高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)提升版第53講拋物線（一）

第53講拋物線(一)[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)．1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離eq\x(\s\up1(01))相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的eq\x(\s\up1(02))焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的eq\x(\s\up1(03))準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0，0)對(duì)稱軸eq\x(\s\up1(04))x軸eq\x(\s\up1(05))y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(07))__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝eq\x(\s\up1(09))1準(zhǔn)線方程eq\x(\s\up1(10))x＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(11))x＝eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(12))y＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(13))y＝eq\f(p,2)范圍eq\x(\s\up1(14))x≥0，y∈Req\x(\s\up1(15))x≤0，y∈Req\x(\s\up1(16))y≥0，x∈Req\x(\s\up1(17))y≤0，x∈R開口方向向eq\x(\s\up1(18))右向eq\x(\s\up1(19))左向eq\x(\s\up1(20))上向eq\x(\s\up1(21))下拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．1．(人教A選擇性必修第一冊(cè)P133練習(xí)T2改編)拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－1答案A解析由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,8).故選A.2．(2023·紹興模擬)設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)P(1，m)在拋物線上，且|PF|＝3，則p＝()A．1 B．2C．4 D．8答案C解析拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，點(diǎn)P(1，m)在拋物線上，且|PF|＝3，由拋物線的定義可知1＋eq\f(p,2)＝3，則p＝4.故選C.3．(人教B選擇性必修第一冊(cè)2.7.1練習(xí)BT5改編)若動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(4，0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是()A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案D解析∵點(diǎn)M到F(4，0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，∴點(diǎn)M到F的距離和它到直線x＝－4的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線，得點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝16x.4．(人教A選擇性必修第一冊(cè)3.3.1練習(xí)T3改編)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，|PF|＝6，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()A．6 B．5C．4 D．2答案C解析設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程為x＝－2.∵點(diǎn)P在拋物線上，|PF|＝6，∴x0＋2＝6，∴x0＝4.故選C.5．(人教B選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2－7CT1(1)改編)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．若B(3，2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．答案4解析如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.考向一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)(多選)過(guò)點(diǎn)P(－2，3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是()A．y2＝－eq\f(9,2)x B．y2＝eq\f(9,2)xC．x2＝－eq\f(4,3)y D．x2＝eq\f(4,3)y答案AD解析設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P(－2，3)，解得k＝－eq\f(9,2)，m＝eq\f(4,3)，所以y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y.故選AD.(2)(2021·北京高考)已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線C上的點(diǎn)，且|FM|＝6，則M的橫坐標(biāo)是________；作MN⊥x軸于N，則S△FMN＝________．答案54eq\r(5)解析因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．因?yàn)閨FM|＝6，所以xM＋eq\f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq\r(5)，所以S△FMN＝eq\f(1,2)×(5－1)×2eq\r(5)＝4eq\r(5).求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法．(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，常采用以下兩種模式設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上設(shè)為y2＝ax(a≠0)焦點(diǎn)在y軸上設(shè)為x2＝ay(a≠0)1.動(dòng)圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是()A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線答案D解析設(shè)動(dòng)圓的圓心為C，半徑為r，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而動(dòng)圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動(dòng)圓圓心到直線x＝2的距離為r＋1，根據(jù)拋物線的定義知，動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線．故選D.2．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0，2)，則拋物線C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x答案C解析拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)M(x0，y0)，由拋物線的定義，知|MF|＝x0＋eq\f(p,2)＝5，得x0＝5－eq\f(p,2)，則以MF為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為eq\f(5,2)，而圓的半徑為eq\f(5,2)，于是得該圓與y軸相切于點(diǎn)(0，2)，得圓心的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4))，從而有42＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)))，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x.