北師大版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)強(qiáng)化提分系列專(zhuān)題2.6二次根式的加減【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題2.6二次根式的加減【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1同類(lèi)二次根式】 1【題型2分母有理化】 2【題型3二次根式的加減】 3【題型4比較二次根式的大小】 3【題型5二次根式的混合運(yùn)算】 4【題型6已知字母的取值對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值】 4【題型7已知條件式對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值】 5【題型8二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】 5【題型9二次根式中的新定義類(lèi)問(wèn)題】 7【題型10二次根式中的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】 8知識(shí)點(diǎn)1：同類(lèi)二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類(lèi)二次根式.特別說(shuō)明：判斷是否是同類(lèi)二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開(kāi)方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類(lèi)二次根式.【題型1同類(lèi)二次根式】【例1】（23-24八年級(jí)·上海浦東新·階段練習(xí)）下列各組二次根式中，為同類(lèi)二次根式的是（

）A．136和32 B．C．12和13 D．3和【變式1-1】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期末）若最簡(jiǎn)二次根式2a?3與12是同類(lèi)二次根式，則a=．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·安徽滁州·期末）下列各式中，不能與12合并的是（

A．2 B．8 C．118 D．【變式1-3】（23-24八年級(jí)·北京海淀·期末）已知最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11是同類(lèi)二次根式，求x知識(shí)點(diǎn)2：分母有理化①分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式；②兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．【題型2分母有理化】【例2】（23-24八年級(jí)·河北衡水·期末）已知a=45?3，b=5+3，則aA．互為相反數(shù) B．相等 C．互為倒數(shù) D．互為負(fù)倒數(shù)【變式2-1】（23-24八年級(jí)·上?！て谀┯?jì)算：11?2【變式2-2】（23-24八年級(jí)·上海浦東新·期末）2a?1的一個(gè)有理化因式是（A．2a?1 B．2a?1 C．2【變式2-3】（23-24八年級(jí)·江西贛州·期末）觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程．11+2=驗(yàn)證：11+12(1)按照上面兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想：13+4(2)通過(guò)上述探究，猜想1n+n+1=______（(3)計(jì)算：1知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的加減將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類(lèi)二次根式的系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類(lèi)二次根式.特別說(shuō)明：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類(lèi)二次根式，最后合并同類(lèi)二次根式.如【題型3二次根式的加減】【例3】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·期末）計(jì)算(1)3(2)16【變式3-1】（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）計(jì)算313?2【變式3-2】（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·開(kāi)學(xué)考試）212?6【變式3-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）計(jì)算：a?ba【題型4比較二次根式的大小】【例4】（23-24八年級(jí)·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）在二次根式的比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會(huì)取得很好的效果，例如，比較a=23和b=32的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，∵a2=12，請(qǐng)利用“平方法”解決下面問(wèn)題：(1)比較c=36，d=45大小，cd（填寫(xiě)>，<或者(2)猜想m=25+13【變式4-1】（23-24八年級(jí)·山東青島·期末）觀察下列一組等式，然后解答問(wèn)題：(2(3(4(5(1)觀察以上規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出第n個(gè)等式：___________（n為正整數(shù)）；(2)利用上面的規(guī)律，計(jì)算：12(3)請(qǐng)利用上面的規(guī)律，比較99?98與【變式4-2】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）5?2、2+52、2+A．2+2>2+5C．2+52>5?