必修二課后作業(yè)第一章立體幾何初步1.2.3第1課時(shí)

直線與平面的位置關(guān)系第1課時(shí)直線與平面平行的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面的三種位置關(guān)系，會(huì)判斷直線與平面的位置關(guān)系.2.掌握空間中直線與平面平行的判定定理.知識(shí)點(diǎn)一直線與平面的位置關(guān)系思考如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，線段BC1所在的直線與長(zhǎng)方體的六個(gè)面所在的平面有幾種位置關(guān)系？答案三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)；(2)直線與平面相交；(3)直線與平面平行.梳理直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)無(wú)數(shù)個(gè)1個(gè)0個(gè)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示知識(shí)點(diǎn)二直線與平面平行的判定定理思考1如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi)，把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，AB的對(duì)邊CD(不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系？答案平行.思考2如圖，平面α外的直線a平行于平面α內(nèi)的直線b.這兩條直線共面嗎？直線a與平面α相交嗎？答案由于直線a∥b，所以兩條直線共面，直線a與平面α不相交.梳理表示定理圖形文字符號(hào)直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α類(lèi)型一直線與平面的位置關(guān)系例1下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是________.①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同側(cè)有兩點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，那么AB∥α.答案1解析如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，但AA′在過(guò)BB′的平面AB′內(nèi)，故①不正確；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故②不正確；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′與A′D′相交，所以③不正確；④顯然正確.反思與感悟(1)此類(lèi)題在求解時(shí)，常受思維定勢(shì)影響，誤以為直線在平面外就是直線與平面平行.(2)判斷直線與平面位置關(guān)系的問(wèn)題，其解決方式除了定義法外，還可以借助模型(如長(zhǎng)方體)和舉反例兩種行之有效的方法.跟蹤訓(xùn)練1若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是________.(填序號(hào))①α內(nèi)的所有直線都與直線a異面；②α內(nèi)不存在與a平行的直線；③α內(nèi)的直線都與a相交；④直線a與平面α有公共點(diǎn).答案④解析直線a不平行于平面α，則a與平面α相交或a?α，故④正確.類(lèi)型二線面平行的判定定理及應(yīng)用命題角度1以錐體為背景證明線面平行例2如圖，M，N分別是底面為矩形的四棱錐P—ABCD的棱AB，PC的中點(diǎn)，求證：MN∥平面PAD.證明如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，NE，∵N是PC的中點(diǎn)，∴EN∥DC，EN＝eq\f(1,2)DC.又∵AM∥CD，AM＝eq\f(1,2)CD，∴NE∥AM，NE＝AM.∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE.又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD.反思與感悟利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找出一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、平行公理等.跟蹤訓(xùn)練2已知空間四邊形ABCD，P，Q分別是△ABC和△BCD的重心，如圖所示，求證：PQ∥平面ACD.證明如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，DE.∵P，Q分別是△ABC和△BCD的重心，∴A，P，E三點(diǎn)共線且AE∶PE＝3∶1，D，Q，E三點(diǎn)共線且DE∶QE＝3∶1，∴在△AED中，PQ∥AD.又AD?平面ACD，PQ?平面ACD，∴PQ∥平面ACD.命題角度2以柱體為背景證明線面平行例3如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面A1CD.證明∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，F(xiàn)為A1C1的中點(diǎn)，∴A1F綊eq\f(1,2)AC，∵D、E分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，∴DE綊eq\f(1,2)AC，∴A1F綊DE，則四邊形A1DEF為平行四邊形，∴EF∥A1D.又EF?平面A1CD且A1D?平面A1CD，∴EF∥平面A1CD.反思與感悟證明以柱體為背景包裝的線面平行證明題，常用線面平行的判定定理，遇到題目中含有線段中點(diǎn)，常利用取中點(diǎn)去尋找平行線的方法.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1.(1)求證：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F(xiàn)分別是D1C，BD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ADD1A1.證明(1)∵BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)∵點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，∴F為AC的中點(diǎn).又∵點(diǎn)E為D1C的中點(diǎn)，∴EF∥AD1，∵EF?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.1.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是________.①若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行；③如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行.答案0解析①中，當(dāng)l∩α＝A時(shí)，除A點(diǎn)以外所有的點(diǎn)均不在α內(nèi)；②中，當(dāng)l∥α?xí)r，α中有無(wú)數(shù)條直線與l異面；③中，另一條直線可能在平面內(nèi).2.觀察下列命題，在“________”處缺少一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成正確命題(其中l(wèi)，m為直線，α，β為平面)，則此條件為_(kāi)_______.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,l∥m,))?l∥α.答案l?α3.如圖(1)，已知正方形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖(2)所示，則BF與平面ADE的位置關(guān)系是________.答案平行解析∵BF∥DE，DE?平面ADE，BF?平面ADE，∴BF∥平面ADE.4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是面對(duì)角線A1D、B1D1的中點(diǎn)，則正方體6個(gè)面中與直線EF平行的平面有________________.答案平面C1CDD1和平面A1B1BA解析如圖，連結(jié)A1C1，C1D，在△A1C1D中，EF為中位線，∴EF∥C1D，又EF?