考向二拋物線的幾何性質(zhì)例2(1)(2020·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1，0) D．(2，0)答案B解析因?yàn)橹本€x＝2與拋物線y2＝2px(p＞0)交于D，E兩點(diǎn)，且OD⊥OE，不妨設(shè)點(diǎn)D在第一象限，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得∠DOx＝∠EOx＝eq\f(π,4)，所以D(2，2)，代入y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).故選B.(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為________．答案x＝－eq\f(3,2)解析解法一：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖，由已知可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq\f(1,2).所以直線PQ的方程為y－p＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).令y＝0，得x＝eq\f(5,2)p.所以|FQ|＝eq\f(5,2)p－eq\f(p,2)＝2p＝6，所以p＝3，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)＝－eq\f(3,2).解法二：由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2).(1)涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離或到準(zhǔn)線的距離時(shí)，?？上嗷マD(zhuǎn)化．(2)應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．1.已知拋物線C：y2＝4x與圓E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于x軸的直線MN交拋物線于點(diǎn)N，則△MNE周長(zhǎng)的取值范圍為()A．(3，5) B．(5，7)C．(6，8) D．(6，8]答案C解析如圖所示，圓E的圓心為(1，0)，半徑為3，拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，準(zhǔn)線為x＝－1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,（x－1）2＋y2＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝－2\r(2)，))不妨令A(yù)(2，2eq\r(2))，B(2，－2eq\r(2))，所以2<xM<4.設(shè)平行于x軸的直線MN交拋物線的準(zhǔn)線x＝－1于D，根據(jù)拋物線的定義可知|NE|＝|ND|，所以△MNE的周長(zhǎng)為|ME|＋|NE|＋|MN|＝3＋|ND|＋|MN|＝3＋|MD|.而|MD|＝xM＋1∈(3，5)，所以3＋|MD|∈(6，8)，即△MNE周長(zhǎng)的取值范圍是(6，8)．故選C.2．(2023·湖北?？寄M預(yù)測(cè))過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的射線與拋物線交于點(diǎn)A，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，若|AF|＝2，|BF|＝6，則p的值為________．答案3解析過(guò)點(diǎn)A作AM⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)M，則|AM|＝|AF|＝2，∵|AF|＝2，|BF|＝6，∴|AB|＝4，由AM∥DF可得eq\f(|AM|,|DF|)＝eq\f(|AB|,|BF|)，即eq\f(2,p)＝eq\f(4,6)，解得p＝3.多角度探究突破考向三與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題角度到焦點(diǎn)與到定點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))距離之和最小問(wèn)題例3(多選)(2023·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．|PF|的最小值為1B．|QF|的最小值為eq\r(10)C．|PF|＋|PQ|的最小值為4D．|PF|＋|PQ|的最小值為eq\r(10)＋1答案AC解析拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線為x＝－1.對(duì)于A，由拋物線的性質(zhì)可知，|PF|的最小值為|OF|＝1，故A正確；對(duì)于B，注意到F是定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可知，|QF|的最小值為|CF|－r＝eq\r(10)－1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由拋物線的定義可知|PF|＝|PM|，故|PF|＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|，|PM|＋|PQ|的最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線x＝－1的距離的最小值，故最小值為4，故C正確，D錯(cuò)誤．故選AC.角度到定直線的距離最小問(wèn)題例4(2023·浙江模擬)已知直線l1：3x－4y－6＝0和直線l2：y＝－2，拋物線x2＝4y上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．2 B．3C.eq\f(11,5) D.eq\f(37,16)答案B解析拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F(0，1)，準(zhǔn)線l：y＝－1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l，l1，l2的距離分別為d，d1，d2，點(diǎn)F到直線l1的距離為d3＝eq\f(|3×0－4×1－6|,\r(32＋（－4）2))＝2，由d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)PF⊥l1且P在F與l1之間時(shí)，等號(hào)成立，即動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是3.故選B.與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解．(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．1.已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C．2 D.eq\r(5)－1答案D解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為eq\f(|2＋3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值為eq\r(5)－1.2．已知點(diǎn)M(20，40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點(diǎn)為F.若對(duì)于拋物線上的一點(diǎn)P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值為________．答案42或22解析當(dāng)點(diǎn)M(20，40)位于拋物線內(nèi)時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當(dāng)點(diǎn)M，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF|的值最?。勺钚≈禐?1，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42；當(dāng)點(diǎn)M(20，40)位于拋物線外時(shí)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF|的值最?。