【變式4-3】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·期中）閱讀下列解題過(guò)程，回答問(wèn)題：111(1)化簡(jiǎn)：19+8(2)利用上面的規(guī)律，比較13?12______14?13（填“>”或“【題型5二次根式的混合運(yùn)算】【例5】（23-24八年級(jí)·河南三門(mén)峽·期末）下面是小美同學(xué)進(jìn)行二次根式運(yùn)算的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，完成相應(yīng)的任務(wù)．1=1=3=53任務(wù)：(1)原式中的二次根式18、24、12、2、3(2)第______步開(kāi)始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是______；(3)第一步中，去括號(hào)的依據(jù)是______；(4)請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·北京房山·期末）計(jì)算52?【變式5-2】（23-24八年級(jí)·湖北十堰·期末）計(jì)算3432?A．3+2 B．2+3 C．2【變式5-3】（23-24八年級(jí)·江西宜春·期末）（1）計(jì)算：2?32+（2）化簡(jiǎn)：2ab【題型6已知字母的取值對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值】【例6】（23-24八年級(jí)·山東濱州·期中）先化簡(jiǎn)，再求值：x6?x+【變式6-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）設(shè)x=2-12+1【變式6-2】（23-24八年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期末）若a=5+2，(1)a2(2)求a3【變式6-3】（23-24八年級(jí)·河北衡水·階段練習(xí)）已知x=2?3(1)求x+y和xy的值；(2)求x2(3)若x的小數(shù)部分是a，y的整數(shù)部分是b，求ax?by的值．【題型7已知條件式對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值】【例7】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·期末）已知：y＝x?4+4?x＋5，化簡(jiǎn)并求【變式7-1】（23-24八年級(jí)·河南許昌·期末）已知x+1x【變式7-2】（23-24八年級(jí)·上海寶山·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b滿足aa?b【變式7-3】（23-24八年級(jí)·山東威?！て谥校┮阎猘+b=?8，ab=12，求bb【題型8二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（23-24八年級(jí)·江蘇南通·期中）某小區(qū)有一塊長(zhǎng)方形綠地ABCD，長(zhǎng)BC為128米，寬AB為50米，現(xiàn)在要在長(zhǎng)方形綠地中修建兩個(gè)形狀大小相同的小長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），每個(gè)小長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為13+1米，寬為13(1)求長(zhǎng)方形綠地ABCD的周長(zhǎng)；(2)除花壇外，其他地方全修建成通道，通道需鋪上造價(jià)為55元/平方米的地磚，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要多少錢(qián)？【變式8-1】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）小明同學(xué)每次回家進(jìn)入電梯間時(shí)，總能看見(jiàn)如圖所示的提示“高空拋物害人害己”．為進(jìn)一步研究高空拋物的危害，小明請(qǐng)教了物理老師，得知高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t=2?g（不考慮風(fēng)速的影響，g≈10m/s

(1)已知小明家住20層，每層的高度近似為3m，假如從小明家墜落一個(gè)物品，求該物品落地的時(shí)間；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)小明查閱資料得知，傷害無(wú)防護(hù)人體只需要64焦的動(dòng)能，高空拋物動(dòng)能（焦）=10×物體質(zhì)量（千克）×高度（米），某質(zhì)量為0.1千克的玩具在高空被拋出后，最少經(jīng)過(guò)幾秒落地就可能會(huì)傷害到樓下的行人？【變式8-2】（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期中）現(xiàn)有兩塊同樣大小的長(zhǎng)方形木板①，②，甲木工采用如圖①所示的方式，在長(zhǎng)方形木板①上截出兩個(gè)面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板(1)圖①截出的正方形木板A的邊長(zhǎng)為_(kāi)______dm，B的邊長(zhǎng)為_(kāi)______dm；(2)求圖①中陰影部分的面積；(3)乙木工想采用如圖②所示的方式，在長(zhǎng)方形木板②上截出面積為25dm【變式8-3】（23-24八年級(jí)·北京海淀·期末）團(tuán)扇是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，代表著團(tuán)圓友善、吉祥如意．某社團(tuán)組織學(xué)生制作團(tuán)扇，扇面有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均300平方厘米．為了提升團(tuán)扇的耐用性和美觀度，需對(duì)扇面邊緣用緞帶進(jìn)行包邊處理，如圖所示．(1)圓形團(tuán)扇的半徑為_(kāi)____________厘米，正方形團(tuán)扇的邊長(zhǎng)為_(kāi)_________厘米；(2)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪種形狀的扇面所用的包邊長(zhǎng)度更短．【題型9二次根式中的新定義類(lèi)問(wèn)題】【例9】（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中）對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算?