二次函數(shù)考點知識點例題全

二次函數(shù)命題點份各地命題形式考察頻次2021考察方向二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)2021云南〔T12填〕填空1個近3考察2次，主要考察對圖象的相識及性質(zhì)的理解，意料2021考察的可能性較大.2021昭通〔T9選〕選擇1個確定二次函數(shù)的解析式2021昆明〔T23解〕,曲靖〔T24解〕解答2個高頻考點：近3考察12次，主要考察求二次函數(shù)的解析式，一般出如今壓軸題中，意料2021考察的可能性很大.2021昆明〔T23解〕，曲靖〔T24解〕，大理〔T23解〕，昭通〔T25解〕，玉溪〔T23解〕，普洱〔T23解〕，德宏〔T23解〕，紅河〔T23解〕，西雙版納〔24解〕解答9個2021云南〔T23解〕解答1個考點1二次函數(shù)的概念一般地，形如①(a,b,c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a、b、c分別為函數(shù)表達式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.考點2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)aa＞0a＜0圖象開口方向拋物線開口向②，并向上無限延長拋物線開口向③，并向下無限延長對稱軸直線x=-直線x=-頂點坐標(-，)(-，)最值拋物線有最低點，當x=-時，y有最小值，y最小值=拋物線有最高點，當x=-時，y有最大值，y最大值=增減性在對稱軸的左側(cè)，即當x＜-時，y隨x的增大而④；在對稱軸的右側(cè)，即當x＞-a時，y隨x的增大而⑤，簡記左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當x＜-時，y隨x的增大而⑥；在對稱軸的右側(cè)，即當x＞-時，y隨x的增大而⑦，簡記左增右減【易錯提示】二次函數(shù)的增減性確定要分在對稱軸的左側(cè)或右側(cè)兩種狀況探討.考點3二次函數(shù)的圖象及字母系數(shù)的關(guān)系字母或代數(shù)式字母的符號圖象的特征aa＞0開口向⑧|a|越大開口越⑩a＜0開口向⑨bb=0對稱軸為?軸ab＞0(b及a同號)對稱軸在y軸?側(cè)ab＜0(b及a異號)對稱軸在y軸?側(cè)cc=0經(jīng)過?c＞0及y軸?半軸相交c＜0及y軸?半軸相交b2-4acb2-4ac=0及x軸有eq\o\ac(○,17)交點(頂點)b2-4ac＞0及x軸有eq\o\ac(○,18)不同交點b2-4ac＜0及x軸eq\o\ac(○,19)交點特別關(guān)系當x=1時，y=eq\o\ac(○,20)當x=-1時，y=eq\o\ac(○,21)假設(shè)a+b+c＞0，即當x=1時，yeq\o\ac(○,22)0假設(shè)a+b+c＜0，即當x=1時，yeq\o\ac(○,23)0考點4確定二次函數(shù)的解析式方法適用條件及求法一般式假設(shè)條件是圖象上的三個點或三對自變量及函數(shù)的對應(yīng)值，則可設(shè)所求二次函數(shù)解析式為eq\o\ac(○,24).頂點式假設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程及最大值(最小值)，可設(shè)所求二次函數(shù)為eq\o\ac(○,25).交點式假設(shè)二次函數(shù)圖象及x軸的兩個交點的坐標為(x1，0)，(x2，0)，可設(shè)所求的二次函數(shù)為eq\o\ac(○,26).【易錯提示】(1)用頂點式代入頂點坐標時橫坐標簡潔弄錯符號；(2)所求的二次函數(shù)解析式最終要化成一般式.考點5二次函數(shù)及一元二次方程以及不等式之間的關(guān)系二次函數(shù)及一元二次方程二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象及eq\o\ac(○,27)軸的交點的eq\o\ac(○,28)坐標是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.二次函數(shù)及不等式拋物線y=ax2＋bx＋c在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應(yīng)的x的全部值就是不等式ax2＋bx＋ceq\o\ac(○,29)0的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標均為負，所對應(yīng)的x的值就是不等式ax2＋bx＋ceq\o\ac(○,30)0的解集.考點6二次函數(shù)的應(yīng)用利用二次函數(shù)解決實際問題的步驟〔1〕通過閱讀理解題意；〔2〕分析題目中的變量及常量，以及它們之間的關(guān)系；〔3〕根據(jù)數(shù)量關(guān)系或圖形的有關(guān)性質(zhì)列出函數(shù)表達式；〔4〕根據(jù)問題的實際意義或詳細要求確定自變量的取值范圍；〔5〕利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，在自變量的取值范圍內(nèi).1.