北師大版初中數(shù)學(xué)九年級章節(jié)知識點總結(jié)

北師大版初中數(shù)學(xué)九年級（上冊）各章標題

第一章證明（二）

第二章一元二次方程

第三章證明（三）

第四章視圖與投影

第五章反比例函數(shù)

第六章頻率與概率

北師大版初中數(shù)學(xué)九年級（下冊）各章標題

第一章直角三角形邊的關(guān)系

第二章二次函數(shù)

第三章圓

第四章統(tǒng)計與概率

北師大版初中數(shù)學(xué)九年級（上冊）各章知識點

第一章證明（二）

一、公理（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

（2）兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。

（3）兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）。

（4）全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。

推論：兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或

“AAS”）。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性質(zhì)

（I）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。

等腰三角形的其他性質(zhì)；

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a,底邊長為b,則

2

④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為NB、ZC,則NA=180°-2

/,小180°-ZA

ZB,ZB=ZC=-------------

2

2、等腰三角形的判定

（1）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。

（2）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

三、等邊三角形

性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°。

（2）三線合一

判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形

（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形

（3）：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

四、直角三角形

（一）、直角三角形的性質(zhì)

1、直角三角形的兩個銳角互余

2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

4、勾股定理：直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即

其它性質(zhì)：

1、直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個三角形和原三角形相似。

2、常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：

兩直角邊的積二斜邊與斜邊上的高的積

（二）、直角三角形的判定

1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形邊上的中線等于這邊的?半，那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系/+/=。2,那么這個三角形是直角三角形。

（三）直角三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜

邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個更角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）

五、角的平分線及其性質(zhì)與判定

1、角的平分線：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條

射線叫做這個角的平分線。

2、角的平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

定理：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。

3、角的平分線的判定定理：

在一個角的內(nèi)部，旦到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

六、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

1、線段的垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平

分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。

定理：三角形三條邊的垂直立分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距高相等的點，在這條線段的垂直

平分線上。

七、反證法

八、互逆命題、互逆定理

1、在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么

這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。

2、如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為

互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。

第二章一元二次方程

一、一元二次方程

（一）、一元二次方程定義

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

（二）、一元二次方程的一般形式

0?+"+。=0（4工0）,它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，

等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系

數(shù)；c叫做常數(shù)項。

二、一元二次方程的解法

1、直接開平方法

直接開平方法適用于解形如（％+。）2的一元二次方程。當620時，x+a=±4b,

x=-a+4b,當b<0時，方程沒有實數(shù)根。

2、配方法

一般步驟：

（1）方程以2+法+c=o（4區(qū)0）兩邊同時除以a,將二次項系數(shù)化為1.

（2）將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊。

（3）所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方

（4）配方，化成（x+a）2=b

（5）開方。當時，x=-a±4b,當bvO時，方程沒有實數(shù)根。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）的求根公式：

2

-b+ylb-4ac2

x=---------------（b-4ac>0）

2a

4、因式分解法

一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。

補充：一元二次方程根的判別式

根的判別式

1、定義：一元二次方程o?+法+，=0（。。0）中，〃一4"叫做一元二次方程

ax2+Z?x+c=O（a工0）的根的判別式。

2、性質(zhì)：當人2-44。>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當/一4。。=0時，方程

有兩個相等的實數(shù)根：當〃-4碗V0時，方程沒有實數(shù)根。

補充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

b

如果方程內(nèi)2+bx+c=0（“工0）的兩個實數(shù)根是X],x,那么再+工2=——，

2a

c

XX=-o

x2a

第三章證明（三）

一、平行四邊形

1、平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對邊平行且相等。

（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等

（3）平行四邊形的對角線互相平分。

（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。

常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的

線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4、平行四邊形的面積

S平行四邊影二底邊長X高二ah

二、矩形

1、矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

2、矩形的性質(zhì)

