光譜儀基礎(chǔ)知識概要

第1章衍射光柵：刻劃型和全息型

衍射光柵由下列兩種方法制成：一種是用帶鉆石刀頭的刻劃機刻出溝槽的經(jīng)典方法，另一種是用兩束激光形成干涉條紋的全息方法。(更多信息詳見&).

經(jīng)典刻劃方法制成的光柵可以是平面的或者是凹面的，每道溝槽互相平行。全息光柵的溝槽可以是均勻平行的或者為優(yōu)化性能而特別設(shè)計的不均勻分布。全息光柵可在平面、球面、超環(huán)面以與很多其他類型表面生成。

本書提到的規(guī)律、方法等對各類不同表面形狀的經(jīng)典刻劃光柵和全息光柵均適用，如需區(qū)分，本書會特別給出解釋。1.1基礎(chǔ)公式

在介紹基礎(chǔ)公式前，有必要簡要說明單色光和連續(xù)譜。

提示：單色光其光譜寬度無限窄。常見良好的單色光源包括單模激光器和超低壓低溫光譜校正燈。這些即為大家所熟知的“線光源”或者“離散線光源”。

提示：連續(xù)譜光譜寬度有限，如“白光”。理論上連續(xù)譜應(yīng)包括所有的波長，但是實際中它往往是全光譜的一段。有時候一段連續(xù)譜可能僅僅是幾條線寬為1的譜線組成的線狀譜。

本書中的公式適用于空氣中的情況，即m0=1。因此，0=空氣中的波長。定義單位α-()入射角度β-()衍射角度k-衍射階數(shù)整數(shù)n-刻線密度刻線數(shù)每毫米-分離角度μ0-折射率無單位λ-真空波長納米λ0-折射率為μ0介質(zhì)中的波長

其中λ0=λ/μ0

1=10-6;1=10-3;1A=10-7

最基礎(chǔ)的光柵方程如下：

(1-1)

在大多數(shù)單色儀中，入口狹縫和出口狹縫位置固定，光柵繞其中心旋轉(zhuǎn)。因此，分離角成為常數(shù)，由下式?jīng)Q定，

(1-2)

對于一個給定的波長l，如需求得a和b，光柵方程(1-1)可改寫為：

(1-3)

假定值已知，則a和b可通過式(1-2)、(1-3)求出，參看圖1.1、1.2和第2.6節(jié)。

圖1.1單色儀結(jié)構(gòu)示意

圖1.2攝譜儀結(jié)構(gòu)示意=入射臂長度=波長處出射臂長度=光譜面法線和光柵面法線的夾角=光柵中心到光譜面的垂直距離

表1.1給出了a和b如何隨分離角改變，是以圖1.1中單色儀為例，在光柵刻線數(shù)1200的，衍射波長500的條件下計算得到的。表1.11200光柵的一階衍射波長500處入射角、衍射角隨分離角的變化αβ017.45817.458()1012.52622.526207.73627.736245.86129.861303.09433.09440-1.38238.61850-5.67044.3301.2角色散

(1-4)dβ=兩個不同波長衍射后角度的差值（弧度）dλ=兩個波長的差值（）1.3線色散

線色散定義為聚焦平面上沿光譜展開方向單位長度對應(yīng)的光譜寬度，單位是，?，1。以兩臺線色散不同的光譜儀為例，其中一臺將一段0.1寬的光譜衍射展開為1，而另一臺則將10寬的光譜衍射展開為1。

很容易想象，精細的光譜信息更容易通過第一臺光譜儀得到，而非第二臺。相比于第一臺的高色散，第二臺光譜儀只能被稱為低色散儀器。線色散指標反映了光譜儀分辨精細光譜細節(jié)的能力。

中心波長l在垂直衍射光束方向的線色散可表示為：(1-5)

式中為等效出射焦距長度，單位，而是單位間隔，單位。參見圖1.1。

單色儀中，為聚焦鏡到出口狹縫的距離，或者當光柵為凹面型時光柵到出口狹縫的距離。因此，線色散與成正比，而與出射焦長、衍射級數(shù)k以與刻線密度n這些參數(shù)成反比。

對于攝譜儀而言，任一波長的線色散可通過衍射方向垂直光譜面的波長其色散值經(jīng)傾斜角(g)的余弦修正得到。圖1.2給出了“平場”攝譜儀的結(jié)構(gòu)，通常它同線陣二極管配合使用。

線色散：(1-6)(1-7)(1-8)1.4波長和衍射階次

圖1.3給出了攝譜儀中聚焦光譜面上光譜范圍從200到1000的一級衍射譜。當光柵刻槽密度n、a以與b均已知的情況下，根據(jù)式（1-1）得到：

kλ=常數(shù)

(1-9)

即當衍射級數(shù)k值變?yōu)閮杀对禃r,l減半。依此類推。

圖1.3

色散和衍射級數(shù)

以一臺可產(chǎn)生波長范圍從20到1000的連續(xù)譜光源為例，這一連續(xù)譜進入光譜儀分光后，在光譜面上波長800的一階衍射位置上（參看圖1.3），其他三個波長400、266.6、200也會出現(xiàn)，從而能夠被探測器測得。為了僅僅對波長800進行測量，必須采用濾色片來消除高階衍射。

波長范圍從200到380的一階衍射測量通常不需要濾色片，原因在于波長數(shù)值小于190的光均被空氣吸收。但是如果光譜儀內(nèi)部為真空或者填充氮氣，這種情況下高階濾色片又必不可少。1.5分辨“能力”

