、OA，OB，OF為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取CD中點M，連EM，OM，，，為正三角形，，，，從而，,.設(shè)平面一個法向量為，則，即，令，，因此直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：本題考查線面平行的判定與性質(zhì),求線面所成角問題,屬基礎(chǔ)題,利用空間向量方法求線面所成角是常用的方法,關(guān)鍵是正確的求出平面的法向量.20．已知等差數(shù)列的前n項和為，，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若是單調(diào)遞增數(shù)列，求證：．【答案】(1)或；(2)證明見解析.【分析】(1)由給定條件求出等差數(shù)列的的公差即可得解；(2)用所證不等式右端減去左端構(gòu)造新數(shù)列，再討論該數(shù)列單調(diào)性即可得解.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，由得，解得或，或，所以數(shù)列的通項公式是或；(2)因是單調(diào)遞增數(shù)列，則，，令，則于是有，即數(shù)列是遞增數(shù)列，時，即，所以有.【點睛】關(guān)鍵點睛：某些數(shù)列不等式證明，通過作差構(gòu)造新數(shù)列，再判斷數(shù)列單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵.21．已知橢圓的離心率為，橢圓的上頂點與拋物線的焦點F重合，且拋物線過點，O為坐標(biāo)原點．（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知直線與拋物線交于A、B兩點，與橢圓交于C、D兩點，且直線平分，求首尾順次連結(jié)O、C、P、D四點所得圖形的面積的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由拋物線經(jīng)過點，可得拋物線方程為，其焦點為，可知，再利用橢圓的離心率即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線，的斜率分別為，，由已知得，設(shè)，，利用兩點求斜率公式求得直線：且，聯(lián)立直線與橢圓方程得，求得，然后分兩種情況將四邊形的面積表示為的函數(shù)，進而求得取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由拋物線經(jīng)過點，得，，故拋物線方程為．拋物線：的焦點為，．又橢圓的離心率，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）將代入，消去并整理得：,由題意知，，即,設(shè)直線，的斜率分別為，,因為直線平分，所以,設(shè)，，則,又，，則，,，所以直線：且.由消并整理得：，由題意知，解得，所以設(shè)，，則,,∴,,因為,所以當(dāng)時，，當(dāng)時,，當(dāng)時此時,,當(dāng)時，,∴四邊形OCPD的面積的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線，直線與橢圓的位置關(guān)系，與橢圓和直線有關(guān)的四邊形的面積的取值范圍問題，關(guān)鍵難點在于將四邊形的面積拆分為兩個三角形的面積的和或者差的絕對值（根據(jù)不同情況而定)的形式．注意韋達定理判別式的應(yīng)用，注意設(shè)而不求的思想方法，注意以原點為一個頂點的三角形的面積的坐標(biāo)表示方法(可用割補法或者向量方法得到).22．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，（?。┣骯的范圍；（ⅱ）若，求證：．【答案】（Ⅰ）當(dāng)a=0時，在定義域內(nèi)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，在內(nèi)，f(x)單調(diào)遞減，在上，f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)a>0時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)f(x)單調(diào)遞增.（Ⅱ）（?。唬áⅲ┮娊馕?【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的零點情況對a分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；.（Ⅱ）（