（1）矩形的對邊平行且相等

（2）矩形的四個角都是直角

（3）矩形的對角線相等且互相平分

（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到

矩形四個頂點的距離?相等）：對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的宜線。

3、矩形的判定

（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形

（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

4、矩形的面積

S矩形=長X寬=26

三、菱形

1、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

2、菱形的性質(zhì)

（1）菱形的四條邊相等，對邊平行

（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等

（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角

（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到

菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。

3、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4、菱形的面積

S顏F底邊長X高;兩條對角線乘積的一半

四、正方形（3~10分）

1、正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形的性質(zhì)

（1）正方形四條邊都相等，對邊平行

（2）正方形的四個角都是直角

（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角

（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有

四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。

3、正方形的判定

判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

先證它是矩形，再證它是菱形。

先證它是菱形，再證它是矩形。

4、正方形的面積

設(shè)正方形邊長為a,對角線長為b

_b2

S止萬步=a2=——

2

五、等腰梯形

1、等腰梯形的定義

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。

（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。

（3）等腰梯形的對角線相等。

（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。

3、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）

六、三角形中的中位線

1、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

2、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于笫三邊，并且等于它的一半。

3、常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

七、有關(guān)四邊形四邊中點問題的知識點：

（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；

（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；

（3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；

（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；

（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；

（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；

（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；

第四章視圖與投影

1、投影

投影：物體在光線的照射下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。

平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。

中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點發(fā)出的，像這樣的光

線所形成的投影稱為中心投影。

2、視點、視線、盲區(qū)

第五章反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念

一般地如果兩個變量x,y之間的關(guān)系可以表示為y=&（k是常數(shù)，k，0）的形式，

x

那么稱y是x的反比例函數(shù)。（反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y=h”的形式。自變量x

的取值范圍是X。0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。）

2、反比例函數(shù)的圖象

反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或

第二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量xHO,函數(shù)y#0,所以，它

的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標

軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例

函數(shù)X

k的符

k>0k<0

號

圖象i，

y

①x的取值范圍是xw().①x的取值范圍是xw0,

y的取值范圍是yHO：y的取值范圍是y。0；

性質(zhì)②當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別②當k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y

隨x的增大而減小。隨x的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

確定反比例函數(shù)解析式的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y=&中，只有一

x

個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定

其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

k

過反比例函數(shù)y=—(4w0)圖像上任一點P(x,y)作x軸、y軸的垂線PM,PN,垂

x

足分別是M、N,則所得的矩形PMON的面積S=PM?PN=N?W=?|。

k

y=xy=k.S=%。

x

第六章頻率與概率

概率的求法：

(1)一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，

tn

事件A包含其中的m個結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=-

n

⑵、列表法

用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

(3)樹狀圖法

通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

(當一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出

所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。)

北師大版初中數(shù)學(xué)九年級（下冊）知識點匯總

第一章直角三角形邊的關(guān)系

※一.正切：

定義：在RfAABC中，銳角NA的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tan.A,即

NA的對邊

NA的鄰邊

①tanA是一個完整的符號,它表示NA的正切，記號里習慣省去角的符號“N”；

②tanA沒有里位，它表示一個比值，即直角三角形中NA的對邊與鄰邊的比;

③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中階段，我們只學(xué)習直角三角形中，NA是銳角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，NA越大；NA越大，梯子越陡，tanA的值越

大。

※二.正弓交

定義：在即/A8C中，銳角/A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,

日n.入NA的對邊

即sinA=——r————;

※三.余弦：

定義:在RfAABC中，銳角NA的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cos.A,

ZA的鄰邊

即cosA=

斜邊

※余切：

定義：在R3ABe中，銳角/A的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記作cotA,

乙4的鄰邊

即cotA=

N4的對邊

※一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、

正切。

（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以

概括為：一個銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達：若NA為

銳角，則0°30°45°60°90°

①sinA=cos?。。-NA)；1_V2石

sina01

22T

cosA=sin(90°-yfl

ZA)cosa1正0

2~22

?tanA=cot(90°-ZA)；￡

tana01V3—

cotA=tan(90°-ZA)—石

cota1T0

※當從低處觀;則身處的目標時，視

線與水平線

所成的銳角稱為伸曲

※當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成

的銳角稱為你陰

※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當

角度在0°?90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；余

弦值、余切值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅＃?）0WsinaWl,OWcosaWl。艇

※同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：

倒數(shù)關(guān)系：tga?ctga=1<.