二次函數(shù)y=(x-h)2+k的圖象平移時，主要看頂點坐標的變更，一般根據(jù)“橫坐標加減左右移〞、“縱坐標加減上下移〞的方法進展.2.二次函數(shù)的圖象由對稱軸分開，在對稱軸的同側(cè)具有一樣的性質(zhì)，在頂點處有最大值或最小值，假設(shè)自變量的取值中不包含頂點，則在取最大值或最小值時，要根據(jù)其增減性而定.3.求二次函數(shù)圖象及x軸的交點的方法是令y=0解關(guān)于x的方程；求函數(shù)圖象及y軸的交點的方法是令x=0得y的值，最終把所得的數(shù)值寫成坐標的形式.命題點1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1(2021·昭通)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕的圖象如下圖，則以下結(jié)論中正確的選項是()2＋bx＋c＝0的一個根C.a＋b＋c＝0D.當x＜1時，y隨x的增大而減小方法歸納：解決此類問題應(yīng)留意視察所給拋物線的特征，逐個解除不符合的選項.1.〔2021·上海〕假設(shè)將拋物線y＝x2向右平移1個單位，則所得的拋物線的表達式是()A.y＝x2－1B.y＝x2＋1C.y＝(x－1)2D.y＝(x＋1)22.〔2021·巴中〕對于二次函數(shù)y=2(x+1)(x-3)，以下說法正確的選項是()A.圖象的開口向下B.當x>1時，y隨x的增大而減小C.當x<1時，y隨x的增大而減小D.圖象的對稱軸是直線x=－13.〔2021·云南〕拋物線y=x2-2x+3的頂點坐標為.4.〔2021·珠?！橙鐖D，對稱軸平行于y軸的拋物線及x軸交于〔1，0〕，〔3，0〕兩點，則它的對稱軸為.5.〔2021·濱州〕二次函數(shù)y=x2-4x+3.〔1〕用配方法求其函數(shù)的頂點C的坐標，并描繪該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減而增減的狀況；〔2〕求函數(shù)圖象及x軸的交點A，B的坐標〔A在B的左側(cè)〕，及△ABC的面積.命題點2二次函數(shù)的圖象及系數(shù)的關(guān)系例2拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如下圖，則以下說法正確的選項是()2-4ac＜0B.abc＜0C.-＜-1D.a-b+c＜0方法歸納：解決此類問題應(yīng)當理解a,b,c,Δ=b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符號斷定的方法，同時還要視察對稱軸x=.1.(2021·黔東南)如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如下圖，以下4個結(jié)論：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2-4ac＞0.其中正確結(jié)論的有()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④2.(2021·陜西)二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如圖，則以下結(jié)論中正確的選項是()A.c＞-1B.b＞0C.2a+b≠0D.9a3.〔2021·巴中〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，則以下表達正確的選項是()A.abc＜0B.-3a+c＜02-4ac≥0D.將該函數(shù)圖象向左平移2個單位后所得到拋物線的解析式為y=ax2+c命題點3確定二次函數(shù)的解析式例3〔2021·泰州〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為2的正方形OABC的頂點A,C分別在x軸、y軸的正半軸上，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過B,C兩點.〔1〕求該二次函數(shù)的解析式；〔2〕結(jié)合函數(shù)的圖象探究：當y>0時x的取值范圍.【思路點撥】〔1〕通過正方形的邊長得出點Ｂ，Ｃ的坐標，然后代入函數(shù)解析式列方程求解；〔２〕求出函數(shù)圖象及x軸的交點坐標，結(jié)合圖象求解.【解答】方法歸納：求二次函數(shù)的解析式，通常承受待定系數(shù)法，根據(jù)題目給出的條件選擇不同的函數(shù)表達式，這樣便于計算.1.〔2021·安徽〕二次函數(shù)圖象的頂點坐標為〔1，-1〕，且經(jīng)過原點〔0，0〕，求該函數(shù)的解析式.2.〔2021·寧波〕如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過A〔2,0〕，B〔0，-1〕和C〔4,5〕三點.