分辨能力是一個理論概念，由下式給出(無單位)(1-10)

式中，為兩個強度相等的光譜線之間的波長間距。因此，分辨率指標代表光譜儀甄別相鄰譜線的能力。如果兩條譜線譜峰之間的距離滿足其中一條譜線譜峰位于另一條譜線譜峰的最近極小值處，即認為兩個譜峰被很好的分辨出來，這一規(guī)則被稱為瑞利判據(jù)（“”）。R可進一步表示為：(1-11)λ=待檢測譜線的中心波長=光柵上光照射區(qū)域的寬度N=為光柵的刻槽總數(shù)

不要將分辨能力“R”這一數(shù)值量與光譜儀的分辨率或者光譜帶寬這些參數(shù)混淆（參看第2章）。

理論上講，一片刻線密度為1200、寬度110的光柵，當采用它的一級衍射光時，分辨能力的數(shù)值通過計算得到1200×110=132,000。因此，在波長為500處，光譜帶寬等于

然而，實際情況中儀器的幾何尺寸由式（1-1）決定。改寫為k的表達(1-12)

光柵上刻線的總寬度為

，因此，

(1-13)

式中，

(1-14)

將式(1-12)和(1-13)代入式(1-11)中，得到分辨能力亦可以表示為：(1-15)

因此，光柵的分辨能力取決于：光柵上刻線區(qū)域的總寬度所關(guān)注的中心波長工作時的幾何值（入射角、衍射角）

由于光譜帶寬還取決于光譜儀的狹縫寬度以與系統(tǒng)的校正，因此上述情況是100%的理論情況，即系統(tǒng)的衍射極限(更深入的討論請參看""第2章)。1.6閃耀光柵

閃耀定義為將一段光譜的衍射最大轉(zhuǎn)移到其他衍射階次而非零階。通過特殊設(shè)計，閃耀光柵能夠?qū)崿F(xiàn)在特定波長的最大衍射效率。因此，一片光柵的閃耀波長可以是250或者1等等，這取決于刻槽幾何尺寸的選擇。

閃耀光柵其刻槽斷面為直角三角形，其中一個銳角為閃耀角w，如圖1.4所示。然而，110°的頂角在閃耀全息光柵中同樣可能出現(xiàn)。選擇不同的頂角大小能夠優(yōu)化光柵的整個效率曲線。1.6.1條件

閃耀光柵的幾何尺寸可以通過滿足條件的情況下計算得到。條件是指入射光和衍射光處于自準直狀態(tài)（如），即入射光線和出射光線沿同一路徑。在這一條件下，假定“閃耀”波長為λB.(1-16)

比如，1200光柵閃耀波長為250且衍射階次為一階時，閃耀角（w）等于8.63°。圖1.4

閃耀光柵的刻槽斷面示意圖，“條件”1.6.2效率曲線

除非特別聲明，衍射光柵的效率在條件下某一已知波長處測得。

絕對效率(%)=輸出能量/輸出能量*100%(1-17)相對效率(%)=光柵效率/反射效率*100%(1-18)

相對效率測量需要將反射鏡表面鍍膜（膜層材料與光柵表面反射膜層材料相同），并且采用與光柵相同的角度設(shè)置。

圖5a和5b分別給出了閃耀刻線光柵和非閃耀全息光柵的典型效率曲線。

一般而言，閃耀光柵的效率在2/3閃耀波長處和1.8倍閃耀波長處減小為最大值的一半。（a）刻線閃耀光柵的典型效率曲線（b）非閃耀全息光柵的典型效率曲線1.6.3效率和階次

一片閃耀光柵不僅有一階閃耀角，而且也有高階閃耀角。比如，一片一階閃耀波長為600的光柵，同樣也有二階閃耀波長300，以此類推更高階次。

高階衍射效率通常與一階衍射效率趨勢相同。對一片一階閃耀的光柵而言，每個階次的最大效率值隨著階次k的增加而減小。

衍射效率也隨著光柵使用時偏離條件（a≠b）程度的增加而逐漸減小。

全息光柵能夠通過設(shè)計刻槽的形狀來消除高階衍射的影響。根據(jù)這一性質(zhì)，通過離子刻蝕工藝制作的淺槽（）光柵其效率曲線在紫外（）和可見（）波段能夠顯著改善。

提示：光柵是非閃耀的并不意味著它的效率較低。參見圖1.5b，圖中給出了一片1800正弦型刻槽全息光柵的衍射效率曲線。1.7衍射光柵的雜散光

除被測波長外探測器接收到的其他波長（通常包括一種或者多種“雜散光”）統(tǒng)稱為雜散光。1.7.1散射光散射光可能由于下列原因造成：由于光學元件表面的缺陷造成的隨機散射光由于刻劃光柵刻槽時的非周期失誤造成的聚焦散射光

1.7.2鬼線

如果衍射光柵上存在周期性刻劃失誤，則鬼線（并非散射光）將聚焦在衍射平面上。鬼線強度由下式給出：(1-19)