衛(wèi)穴anacosa

商的關(guān)系：tgCl=----,ctgCl=--線

cosasina

平方關(guān)系：sin2a+cos2Cl=1.

圖1

※在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除

直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

。在AABC中，NC為直角，NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,則有

（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

（2）兩銳角的關(guān)系：ZA+ZB=90°；

（3）邊與角之間的關(guān)系：

,aba&b

sinA=—,cosAA=—,tanX4=—,cotA=—;

ccba

.b門ab?a

sinBn=—,cosB=—,tanBn=—,cotB=—;

ccab

（4）面積公式:SA=—ab=—chc（he為C邊上的高）;

22

（5）直角三角形的內(nèi)切圓半徑r="匕

2

（6）直角三角形的外接圓半徑R=-c

2

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：

已知條件解法

兩條邊兩條直角邊a和bc=7a2+b2,

tgA=；B=90°-A

b

一條直角邊a和斜邊cb=Vc2-a2sinA=—,

c

B=90°-A

1條邊和—*一條直角邊a和銳角AB=90。-A,c=-^-,

個銳角sinA

b=a?etgA

斜邊c和銳角AB=90'-A>a=c■sinA?

b=c■cosA

X如圖2,坡面與水平面的夾角叫做坡用（或叫做以中）。用字母i表示，即

z=y=tanA

◎從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角，叫做方但陰。如圖3,OA、

OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°。

◎指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方回曲。如

圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°,南偏東45°（東南方

向）、南偏西為60°,北偏西60°。

第二章二次函數(shù)

※二次函數(shù)的概念：形如y=ar2+"+c（a、、b、是常數(shù)，a=0）的函數(shù)，叫做x的三次

函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。y=cix1（t/w0）是二次函數(shù)的特例，此時

常數(shù)h=c=o.

※在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,

并確定自變量的取值范圍。

※二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點在原點關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做地物線。

描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物

線與x軸的交點等方面來描述。

①函數(shù)的定義域是全體實數(shù)；

②拋物線的頂點在（0,0）,對稱軸是y軸（或稱直線x=0）。

③當a>0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當aVO時，拋物線

開口向下，并且向下方無限伸展。

④函數(shù)的增減性：

A、當a>。時卜"附瞰增大而減小

B、當aVO時

[xNOFI寸,），隨%增大而增大

麗,），隨%增大而增大

x>00寸,y隨x增大而減小

⑤當IaI越大，拋物線開口越??；當IaI越小，拋物線的開口越大。

⑥最大值或最小值：當a>0,且x=0時函數(shù)有最小值，最小值是0；當aVO,且x=0時

函數(shù)有最大值，最大值是0.

※二次函數(shù)y=ax2+c的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線

※二次函數(shù)），=/+扇+。的圖象是以工二一2為對稱軸，頂點在（一2,

2a2a

4"一叭的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）

4a

※間的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）

速度越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠離對稱軸y軸，y隨x增

長（或下降）速度越慢。

※二次函數(shù)），=?2+。的圖象中，2的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物

線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。

※二次函數(shù)），=0^+縱+。的圖象與y=ax2的圖象的關(guān)系：

y=ox2+"+c的圖象可以由y=ax2的圖象平移得到，其步驟如下:

