河南省洛陽市2025屆高三數(shù)學(xué)第二次統(tǒng)一考試試題文含解析

PAGE21-河南省洛陽市2025屆高三數(shù)學(xué)其次次統(tǒng)一考試試題文（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)填寫在答題卡上．2．考試結(jié)束，將答題卡交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】依據(jù)題意，則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題目,2.已知復(fù)數(shù)滿意，其中為虛數(shù)單位，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)求出，即可求得答案.【詳解】因，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，留意計(jì)算的精確度，屬于簡(jiǎn)潔題目.3.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因?yàn)榻K邊上有一點(diǎn)，所以，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查二倍角公式，嫻熟記憶公式即可解決，屬于簡(jiǎn)潔題目.4.下圖是我國第24~30屆奧運(yùn)獎(jiǎng)牌數(shù)的回眸和中國代表團(tuán)獎(jiǎng)牌總數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，依據(jù)表和統(tǒng)計(jì)圖，以下描述正確的是（）．金牌（塊）銀牌（塊）銅牌（塊）獎(jiǎng)牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)始終保持上升趨勢(shì)B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于視察圖象所反映的改變，不具有實(shí)際意義C.第30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比，奧運(yùn)金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)的中位數(shù)是54.5【答案】B【解析】【分析】依據(jù)表格和折線統(tǒng)計(jì)圖逐一推斷即可.【詳解】A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)不是始終保持上升趨勢(shì)，29屆最多，錯(cuò)誤；B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于視察圖象所反映的改變，不表示某種意思，正確；C.30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比，奧運(yùn)金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降，銀牌數(shù)有所上升，錯(cuò)誤；D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)依據(jù)依次排列的中位數(shù)為,不正確；故選：B【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)圖，關(guān)鍵點(diǎn)讀懂折線圖，屬于簡(jiǎn)潔題目.5.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.64 B.48 C.36 D.24【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列求和公式得，求得，再利用等差數(shù)列性質(zhì)即可求解【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可知，，解得，故.故選B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式，考查推理論證實(shí)力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.，是基礎(chǔ)題6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】依據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時(shí).【詳解】第一次循環(huán)：其次次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時(shí)，滿意輸出的值為8.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查算法程序框圖，依據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡(jiǎn)潔題目.7.已知，，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將化成指數(shù)一樣，將化成底數(shù)一樣，即可得答案；【詳解】，又，，；，又，，，即；.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的大小比較，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力.8.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.9.函數(shù)在處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（）．A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解方程即可得到答案.【詳解】，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.10.在中，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，則（）．A. B. C.4 D.9【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，，則在中，又,則則則則故選：B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，駕馭基本概念和公式即可解決，屬于簡(jiǎn)潔題目.11.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角，依據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】依據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知，.作BC中點(diǎn)Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點(diǎn)通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.12.已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有．則不等式的解集為（）．A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時(shí)為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D點(diǎn)睛】此題考查依據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等學(xué)問點(diǎn)，屬于較難題目.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知函數(shù)，則__________．【答案】2【解析】【分析】先計(jì)算的值，再計(jì)算的值.【詳解】，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，成立，則的最小值為__________．【答案】2024【解析】【分析】依據(jù)遞推關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，在解不等式，即可得答案；【詳解】，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，，，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力.15.圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)圓的一般方程得到圓心和半徑，再求圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，即可得答案；【詳解】，圓心為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解實(shí)力.16.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為左支上隨意一點(diǎn)，直線是雙曲線的一條漸近線，點(diǎn)在直線上的射影為，且當(dāng)取最小值5時(shí)，的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義、焦點(diǎn)到漸近線的距離為，可得方程，再利用基本不等式求得的范圍，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】點(diǎn)為左支上隨意一點(diǎn)，，最小值5，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，取最小值，.