山東省威海榮成市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理含解析

PAGEPAGE22山東省威海榮成市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè).考試時(shí)間120分鐘.滿分150分.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米的黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考號(hào)填寫在答題紙規(guī)定的位置.第Ⅰ卷（選擇題共60分）留意事項(xiàng)：每小題選出答案后，用鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，求出，利用交集的定義運(yùn)算求出結(jié)果．【詳解】，，解得，則，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題．2.下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①“”是“”的充分不必要條件；②命題“”的否定是“”；③“，則為偶函數(shù)”的逆命題為真命題；④命題，命題，則為真命題A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用小范圍可推出大范圍推斷①；利用全稱量詞命題的否定為存在量詞命題推斷②；利用正弦函數(shù)的奇偶性推斷③；利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象推斷④．【詳解】①，即或，所以“”是“”的充分不必要條件，正確；②命題“”的否定是“”，正確；③“，則為偶函數(shù)”的逆命題為“為偶函數(shù)，則”，命題錯(cuò)誤，當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，；④，命題正確；，命題錯(cuò)誤；則為假命題，錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查充分必要條件的應(yīng)用，考查全程量詞命題和存在量詞命題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．3.直線與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程確定積分上限和積分下限，然后利用定積分可得封閉圖形的面積.【詳解】解方程可得：，求解第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積，則積分上限為2，積分下限為0，利用定積分求解面積的方法可得所求面積的值為：.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的應(yīng)用，利用定積分求解封閉圖形的面積的方法等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.4.如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是A1B1、CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與BF所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】本題考查兩條異面直線所成的角.取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，則且，則四邊形是矩形，故.所以即為與所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以；連結(jié)，則；則；又，所以在中，由余弦定理得故正確答案為5.設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面對(duì)量的線性運(yùn)算法則干脆表示即可得解.【詳解】由題意作出圖形，如圖：則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量線性運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.已知實(shí)數(shù)x，y滿意條件，則的最小值為（）A. B.4 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可互為直線，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)在軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算實(shí)力．7.在等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算可求出的值．【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)，公比，又，，故故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．8.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng) B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng) D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，依據(jù)平移法則得到答案.【詳解】.故向右平移個(gè)單位長(zhǎng)可以得到的圖像.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)平移的理解和駕馭狀況.9.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等于A.24 B.30 C.10 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)幾何體的三視圖得出該幾何體是三棱柱去掉一個(gè)三棱錐所得的幾何體，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求出它的體積．【詳解】依據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是三棱柱截去一個(gè)三棱錐后所剩幾何體幾何體是底面為邊長(zhǎng)為的三角形，高為的三棱柱被平面截得的，如圖所示：由題意：原三棱柱體積為：截掉的三棱錐體積為：所以該幾何體的體積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形態(tài)．10.已知函數(shù)，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件推斷的奇偶性和單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，∴函數(shù)為偶函數(shù)，∴.又當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，∴可轉(zhuǎn)化為，則，∴，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查學(xué)生的推理實(shí)力與計(jì)算求解實(shí)力，屬于中檔題.11.在△中，是上的點(diǎn)，平分，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，可證明△∽△，結(jié)合平分，可得，，從而可知.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則，所以△∽△，且，又因?yàn)槠椒?，所以，故△是等腰三角形，且，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查角分線、相像三角形的性質(zhì)，考查學(xué)生的推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿意，若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可推斷是上的減函數(shù)，不等式可轉(zhuǎn)化為，從而可求出的取值范圍.【詳解】令，求導(dǎo)得，∵，∴，則是上的減函數(shù)，又等價(jià)于，而，∴，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）留意事項(xiàng)：1.請(qǐng)用0.5毫米的黑色簽字筆將每題的答案填寫在答題紙的指定位置.書寫的答案如需改動(dòng)，要先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案.2.