必修二課件第一章立體幾何初步1.2.3第4課時(shí)-1

第4課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)第1章

直線與平面的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間中線面垂直的性質(zhì)定理.2.能夠運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)定理證明一些簡(jiǎn)單的問題.3.掌握線面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考

知識(shí)點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)定理在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿．一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直，這些電線桿之間的位置關(guān)系是什么？答案平行．答案梳理文字語言如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線____符號(hào)語言?a∥b圖形語言平行題型探究例1

如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.類型一線面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用證明證明因?yàn)锳DD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.引申探究若本例的條件不變，求證：M是AB的中點(diǎn)．證明證明連結(jié)ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，∴ON∥AM.又∵M(jìn)N∥OA，∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴ON＝AM.證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證明兩條直線共面且無公共點(diǎn)．(2)利用三線平行公理：證明兩條直線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求證：EF∥BD1.證明證明連結(jié)AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.命題角度1線面垂直中的探索性問題例2

如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)．類型二線面垂直的綜合應(yīng)用證明(1)求證：AE⊥DA1；證明連結(jié)AD1，BC1，由正方體的性質(zhì)可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE?平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)在線段AA1上求一點(diǎn)G，使得直線AE⊥平面DFG.解答解所求G點(diǎn)即為A1點(diǎn)，證明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可證DF⊥平面AHE，∵AE?平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.探索性問題主要有兩種類型：一是結(jié)論型：從承認(rèn)結(jié)論入手，探索出命題成立的條件．二是存在型：先假定“存在”，若經(jīng)推理無矛盾，則“存在”成立；若推出矛盾，則結(jié)論為“不存在”．反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，CC1＝5，M是棱CC1上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得BM⊥平面A1B1M？若存在，求出C1M的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解答解假設(shè)存在點(diǎn)M使得BM⊥平面A1B1M，并設(shè)C1M＝x，則有Rt△B1C1M∽R(shí)t△BMB1.∴x＝4或x＝1.當(dāng)C1M＝1或4時(shí)，使得BM⊥平面A1B1M.命題角度2線線、線面垂直的相互轉(zhuǎn)化例3

如圖所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于點(diǎn)E，EF⊥SC于點(diǎn)F.(1)求證：SC⊥AF；證明證明∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，又∵AE?平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC，又∵SC?平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.又AF?平面AEF，∴SC⊥AF.(2)若平面AEF交SD于點(diǎn)G，求證：AG⊥SD.證明證明∵SA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SA⊥CD.又四邊形ABCD為矩形，∴CD⊥AD.又SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.又AG?平面SAD，∴CD⊥AG.由(1)可知，SC⊥平面AEF，∵AG?平面AEF，∴AG⊥SC，又SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SCD，又SD?平面SCD，∴AG⊥SD.(1)證明線線垂直常常轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，即證明其中一條直線垂直于另一條直線所在平面即可．(2)證明的轉(zhuǎn)化途徑是線線垂直→線面垂直→線線垂直．反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．證明(1)求證：PA⊥平面ABC；證明在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥AB于點(diǎn)G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.同理可證DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形．證明證明連結(jié)BE并延長(zhǎng)交PC于點(diǎn)H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE⊥平面PBC，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．當(dāng)堂訓(xùn)練1.從圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是______.答案2341平行2.線段a和b在正方體ABCD—A1B1C1D1的兩個(gè)不同平面內(nèi)，使a∥b成立的條件是________.(填序號(hào))①a和b垂直于正方體的同一個(gè)面；②a和b在正方體兩個(gè)相對(duì)的面內(nèi)，且共面；③a和b平行于同一條棱；④a和b在正方體的兩個(gè)面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直.答案2341①②③解析解析由直線與平面垂直的性質(zhì)知，①能使a∥b成立；2341由正方體的性質(zhì)知，②能使a∥b成立；由公理4知，③能使a∥b成立；④中條件不能保證a∥b，a與b有可能相交或異面.3.如圖所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB，則直線a與直線l的位置關(guān)系是_____.答案解析2341平行2341解析∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l?α，∴l(xiāng)⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，∴l(xiāng)⊥平面EAB.∵EB⊥β，a?平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.4.如圖所示，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于點(diǎn)E，AF⊥PC于點(diǎn)F.求證：EF⊥PC.2341證明證明∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又∵AE?平面PAB，∴AE⊥BC.又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC.又AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，又EF?平面AEF，∴EF⊥PC.2341規(guī)律與方法1.空間線面垂直與線線垂直經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化.判定定理是將一條直線與平面內(nèi)的兩條相交的直