如下：a?b如：2?5=25，根據(jù)上述定義，解決下列問(wèn)題：(1)6?3=______，1?3(2)若x?1?x+1=2【變式9-1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿足a?b=c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的因子二次根式．(1)若a與2是關(guān)于4的因子二次根式，則a=；(2)若3?1與m?3是關(guān)于?2的因子二次根式，求【變式9-2】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·期末）定義：若兩個(gè)二次根式m，n滿足m?n=p，且p是有理數(shù)．則稱m與n是關(guān)于p的美好二次根式．(1)若m與2是關(guān)于6的美好二次根式，求m的值：(2)若1?3與4+3m是關(guān)于n的美好二次根式，求m【變式9-3】（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中）定義：我們將a+b與因?yàn)閍+在得到a±2b的化簡(jiǎn)的一般方法后，興奮的小聰繼續(xù)深入探究化簡(jiǎn)形如a±cb（a、b、c均為正整數(shù)，且b沒(méi)有平方數(shù)因數(shù)，c≠2）的式子的一般方法，通過(guò)思考，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)c=2k（k為大于1的整數(shù)）時(shí)，將k移進(jìn)根號(hào)內(nèi)，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(2)請(qǐng)你根據(jù)小聰?shù)姆椒ɑ?jiǎn)8?43接著他想，上面的式子之所以能通過(guò)變形化簡(jiǎn)，是因?yàn)榈谝粚痈?hào)內(nèi)的式子能變形成完全平方式，小聰又琢磨形如a±db（a、b、d均為正整數(shù)，且b沒(méi)有平方數(shù)因數(shù)，d為奇數(shù)）的式子能否化簡(jiǎn)，若能化簡(jiǎn)，其一般方法又是怎樣的呢？經(jīng)過(guò)深入思考，他得到如下方法：將a±db看出分母為1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一層根號(hào)內(nèi)，這樣，問(wèn)題就變成（2）中的問(wèn)題了，即(3)他這種解決問(wèn)題的策略用的是______數(shù)學(xué)思想．【變式10-1】（23-24八年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期末）閱讀下列材料，解答提出的問(wèn)題：原題：已知x=2?3,y=2+3.求x∵x=2?3∴x+y=2?3+2+3=4(1)若x=3?5,y=2+5(2)若x=7+2【變式10-2】（23-24八年級(jí)·江西吉安·期末）閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù)：請(qǐng)根據(jù)以上材料，通過(guò)計(jì)算求出斐波那契數(shù)列中的第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù)．【變式10-3】（23-24八年級(jí)·湖南郴州·期末）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，∵a?b2=a?2ab例如：當(dāng)a>0時(shí)，求a+4解∵a>0∴a+4a≥2a?16a又∵∴a+4請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問(wèn)題：(1)當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=__________時(shí)，x+1(2)當(dāng)m>0時(shí)，求m2(3)請(qǐng)解答以下問(wèn)題：如圖所示，某園藝公司準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三邊用籬笆圍成，設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米．若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？專(zhuān)題2.6二次根式的加減【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1同類(lèi)二次根式】 1【題型2分母有理化】 3【題型3二次根式的加減】 5【題型4比較二次根式的大小】 7【題型5二次根式的混合運(yùn)算】 10【題型6已知字母的取值對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值】 13【題型7已知條件式對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值】 15【題型8二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】 18【題型9二次根式中的新定義類(lèi)問(wèn)題】 21【題型10二次根式中的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】 25知識(shí)點(diǎn)1：同類(lèi)二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類(lèi)二次根式.特別說(shuō)明：判斷是否是同類(lèi)二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開(kāi)方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類(lèi)二次根式.【題型1同類(lèi)二次根式】【例1】（23-24八年級(jí)·上海浦東新·階段練習(xí)）下列各組二次根式中，為同類(lèi)二次根式的是（