在直角三角形中，利用等面積法得：，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形面積的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知函數(shù)f(x)=4sincosx+.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-m區(qū)間在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍,并計(jì)算tan(x1+x2)的值.【答案】(1)T=π,遞增區(qū)間為(k∈Z).(2)m∈[,2),-.【解析】【分析】(1)先依據(jù)兩角差正弦公式綻開，再依據(jù)二倍角公式以及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，最終依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)依據(jù)正弦函數(shù)圖像確定有兩解的m條件，并依據(jù)對(duì)稱性確定x1+x2值，即得tan(x1+x2)的值.【詳解】(1)f(x)=4sincosx+=4cosx+=2sinxcosx-2cos2x+=sin2x-cos2x=2sin.∴函數(shù)f(x)的周期為T=π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z)∴f(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z).(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f(x)=2sin上的圖象,由圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)m∈[,2)時(shí),方程f(x)=m有兩個(gè)不同的解x1,x2,且x1+x2=2×,故tan(x1+x2)=tan=-tan=-.【點(diǎn)睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象探討性質(zhì)，解題時(shí)留意視察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．18.如圖，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分別為，，的中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置（平面）．（1）若為直線上隨意一點(diǎn)，證明：MH∥平面；（2）若直線與直線所成角為，求三棱錐的表面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明面面平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）分別求出各個(gè)面的面積再相加，即可得答案；【詳解】（1）證明：連接，∵，，分別為，，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理，平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）在等腰梯形中，作于，于，易得，又，∴，．∴．∵與互補(bǔ)，∴．在中，．∴．∴．∵，為銳角，∴為直線與所成的角，．又，∴為等腰直角三角形．∴．∴．∴．．．∴，∴三棱錐的表面積為．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、面面平行性質(zhì)定理、三棱錐的表面積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，求解時(shí)留意翻折前后的不變量.19.已知點(diǎn)、分別在軸、軸上，，．（1）求的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，與曲線分別交于、（不同于點(diǎn)）兩點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，，利用向量的坐標(biāo)關(guān)系和相關(guān)點(diǎn)帶入法，即可得答案；（2）依題意，直線斜率存在，可設(shè)直線的方程為與的方程聯(lián)立，消去得，設(shè)，，寫出直線的方程為，再令，可得，從而證明直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，，則．設(shè)，由得．故，化簡(jiǎn)得的軌跡的方程為．（2）依題意，直線斜率存在，可設(shè)直線的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得．設(shè)，則，．設(shè)，上式中用替代，則，．直線的方程為．令，得．故直線恒過點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查向量與橢圓問題的交匯、橢圓中的直線過定點(diǎn)問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力.20.某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線，為了分析兩條生產(chǎn)線的效果，先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．該項(xiàng)指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)合計(jì)頻數(shù)2184814162100（1）依據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中隨意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率，估計(jì)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率；（2）現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線，依據(jù)上述圖表所供應(yīng)的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并推斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)？若有90%把握，請(qǐng)從合格率的角度分析保留哪條生產(chǎn)線較好？甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品不合格品合計(jì)附：，．0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）0.0081（2）見解析，保留乙生產(chǎn)線較好．【解析】【分析】(1)先求出任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率，“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好發(fā)生2次的概率用二項(xiàng)分布概率即可解決.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)算出的觀測(cè)值即可推斷.【詳解】（1）依據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，樣本中任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率為：．設(shè)“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件且為合格品”為事務(wù)，事務(wù)發(fā)生的概率為，則由樣本可估計(jì)．那么“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事務(wù)恰好發(fā)生2次，其概率為：．（2）列聯(lián)表：甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品9096186不合格品10414合計(jì)100100200的觀測(cè)值，∵，，∴有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)．由（1）知甲生產(chǎn)線的合格率為0.9，乙生產(chǎn)線的合格率為，∵，∴保留乙生產(chǎn)線較好．【點(diǎn)睛】此題考查獨(dú)立重復(fù)性檢驗(yàn)二項(xiàng)分布概率，獨(dú)立性檢驗(yàn)等學(xué)問點(diǎn)，認(rèn)準(zhǔn)特征代入公式即可，屬于較易題目.21.已知函數(shù)，．（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得對(duì)恒成立，利用參變分別可求得的取值范圍；（2）設(shè)，，，明顯在上為增函數(shù)，再利用隱零點(diǎn)法，有唯一零點(diǎn)設(shè)為，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明不等式成立.【詳解】（1），．∵在上單調(diào)遞增．∴對(duì)恒成立．∴，∴．∴的取值范圍為．（2）設(shè)，，，明顯在上為增函數(shù)．又，，∴有唯一零點(diǎn)設(shè)為．且，時(shí)，；時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．∴．又，∴，，，∴．∴，即當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，求解時(shí)留意隱零點(diǎn)法的應(yīng)用.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題