其中，=鬼線強度=母光強度n=刻線強度k=階次e=刻槽中失誤的位置

鬼線在單色儀的色散平面上聚焦并成像。

全息光柵的雜散光水平一般比經(jīng)典刻線光柵的1/10還要小。雜散光通常是非聚焦的，并且出現(xiàn)在2p全角度各個方向。

全息光柵沒有鬼線，因為它不可能出現(xiàn)周期性的刻劃失誤。因此，它是克服鬼線問題最好的解決方案。1.8光柵的選擇1.8.1什么時候選擇全息光柵當光柵是凹面的。當用到激光時，比如拉曼光譜、激光激發(fā)熒光光譜等?？叹€密度必須不小于1200(最高可到6000，尺寸可達120×140）而且光譜范圍為近紫外、可見和近紅外的任何時候。當光譜工作范圍在紫外波段，波長小于200甚至到3時。實現(xiàn)高分辨率的方法中，高刻線密度光柵優(yōu)于高衍射階次的低刻線密度光柵。離子刻蝕全息光柵能夠適用的任何場合。1.8.2什么時候選擇刻線光柵工作波長高于1.2的紅外波段，且無法選用離子刻蝕全息光柵。需要低刻槽密度的場合，如刻槽密度小于600。

請記住，鬼線與相應(yīng)的雜散光強度正比于階次和刻槽密度乘積的平方（式(1-19)中的n2和k2）。盡量避免使用高刻線密度或者高衍射階次的刻線光柵。第2章單色儀和攝譜儀2.1基本組成

在光源的所有波長上，單色儀和攝譜儀系統(tǒng)在出口平面上形成入口狹縫的像。實現(xiàn)這一功能有很多種配置設(shè)計，在這里僅僅討論最常見包含平面光柵系統(tǒng)（）和像差修正全息光柵（）系統(tǒng)。定義

入射臂的長度

出射臂的長度h

入射狹縫的高度h'

入射狹縫的像高度a

入射角b

衍射角w

入射狹縫的寬度w'

入射狹縫的像寬度

圓形光柵的半徑

矩形光柵的寬度

矩形光柵的高度2.2型配置

型儀器主要由一片面積很大的球面反射鏡和一片衍射光柵組成（參看圖2.1）。

首先，反射鏡的一部分收集并準直將要入射到平面光柵上的光。然后，反射鏡的另一部分將衍射分光后的光線聚焦并使之在出射平面上成入口狹縫的像。

這是一類造價低廉、非常常見的設(shè)計，但是由于系統(tǒng)偏差如球面偏差（）、彗差（）、散光偏差（）以與非平面焦平面等，它在離軸光線的成像質(zhì)量方面能力有限。圖2.1

型配置2.3型配置

()型單色儀由兩片凹面反射鏡和一片平面衍射光柵組成（參看圖2.2）。

雖然這兩片反射鏡各自的功能與型配置中的單片球面反射鏡的功能相同，如首先準直入射光線（反射鏡1），然后聚焦從光柵反射的色散分離光線（反射鏡2），但是型配置中反射鏡的尺寸卻可以根據(jù)需要改變。

采用非對稱幾何學，型配置能夠設(shè)計實現(xiàn)平面光譜面以與在特定波長上良好的彗差修正。但球面偏差和散光偏差在所有波長上依然存在。

采用配置，也能夠設(shè)計與大通量光學相匹配的系統(tǒng)。圖2.2

型配置2.4型的偏差

攝譜儀存在某些偏差，降低了光譜分辨率、空間分辨率以與信噪比等指標。最突出的偏差有散光偏差、彗差、球面偏差以與散焦（）。儀器常常離軸使用，因此偏差在每個平面上都有所不同。本書并不打算詳細回顧這些偏差的概念和細節(jié)1，但是在考慮這些偏差產(chǎn)生的效應(yīng)時，理解光路差（）的概念是很有幫助的。

本質(zhì)上，光路差（）是實際產(chǎn)生的波前和沒有偏差的條件下應(yīng)該得到的“參考波前”之間的差別。這一參考波前是以像為中心的球面或者成像在無窮遠處時的平面。比如：

散焦是指光線在探測器表面外的另一個平面上聚焦，從而造成不清晰成像，降低了光譜帶寬、空間分辨率和光信號的信噪比等參數(shù)。最常見的一個實例就是球面波前入射到圖2.2中的反射鏡M1上。當單色儀采用一套單出口狹縫和一支光電倍增管（）探測器時，散焦不會造成影響。然而，未修正的儀器其聚焦面為曲面，從而采用平面線性二極管陣列時在探測器的兩端會受到散焦的影響。如圖2.2所示的幾何修正配置幾乎消除了這一問題。散焦帶來的隨數(shù)值孔徑的平方改變。

彗差是儀器的離軸特性導(dǎo)致的結(jié)果，如圖2.3所示由于光線在色散平面上扭曲從而表現(xiàn)為譜線的擴張變形。彗差是造成光學帶寬和光信號信噪比這些參數(shù)降低的原因。彗差帶來的隨數(shù)值孔徑的立方變化。在配置中如圖2.2所示，可以通過計算一個合適的幾何尺寸從而在波長上修正彗差的影響。圖2.3彗差效應(yīng)

球面偏差是指非光學平面中心出射的光線聚焦在光學平面中心出射光線的焦點上這一情況（參看圖2.4）。球面偏差導(dǎo)致的隨數(shù)值孔徑的4次方變化，而且不使用非球面光學是無法修正的。圖2.4

球面偏差效應(yīng)