）A．136和32 B．C．12和13 D．3和【答案】C【分析】本題主要考查了同類(lèi)二次根式．將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類(lèi)二次根式．根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可解答．【詳解】解：A、136與B、a與2a的被開(kāi)方數(shù)不同，所以它們不是同類(lèi)二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、12=23與D、3與9=3故選：D．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期末）若最簡(jiǎn)二次根式2a?3與12是同類(lèi)二次根式，則a=．【答案】3【分析】本題考查了同類(lèi)二次根式和最簡(jiǎn)二次根式．先求出12=23，再根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義得出【詳解】解：12=2∵最簡(jiǎn)二次根式2a?3與12是同類(lèi)二次根式，∴2a?3=3，∴a=3．故答案為：3．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·安徽滁州·期末）下列各式中，不能與12合并的是（

A．2 B．8 C．118 D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的合并，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)方法，以及同類(lèi)二次根式才可以合并．將各選項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式即可解答．【詳解】解：12A、2與12B、8=22與C、118=2D、0.2=15故選：D．【變式1-3】（23-24八年級(jí)·北京海淀·期末）已知最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11是同類(lèi)二次根式，求x【答案】±5【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式的定義列出關(guān)于x、y的方程組，解方程組得出x、y的值，再求出x2【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11∴3x?10=22x+y?5=x?3y+11解得：x=4y=3∴x2∴x2+y【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類(lèi)二次根式的定義，平方根的定義，最簡(jiǎn)二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同類(lèi)二次根式的定義，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)2：分母有理化①分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式；②兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．【題型2分母有理化】【例2】（23-24八年級(jí)·河北衡水·期末）已知a=45?3，b=5+3，則aA．互為相反數(shù) B．相等 C．互為倒數(shù) D．互為負(fù)倒數(shù)【答案】A【分析】本題考查了分母有理化和相反數(shù)，根據(jù)分母有理化的方法求得a的值，即可求解，熟練掌握相反數(shù)的定義和分母有理化的方法，進(jìn)而求得a的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：a=4∴a+b=0，∴a與b互為相反數(shù)，故選：A．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·上?！て谀┯?jì)算：11?2【答案】?1【分析】本題考查了分母有理化．根據(jù)分母有理化的法則計(jì)算即可求解．【詳解】解：1=?=?1?=?1．故答案為：?1．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·上海浦東新·期末）2a?1的一個(gè)有理化因式是（A．2a?1 B．2a?1 C．2【答案】C【分析】本題主要考查了有理化因式的定義，平方差公式，根據(jù)有理化因式的定義即可解答．【詳解】解：∵2a∴2a?1的一個(gè)有理化因式是故選：D．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·江西贛州·期末）觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程．11+2=驗(yàn)證：11+12(1)按照上面兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想：13+4(2)通過(guò)上述探究，猜想1n+n+1=______（(3)計(jì)算：1【答案】(1)2?3，(2)n+1?(3)2023【分析】本題考查了分母有理化，根據(jù)題中給的例子找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題中給的例子即可得出答案；（2）根據(jù)題中給的例子找出規(guī)律即可得出答案；（3）根據(jù)（2）中規(guī)律計(jì)算化簡(jiǎn)即可；【詳解】（1）1316故答案為：2?3，7（2）1n驗(yàn)證：1n故答案為：n+1?（3）1=2==2023．知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的加減將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類(lèi)二次根式的系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類(lèi)二次根式.特別說(shuō)明：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類(lèi)二次根式，最后合并同類(lèi)二次根式.如【題型3二次根式的加減】【例3】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·期末）計(jì)算(1)3(2)16【答案】(1)?8(2)1?【分析】本題主要考查了乘方和開(kāi)方，二次根式的加減，對(duì)于（1），根據(jù)3?27=?3，81=9對(duì)于（2），先開(kāi)方，再去括號(hào)，然后根據(jù)二次根式的加減法法則計(jì)算．【詳解】（1）原式=?3?9+4=?8；（2）原式==1?6【變式3-1】（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）計(jì)算313?2【答案】?4【分析】本題考查了二次根式的加減法運(yùn)算，正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．先將二次根式化簡(jiǎn)，然后計(jì)算加減法即可．