高中數(shù)學(xué) 2-3-4 平面與平面垂直的性質(zhì)能力強(qiáng)化提升 新人教A版必修2

【成才之路】高中數(shù)學(xué)2-3-4平面與平面垂直的性質(zhì)能力強(qiáng)化提升新人教A版必修2一、選擇題1．已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一點(diǎn)M，作ME⊥AB于EA．ME⊥平面AC B．ME?平面ACC．ME∥平面AC D．以上都有可能[答案]A[解析]由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME?平面AB1，所以ME⊥平面AC.2．在空間中，下列命題正確的是()A．若三條直線兩兩相交，則這三條直線確定一個(gè)平面B．若直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行，則m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，則過α內(nèi)一點(diǎn)P與l垂直的直線垂直于平面βD．若直線a∥b，且直線l⊥a，則l⊥b[答案]D[解析]選項(xiàng)A中，若有3個(gè)交點(diǎn)，則確定一個(gè)平面，若三條直線交于一點(diǎn)，則不一定能確定一個(gè)平面，如正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD兩兩相交，但由AA1，AB，AD不能確定一個(gè)平面，所以A不正確；選項(xiàng)B中，缺少條件m是平面α外的一條直線，所以B不正確；選項(xiàng)C中，不滿足面面垂直的性質(zhì)定理的條件，必須是α內(nèi)垂直于l3．給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中為真命題的是()A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④[答案]D4．在空間，下列命題正確的是()A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行[答案]D[解析]當(dāng)兩平行直線都與投影面α垂直時(shí)，其在α內(nèi)的平行投影為兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)兩平行直線所在平面與投影面α相交但不垂直時(shí)，其在α內(nèi)的平行投影可平行，故A錯(cuò)；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AA1與平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1與平面CDD1C1相交，故B錯(cuò)；同樣，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD15．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A．若l⊥α，α⊥β，則l?βB．若l∥α，α∥β，則l?βC．若l⊥α，α∥β，則l⊥βD．若l∥α，α⊥β，則l⊥β[答案]C[解析]l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，A錯(cuò)；l∥α，α∥β?l∥β或l?β，B錯(cuò)；l⊥α，α∥β?l⊥β，C正確；若l∥α，α⊥β，則l與β位置關(guān)系不確定，D錯(cuò)．6．如圖所示，三棱錐P－ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A．一條線段B．一條直線C．一個(gè)圓D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)[答案]D[解析]∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點(diǎn)．7．如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影HA．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部[答案]A[解析]∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上，故選A.8．在正四面體(所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]∵D、F分別為AB、CA中點(diǎn)，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF，故A正確．又∵P－ABC為正四面體，∴P在底面ABC內(nèi)的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.又∵E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正確．又∵PO?面PAE，PO⊥平面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正確．∴四個(gè)結(jié)論中不成立的是C.二、填空題9．如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，則BE與平面PAD的位置關(guān)系為________．[答案]平行[解析]取PD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，在△PCD中，EF綊eq\f(1,2)CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EB∥AF.又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD.10．如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，則三棱錐A－A′BB′的體積V＝________.[答案]4[解析]∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′?α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β，∴V＝eq\f(1,3)S△A′BB′·AA′＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)A′B′×BB′)×AA′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.11．如圖所示，P是菱形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，邊長(zhǎng)為a.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB與平面AC所成的角為θ，則θ＝________.[答案]45°[解析]如圖所示，取AD的中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD.∵△PAD是等邊三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB與平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.12．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK＝t，則t的取值范圍是________．[答案](eq\f(1,2)，1)[解析]如圖，過D作DG⊥AF，垂足為G，連接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，當(dāng)F接近E點(diǎn)時(shí)，K接近AB的中點(diǎn)，當(dāng)F接近C點(diǎn)時(shí)，K接近AB的四等分點(diǎn)．所以t的取值范圍是(eq\f(1,2)，1)．三、解答題13．把一副三角板如圖拼接，設(shè)BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使兩塊三角板所在的平面互相垂直．求證：平面ABD⊥平面ACD.[證明]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ABC⊥平面BCD,CD⊥BC))?CD⊥平面ABC)),,,AB?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(CD⊥AB,AB⊥AC))?AB⊥平面ACD)),,,AB?平面ABD))?平面ABD⊥平面ACD.14．S為△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA＝SB＝SC，且∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°.求證：平面ASC⊥平面ABC.[解析]如圖，設(shè)SA＝SB＝SC＝a.∵∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°，∴AC＝eq\r(2)a，AB＝BC＝a，則AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.取AC中點(diǎn)O，連接SO、BO.則SO⊥AC，BO⊥AC，∠SOB為二面角S－AC－B的平面角．∵SO＝OB＝eq\f(\r(2),2)a，∴SO2＋OB2＝SB2，∴∠SOB＝90°，∴平面ASC⊥平面ABC.15．(·全國(guó)新課標(biāo))如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．(1)證明：平面BDC⊥平面BDC1；(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．[分析]本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡(jiǎn)單題．[解析](1)由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1?面ACC1A1，∴DC1⊥由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1?平面BDC1，∴平面BDC⊥平面BDC1；(2)設(shè)棱錐B－DACC1的體積為V1，AC＝1，由題意得，V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×1×1＝eq\f(1,2)，由三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝1，∴(V－V1)V1＝11，∴平面BDC1分此棱柱為兩部分體積之比為11.16．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)．求證：(1)DF⊥AP.(2)在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使GF⊥平面PBC？若存在，說明G點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．[證明](1)取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)EF，則PA∥EF.設(shè)PD＝DC＝a，易求得DE＝eq\f(\r(5),2)a，F(xiàn)E＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(2),2)a，DF＝eq\f(1,2)PB＝eq\f(