散光偏差是離軸幾何的特性。在這種情況下，平面波以一定的入射角照射在球面反射鏡上（如圖2.2中的反射鏡M2），這時反射鏡出現(xiàn)兩個焦點：切面（）焦點和矢面（）焦點。散光偏差帶來的效應(yīng)是入口狹縫處的點光源在出口處成垂直于色散平面的線型像（參看圖2.5），從而阻止了空間分辨率的提高并且由于狹縫高度的增加而降低了光信號的信噪比。散光偏差導(dǎo)致的隨數(shù)值孔徑的平方和離軸角度的平方變化，并且不使用非球面光學是無法修正的。圖2.5“離軸”使用凹面反射鏡時的散光偏差效應(yīng)2.4.1像差校正平面光柵

全息光柵的最新進展使得球面反射鏡型光譜儀中特定波長上的所有偏差能夠被完全修正，并且在一個較寬的波長范圍內(nèi)能夠最大程度地緩解偏差的影響。2.5凹面像差校正全息光柵

這一類型的單色儀和攝譜儀都僅僅使用一單片全息光柵，而沒有其他輔助光路。

在這一類儀器中，光柵不僅分離不同波長的光，而且對入射光進行聚焦。

由于設(shè)計中僅僅采用了一個光學元件，這類儀器造價低廉、而且外形緊湊。圖2.6a給出了單色儀的結(jié)構(gòu)，而圖2.6b給出了攝譜儀的結(jié)構(gòu)。其中，焦平面的位置由下列參數(shù)來決定：βH-垂直光譜面方向和光柵法線方向的夾角-從光柵中心到光譜面的垂直距離

(a)單色儀(b)攝譜儀2.6單色儀配置中計算α和β

從式(1-2)得到，(為常數(shù))

根據(jù)此式和式(1-3)，(2-1)

根據(jù)式(2-1)和(1-2)能夠分別決定a和b。參看表2.2中的實例。

提示：實際中，可實現(xiàn)的最大波長受光柵的機械旋轉(zhuǎn)范圍決定。這意味著光柵的刻線密度增加一倍時，相應(yīng)的光譜儀光譜范圍減小一半。(""參看第2.14節(jié)).2.7單色儀的光學部分

要理解如何評價整套單色儀系統(tǒng)，有必要從傳輸光學部分開始，從光源到出射狹縫（見圖2.7）。這里我們給出“不折疊”的系統(tǒng)示意圖，以直線光路的形式展示。圖2.7

典型單色儀系統(tǒng)-光開口阻擋L1-透鏡1M1-反射鏡1M2-反射鏡2G1-光柵p-透鏡L1的物距q-透鏡L1的像距F-透鏡L1的焦距（物體無窮遠處時的像距）d-透鏡的光開口直徑(圖中L1)Ω-半角s-光源的面積s'-光源其像的面積2.8光開口阻擋和入口、出口“瞳孔”

光開口阻擋（）限制通過這一開口的錐形光通量，它通常靠近另一個光學組件。

“瞳孔”或者指光開口阻擋，或者指光開口阻擋的像。

圖2.7中入口“瞳孔”是光源通過透鏡L1~成的虛像。

光譜儀的入口“瞳孔”是光柵（G1）通過反射鏡M1在入射狹縫處的成像。

入口光學部分的出口“瞳孔”是在光譜儀入口狹縫位置的本身。

光譜儀的出口“瞳孔”是光柵通過反射鏡M2在出口狹縫處的成像。2.9孔徑比（f值、f數(shù)）和數(shù)值孔徑

光學元件的光收集能力可以用數(shù)值孔徑（）來嚴格表示。

數(shù)值孔徑的公式表達為：

其中m是折射率（空氣中1）

f數(shù)可表達為：(2-3)表2.1f數(shù)、半角和數(shù)值孔徑之間的關(guān)系f數(shù)23571015n()14.489.65.74.02.91.90.250.160.100.070.050.032.9.1透鏡系統(tǒng)的f數(shù)

f數(shù)也常常用相距或者物距與“瞳孔”直徑的比值來表示。當透鏡的物距和像距均有限時（如圖2.7），存在從光源到透鏡L1（直徑為）的等效f數(shù)，由下式給出：

等效f數(shù)入口“瞳孔”直徑的像大小(2-4)以與從L1到入口狹縫的等效f數(shù)：

等效f數(shù)

出口“瞳孔”的直徑(2-5)

在書中所有的章節(jié)中，f數(shù)的計算永遠遵循入口與出口“瞳孔”相等且等于透鏡或者光柵的光開口阻擋，而且距離的確定均從透鏡或者光柵的中心起。

當根據(jù)上述方法計算得到的f數(shù)數(shù)值等于2或者更大（比如：3、4等）時，這一近似方法才可靠，因為此時≈的關(guān)系成立。但是，如果光學元件的工作f數(shù)遠小于2，則f數(shù)則需先通過半角得到數(shù)值孔徑的方法來計算。2.9.2光譜儀的f數(shù)

由于入射角a總是與衍射角b的符號或者數(shù)值不同（除了條件下的情況），光柵的映射面積隨波長而改變，而且取決于從入口狹縫考慮還是出口狹縫考慮。在圖2.8(a)和2.8(b)中，W'和W''是光柵分別在入口狹縫和出口狹縫處得到的映射寬度。

為了計算得到矩形光柵光譜儀的f數(shù)，首先必須計算出“等效直徑”，包括入口狹縫處的D'和出口狹縫處的D''。通過將光柵的映射面積轉(zhuǎn)換成圓盤的面積從而計算出直徑D'和D''。