【詳解】解：3=3×==?43故答案為：?43【變式3-2】（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·開(kāi)學(xué)考試）212?6【答案】14【分析】先根據(jù)性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式即可．【詳解】原式=43=143故答案為：143【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)和加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用二次根式性質(zhì)的化簡(jiǎn)及其應(yīng)用．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）計(jì)算：a?ba【答案】2【分析】分母不變，分子作減法后，根據(jù)b=b?b【詳解】原式=【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，利用b=b【題型4比較二次根式的大小】【例4】（23-24八年級(jí)·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）在二次根式的比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會(huì)取得很好的效果，例如，比較a=23和b=32的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，∵a2=12，請(qǐng)利用“平方法”解決下面問(wèn)題：(1)比較c=36，d=45大小，cd（填寫(xiě)>，<或者(2)猜想m=25+13【答案】(1)<(2)m>n，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查二次根式比較大小，二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，完全平方公式，掌握平方法比較大小，是解題的關(guān)鍵：（1）利用平方法比較大小即可；（2）利用平方法進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：∵c=36，d=4∴c2=54，∵c2∴c<d；故答案為：<；（2）解：猜想m>n，理由如下：∵m=25+13∴m2=2∵65>∴m2∴m>n．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·山東青島·期末）觀察下列一組等式，然后解答問(wèn)題：(2(3(4(5(1)觀察以上規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出第n個(gè)等式：___________（n為正整數(shù)）；(2)利用上面的規(guī)律，計(jì)算：12(3)請(qǐng)利用上面的規(guī)律，比較99?98與【答案】(1)n+1(2)2023(3)99【分析】（1）根據(jù)題干，觀察規(guī)律，即可得到第n個(gè)等式；（2）先將各項(xiàng)分母有理化，在進(jìn)行有理數(shù)計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)平方差公式，可化成分子相同的數(shù)，根據(jù)相同的分子，分母越大的數(shù)越小進(jìn)行比較，即可得到答案．【詳解】（1）解：通過(guò)觀察可知，n+1+故答案為：n+1+（2）解：原式==2==2023（3）解：∵99?98198∴99【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式混合運(yùn)算和大小比較，主要運(yùn)用分母有理化和分子有理化，熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）5?2、2+52、2+A．2+2>2+5C．2+52>5?【答案】D【分析】根據(jù)作差法，分別比較5?2與2+2，2+2【詳解】∵(5?2)-(2+2)=3-22=3-8=9-∴5?2∵(2+2)-(2+52)=2-52=22∴2+2∴5?2故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查比較二次根式的大小，掌握作差法比較大小，是解題的關(guān)鍵.【變式4-3】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·期中）閱讀下列解題過(guò)程，回答問(wèn)題：111(1)化簡(jiǎn)：19+8(2)利用上面的規(guī)律，比較13?12______14?13（填“>”或“【答案】(1)3?22，(2)>【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式比較大?。海?）仿照題意求解即可；（2）根據(jù)分母有理化的方法得到113+12=13?12，1【詳解】（1）解：1===3?221===91故答案為：3?22，91（2）解：113114∵14+∴114∴13?故答案為：>．【題型5二次根式的混合運(yùn)算】【例5】（23-24八年級(jí)·河南三門(mén)峽·期末）下面是小美同學(xué)進(jìn)行二次根式運(yùn)算的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，完成相應(yīng)的任務(wù)．1=1=3=53任務(wù)：(1)原式中的二次根式18、24、12、2、3(2)第______步開(kāi)始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是______；(3)第一步中，去括號(hào)的依據(jù)是______；(4)請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．【答案】(1)2、3(2)一，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，沒(méi)有改變括號(hào)內(nèi)符號(hào)；(3)乘法分配律(4)見(jiàn)解析【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義、去括號(hào)法則，二次根式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐一判斷即可；（2）根據(jù)去括號(hào)法則分析即可；（3）根據(jù)去括號(hào)的依據(jù)解答即可；（4）先計(jì)算二次根式乘法、去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：1824=212=22、3是最簡(jiǎn)二次根式，故答案為：2、3（2）解：第一步開(kāi)始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，沒(méi)有改變括號(hào)內(nèi)符號(hào)；故答案為：一，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，沒(méi)有改變括號(hào)內(nèi)符號(hào)；（3）解：第一步中，去括號(hào)的依據(jù)是乘法分配律，故答案為：乘法分配律；（4）解：1==3=3【變式5-1】（23-24八年級(jí)·北京房山·期末）計(jì)算52?