①將y=ax2+云+。配方成丁=。*一%）2+k的形式；（其中h二一2,

2a

,4ac-b~、

k=-----------）；

4a

②把拋物線向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y(tǒng)=a（x-h）2的

圖象；

③再把拋物線丫=。*-〃）2向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個單位，便得到

y=a（x-h）2+2的圖象。

※二次函數(shù)y=or?+bx+c的性質(zhì)：

二次函數(shù)），=ar2+以+c配方成）,=心+2）2+處金則拋物線的

2a4a

①對稱軸：X=-2②頂點坐標：（.A,4"0-從）

2a2a4a

③增減性：若a>0,則當x<-■2時，y隨x的增大而減八；當x>-■上時，y

2a........2a

隨x的增大而增大。

若a<0,則當x<-2時，y隨x的增大而增大；當x>-2時，y

2a........2a

隨x的增大而減小。

④最值：若a>0,則當x=—W，y最小=；若水0,則當x二-■2時,

2a最小4a2a

4ac-h2

y最大

※畫二次函數(shù)y=a/+〃x+c的圖象:

我們可以利用它與函數(shù)》=辦2的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用

簡化了的描點法一五點法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：

①先找出頂點（_2,4改-%,畫出對稱軸x=__L；

2a4a2a

②找出圖象上關(guān)于直線x=-2對稱的四個點（如與坐標的交點等）；

2a

③把上述五點連成光滑的曲線。

Q二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得，

也可以借助圖象觀察。

Q解決最大（?。┲祮栴}的基本思路是：

①理解問題；

②分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；

③用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；

④做數(shù)學(xué)求解；

⑤檢驗結(jié)果的合理性、拓展性等。

※二次函數(shù)），=以2+力X+C的圖象（拋物線）與X軸的兩個交點的橫坐標XI,X2是

對應(yīng)一元二次方程欠2+法+C=0的兩個實數(shù)根

※拋物線與X軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:

b2-4ac>0<===>拋物線與x軸有2個交點；

b2-4ac=0<===>拋物線與x軸有1個交點；

b2-4ac<0<===>拋物線與x軸有0個交點（無交點）；

※當從一4碇>0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A、B,則這兩個點之間的距

離：

2

ITABHX,+X2|=7（X2-%1）=+工2>-4X|W

化簡后即為：土（〃-4〃c>0）-----這就是拋物線與x軸的兩

\a\

交點之間的距離公式。

第三章圓

一.車輪為什么做成圓形

XI.圓的定義：

描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另

一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做同：固定的端點0叫

做頤中；線段0A叫做半號；以點O為圓心的圓，記作。0,

讀作“圓0”

集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做里

心定長叫做些的半彳至，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，

圓心和半徑確定的圓叫做房咧。

對圓的定義的理解：①園是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是

半徑（即定長）。

派2.點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

如果圓的半徑為r,點到圓心的距離為d,則

①點在圓上<===>d=r;

②點在圓內(nèi)<===>d<r;

③點在圓外<===>d>r.

其中點在圓上的數(shù)量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證

明這幾個點與一個定點、的距離相等。

二.圓的對稱性：

※上與圓相關(guān)的概念：

①弦和百杼：

弦：連接圓上任意兩點的線段叫做窣。

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做京彳至。

②弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧：

?。簣A上任意兩點間的部分叫做母弧，簡稱弧，用符號“?'表示，以CD為端

一、

點的弧記為“CD”,讀作“圓弧CD”或“弧CD”。

半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半唄。

優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。

劣弧：小于半圓的弧叫做為甄。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。）

③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做回心'回。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。

⑥等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等鐘。

⑦圓心角：頂點在圓心的角叫做頤中物

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做攀心、限

X2.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

X3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧.

上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。

※今定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對

的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距

中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

三.圓周角和圓心角的關(guān)系：

※工1°的弧的概念：把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是1°

的圓心角，相應(yīng)的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的

弧叫1°弧.

※工圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.

這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等，而不是角與弧相等.即不能寫成N族

AOB=，這是錯誤的.

