2021-2022學年新教材高中數學第5章三角函數測評含解析湘教版必修第一冊

第5章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.sin120°=()A. B.- C. D.-答案C解析由誘導公式可知sin120°=cos30°=,故選C.2.化簡sin2α+cos4α+sin2αcos2α的結果是()A. B. C.1 D.答案C解析原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.3.函數y=的定義域是()A.2kπ-,2kπ+(k∈Z)B.2kπ-,2kπ+(k∈Z)C.2kπ+,2kπ+(k∈Z)D.2kπ-,2kπ+(k∈Z)答案D解析由2cosx+1≥0,得cosx≥-,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.所以函數的定義域是2kπ-,2kπ+(k∈Z).故選D.4.(2021甘肅張掖二中高一期中)若=2,則sinθcosθ的值是()A.- B. C.± D.答案B解析根據同角三角函數的基本關系式,可得=2,解得tanθ=3,所以sinθcosθ=,故選B.5.(2020甘肅天水高一期末)已知函數f(x)=sinωx++2(ω>0)的圖象向右平移個單位長度后與原圖象重合,則ω的最小值是()A.6 B.3 C. D.答案A解析函數f(x)=sinωx++2(ω>0)的圖象向右平移個單位后得到的函數解析式為y=sinωx-++2=sinωx++2,由于平移后的圖象與原圖象重合,故-=2kπ,解得ω=-6k(ω>0,k∈Z),所以ω的最小值為6.故選A.6.(2021新高考Ⅰ)下列區(qū)間中,函數f(x)=7sinx-單調遞增的區(qū)間是()A.0, B.,π C.π, D.,2π答案A解析由題意知x-,k∈Z,即x∈,k∈Z.當k=0時,函數f(x)=7sin的單調遞增區(qū)間為,∵,∴是函數f(x)的一個單調遞增區(qū)間.故選A.7.已知函數f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分圖象如圖所示,若f(x0)=,則x0等于()A. B.,k∈ZC.kπ+,k∈Z D.,k∈Z答案B解析由圖可知,函數周期T=2×,故可得ω==2;又fπ=0,故可得φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,故可得φ=;又函數過點(0,1),故可得Atan=1,解得A=1.故f(x)=tan2x+,則f(x0)=,等價于tan2x+=,解得2x0+=kπ+,k∈Z,故x0=,k∈Z,故選B.8.已知函數f(x)=2sinωx(ω>0),f(x1)=f(x2)=-1.若|x1-x2|的最小值為,則ω=()A. B.1 C.2 D.4答案C解析由f(x1)=f(x2)=-1,所以2sinωx1=2sinωx2=-1,sinωx1=sinωx2=-,∴ωx1=+2k1π,k1∈Z,ωx2=+2k2π,k2∈Z,|x1-x2|=,當k1=k2時,|x1-x2|取得最小值.又已知|x1-x2|的最小值為,所以ω=2,故選C.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.下列說法正確的是()A.第二象限角比第一象限角大B.60°角與600°角不是終邊相同的角C.正弦函數y=sinx在第一象限是增函數D.將表的分針撥慢10分鐘,則分針轉過的角的弧度數為答案BD解析由于100°是第二象限角,400°是第一象限角,因此第二象限角比第一象限角大是不正確的,故選項A錯誤;因為600°≠k·360°+60°,k∈Z,所以60°角與600°角終邊不同,故選項B正確;由于,2π+均是第一象限角,但是兩個角的函數值相等,因此選項C不正確;D中,將表的分針撥慢10分鐘,則分針轉過的角的弧度數為,選項D正確.故選BD.10.在△ABC中,下列關系式恒成立的有()A.sin(A+B)=sinCB.cos(A+B)=cosCC.tan(A+B)=tanCD.cos=sin答案AD解析sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,故A正確;cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,故B錯誤;tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,故C錯誤;cos=cos=sin,故D正確.故選AD.11.下列函數中,以4π為周期的函數有()A.y=tan B.y=sinC.y=sin|x| D.y=cos|x|答案AD解析y=tan,則T==4π,A正確;函數y=sin的最小正周期為8π,因此B不正確;函數y=sin|x|不是周期函數,故C不正確;y=cos|x|=cosx,最小正周期為2π,所以4π也是它的一個周期,故D正確.故選AD.12.下列關于函數y=tan-2x+的說法正確的是()A.在區(qū)間-,-上單調遞減B.最小正周期是πC.圖象關于點,0成中心對稱D.圖象關于直線x=-成軸對稱答案AC解析函數y=tan-2x+=-tan2x-,令-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,解得-<x<,k∈Z,所以k=-1時,-<x<-,所以函數y=-tan2x-在區(qū)間-,-上單調遞減,A正確;又函數y=-tan2x-的最小正周期為T=,所以B錯誤;當x=時,2x-,所以函數y=-tan2x-的圖象關于點,0對稱,C正確;正切型函數y=-tan2x-不成軸對稱,所以D錯誤.故選AC.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.函數f(x)=tan的定義域是.

答案xx≠2kπ+(k∈Z)解析由≠kπ+,k∈Z,解得x≠2kπ+,因此函數f(x)=tan的定義域是xx≠2kπ+(k∈Z).14.已知cosα-sinα=,則sinαcosα=.

答案解析由cosα-sinα=,兩邊平方得1-2sinαcosα=,所以2sinαcosα=,所以sinαcosα=.15.當x∈時,函數y=3-3sinx-2cos2x的最小值是.