’=入口狹縫處光柵的映射面積

（2-6）

’’=出口狹縫處光柵的映射面積

（2-7）

因此，在光譜儀中，f數(shù)不等于f數(shù)。f數(shù)‘

(2-8)

f數(shù)‘

(2-9)

其中，對于矩形光柵，D'和D''分別由下式給出：(2-10)(2-11)

對于圓形光柵，D'和D''分別由下式給出：

(2-12)

(2-13)

表2.2給出了f數(shù)隨波長的變化。表2.2f數(shù)和f數(shù)的計算值，計算條件為配置、光柵面積68×68、刻線數(shù)1800、=F=320以與=24°。λ()αβf數(shù)f數(shù)2001.4022.604.174.343205.1229.124.184.4650015.399.394.254.7468026.7350.734.415.2480035.4059.404.625.842.9.3放大率和光通量密度

在任何光譜儀系統(tǒng)中，光源在入口狹縫（開口）處成像，入口狹縫又在出口狹縫處成像，并照射在探測器、樣品上等。這個過程不可避免地導(dǎo)致了一個或者多個像的放大或者縮小。根據(jù)圖2.7中光源通過透鏡L1在入口狹縫處成像的實例，放大率可由下列等式來確定：(2-14)

類似可得，光通量密度由像中的光子數(shù)與其所占的面積決定，因此如果測量過程中用到了光通量密度敏感的探測器或者樣品，放大率的變化將十分重要。一次成像過程中光通量密度的變化可以用物的面積S和像的面積S'之比來決定，根據(jù)這一規(guī)律可以得到下列等式：(2-15)

這些關(guān)系式表示像和物所占的面積比由f數(shù)的平方來決定。因此，出口處的f數(shù)決定了成像處的光通量密度。使用過攝影膠片作為探測部件的人們對這些關(guān)系式很熟悉，它們可用來計算曝光時間以實現(xiàn)一定的信噪比。2.10口狹縫寬度和扭曲失真

扭曲失真是指光學組件對光源的放大（或者縮?。┰跈M向和縱向放大倍數(shù)不同，參看圖2.9。圖2.9

(a)縱向和(b)橫向的放大

基于衍射光柵的儀器，入口狹縫在出口平面并不是1:1成像。（除了條件的情況，而且衍射光線垂直于色散平面且有。）

這意味著實際上在所有商品化儀器中，設(shè)定入口狹縫和出口狹縫寬度相等的傳統(tǒng)準則并不是在任何情況下都合適。

水平放大倍數(shù)取決于入射角a和衍射角b的余弦值，以與和的比值（參看式（2-16））。此外，放大倍數(shù)還與波長相關(guān)（參看表2.3）。(2-16)表2.3給出了a、b、色散大小、入口狹縫其像的水平放大倍數(shù)以與光譜帶寬之間的關(guān)系。表2.3單色儀中色散值、水平放大倍數(shù)和光譜帶寬的關(guān)系。其中，=320，320，=24°，n=1800，入口狹縫寬度=1。波長()α(度)β(度)色散值()水平放大倍數(shù)光譜帶寬*()200-1.422.601.601.081.742601.8425.841.561.111.743205.1229.121.461.141.733808.4732.471.411.171.7244011.8835.881.341.211.7050015.3939.391.271.251.6756019.0143.011.191.291.6462022.7846.781.101.351.6068026.7350.731.001.411.5574030.9154.910.881.491.4980035.4059.401.601.601.42

出射狹縫的寬度匹配入射狹縫的像

*隨著光柵傾斜角度的增加，系統(tǒng)的彗差隨之變大。因此，盡管800處的光譜帶寬參數(shù)要優(yōu)于200處，這一優(yōu)勢在f數(shù)小于8的系統(tǒng)中對用戶而言意義不大。2.11狹縫高度的放大倍數(shù)

狹縫高度的放大倍數(shù)正比于入射臂和出射臂的長度比值，并且與波長無關(guān)（不考慮光學組件的成像偏差會產(chǎn)生影響）。(2-17)

提示：幾何放大并不是光學成像偏差！2.12光譜帶寬和分辨率

一般而言，光譜帶寬（）和分辨率都是用來表征儀器分辨相鄰譜線能力的參數(shù)。

假定光源是連續(xù)的，儀器的光譜帶寬是指能夠被分開的光譜間距。這取決于許多因素，包括光柵的寬度、系統(tǒng)成像偏差、探測器的空間分辨率以與入口狹縫和出口狹縫的寬度。

如果光源發(fā)射的光譜僅僅包含單色波長l0（見圖2.10），這一光信號被一臺理想的光譜儀接收分析，則光譜儀的輸出應(yīng)該等于光源的發(fā)射譜（見圖2.11），即在l0處的完美譜線。

實際情況中，光譜儀并不是理論上的理想情況，它會對純單色光產(chǎn)生明顯的光譜展寬。單色光展寬為有限寬度的譜線，其寬度稱為“儀器線形”()，或者是儀器光譜帶寬（參看圖2.12）。

采用固定光柵攝譜儀的配置分析幾乎為單波長的光信號如單模染料激光器發(fā)出的光束，可得到儀器線形。在給定入口和出口狹縫參數(shù)的前提下，根據(jù)待測單色波長來設(shè)置光柵的傾斜角度，同時激光器給出不同的波長。探測器的輸出被記錄并顯示出來。測量結(jié)果是強度隨波長的分布。

