2-2直線的方程解析版-2022-2023學年高二數(shù)學新教材題型能力素養(yǎng)練人教A版2019選擇

2.2直線的方程一維練基礎(chǔ)一維練基礎(chǔ)題型一：直線的點斜式方程1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【點撥】根據(jù)傾斜角的定義確定直線的傾斜角.【詳解】因為直線過點，且垂直與軸，所以直線的傾斜角為，故選：C.2．在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【點撥】根據(jù)題意求直線的方程，由方程判斷直線不經(jīng)過第一象限，也可以直接作圖判斷．【詳解】∵直線的傾斜角為，則直線的斜率∴直線的方程：即直線不經(jīng)過第一象限．故選：A．3．過點且平行于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【點撥】設(shè)直線的方程為，代入點的坐標即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點坐標代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A4．直線的傾斜角為（

）A． B．C． D．【答案】B【點撥】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】解：由題知直線的斜率為，由于直線的傾斜角為.故選：B5．方程表示的直線可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【點撥】直接判斷出直線經(jīng)過點，對照四個選項，即可求解.【詳解】因為，所以，代入直線方程，可得，即．所以直線過點，故選：B．題型二：直線的兩點式方程1．若直線過點和點，則該直線的方程為A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：（法一）因為直線過點和點，所以直線的方程為，整理得；（法二）因為直線過點和點，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得；故選：A．2．經(jīng)過，兩點的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【點撥】根據(jù)題目條件，選擇兩點式來求直線方程.【詳解】由兩點式直線方程可得：化簡得：故選：C3．過兩點，的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【點撥】根據(jù)直線方程的兩點式,即可求得答案.【詳解】根據(jù)直線方程的兩點式將兩點,代入可得:整理可得:過兩點,的直線方程為:故選:A.4．已知，則△的邊上的中線所在的直線方程為A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意邊的中點為，∴中線方程為，整理得．故選：C．5．過點和點的直線的兩點式方程是A． B． C． D．【答案】B【點撥】設(shè)，，當，時，直線的兩點式方程為，將點和點代入即可得解.【詳解】解：因為所求直線過點和點，根據(jù)直線的兩點式方程可得：所求直線方程為.故選B.題型三：直線的截距式方程1．過點，且橫、縱截距的絕對值相等的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【點撥】分類討論，截距相等且不過原點有一條，截距相反有一條，過原點有一條.【詳解】當直線經(jīng)過原點時，橫、縱截距都為0，符合題意，當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線方程為.由題意得解得或綜上，符合題意的直線共有3條.故選：C．2．若直線過第一?三?四象限，則（

）A． B． C． D．【答案】B【點撥】根據(jù)直線截距式，結(jié)合直線所過的象限，判斷坐標軸截距的符號即可.【詳解】∵直線過點第一?三?四象限，∴它在軸上的截距為正，在軸上的截距為負，即.故選：B3．直線在兩坐標軸上的截距之和是（

）A．5 B．6 C． D．【答案】D【點撥】本題先直接求兩坐標軸上的截距，再求截距之和即可解題.【詳解】解：由，令可得，令可得，故在兩坐標軸上的截距之和是.故選：D.4．直線在x軸，y軸上的截距分別為()A．2,3 B．－2,3 C．－2，－3 D．2，－3【答案】D【點撥】分別令等于0，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，當時，，即在軸上的截距為；當時，，即在軸上的截距為；故選D5．一束光線從點處射到y(tǒng)軸上一點后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題得點關(guān)于y軸的對稱點在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點也在反射光線所在的直線上，由截距式求得反射光線所在直線的方程為，即，故選B.題型四：直線的一般式方程1．如果且，那么直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【點撥】通過直線經(jīng)過的點來判斷象限.【詳解】由且，可得同號，異號，所以也是異號；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過第三象限.故選：C.2．直線的斜率為，在y軸上的截距為b，則有（）A． B．C． D．【答案】A【點撥】將直線方程化為斜截式，由此求得正確答案.【詳解】，所以.故選：A3．在平面直角坐標系中，直線的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】A【點撥】將直線轉(zhuǎn)化成斜截式方程，即得得出斜率.【詳解】解：由題得，原式可化為，斜率.故選：A.4．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【點撥】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求解.【詳解】由已知得，故直線斜率由于傾斜的范圍是，則傾斜角為.故選：B.5．直線的傾斜角為（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】A【點撥】根據(jù)直線的一般式求得直線的斜率，再由直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系可得選項.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由，又，所以．故選：A.二維練能力二維練能力1．若方程表示定直線l，為不在l上的定點，則方程一定是（