勺钚≈禐?1，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))\s\up12(2)＋402)＝41，解得p＝22或p＝58.當(dāng)p＝58時(shí)，拋物線C：y2＝116x，點(diǎn)M(20，40)在拋物線內(nèi)，故舍去．綜上，p＝42或p＝22.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·成都模擬)拋物線y＝16x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(0，4) B．(4，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,64))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,64)，0))答案C解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,16)y，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,64))).故選C.2．(2023·濟(jì)南期末)已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝1，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＝－4y B．x2＝4yC．y2＝4x D．y2＝－4x答案D解析由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝1，所以拋物線開口向左，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)，則eq\f(p,2)＝1，即p＝2，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－4x.故選D.3．(2023·北京高考)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上．若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝()A．7 B.6 C.5 D.4答案D解析因?yàn)閽佄锞€C：y2＝8x的焦點(diǎn)F(2，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，點(diǎn)M在C上，所以M到準(zhǔn)線x＝－2的距離為|MF|，又M到直線x＝－3的距離為5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故選D.4．(2023·邯鄲一模)拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，一條平行于x軸的光線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，1)，射向拋物線C的B處，經(jīng)過(guò)拋物線C的反射，經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，若|AB|＋|BF|＝5，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是()A．x＝－4 B．x＝－2C．x＝－1 D．x＝－eq\f(1,2)答案B解析由拋物線的定義可得|AB|＋|BF|＝3＋eq\f(p,2)＝5，解得p＝4，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(p,2)＝－2.故選B.5．設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析由題意可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F為△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝eq\f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq\f(3,2).又由拋物線的定義可知|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.故選C.6．(2023·十堰二模)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)M(3，2)，且△MFP的面積為2，若Q是拋物線C上一點(diǎn)，則△FMQ周長(zhǎng)的最小值為()A．4＋eq\r(2) B．4＋2eq\r(2)C．4＋eq\r(10) D．4＋2eq\r(10)答案B解析由題意可知，△MFP的面積為eq\f(1,2)×p×2＝2，解得p＝2，則F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，|MF|＝eq\r(（3－1）2＋22)＝2eq\r(2)，點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離為|QQ′|，△FMQ的周長(zhǎng)最小，需|QF|＋|MQ|最小，即|QQ′|＋|MQ|最小，所以當(dāng)MQ垂直于拋物線C的準(zhǔn)線時(shí)，△FMQ的周長(zhǎng)最小，且最小值為4＋2eq\r(2).故選B.7．(2023·咸陽(yáng)模擬)若F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，P是拋物線C上任意一點(diǎn)，|PF|的最小值為1，且A，B是拋物線C上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2，則|AF|＋|BF|＝()A．3 B．4C．5 D．6答案D解析由條件可得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)P(x0，y0)(x0≥0)，則|PF|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))eq\s\up12(2)＋2px0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)))eq\s\up12(2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))eq\s\up12(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝0時(shí)取等號(hào)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝1，解得p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.如圖所示，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2，所以x1＋x2＝4，所以由拋物線的定義可知|AF|＋|BF|＝p＋x1＋x2＝6.故選D.8．已知點(diǎn)P為拋物線x2＝4y上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A是圓x2＋(y－6)2＝5上任意一點(diǎn)，則|PA|的最小值為()A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．6－eq\r(5)答案A解析圓x2＋(y－6)2＝5的圓心為C(0，6)，半徑r＝eq\r(5).設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(xeq\o\al(2,0),4)))，則|PC|2＝xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),4)－6))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)xeq\o\al(4,0)－2xeq\o\al(2,0)＋36＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－4))eq\s\up12(2)＋20，當(dāng)xeq\o\al(2,0)＝16時(shí)，|PC|2有最小值20，數(shù)形結(jié)合可知|PA|min＝|PC|min－eq\r(5)＝2eq\r(5)－eq\r(5)＝eq\r(5).二、多項(xiàng)選擇題9．(2023·衡水聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離為2B．若|PF|＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)C．