【答案】22【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則，平方差公式分別運(yùn)算，最后相減即可得到結(jié)果，掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式=5?1故答案為：22．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·湖北十堰·期末）計(jì)算3432?A．3+2 B．2+3 C．2【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，先化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算乘法，再算二次根式加減即可，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式=3=32=2故選：A．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·江西宜春·期末）（1）計(jì)算：2?32+（2）化簡(jiǎn)：2ab【答案】（1）?1；（2）4a【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，平方差公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)平方差公式展開(kāi)，再計(jì)算加減法即可；（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再將除法化為計(jì)算即可．【詳解】解：（1）2?==4?3?2=?1；（2）2=2=2=4a．【題型6已知字母的取值對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值】【例6】（23-24八年級(jí)·山東濱州·期中）先化簡(jiǎn)，再求值：x6?x+【答案】6x?5；【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟知二次根式的相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則和平方差公式去括號(hào)，然后合并同類(lèi)二次根式化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：x==6x===8=6原式=6【變式6-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）設(shè)x=2-12+1【答案】31【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵，整式的乘法的運(yùn)算公式及運(yùn)算法則對(duì)二次根式的運(yùn)算同樣適應(yīng)．先把x=2?12+1，y=2【詳解】解：∵x=2?12∴x=====32?1=31．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·湖南岳陽(yáng)·期末）若a=5+2，(1)a2(2)求a3【答案】(1)8(2)18【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：（1）先求出a+b=25，a?b=4，再根據(jù)a（2）先求出a+b=25，ab=1，再把所求式子變形為ab【詳解】（1）解：∵a=5+2，∴a+b=5+2+5∴a==2=85（2）解：∵a=5+2，∴a+b=5+2+∴a=ab=ab=1×=1×=18．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·河北衡水·階段練習(xí)）已知x=2?3(1)求x+y和xy的值；(2)求x2(3)若x的小數(shù)部分是a，y的整數(shù)部分是b，求ax?by的值．【答案】(1)x+y=4，xy=1(2)11(3)1?7【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算、無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）代入x=2?3，y=2+3即可求出（2）將原式變形為x+y2（3）先估算出1<3<2，從而得出a=2?3【詳解】（1）解：∵x=2?3∴x+y=2?3+2+3（2）解：由（1）得：x+y=4，xy=1，∴（3）解：∵1<3<4，∴1<3∴?2<?3∴0<2?3∵x的小數(shù)部分是a，∴a=2?3∵3<2+3<4，y的整數(shù)部分是∴b=3，∴ax?by=2?【題型7已知條件式對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值】【例7】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·期末）已知：y＝x?4+4?x＋5，化簡(jiǎn)并求【答案】2x【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到x=4，則y=5，再利用約分得到原式=1x+y+1x?【詳解】解：∵x-4≥0且4-x≥0，∴x=4，∴y=5，x=1=x?=2x=24=-4．【點(diǎn)睛】本題考查了考查了二次根式有意義的條件、二次根式的化簡(jiǎn)求值，做題的關(guān)鍵是要先化簡(jiǎn)再代入求值．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·河南許昌·期末）已知x+1x【答案】2【分析】把已知等式兩邊平方求出x+1【詳解】解：把x+1x=3兩邊平方得：則原式＝(x+1故答案為27【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，以及二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·上海寶山·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b滿足aa?b【答案】19【分析】首先化簡(jiǎn)已知條件的等式，得出a=5【詳解】解：由已知條件，等式可化為a?a?4a2?4解得a=5b，將其代入，即得原式=25b+10b+3b50b+5b+b故答案為1928【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練運(yùn)用即可解題.