對于一臺單色儀，引入單色光源并旋轉(zhuǎn)光柵能夠得到相同的結(jié)果。

于是，光譜帶寬可定義為單色光輸入時的半高全寬（）。

任何光譜結(jié)構(gòu)均可認為是無數(shù)個不同波長的單色光之和。因此，儀器線形、實際光譜和記錄光譜之間存在一定的關(guān)系。

假設(shè)B(l)是待分析光源的真實光譜。

假設(shè)F(l)是光譜儀記錄下的光譜。

假設(shè)P(l)是儀器線形。(2-18)

記錄光譜F(l)是待測光譜和儀器線形的卷積。

儀器線形與多個參數(shù)相關(guān):

入口狹縫的寬度

出口狹縫的寬度或者采用多通道探測器時單個像素的大小

衍射現(xiàn)象成像偏差系統(tǒng)組件的質(zhì)量和準直情況

每個影響參數(shù)可以用一個特殊函數(shù)(l)來表達，每個函數(shù)在忽略其他參數(shù)的情況下得到。綜合的儀器線形P(l)是這些單個函數(shù)的總卷積。(2-19)2.12.1狹縫(P1(λ))的影響

如果狹縫寬度為有限值，而且沒有其他的效應(yīng)使得譜線展寬，并假設(shè)：=入口狹縫其像的寬度=出口狹縫的寬度或者采用多通道探測器時單個像素的寬度1=線色散×2=線色散×

由此得到狹縫對儀器線形的影響是兩個狹縫函數(shù)的卷積（參看圖2.13）。圖2.13入口狹縫和出口狹縫的卷積2.12.2衍射效應(yīng)P2(λ))的影響

如果兩個狹縫足夠窄而且成像偏差可忽略，則儀器線形是一個經(jīng)典衍射線形。在這種情況下，系統(tǒng)的分辨率等于波長l除以光柵分辨能力的理論值R（參看式(1-11)）。2.12.3成像偏差(P3(λ)的影響

如果兩個狹縫足夠窄，而且成像偏差造成的譜線展寬較衍射造成的譜線展寬更突出，則儀器線形的展寬量進一步增大。2.12.4計算儀器線形的半高全寬（）

實際情況中，F(xiàn)(l)的由許多譜線展寬因子的卷積決定，這些因子包括：(分辨率):光譜儀的極限分辨率，取決于由系統(tǒng)成像偏差和衍射效應(yīng)所決定的儀器線形參數(shù)。(狹縫):由光譜儀有限的狹縫寬度決定的光譜帶寬。(譜線本身):待測譜線本身的。

假定譜線為高斯線形，我們得到關(guān)于的如下近似關(guān)系：(2-20)

一般而言，大多數(shù)光譜儀并非工作在分辨率為極限值的狀態(tài)，因此狹縫成為影響線形的主要因素。從圖2.13看出，與狹縫相關(guān)的，它取決于入口狹縫其像的寬度和出口狹縫寬度中的較大項。如果兩個狹縫的寬度精確對應(yīng)，而且成像偏差的影響與狹縫寬度相比可以忽略，則等于譜線中強度值降為峰值一半時對應(yīng)的譜寬。（但是，成像偏差還是對譜線展寬產(chǎn)生影響）。光譜帶寬則等于：

=≈線色散值×(入口狹縫其像的寬度和出口狹縫寬度中的較大項)。

在第2.10節(jié)中，給出了光譜儀成像放大倍數(shù)的計算。通過式(2-16)來計算入口狹縫其像的寬度并乘以色散值（式(1-5)），從而得到系統(tǒng)的光譜帶寬。

光譜帶寬由下式給出：(2-21)

設(shè)定最優(yōu)的出口狹縫寬度，能夠獲得最大的光輸出并且避免光譜帶寬的損失。

從式(2-21)和式(1-5)，我們發(fā)現(xiàn)一個有趣的規(guī)律：光譜帶寬隨改變

色散值隨改變2.12.5像寬和陣列探測器

由于在出口平面上的像寬隨波長變化，因此陣列型探測器的使用者必須注意每個光譜帶寬上的像素個數(shù)。通常，采用3-6個像素來決定一個光譜帶寬。如果成像的放大倍數(shù)增加~1.5~倍，則相應(yīng)的每個光譜帶寬對應(yīng)4-9個像素。進一步討論波長和像素位置的關(guān)系，請參看第5章。決定光譜帶寬的等于入口狹縫成像的某個寬度，這個寬度內(nèi)通常包含80\%待測波長上的光子數(shù)；其余由于在譜峰的基底而被忽略。因此，任何成像放大，相當于引入更多的像素同時展寬待測信號的基底。2.12.6討論1.單色光時的光譜帶寬根據(jù)定義，光譜寬度無限窄的單色光其譜寬小于根據(jù)式(2-20)決定的儀器光譜帶寬。（一條譜寬非常窄的譜線通常稱為“線型譜”，因為通過光譜儀觀察它的結(jié)果就是這樣。）在這種情形中，所有的光子均為同一波長，波長值與它們在出口平面上的分布無關(guān)。因此，入口狹縫的像將僅僅由同一波長的光子組成，即使存在有限的。因此，這一情形下不能認為圍繞中心波長的光譜展開是相應(yīng)的光譜帶寬。比如，待測單色光為250，光譜儀的光譜帶寬設(shè)置成為5，這并不意味著測量結(jié)果是250±2.5，因為待測單色光中沒有除了250以外的其他波長。然而，這一結(jié)果說明，一條光譜測量結(jié)果（波長－強度圖）中出現(xiàn)“波峰”和顯而易見的“5”可能是由于儀器原因而不是光譜本身造成的展寬。2.有限譜寬“線”光源時的光譜帶寬有限光譜帶寬的發(fā)射線型光譜幾乎在所有類型的光譜測量中都可以遇到，包括發(fā)射譜、拉曼譜、熒光譜和吸收譜。在這些情形中，測量得到的光譜似乎存在發(fā)射（或者吸收）帶。然而，如果采用一臺更高分辨率的光譜儀來分析其中的一條譜“線”，我們就會發(fā)現(xiàn)超過某個特定的帶寬值后，譜線帶寬停止減小，意味著達到了被測光本身的譜寬。這取決于由式(2-20)決定的光譜儀帶寬和待測光本身的譜寬之間的大小關(guān)系。如果待測光本身的譜寬大于光譜儀的帶寬，則對于光譜儀來說，待測發(fā)射“線型”譜好比連續(xù)譜的一部分。在這種情形下，光譜帶寬實際上被看作圍繞中心波長±0.5的光譜展寬。實例1：