答案-解析當x∈時,由正弦函數圖象可知sinx∈-,1,函數y=3-3sinx-2cos2x=2sin2x-3sinx+1=2sinx-2-,故當sinx=時,函數y取得最小值為-.16.已知θ是第四象限角,sinθ+=,則sinθ-=,tanθ-=.

答案--解析由題意sinθ-=-sinθ-+π=-sinθ+=-,cosθ-=sinθ-+=sinθ+=,又θ是第四象限角,∴θ-是第四象限角,sinθ-=-=-=-,∴tanθ-=tanθ-==-.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知函數f(x)=3sinx+-1,x∈R.(1)求函數f(x)的最小值及此時自變量x的取值集合;(2)函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到函數f(x)=3sinx+-1的圖象?解(1)函數f(x)的最小值是3×(-1)-1=-4,此時有x+=2kπ-,解得x=4kπ-(k∈Z),綜上所述,函數f(x)的最小值是-4,此時自變量x的取值集合是xx=4kπ-,k∈Z.(2)步驟是:①將函數y=sinx的圖象向左平移個單位長度,得到函數y=sinx+的圖象;②將函數y=sinx+的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),得到函數y=sinx+的圖象;③將函數y=sinx+的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的3倍(橫坐標不變),得到函數y=3sinx+的圖象;④將函數y=3sinx+的圖象向下平移1個單位長度,得函數y=3sinx+-1的圖象.綜上所述,將函數y=sinx的圖象向左平移個單位長度,橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標伸長為原來的3倍,再向下平移1個單位長度,得到f(x)=3sinx+-1的圖象.18.(12分)(2020甘肅天水田家炳中心高一期中)設函數f(x)=3sinωx+(ω>0),且以為最小正周期.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的對稱軸方程及單調遞增區(qū)間.解(1)由于函數f(x)=3sinωx+(ω>0),且以為最小正周期,∴,即ω=3,所以f(x)=3sin3x+;(2)令3x+=kπ+(k∈Z),求得x=(k∈Z),故函數y=f(x)的圖象的對稱軸方程為x=(k∈Z).令2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),求得≤x≤(k∈Z),可得函數y=f(x)的增區(qū)間為(k∈Z).19.(12分)設函數f(x)=,且f(α)=1,α為第二象限角.(1)求tanα的值;(2)求sinαcosα+5cos2α的值.解(1)∵函數f(x)=,且f(α)=1,α為第二象限角,∴f(α)===-=-=-2tanα=1,∴tanα=-;(2)sinαcosα+5cos2α=.20.(12分)在一塊頂角為、腰長為2的等腰三角形鋼板廢料OAB中裁剪扇形,現有如圖所示的兩種方案.(1)求兩種方案中扇形的周長之差的絕對值;(2)比較兩種方案中的扇形面積的大小.解(1)由題意,在頂角為、腰長為2的等腰三角形鋼板廢料OAB中裁剪扇形,方案一:可得∠OAD=,R1=2,所以扇形的周長為C1=2R1+×R1=2×2+=4+;方案二:可得∠MON=,R2=1,所以扇形的周長為C2=2R2+×R2=2×1+=2+,所以兩種方案中扇形的周長之差的絕對值|C1-C2|=4+-2+=2-=2-.(2)由(1),根據扇形的面積公式,可得方案一:扇形面積為S1=α1×22=;方案二:扇形面積為S2=α2×12=.所以兩方案扇形面積一樣大.21.(12分)已知函數f(x)=sin(2x+φ)ω>0,|φ|<,.

請在①函數f(x)的圖象關于直線x=對稱,②函數y=fx-的圖象關于原點對稱,③函數f(x)在-π,-上單調遞減,在-上單調遞增這三個條件中任選一個,補充在上面的問題中,并加以解答.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.(1)求函數f(x)的解析式;(2)若將函數y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變),再將所得圖象向右平移個單位長度,得到函數y=g(x)的圖象,求函數g(x)在-上的值域.解(1)若選①,函數f(x)的圖象關于直線x=對稱,則2×+φ=+kπ,k∈Z,則φ=+kπ,k∈Z,因為|φ|<,所以φ=,所以函數解析式為f(x)=sin2x+;若選②,函數y=fx-=sin2x-+φ圖象關于原點對稱,則-+φ=kπ,k∈Z,則φ=+kπ,k∈Z,因為|φ|<,所以φ=,所以函數解析式為f(x)=sin2x+;若選③,函數f(x)在-π,-上單調遞減,在-上單調遞增,則函數f(x)在x=-處取得最小值,則f(x)=sin2×-+φ=-1,則2×-+φ=-+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,因為|φ|<,所以φ=,所以函數解析式為f(x)=sin2x+.(2)由題意可得函數g(x)=sinx-,因為x∈-,所以x-∈-,所以當x-=-時,g(x)min=sin-=-1;當x-時,g(x)max=sin.所以函數g(x)在-的值域為-1,.22.(12分)海水受日月的引力,在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關系表:時刻水深/米時刻水深/米時刻水深/米0:004.259:001.7518:004.253:006.7512:004.2521:001.756:004.2515:006.7524:004.25(1)設港口在x時刻的水深為y米,現利用函數模型y=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,-π<φ<π)建立這個港口的水深與時間的函數關系式,并求出x=7時,港口的水深.(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米,安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離),問該船何時能進入港口,何時應離開港口?一天內貨船可以在港口待多長時間?解(1)因為港口在0:00時刻的水深為4.25米,結合數據和圖象可知h=4.25,A==2.5,因為T=12,所以ω=,所以y=2.5sinx+φ+4.25.因為x=0