【變式7-3】（23-24八年級(jí)·山東威?！て谥校┮阎猘+b=?8，ab=12，求bb【答案】?20【分析】根據(jù)題意可判斷a和b都是負(fù)數(shù)，然后二次根式的乘、除法公式和合并同類(lèi)二次根式法則化簡(jiǎn)并求值即可．【詳解】解：∵a+b=?8，ab=12，∴a和b均為負(fù)數(shù)，ab=b=b========【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)和完全平方公式的變形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同類(lèi)二次根式法則是解決此題的關(guān)鍵．【題型8二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（23-24八年級(jí)·江蘇南通·期中）某小區(qū)有一塊長(zhǎng)方形綠地ABCD，長(zhǎng)BC為128米，寬AB為50米，現(xiàn)在要在長(zhǎng)方形綠地中修建兩個(gè)形狀大小相同的小長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），每個(gè)小長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為13+1米，寬為13(1)求長(zhǎng)方形綠地ABCD的周長(zhǎng)；(2)除花壇外，其他地方全修建成通道，通道需鋪上造價(jià)為55元/平方米的地磚，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要多少錢(qián)？【答案】(1)262(2)3080元【分析】此題考查了二次根式的四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意，熟練掌握運(yùn)算法則和順序是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）先利用長(zhǎng)方形的綠地面積減去花壇的面積，再用化簡(jiǎn)結(jié)果乘以地磚的單價(jià)即可．【詳解】（1）解：2×(128∴長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為262（2）解：128×則56×55=3080(元)，∴要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)3080元．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）小明同學(xué)每次回家進(jìn)入電梯間時(shí)，總能看見(jiàn)如圖所示的提示“高空拋物害人害己”．為進(jìn)一步研究高空拋物的危害，小明請(qǐng)教了物理老師，得知高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t=2?g（不考慮風(fēng)速的影響，g≈10m/s

(1)已知小明家住20層，每層的高度近似為3m，假如從小明家墜落一個(gè)物品，求該物品落地的時(shí)間；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)小明查閱資料得知，傷害無(wú)防護(hù)人體只需要64焦的動(dòng)能，高空拋物動(dòng)能（焦）=10×物體質(zhì)量（千克）×高度（米），某質(zhì)量為0.1千克的玩具在高空被拋出后，最少經(jīng)過(guò)幾秒落地就可能會(huì)傷害到樓下的行人？【答案】(1)23(2)3.5776秒【分析】（1）根據(jù)題意可先求得?=60m，根據(jù)t=（2）先根據(jù)高空拋物動(dòng)能（焦）=10×物體質(zhì)量（千克）×高度（米），求出該玩具最低的下落高度，再由t=2?【詳解】（1）解：∵小明家住20層，每層的高度近似為3m，∴?=20×3=60m∴t=2?∴該物品落地的時(shí)間為23（2）該玩具最低的下落高度為?=64∴t=2?∴最少經(jīng)過(guò)3.5776秒落地就可能會(huì)傷害到樓下的行人．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，讀懂題意，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期中）現(xiàn)有兩塊同樣大小的長(zhǎng)方形木板①，②，甲木工采用如圖①所示的方式，在長(zhǎng)方形木板①上截出兩個(gè)面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板(1)圖①截出的正方形木板A的邊長(zhǎng)為_(kāi)______dm，B的邊長(zhǎng)為_(kāi)______dm；(2)求圖①中陰影部分的面積；(3)乙木工想采用如圖②所示的方式，在長(zhǎng)方形木板②上截出面積為25dm【答案】(1)2(2)6(3)不能截出，見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，（1）根據(jù)正方形的面積，即可求出邊長(zhǎng)；（2）先求出木板B的邊長(zhǎng)，再得出陰影部分的長(zhǎng)和寬，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式即可求解；（3）求出兩個(gè)面積為25dm【詳解】（1）解：∵正方形木板A的面積為12dm2，正方形木板B的面積為∴正方形木板A的邊長(zhǎng)為12=23dm，正方形木板B故答案為：23，3（2）解：∵正方形木板A的邊長(zhǎng)為23dm，正方形木板B的邊長(zhǎng)為∴陰影部分寬為3dm∴陰影部分面積為23（3）解：不能截出；理由：25=5，2×5=10∴兩個(gè)正方形木板放在一起的寬為5dm，長(zhǎng)為10由（2）可得長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)為53dm，寬為∵33>5，但∴不能截出．【變式8-3】（23-24八年級(jí)·北京海淀·期末）團(tuán)扇是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，代表著團(tuán)圓友善、吉祥如意．某社團(tuán)組織學(xué)生制作團(tuán)扇，扇面有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均300平方厘米．