圖2.14光譜結(jié)果中前兩個譜峰相距32。第一個譜峰的參數(shù)與第二個譜峰的相同，但是小于第三個譜峰的。這意味著第三個譜峰自身的光譜帶寬大于光譜儀的光譜帶寬，從而譜峰的帶寬無法減小，即使采用更高分辨率的光譜儀來分析也無濟于事。

而第一、二個譜峰，它們自身的光譜帶寬小于光譜儀測量給出的結(jié)果。測量這兩個譜峰，相同的儀器工作在高帶通條件下（更窄的狹縫）能夠分析得到其他在低分辨條件下被湮沒的“譜線”，或者是譜峰帶寬的減小直到減為光譜儀的分辨極限或者譜線自身的光譜帶寬為止。圖2.14

光譜測量的結(jié)果片斷，波長－強度圖，其中*×色散值實例2：

如果一名科研人員在學術(shù)期刊上發(fā)現(xiàn)一條能夠在他的光譜儀上再現(xiàn)的譜線，則第一項任務(wù)就是找出譜線結(jié)果中的光譜帶寬。假設(shè)這個參數(shù)沒有給出，則有必要對光譜結(jié)果進行研究。假定兩個譜峰的中心波長已知，則可以利用一把尺子盡可能準確的測量它們之間的距離。如果波長差為1.25而這個差別在譜圖上的間距為32（參看圖2.14），則該譜圖結(jié)果的色散值應(yīng)該是1.25/32=0.04。然后，通過測量半高全寬（）在譜圖結(jié)果上對應(yīng)的間距就能夠計算出光譜帶寬。比如說這一間距是4，則光譜儀的光譜帶寬是4×0.040.16。

假設(shè)采用表2.4標題所描述的光譜儀進行測試，綜合式(2-21)和表2.5中的最大波長結(jié)果，則表中列出的組合能夠得到0.16的光譜帶寬：表2.4焦距320的型光譜儀得到0.16光譜帶寬時不同的色散值和狹縫寬度組合光柵刻線密度()色散值()入口狹縫寬度()3009.2176004.63512002.37018001.510724001.1513936000.77208

最好的選擇是3600光柵，從而能夠?qū)ⅹM縫寬度調(diào)整到最大以使得最多的光信號進入光譜儀。2.13階次和分辨率

如果一個給定波長在高衍射階次上測得，比如從第一階到第二階，人們通常認為由于色散值成倍增加，因此分辨率極限也會成倍增加。然而，在單色儀中存在許多輔助光學元件如平面或者凹面反射鏡、透鏡等，實際情況中不可能實現(xiàn)分辨率極限的成倍增加。原因如下：隨著光柵轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)成像偏差會改變（比如，彗差）光柵高階次衍射會導(dǎo)致衍射波波前的改變（對于經(jīng)典刻劃光柵最嚴重）其他系統(tǒng)成像偏差如球面偏差、彗差、散光偏差和成像面的扭曲都會影響光柵的性能（特別是低f數(shù)時，如3，4等）

即使是半高全寬保持和低階次測量時一樣，光譜線型的劣化也常常會出現(xiàn)，原因在于中光子數(shù)目的減少導(dǎo)致譜峰的展寬。2.14色散和最大波長

對于刻線密度一定的光柵，一臺光譜儀從機械角度上來說能夠測量的最大波長(1)取決于光柵的機械旋轉(zhuǎn)極限。因此，如果從一開始刻線密度為n1的光柵，切換成另一塊刻線密度為n2的光柵，新的最大波長(2)為：(2-22)表2.5典型光譜儀中最大波長隨光柵刻線密度的變化320,24°,在這個實例中，1200光柵通過機械轉(zhuǎn)動能夠達到的最大波長為1300刻線密度()色散值()最大波長()15018.4104003009.252006004.6260012002.3130018001.586724001.1565036000.77433