）A．過點M且與直線l相交的直線 B．過點M且與直線l平行的直線C．過點M且與直線l垂直的直線 D．以上均不對【答案】B【點撥】根據(jù)兩直線的方程即得.【詳解】因為為不在l上的定點，∴，又，方程表示定直線l，所以方程一定是過點M且與直線l平行的直線.故選：B.2．已知的三個頂點，則的高CD所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【點撥】先求出，進而得到，再由點斜式寫出直線方程即可.【詳解】由題意知：，則，故CD所在的直線方程為，即.故選：D.3．已知直線：和直線：互相垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【點撥】利用兩直線垂直的充要條件即得.【詳解】∵直線：和直線：互相垂直，∴，即.故選：B.4．已知直線l過點，傾斜角，下列方程可以表示直線l的是（

）A． B．C． D．【答案】D【點撥】分傾斜角和兩種情況討論，利用點斜式即可求解.【詳解】解：當傾斜角時，因為直線l過點，所以直線l的方程為，此時選項A，B，C沒有意義，選項D符合題意；當傾斜角時，直線l的斜率為，所以由點斜式有直線l的方程為，即；綜上，直線l的方程為，故選：D.5．直線過點且與點的距離最遠，那么的方程為______．【答案】【點撥】當時，點B到直線l距離最遠，求得l的斜率，利用點斜式表達l即可.【詳解】直線過點且與點的距離最遠，則直線與直線AB垂直，直線的斜率為：，直線的方程為，即．故答案為：.6．若直線過點且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有______條.【答案】【點撥】設(shè)直線的截距式為，即可得到，解得即可.【詳解】解：依題意直線在坐標軸上的截距均不為，設(shè)直線的截距式為，∵直線經(jīng)過點，且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為，∴，解得，或，或，所以直線的條數(shù)為條．故答案為：7．經(jīng)過點，傾斜角為60°的直線的點斜式方程是______．【答案】【點撥】由點斜式求得方程，化為一般式即可.【詳解】由題知，直線斜率為，則直線點斜式方程為：故答案為：8．已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．【答案】【點撥】通過解方程組求出直線l與兩直線交點的坐標，再利用中點坐標公式進行求解即可.【詳解】設(shè)直線l的斜率為，因為直線l過，所以直線方程為，由，由，由題意可知：是截得的線段的中點，所以，即，故答案為：9．根據(jù)所給條件求直線方程.(1)直線過點，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點，且在兩坐標軸上的截距之和為；(3)直線過點，.【答案】(1)或(2)或(3)【點撥】（1）利用點斜式方程可得答案；（2）利用截距式方程可得答案；（3）先求出斜率再用點斜式方程可得答案.【詳解】(1)，，則直線方程為，即或.(2)依題意得，直線的橫截距、縱截距均不為，可設(shè)直線方程為，代入點，可得，解得或，所以所求直線方程為或，即所求直線方程為或.(3)直線斜率，則所求直線方程為，整理得.10．已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【答案】(1)證明見解析(2)【點撥】（1）列出方程，分別令，可求出定點；（2）令令，表達出三角形面積后，利用基本不等式求解即可.【詳解】(1)證明：原方程整理得：．由，可得，不論為何值，直線必過定點(2)解：設(shè)直線的方程為．令令．．當且僅當，即時，三角形面積最?。畡t的方程為．三維練素養(yǎng)三維練素養(yǎng)1．過坐標原點作直線：的垂線，垂足為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【點撥】根據(jù)給定條件，將表示成a的函數(shù)，求出函數(shù)的值域的作答.【詳解】依題意，，直線l的方向向量，則有，解得，因此，，因當時，取最小值，則有，所以的取值范圍是.故選：D2．直線：與直線：（實數(shù)a為參數(shù)）的位置關(guān)系是（