為了提升團(tuán)扇的耐用性和美觀度，需對(duì)扇面邊緣用緞帶進(jìn)行包邊處理，如圖所示．(1)圓形團(tuán)扇的半徑為_(kāi)____________厘米，正方形團(tuán)扇的邊長(zhǎng)為_(kāi)_________厘米；(2)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪種形狀的扇面所用的包邊長(zhǎng)度更短．【答案】(1)103π(2)圓形團(tuán)扇所用的包邊長(zhǎng)度更短【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用、實(shí)數(shù)的比較大小，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓和正方形的面積公式計(jì)算即可得出答案；（2）分別求出圓形團(tuán)扇的周長(zhǎng)和正方形團(tuán)扇的周長(zhǎng)，比較即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：圓形團(tuán)扇的半徑為300π=10（2）解：∵圓形團(tuán)扇半徑為103ππ∴圓形團(tuán)扇的周長(zhǎng)為203π厘米，正方形團(tuán)扇的周長(zhǎng)為∵403=203×∴203π∴圓形團(tuán)扇所用的包邊長(zhǎng)度更短．【題型9二次根式中的新定義類(lèi)問(wèn)題】【例9】（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中）對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算?如下：a?b如：2?5=25，根據(jù)上述定義，解決下列問(wèn)題：(1)6?3=______，1?3(2)若x?1?x+1=2【答案】(1)2，?2(2)x=?【分析】本題考查定義新運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算，解分式方程：（1）根據(jù)新運(yùn)算的法則，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分x?1>0和x?1<0，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：6?∵1?3∴1?3?1+故答案為：2，?2；（2）當(dāng)x?1>0，即：x>1時(shí)，則：x?1x+1=2，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，x=?3是原方程的解，∵x>1，∴x=?3（舍去）；當(dāng)x?1<0，即：x<1時(shí)，則：x?1x+1∴x=?3或x=∴x=?3【變式9-1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿足a?b=c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的因子二次根式．(1)若a與2是關(guān)于4的因子二次根式，則a=；(2)若3?1與m?3是關(guān)于?2的因子二次根式，求【答案】(1)2(2)?1【分析】（1）根據(jù)因子二次根式的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)因子二次根式的定義得到3?1【詳解】（1）解：由題意，得：2a=4∴a=22故答案為：2（2）由題意，得：3?1∴m?3∴m=?1．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的計(jì)算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·期末）定義：若兩個(gè)二次根式m，n滿足m?n=p，且p是有理數(shù)．則稱m與n是關(guān)于p的美好二次根式．(1)若m與2是關(guān)于6的美好二次根式，求m的值：(2)若1?3與4+3m是關(guān)于n的美好二次根式，求m【答案】(1)m=32(2)n=?8，m=4．【分析】本題考查了二次根式的新定義運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）利用二次根式的新定義運(yùn)算解答即可求解（2）利用二次根式的新定義運(yùn)算解答即可求解【詳解】（1）解：由題意可得，m·2∴m=32（2）解：由題意可得，1?3整理得，3?33m?3m=4∴m=4，?3m=n?4∴m=4，∴n=?8．【變式9-3】（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中）定義：我們將a+b與因?yàn)閍+例如：15?x+3?x15?x?3?x(1)7?2的“對(duì)偶式”是________，(2)已知21?x?5?x=2①21?x?②利用“對(duì)偶式”的相關(guān)知識(shí)，求方程21?x?5?x=2【答案】(1)7+2(2)①8；②x=?4【分析】本題考查新定義，平方差公式，二次根式的混合運(yùn)算．（1）根據(jù)“對(duì)偶式”的定義即可解答．（2）①根據(jù)平方差公式求得21?x?5?x21?x②由21?x?5?x=2，21?x+5?x【詳解】（1）解：由題意可得，7?2的“對(duì)偶式”是7+2，故答案為：7+2（2）解：①21?x?5?x的“對(duì)偶式”是而21?x?∵21?x?∴21?x+故答案為：8②∵21?x?5?x=2∴21?x=5，5?x解得x=?4．【題型10二次根式中的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】【例10】（23-24八年級(jí)·湖北十堰·期末）閱讀材料，學(xué)解問(wèn)題：小聰在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，通過(guò)計(jì)算2+12=3+22，他就想3+22化簡(jiǎn)的結(jié)果應(yīng)為2+1，即設(shè)a+2b=(m+n)2（其中則有a+2b∴m+n=a①，mn=b②，①+②得∴mn+m+n+1=a+b+1，因式分解得，m+1n+1∵a、b、m、n均為整數(shù)，∴m+1和n+1均為a+b+1的因數(shù)，由此可以得到方程組驗(yàn)證求出m，n的值，從而化簡(jiǎn)a±2b(1)請(qǐng)你根據(jù)小聰?shù)姆椒ㄌ剿骰?jiǎn)8?215當(dāng)設(shè)8?215=(m?n)2（m、∴②mn+m+n+1=______，m+1n+1∴③m=______，n=______，（經(jīng)驗(yàn)證，