不在指定答題位置答題或超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.在試題卷上答題無(wú)效.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量夾角為,,則.【答案】【解析】【分析】利用平面對(duì)量數(shù)量積公式以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，求得的值，再開(kāi)平方即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄康膴A角為,,所以,.【點(diǎn)睛】向量數(shù)量積的運(yùn)算主要駕馭兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.14.等差數(shù)列{an}的公差d≠0滿意成等比數(shù)列，若=1，Sn是{}的前n項(xiàng)和，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】4【解析】【分析】成等比數(shù)列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分別常數(shù)法化簡(jiǎn)后，利用基本不等式求出式子的最小值．【詳解】∵成等比數(shù)列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，當(dāng)且僅當(dāng)n+1=時(shí)取等號(hào)，此時(shí)n=2，且取到最小值4，故答案4．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時(shí)，要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿意基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.15.已知、是球的球面上兩點(diǎn)，，球的表面積為，為球面上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出球的半徑的值，并計(jì)算出的面積，進(jìn)而可求得體積的最大值為，即可得解.【詳解】如下圖所示：設(shè)球的半徑為，球的表面積為，可得，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則的面積為，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積取得最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積最值的計(jì)算，確定點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.16.若函數(shù)在上遞增，則的取值范圍___________.【答案】.【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)，由函數(shù)在上遞增，則在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在恒成立求解.【詳解】由函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.三、解答題：本大題6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得到，再由，則，即可求得；（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，進(jìn)而得到三角形周長(zhǎng).【詳解】（1）在中，因?yàn)橛烧叶ɡ淼?，，可得，即，可得，又因?yàn)?，則，因此.（2）由，可得，又，故，因?yàn)?，依?jù)余弦定理，可得，所以，即，所以周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，嫻熟駕馭定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.18.如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，，，.（1）證明：平面平面；（2）證明：；（3）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）由，，可得平面，由此能證明平面平面；（2）先證明，可得平面，再由線面平行的性質(zhì)可得；（3）過(guò)作直線，分別以FA，F(xiàn)E，l，為x，y，z建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用夾角公式可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鏋檎叫危?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）證明：∵，面，面平面平面，平面平面；（3）過(guò)作直線，∵平面平面，∴面，所以l，F(xiàn)A，F(xiàn)E兩兩垂直，分別以FA，F(xiàn)E，l為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，，設(shè)面的法向量，，取，求得，，，∴FA與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直、線線平行的證明，線面角的向量法，是中檔題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）視察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）依據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）.【解析】【分析】(1)由知，當(dāng)時(shí)：，兩式作差化簡(jiǎn)，可證明數(shù)列是等差數(shù)列；利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；(2)由(1)求出，利用裂項(xiàng)相消法求和可得結(jié)果．【詳解】(1)證明：由知，當(dāng)時(shí)：，即，∴，對(duì)成立.又，∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.∴(2)∴=【點(diǎn)睛】本題考查定義法證明等差數(shù)列，考查數(shù)列求和，考查數(shù)列遞推關(guān)系式，屬于中檔題．20.設(shè)函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與垂直，求函數(shù)的解析式；（2）假如對(duì)于隨意的，都有成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由已知得，求出得解（2）求導(dǎo)得到在上的最大值為轉(zhuǎn)化得到在恒成立.構(gòu)造函數(shù)求得的最大值為，得解【詳解】（1），∵曲線在點(diǎn)處的切線與垂直，∴，.（2），∴，，，，∴在上遞減，在上遞增，∴在上的最大值為較大者，即，∵對(duì)于隨意的，都有成立，∴即對(duì)隨意的成立.令，，∴，，，，∴在上遞增，在上遞減，的最大值為，∴，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最值及不等式恒成立求參數(shù)范圍.屬于基礎(chǔ)題.21.如圖，在多面體中，平面平面，平面，，∥，且.（1）求證：平面；（2）求證：∥平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)平面∥平面，利用面面平行的性質(zhì)定理得，再由，得到四邊形為平行四邊形，從而∥，然后結(jié)合平面得證.（2）連接，依據(jù)平面∥平面，利用面面平行的性質(zhì)定理得∥，再由∥，且，得到四邊形為平行四邊形，從而，再利用線面平行的判定定理證明.（3）依據(jù)兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量為和平面的一個(gè)法向量，然后由求解.【詳解】（1）平面∥平面，平面平面，平面平面，∴又，四邊形為平行四邊形，∥面，平面（2）連接，平面∥平面，平面平面，平面平面，∴∥，∥，∴∥，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，∴∥平面.（3）由已知，兩兩垂直，建立如圖的空間坐標(biāo)系，設(shè)，則∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為，