）A．與相交 B．與平行C．與重合 D．與的位置關(guān)系與a的取值有關(guān)【答案】B【點撥】根據(jù)直線平行的充要條件判定即可.【詳解】由：，可得，因為且，所以與平行故選：B3．已知直線過點，且與坐標軸分別相交于點A?B，若的面積為24，其中O為坐標原點，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【點撥】根據(jù)題意直線的斜率存在，且不過原點，進而設(shè)方程為，，再根據(jù)題意得，解方程即可得答案.【詳解】解：由題知直線的斜率存在，且不過原點，所以設(shè)直線方程為，，所以直線與軸交點坐標為，直線與軸交點坐標為所以面積為，即，所以或,解方程，即，解得，解方程，即，解得所以這樣的直線有3條.故選：C4．（多選題）已知直線，動直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在，使得的傾斜角為90° B．對任意的，直線恒過定點C．對任意的，與都不重合 D．對任意的，與都有公共點【答案】BD【點撥】對A，令即可判斷正誤；對B，化簡直線方程，根據(jù)定點滿足的系數(shù)為0，且滿足方程即可；對C，令即可判斷正誤；對D，根據(jù)B可得過定點判斷即可【詳解】對A，當時，，符合傾斜角為90°，故A錯誤；對B，，解可得，故過定點，故B正確；對C，當時，，顯然與重合，故C錯誤；對D，過定點，而也在上，故對任意的，與都有公共點，故D正確；故選：BD5．已知直線，則（

）A．恒過點 B．若，則C．若，則 D．當時，不經(jīng)過第三象限【答案】BD【點撥】對于選項A，將直線的方程化為，再由可求得定點；對于選項B，通過斜率相等可以求解；對于選項C，通過斜率之積等于可以求解；對于選項D，將直線化為斜截式，再根據(jù)斜率和截距建立不等式可以求解.【詳解】直線，則，由，得，所以恒過定點，所以A錯誤；由可得：，所以，B正確；由可得：，，所以C錯誤；由，當時，，不過第三象限；當時，，不過第三象限，只需要，解得，所以的取值范圍為，所以D正確；故選：BD.6．下列說法正確的是（

）A．直線一定經(jīng)過第一象限B．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為C．經(jīng)過兩點，的直線方程為D．截距相等的直線都可以用方程表示【答案】AC【點撥】求出直線過的定點可判斷A；當時可判斷B；由直線的點斜式方程以及斜率公式可判斷C；當橫縱截距都等于時可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：由可得，由可得，所以該直線恒過定點，該直線一定經(jīng)過第一象限，故選項A正確；對于B：當時，直線的斜率不存在，所以不能寫成的形式，故選項B不正確；對于C：因為，所以過點，兩點的直線斜率為，所以直線的方程為，故選項C正確；對于D：當直線的橫縱截距都等于時，直線的方程為，不可以用方程表示，故選項D不正確；故選：AC.7．一條直線經(jīng)過，并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為__________．【答案】【點撥】先求出直線的傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，則可求出直線的斜率，進而可求出直線的方程【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因為直線經(jīng)過，所以直線的方程為，即，故答案為：8．直線分別交軸?軸的正半軸于?兩點，當面積最小時，直線的方程為___________.【答案】【點撥】由題可得直線恒過定點，可設(shè)方程為，則，利用基本不等式可得，即求.【詳解】∵直線，∴，由，得，∴直線恒過定點，可設(shè)直線方程為，則，，又，即，當且僅當時取等號，∴，當面積最小時，直線的方程為，即.故答案為：.9．已知直線均過點P(1，2).(1)若直線過點A(-1，3)，且求直線的方程；(2)如圖，O為坐標原點，若直線的斜率為k，其中，且與y軸交于點N，直線過點，且與x軸交于點M，求直線與兩坐標軸圍成的四邊形PNOM面積的最小值.【答案】(1)(2)【點撥】（1）易得，由，得到，寫出直線的方程；（2）由直線的方程，分別令，，得到直線與坐標軸的交點，同理得到直線與x的交點，再轉(zhuǎn)化為三角形面積求解.【詳解】(1)解：因為直線均過點P(1，2)，且直線又過點A(-1，3)，所以，因為，所以，則直線的方程，即；(2)如圖所示：由題意得：直