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文檔簡介
章末復(fù)習(xí)課第一章
三角函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解任意角的三角函數(shù)的概念.2.掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式.3.能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象.4.理解三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx的性質(zhì).5.了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義,掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的變換.題型探究知識(shí)梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識(shí)梳理1.任意角三角函數(shù)的定義在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么:(1)y叫做α的
,記作
,即
;(2)x叫做α的
,記作
,即
;(3)叫做α的
,記作
,即
.正弦sinαsinα=y(tǒng)余弦cosαcosα=x正切tanα2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系:
.(2)商數(shù)關(guān)系:
.3.誘導(dǎo)公式六組誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“k·±α(k∈Z)”的誘導(dǎo)公式.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),函數(shù)名不改變;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),函數(shù)名改變,然后前面加一個(gè)把α視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).記憶口訣為“奇變偶不變,符號(hào)看象限”.sin2α+cos2α=14.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR值域_____________________對(duì)稱性對(duì)稱軸:x=kπ+(k∈Z);對(duì)稱中心:(kπ,0)(k∈Z)對(duì)稱軸:x=kπ(k∈Z);對(duì)稱中心:(k∈Z)對(duì)稱中心:(k∈Z),無對(duì)稱軸奇偶性_____________________周期性最小正周期:___最小正周期:___最小正周期:__[-1,1][-1,1]R奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)2π2ππ單調(diào)性在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減2kπ,最值在x=
(k∈Z)時(shí),
ymax=1;在x=-
+2kπ(k∈Z)時(shí),ymin=-1在x=2kπ(k∈Z)時(shí),ymax=1;在x=π+2kπ(k∈Z)時(shí),ymin=-1無最值題型探究類型一三角函數(shù)的概念例1已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸.若P(4,y)是角θ終邊上一點(diǎn),且sinθ=-
,則y=
.-8答案解析反思與感悟(1)已知角α的終邊在直線上時(shí),常用的解題方法有以下兩種:①先利用直線與單位圓相交,求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后再利用正弦、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值.②在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x,y),P到原點(diǎn)的距離為r(r>0).則sinα=
,cosα=
.已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時(shí),用這幾個(gè)公式更方便.(2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí),要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.跟蹤訓(xùn)練1已知角α的終邊在直線3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.解答解∵角α的終邊在直線3x+4y=0上,∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t,-3t)(t≠0),則x=4t,y=-3t.類型二同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用解答解由根與系數(shù)的關(guān)系,得解答(2)m的值;兩邊平方可得解答(3)方程的兩根及此時(shí)θ的值.∵θ∈(0,2π),反思與感悟(1)牢記兩個(gè)基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1及
=tanα,并能應(yīng)用兩個(gè)關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡、證明.在應(yīng)用中,要注意掌握解題的技巧.比如:已知sinα±cosα的值,可求cosαsinα.注意應(yīng)用(cosα±sinα)2=1±2sinαcosα.(2)誘導(dǎo)公式可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式.記憶規(guī)律是:奇變偶不變,符號(hào)看象限.解答(1)化簡f(α);解答(cosα-sinα)2=cos2α-2sinα·cosα+sin2α解答類型三三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;解答(2)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,求當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)y=g(x)的最小值和最大值.解∵函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,∴當(dāng)x∈[0,1]時(shí),y=g(x)的最值即為x∈[3,4]時(shí),y=f(x)的最值.反思與感悟研究y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性、最值問題,把ωx+φ看作一個(gè)整體來解決.解答(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0,y0的值;解答解答類型四三角函數(shù)的最值和值域命題角度1可化為y=Asin(ωx+φ)+k型反思與感悟利用y=Asin(ωx+φ)+k求值域時(shí)要注意角的取值范圍對(duì)函數(shù)式取值的影響.解答∴a,b的取值分別是4,-3或-4,-1.命題角度2可化為sinx或cosx的二次函數(shù)型解y=f(x)=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1.解答反思與感悟在換元時(shí)要立刻寫出新元的范圍,否則極易出錯(cuò).解答跟蹤訓(xùn)練5
已知函數(shù)f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值為0,最小值為-4,若實(shí)數(shù)a>0,求a,b的值.解令t=sinx,且t∈[-1,1].綜上所述,a=2,b=-2.類型五數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用解答反思與感悟數(shù)形結(jié)合思想貫穿了三角函數(shù)的始終,對(duì)于與方程解有關(guān)的問題以及在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質(zhì)和由性質(zhì)研究圖象時(shí),常利用數(shù)形結(jié)合思想.答案解析π解析記f(x)的最小正周期為T.可作出示意圖如圖所示(一種情況),當(dāng)堂訓(xùn)練答案解析√23451答案解析√234513.函數(shù)y=|sinx|+sin|x|的值域?yàn)锳.[-2,2]
B.[-1,1]
C.[0,2]
D.[0,1]答案√23451解析∴0≤f(x)≤2.故選C.答案23451解析√234515.已知函數(shù)f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f(x)≤對(duì)一切x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答23451解令t=sinx,則t∈[-1,1],當(dāng)t=-1時(shí),f(t)min=a-2,即f(x)m
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