從表2.5可以清楚地看出，采用3600光柵來衍射分離波長大于433的光，這是無法實現(xiàn)的。如果要求色散值為0.77以在某一波長（比如600）達到一定的分辨率，則光譜儀必須具備640的焦距（式(1-5)）。這時，采用2400光柵，色散值能夠達到0.77，而且機械旋轉(zhuǎn)能夠?qū)崿F(xiàn)最大波長650。2.15階次和色散值

在第2.12.6節(jié)的實例2中，解決該色散值問題的方案可以是在640焦距的光譜儀中采用2400刻線密度的光柵。由于色散值隨焦距()、刻線密度(n)和階次(k)這些參數(shù)而變，對于某一波長上已知的情況，色散方程（式(1-5)）簡化為：=常數(shù)

因此，如果采用2400光柵能夠?qū)崿F(xiàn)的一階色散值1.15，采用1200的光柵通過二階衍射同樣可以實現(xiàn)。但是請記住，當刻線密度n一定時，常數(shù)（式(1-9)）。因此，采用1800光柵的二階衍射來解決前述問題是不可行的，原因在于二階衍射時工作波長為600，也就是一階衍射時工作波長為1200，從表2.5可以看出，這塊光柵的一階衍射最大波長為867。

然而，如果需要在波段250處實現(xiàn)0.77的色散值，這一波長能夠在1800光柵的二階衍射波長500處觀察，此時二階色散值為0.75。這種情況下，500波長的一階衍射光也同樣疊加在250波長的二階衍射信號上（反之亦然）。則，可通過波長選擇性濾色片來消除不必要的信號。

這一測量方法的主要缺點是光柵的二階衍射效率不如一階衍射高，而且階次選擇濾色片通常也會對信號產(chǎn)生衰減。如果采用經(jīng)典刻劃光柵，鬼線和雜散光還會隨著階次的增加而平方增長。2.16如何選擇單色儀和攝譜儀基于以下原則選擇一臺合適的儀器：系統(tǒng)在滿足光譜帶寬要求的前提下能夠?qū)崿F(xiàn)盡可能大的入口狹縫寬度。最大的色散值。能夠提供的最大光學元件。能夠提供的最長焦距。滿足光譜范圍的最高刻線密度光柵。光學元件和鍍膜滿足光譜范圍要求。

入口光學元件優(yōu)化光展量。

如果儀器工作在非掃描模式時測量單個波長，則必須能夠調(diào)整出口狹縫以匹配入口狹縫其像的大小。

請記住：f數(shù)并不是總能反映光輸出參數(shù)。比如說，光信號從1的光源發(fā)出，投射到6單色儀的入口狹縫處，這樣所有的像都包含在狹縫內(nèi)。此時，光譜儀工作的光子收集參數(shù)對應(yīng)1而不是單色儀的6。參看第3章。

第3章光譜儀的光通量和光展量3.1定義

流量(F)：流量()為單位時間內(nèi)通過的能量(單位是光子數(shù)/秒，或者瓦)，即從光源或者已知面積的狹縫以立體角(Q)發(fā)出、在某一波長（或者某一光譜段）上的光信號。

強度(I)：在某一波長(或者某一光譜段)上單位立體角內(nèi)流量的分布(單位是瓦/球面度)。

輻射度(流明度)(B)：在一已知面上的強度。也定義為強度/光源的表面積(單位是瓦/球面度2)。3.1.1光展量介紹

圖3.1

典型的單色儀系統(tǒng)S=光源的面積S'=入口狹縫的面積S"=反射鏡M1的面積S*=出口狹縫的面積W=L1處收集光的半角W'=L1處出射光的半角W"=M1處收集光的半角W*=M2處出射光的半角L1=用來收集信號光的透鏡M1=結(jié)構(gòu)中的球面準直反射鏡M2=結(jié)構(gòu)中的球面聚焦反射鏡=光開口阻擋=透鏡L1上有光信號通過的區(qū)域p=物（光源）到透鏡L1的距離q=入口狹縫處的像到透鏡L1的距離G1=衍射光柵

幾何光展量（幾何延伸量），G，可以用光學系統(tǒng)收集光信號的能力來表示。它是發(fā)射源其面積S和光信號傳播的立體角Q這兩個參數(shù)的函數(shù)。因此，光展量是影響系統(tǒng)光通量的因素。(3-1)

(3-2)

沿光線傳播的圓錐角積分，該圓錐的軸線垂至于光源表面（參看圖3.1），

(3-3)

光展量是系統(tǒng)的不變參數(shù)，由整個光學系統(tǒng)中展量最小的部分決定。幾何光展量可看作是系統(tǒng)能夠接收的最大光束大小，因此，有必要從光源開始保證系統(tǒng)中任何輔助光學元件都能夠收集和傳播最大數(shù)目的光子。

根據(jù)式(3-3)，滿足以下條件時光展量能夠被最優(yōu)化

(3-4)

當光譜儀的f數(shù)慢于5時（6、7等），可以采用以下更簡化的近似。

(3-5)

其中

(3-6)

因此，代入式(3-5)中我們得到

等。(3-7)

當滿足≈≈W(弧度)時，這一近似非常準確。當f數(shù)為5時，誤差約為1%，而當f數(shù)為1時，誤差約為33%。因為數(shù)值孔徑，因此：

(3-8)

這個等式對于光纖光學和顯微鏡物鏡的相關(guān)計算非常實用。3.2系統(tǒng)的相對光通量3.2.1光展量的計算h

=入口狹縫的高度()w

=入口狹縫的寬度，光譜帶寬/色散值()F

=焦距長度=()N