X3.圓周角的定義：

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.

※從圓周角定理：

一條弧所疝的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

※推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角

所對的弧也相等；

※推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

※四.確定圓的條件：

※上理解確定一個圓必須的具備兩個條件：

圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.

經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓，其圓心在這個兩點

線段的垂直平分線上.

※工經(jīng)過三點作圓要分兩種情況：

(1)經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓.

(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點，能且僅能作一個圓.

※定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓.

X3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這

個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點的距離相等.

五.直線與圓的位置關(guān)系

※上直線和圓相交、相切相離的定義：

(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線.

(2)相切：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，

惟一的公共點做切點.

(3)相離：直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.

※工直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：

設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線的距離為d；

①dvrv===>直線L和。O相交.

②d=r<===>直線L和00相切.

③d>r<===>直線L和相離.

米3切線的總判定定理?

.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.

※爾切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點的半徑.

※推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

※推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

※分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：

如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個.

①垂直于切線；②過切點；③過圓心.

派5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)

心，這個三角形叫做圓的外切三角形.

※色三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點，該線平分三角形的

這個內(nèi)角.

六.圓和圓的位置關(guān)系.

※上外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.

(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.

(2)外切：兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外

部時，叫做這兩個圓外切.這個惟的公共點叫做切點.

(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這個兩個圓相交.

(4)內(nèi)切：兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓.匕的都在另一個圓的內(nèi)部

時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.

(5)內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.

兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例.

※久兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：

(1)兩圓外離<===>d>R+r

(2)兩圓外切v===>d=R+r

(3)兩圓相交<===>R-r<d<R+r(R2r)

(4)兩圓內(nèi)切<===>d=R-r(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含<===>d<R-r(R>r)

X3.相切兩圓的性質(zhì)：

如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.

※式相交兩圓的性質(zhì)：

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

七.弧長及扇形的面積

※上圓周長公式：

圓周長C=2^-RiR表示圓的半徑)

※工弧長公式：

弧長/=型(R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù))

180

X3.扇形定義：

一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

※幺弓形定義：

由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.

X5.圓的面積公式.

圓的面積5=成2（R表示圓的半徑）

米6.扇形的面枳公式：

n7iR~

扇形的面積S儂形（R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù)）

360

※弓形的面積公式:（如圖5）

（2）當弓形所含的弧是優(yōu)弧時，S弓形=S崩形+S通形

1、

（3）當弓形所含的弧是半圓時，S弓形=耳成2=S電形

A.圓錐的有關(guān)概念：

XI.圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條

直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錢的側(cè)面.

※公圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算：

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面

圓的周長、圓心是圓錐的頂點.

如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長（扇形半徑）是1,底面圓周長［扇形弧長）為C,那么它

的側(cè)面積是：

5側(cè)=g4=g?2加=ml

S表=$側(cè)+5底面=M+R.2=W（F+/）/0____\_

0九.與圓有關(guān)的輔助線\

1.如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線.\

2.如圓中有直徑的條件，可作出直徑上的圓周角.

3.如一個圓有切線的條件，常作過切點的半徑（或直徑）為輔助線.

4.若條件交代了某點是切點時，連結(jié)圓心和切點是最常用的輔助線.

O+.圓內(nèi)接四邊形

若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做這個

四邊形的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的特征：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補；

②II內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.