平面C1CDD1，C1D?平面C1CDD1，∴EF∥平面C1CDD1.同理可得EF∥平面A1B1BA.故與EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.5.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn).求證：B1O∥平面A1C1D.證明如圖，連結(jié)B1D1，交A1C1于點(diǎn)O1，連結(jié)DO1.∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，∴四邊形O1B1OD為平行四邊形，∴B1O∥O1D.∵B1O?平面A1C1D，O1D?平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1.直線與平面的位置關(guān)系，其分類(lèi)方式有兩種：一類(lèi)是按直線與平面是否有公共點(diǎn)，另一類(lèi)是按直線是否在平面內(nèi).2.直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找出一條直線和已知直線平行，即要證直線和平面平行，先證直線和直線平行，即由立體向平面轉(zhuǎn)化，由高維向低維轉(zhuǎn)化.課時(shí)作業(yè)一、填空題1.下列命題正確的是________.(填序號(hào))①若一條直線a與平面α平行，則直線a與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)；②若一條直線a與平面α有公共點(diǎn)，則直線a與平面α相交；③若一條直線a與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a?α.答案①③解析因?yàn)楫?dāng)a∥α?xí)r，a與α無(wú)公共點(diǎn)，所以①正確；因?yàn)楫?dāng)直線a與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a?α，所以②錯(cuò)誤，③正確.2.若直線l與平面α不平行，則下列結(jié)論正確的是______.(填序號(hào))①α內(nèi)的所有直線都與直線l異面；②α內(nèi)不存在與l平行的直線；③α內(nèi)的直線與l相交；④直線l與平面α有公共點(diǎn).答案④解析①中，過(guò)公共點(diǎn)的直線與直線l相交，不異面，①錯(cuò)誤；②③中，當(dāng)l?α?xí)r，α內(nèi)有無(wú)數(shù)多條直線與l平行，故②③錯(cuò)；④中，直線l與平面α不平行，則直線l與平面α相交或在平面內(nèi)，所以l與平面α有公共點(diǎn)，故④正確.3.若平面外一條直線上有兩點(diǎn)到該平面的距離相等，則這條直線與平面的位置關(guān)系是________.答案平行或相交解析當(dāng)兩點(diǎn)在平面的一側(cè)時(shí)，這條直線與平面平行；當(dāng)兩點(diǎn)在平面的兩側(cè)時(shí)，這條直線與平面相交.所以這條直線與平面的位置關(guān)系是平行或相交.4.若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，PC的中點(diǎn)，則圖中與過(guò)E，F(xiàn)，G的截面平行的線段有________條.答案2解析由題意知，EF∥AC，F(xiàn)G∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2條與平面EFG平行的線段.5.如圖，在五面體FEABCD中，四邊形CDEF為矩形，M，N分別是BF，BC的中點(diǎn)，則MN與平面ADE的位置關(guān)系是________.(填“平行”或“相交”)答案平行解析∵M(jìn)，N分別是BF，BC的中點(diǎn)，∴MN∥CF.又四邊形CDEF為矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，∴MN∥平面ADE.6.如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，與BC平行的平面是________；與BC1平行的平面是________；與平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________.答案平面A1C1與平面AD1平面AD1CD解析觀察圖形，根據(jù)判定定理可知，與BC平行的平面是平面A1C1與平面AD1；與BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1與平面A1B的交線是A1B1，所以與其都平行的棱是CD.7.若AB，BC，CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過(guò)它們中點(diǎn)的平面和直線AC的位置關(guān)系是________.答案平行把解析這三條線段放在正方體內(nèi)如圖，顯然AC∥EF，AC?平面EFG.EF?平面EFG，故AC∥平面EFG.8.過(guò)平行六面體ABCD－A1B1C1D1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面DBB1D1平行的直線共有________條.答案12解析如圖所示，與BD平行的有4條，與BB1平行的有4條，四邊形GHFE的對(duì)角線與平面BB1D1D平行，同等位置有4條，總共12條.9.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，則對(duì)角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是________.答案平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.又∵EF?平面DEF，AC?平面DEF，∴AC∥平面DEF.10.如圖，四個(gè)正方體中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是________.(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào))答案①③解析①如圖(1)，Q為所在棱的中點(diǎn)，連結(jié)MQ，NQ，PQ，則NQ∥AB，且NQ?平面MNP，AB?平面MNP，∴AB∥平面MNP.②過(guò)N作AB的平行線交底面正方形于其中心O，NO?平面MNP，AB?平面MNP，∴AB與平面MNP不平行.③易知AB∥MP，MP?平面MNP，AB?平面MNP，∴AB∥平面MNP.④如圖(2)，過(guò)M作MC∥AB，∵M(jìn)C?平面MNP，AB?平面MNP，∴AB與平面MNP不平行.二、解答題11.如圖所示，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是PA的中點(diǎn).求證：PC∥平面BDQ.證明連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)OQ，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又因?yàn)镼是PA的中點(diǎn)，所以O(shè)Q∥PC，又因?yàn)镺Q?平面BDQ，PC?平面BDQ，所以PC∥平面BDQ.12.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn).求證：OG∥平面EFCD.證明∵四邊形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn).又點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，∴OG∥CD.又OG?平面EFCD，CD?平面EFCD，∴OG∥平面EFCD.13.如圖，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.若P為A1B1的中點(diǎn)，求證：DP∥平面ACB1，且DP∥平面BCB1.證明由P為A1B1的中點(diǎn)，得PB1∥AB，且PB1＝eq\f(1,2)AB.又∵DC∥AB，DC＝eq\f(1,2)AB，∴DC∥PB1，且DC＝PB1，∴四邊形DCB1P為平行四邊形.從而CB1∥DP.又CB1?平面ACB1，DP?平面ACB1，∴DP∥平面ACB1.同理，DP∥平面BCB1.三、探究與拓展14.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)與直線AB平行的平面是________；(2)與直線AA1平行的平面是________；(3)與直線AB1平行的平面是________.答案(1)平面A1B1C1D1，平面CDD1C1(2)平面BCC1B1，平面CDD1C1(3)平面CDD1C1解析如圖，可知