〔1〕求二次函數(shù)的解析式；〔2〕設(shè)二次函數(shù)的圖象及x軸的另一個交點為D，求點D的坐標；〔3〕在同一坐標系中畫出直線y=x+1,并寫出當x在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值.1.〔2021·益陽〕拋物線y=2〔x-3〕2+1的頂點坐標是()A.〔3，1〕B.〔3，-1〕C.〔-3，1〕D.〔-3，-1〕2.〔2021·宿遷〕假設(shè)將拋物線y=x2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的解析式為()A.y=(x+2)2+3B.y=(x－2)2+3C.y=(x+2)2－3D.y=(x－2)2－33.〔2021·泰安〕設(shè)A〔-2，y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=-(x+1)2+m上的三點，則y1,y2,y3的大小關(guān)系為()1＞y2＞y31＞y3＞y2C.y3＞y2＞y12＞y1＞y4.(2021·東營)假設(shè)函數(shù)y=mx2+(m+2)x+m+1的圖象及x軸只有一個交點，則m的值為()2C.2或-2D.0,2或-25.〔2021·畢節(jié)〕拋物線y=2x2，y=-2x2,y=x2共有的性質(zhì)是()6.〔2021·黃石〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如下圖，則函數(shù)值y＞0時，x的取值范圍是()A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞37.〔2021·新疆〕對于二次函數(shù)y=〔x-1〕2+2的圖象，以下說法正確的選項是()A.開口向下B.對稱軸是x=-1C8.〔2021·淄博〕如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點B〔0，-2〕.它及反比例函數(shù)y=的圖象交于點A〔m，4〕，則這個二次函數(shù)的解析式為()A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x9.〔2021·廣安〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如下圖，對稱軸是直線x=1.以下結(jié)論：①abc＞0，②2a+b=0，③b2-4ac＜0，④4a+2b+c＞0.其中正確的選項是()A.①③②C.②④D.③④10.〔2021·長沙〕拋物線y=3(x-2)2+5的頂點坐標是.11.〔2021·北京〕請寫出一個開口向上，并且及y軸交于點〔0，1〕的拋物線的解析式.12.函數(shù)y=-3(x-2)2+4，當x=時，函數(shù)獲得最大值為.13.〔2021·河南〕點A〔2，y1〕,B〔3，y2〕是二次函數(shù)y=x2－2x＋1的圖象上兩點，則y1及y2的大小關(guān)系為y1<y2〔填“＞〞“＜〞或“=〞〕.14.(2021·安徽)某廠今一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金及上月相比增長率都是x，則該廠今三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y〔元〕關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.15.(2021·溫州)如圖，拋物線y=a(x－1)2∥x軸交拋物線的對稱軸于點D，連接BD.點A的坐標為〔－1,0〕.〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕求梯形COBD的面積.16.〔2021·龍東〕如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象及x軸交于A〔－3,0〕和B〔1,0〕兩點，交y軸于點C，點C,D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖象過點B,D.〔1〕請干脆寫出D點的坐標；〔2〕求二次函數(shù)的解析式；〔3〕根據(jù)圖象干脆寫出訪一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.1.〔2021·荊州〕將拋物線y＝x2－6x＋5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，得到的拋物線解析式是()A.y＝(x－4)2－6B.y＝(x－4)2－2C.y＝(x－2)2－2D.y＝(x－1)2－32.〔2021·黔東南〕拋物線y=x2-x-1及x軸的一個交點為〔m，0〕，則代數(shù)式m2-m+2014的值為()A.2012B.2013C3.〔2021·長沙〕函數(shù)y=及y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是()4.