※十一.北師版數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理

1.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分

兩條切線的夾角。

如圖6,VPA,PB分別切。。于A、B

r.PA=PB,PO平分NAPB

2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓冏角。

推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。

如圖7,CD切。0于C,則，ZACD=ZB

3.和圓有關(guān)的比例線段：

①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等;

②推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

如圖8,AP?PB=CP?PD

如圖9,若CD_LAB于P,AB為。0直徑，則CP?=AP?PB

4.切割線定理

①切割線定理，從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線

段長的比例中項；

②推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積

相等。

如圖10,①PT切。0于T,PA是割線，點A、B是它與(DO的交點，則PT?=PA?PB

②PA、PC是OO的兩條割線，貝I」PD?PC=PB,PA

5.兩圓連心線的性質(zhì)

①如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，或者說，連心線過切點。

②如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。

如圖11,OOi與。。2交于A、B兩點，則連心線OQ2_LAB且AC=BC。

6.兩圓的公切線

兩圓的兩條外公切線的長及兩條內(nèi)公切線的長相等。

如圖12,AB分別切OOi與。Ch于A、B,連結(jié)OiA,O2B,過O2作ChCLOiA于C,

公切線長為/，兩圓的圓心距為d,半徑分別為R,r則外公切線長：

L=^d2-(R-r)2

如圖13,AB分別切。Oi與。。2于A、B,O2C^AB,OzCLOQ于C,OOi半徑為

。。2半徑為r,則內(nèi)公切線長：L=y]d2-(R+r)

第四章統(tǒng)計與概率

1.實驗頻率與理論概率的關(guān)系只是在實驗次數(shù)很多時，實驗頻率接近于理論概念，但實驗次

數(shù)再多，也很難保證實驗結(jié)果與理論值相等,這就是“隨機事件”的特點.

三.游戲公平嗎？

1.游戲的公平性是指游戲雙方各有50%贏的機會，或者游戲多方贏的機會相等.

2.表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的概率.一個事件發(fā)生的概率取值在0與

1之間.

3.概率的預(yù)測的計算方法:某事件A發(fā)生的概率：

事件A包含的基本事件的個數(shù)

"基本事件的總數(shù)

4.用分析的辦法求事件發(fā)生的概率要注意關(guān)鍵性的兩點：

(1)要弄清楚我們關(guān)注的是發(fā)生哪個或哪些結(jié)果；

(2)要弄清楚所有機會均等的結(jié)果.

(注：※表示重點部分；Q表示了解部分；◎表示僅供參閱部分；)

?::.。/①②③④⑤⑥⑦@?⑩」

北師大版九年級下冊第二章單元測試（中考集錦）

一.選擇題（每題3分，共36分）

L下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的是（）

A、s=l+t+5t2

B、y=22+2x

C、y=-2+3x2

D、y=10（）（1+x）2

2.（2011?蕪湖）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則反比例函

數(shù)y二巴與一次函數(shù)y=bx+c在同一坐標系中的大致圖象是（）

x

3.（2012?重慶）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示

對稱軸為x=T

下列結(jié)論中，正確的是（）

A、abc>0B、a+b=OC、2b+c>0D、4a+c<2b

4.（2011?泰安）若二次函數(shù)y=ax?+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如下

表：

x-7-6-5-4-3-2

y-27-13-3353則當x=l時，y的值為（）

A、5B、-3C、-13D、?27

5.（2004?濟南）你知道嗎？平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的

形狀可近似地看為拋物線.如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿

繩的手間距為4m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的

手水平距離Im、2.5m處.繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭

頂.已知學(xué)生丙的身高是1.5m,則學(xué)生丁的身高為（建立的平面直

角坐標系如圖所示）（）

廿

A、1.5mB、1.625m

C、1.66mD、1.67m

6.（2010?定西）向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且

時間與高度的關(guān)系為y=ax?+bx+c（aWO）、若此炮彈在第7秒與第14

秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（）

A、第8秒B、第10秒C、第12秒D、第15秒

7.（2011?聊城）某公園草坪的防護欄由100段形狀相同的拋物線形

構(gòu)件組成，為了牢固起見，每段護欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼

的支柱，防護欄的最高點距底部0.5m（如圖），則這條防護欄需要不

銹鋼支柱的總長度至少為（)

A、

C、160mD、200m

8.（2010?遵義）如圖，兩條拋物線y尸-卜2+1,丫2=-卜2-1與分別經(jīng)

過點（-2