過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為2D．若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，4)，則|PM|＋|PF|的最小值為4答案AD解析由拋物線的解析式知p＝2，所以拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，所以焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，故A正確；設(shè)拋物線上點(diǎn)P(x，y)，則|PF|＝x＋1＝2，解得x＝1，故y＝±2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(1，－2)，故B錯(cuò)誤；過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為2p＝4，故C錯(cuò)誤；如圖，當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線且P在線段MF上時(shí)，|PM|＋|PF|取得最小值，即|MF|＝eq\r(（1－1）2＋42)＝4，故D正確．故選AD.10．(2023·大慶模擬)已知拋物線x2＝eq\f(1,2)y的焦點(diǎn)為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))B．若直線MN過(guò)點(diǎn)F，則x1x2＝－eq\f(1,16)C．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，則|MN|的最小值為eq\f(1,2)D．若|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為eq\f(5,8)答案BCD解析易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，A錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，MN過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，x1x2＝－p2＝－eq\f(1,16)，B正確；若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，則MN過(guò)點(diǎn)F，則|MN|的最小值即拋物線通徑的長(zhǎng)，為2p，即eq\f(1,2)，C正確；拋物線x2＝eq\f(1,2)y的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,8)，過(guò)點(diǎn)M，N，P分別作準(zhǔn)線的垂線MM′，NN′，PP′，垂足分別為M′，N′，P′，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，所以|PP′|＝eq\f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq\f(3,4)，所以線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為|PP′|－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,8)＝eq\f(5,8)，D正確．故選BCD.11．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，則()A．|BF|＝3B．△ABF是等邊三角形C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3D．拋物線C的方程為y2＝6x答案BCD解析根據(jù)題意，作出圖形如圖所示．因?yàn)橐詜FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，所以|FA|＝|FB|，又|FA|＝|AB|，所以△ABF為等邊三角形，B正確；因?yàn)椤螦BD＝90°，所以AB∥x軸，所以∠BFO＝60°，所以|BF|＝2p，S△ABF＝eq\f(\r(3),4)|BF|2＝eq\f(\r(3),4)·4p2＝9eq\r(3)，解得p＝3，所以|BF|＝6，所以A不正確；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝3，所以C正確；拋物線C的方程為y2＝6x，所以D正確．故選BCD.三、填空題12．(2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)A(1，eq\r(5))在拋物線C：y2＝2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為________．答案eq\f(9,4)解析由題意可得(eq\r(5))2＝2p×1，則2p＝5，拋物線C的方程為y2＝5x，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(5,4)，所以A到C的準(zhǔn)線的距離為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝eq\f(9,4).13.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(a＜b)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2＝2px(p＞0)經(jīng)過(guò)C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則eq\f(b,a)＝________．答案1＋eq\r(2)解析依題意知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－a))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b，b))，因?yàn)辄c(diǎn)C，F(xiàn)在拋物線上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝pa，,b2＝p（a＋2b），))兩式相除得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝1＋eq\r(2)或eq\f(b,a)＝1－eq\r(2)(舍去)．14．(2023·江蘇二模)已知點(diǎn)P在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，過(guò)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，點(diǎn)F為C的焦點(diǎn)．若∠HPF＝60°，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，則p＝________．答案eq\f(2,3)解析如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,x＝1，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝±\r(2p)，))即點(diǎn)P(1，eq\r(2p))．易知PH⊥y軸，則PH∥x軸，則∠xFP＝∠HPF＝60°，所以直線PF的傾斜角為60°，易知點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以kPF＝eq\f(\r(2p),1－\f(p,2))＝eq\r(3)，整理可得2eq\r(2p)＝eq\r(3)(2－p)，且2－p>0，故0<p<2，等式2eq\r(2p)＝eq\r(3)(2－p)兩邊同時(shí)平方可得3p2－20p＋12＝0，即(3p－2)(p－6)＝0，解得p＝eq\f(2,3)或p＝6(舍去)．四、解答題15．(2020·全國(guó)Ⅱ卷)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|＝5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．解(1)∵F(c，0)，AB⊥x軸且與橢圓C1相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程為x＝c，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝c，,y＝±\f(b2,a)，))則|AB|＝eq\f(2b2,a).拋物線C2的方程為y2＝4cx，把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，∴|CD|＝4c.∵|CD|＝eq\f(4,3)|AB|，即4c＝eq