〔2021·泰安〕函數(shù)y=-〔x-m〕〔x-n〕〔其中m＜n〕的圖象如下圖，則一次函數(shù)y=mx+n及反比例函數(shù)y=的圖象可能是()5.〔2021·涼山〕以下圖形中陰影部分的面積相等的是()A.②③B.③④C.①②D.①④6.〔2021·棗莊〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x,y的部分對應(yīng)值如下表：x-10123y51-1-11則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為()A.y軸B.直線x=C.直線x=2D.直線x=7.〔2021·煙臺〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如下圖，圖象過點〔－1，0〕，對稱軸為直線x=2,以下結(jié)論：其中正確的結(jié)論有()①4a+b=0;②9a+c＞3b;③8a+7b+2c＞0;④當x＞－1時，y的值隨x的值的增大而增大.8.〔2021·齊齊哈爾〕如圖，拋物線的頂點為A〔1，4〕,拋物線及y軸交于點B〔0，3〕，及x軸交于C,D兩點.點P是x軸上的一個動點.〔1〕求此拋物線的解析式;〔2〕當PA+PB的值最小時，求點P的坐標.9.(2021·徐州)某種商品每天的銷售利潤y〔元〕及銷售單價x〔元〕之間滿意關(guān)系：y=ax2+bx-75.其圖象如圖.〔1〕銷售單價為多少元時，該種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？〔2〕銷售單價在什么范圍時，該種商品每天的銷售利潤不低于16元？參考答案考點解讀①y=ax2+bx+c②上③下④減小⑤增大⑥增大⑦減?、嗌息嵯垄庑?y?左?右?原點?正?負eq\o\ac(○,17)唯一eq\o\ac(○,18)兩個不同eq\o\ac(○,19)沒有eq\o\ac(○,20)a+b+ceq\o\ac(○,21)a-b+ceq\o\ac(○,22)＞eq\o\ac(○,23)＜eq\o\ac(○,24)y=ax2+bx+ceq\o\ac(○,25)y=a(x-h)2+keq\o\ac(○,26)y=a(x-x1)(x-x2)eq\o\ac(○,27)xeq\o\ac(○,28)橫eq\o\ac(○,29)＞eq\o\ac(○,30)＜各個擊破例1B解析：根據(jù)拋物線的開口向下，可推斷a＜0，故A錯誤；由拋物線及x軸的交點〔-1,0)和對稱軸x=1可知拋物線及x軸的另一個交點是〔3,0〕，故B正確；由當x=1時，y=a+b+c≠0，故Ｃ錯誤；從圖象即可看出，當x＜1時，y隨x的增大而增大，故Ｄ錯誤.應(yīng)選B.題組訓(xùn)練1.C2.C3.(1,2)4.直線x=25.(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,∴其函數(shù)的頂點C的坐標為〔2，-1〕，∴當x≤2時，y隨x的增大而減小；當x＞2時，y隨x的增大而增大.(2)令y=0,則x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3,∴A〔1，0〕，B〔3，0〕，AB=|1-3|=2.過點C作CD⊥x軸于D，則△ABC的面積=AB·CD=×2×1=1.例2C解析：由圖象及x軸有2個交點可推斷Ａ錯誤；根據(jù)圖象的開口方向、對稱軸、及y軸的交點可推斷a＜0，＜-1，c＞0，即abc＞0，故B錯誤，C正確；由當x=-1時，y=a-b+c＞0可推斷題組訓(xùn)練1.B2.D3.B例3(1)由題意可得：B〔2,2〕，C〔0,2〕，將B,C坐標代入y=x2+bx+c，得c=2，b=，∴二次函數(shù)的解析式是y=x2+x+2.(2)解x2+x+2=0，得x1=3，x2=-1.由圖象可知：y>0時x的取值范圍是-1＜x＜3.題組訓(xùn)練1.設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a〔x-1〕2-1〔a≠0〕，∵函數(shù)圖象經(jīng)過原點〔0，0〕，∴a〔0-1〕2-1=0，解得a=1，∴該函數(shù)解析式為y=〔x-1〕2-1.2.(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過B〔0，－1〕，∴二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx－1.∵二次函數(shù)y=ax2+bx－1的圖象過A〔2,0〕和C〔4,5〕兩點，∴解得∴y=x2－x－1.(2)當y=0時，x2－x－1=0，解得x=2或x=-1，∴D〔-1,0〕.(3)如圖，當-1＜x＜4時,一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值.整合集訓(xùn)根底過關(guān)1.A2.B3.A4.D5.B6.D7.C8.A9.C10.(2,5)11.y＝x2＋112.2413.＜14.y=a(1＋x)215.(1)把A〔－1,0〕代入y=a(x