北師大版2024-2025學年八年級數(shù)學上冊強化提分系列專題2.6二次根式的加減【十大題型】(學生版+解析)

專題2.6二次根式的加減【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1同類二次根式】 1【題型2分母有理化】 2【題型3二次根式的加減】 3【題型4比較二次根式的大小】 3【題型5二次根式的混合運算】 4【題型6已知字母的取值對二次根式進行化簡求值】 4【題型7已知條件式對二次根式進行化簡求值】 5【題型8二次根式混合運算的實際應用】 5【題型9二次根式中的新定義類問題】 7【題型10二次根式中的閱讀理解類問題】 8知識點1：同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.特別說明：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.【題型1同類二次根式】【例1】（23-24八年級·上海浦東新·階段練習）下列各組二次根式中，為同類二次根式的是（

）A．136和32 B．C．12和13 D．3和【變式1-1】（23-24八年級·江蘇無錫·期末）若最簡二次根式2a?3與12是同類二次根式，則a=．【變式1-2】（23-24八年級·安徽滁州·期末）下列各式中，不能與12合并的是（

A．2 B．8 C．118 D．【變式1-3】（23-24八年級·北京海淀·期末）已知最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11是同類二次根式，求x知識點2：分母有理化①分母有理化是指把分母中的根號化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式；②兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．【題型2分母有理化】【例2】（23-24八年級·河北衡水·期末）已知a=45?3，b=5+3，則aA．互為相反數(shù) B．相等 C．互為倒數(shù) D．互為負倒數(shù)【變式2-1】（23-24八年級·上?！て谀┯嬎悖?1?2【變式2-2】（23-24八年級·上海浦東新·期末）2a?1的一個有理化因式是（A．2a?1 B．2a?1 C．2【變式2-3】（23-24八年級·江西贛州·期末）觀察下列各式及其驗證過程．11+2=驗證：11+12(1)按照上面兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想：13+4(2)通過上述探究，猜想1n+n+1=______（(3)計算：1知識點3：二次根式的加減將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.特別說明：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如【題型3二次根式的加減】【例3】（23-24八年級·山西呂梁·期末）計算(1)3(2)16【變式3-1】（23-24八年級·山東聊城·期末）計算313?2【變式3-2】（23-24八年級·吉林長春·開學考試）212?6【變式3-3】（23-24八年級·全國·單元測試）計算：a?ba【題型4比較二次根式的大小】【例4】（23-24八年級·河南省直轄縣級單位·期末）在二次根式的比較大小中，有時候用“平方法”會取得很好的效果，例如，比較a=23和b=32的大小，我們可以把a和b分別平方，∵a2=12，請利用“平方法”解決下面問題：(1)比較c=36，d=45大小，cd（填寫>，<或者(2)猜想m=25+13【變式4-1】（23-24八年級·山東青島·期末）觀察下列一組等式，然后解答問題：(2(3(4(5(1)觀察以上規(guī)律，請寫出第n個等式：___________（n為正整數(shù)）；(2)利用上面的規(guī)律，計算：12(3)請利用上面的規(guī)律，比較99?98與【變式4-2】（23-24八年級·河北石家莊·期末）5?2、2+52、2+A．2+2>2+5C．2+52>5?【變式4-3】（23-24八年級·山西呂梁·期中）閱讀下列解題過程，回答問題：111(1)化簡：19+8(2)利用上面的規(guī)律，比較13?12______14?13（填“>”或“【題型5二次根式的混合運算】【例5】（23-24八年級·河南三門峽·期末）下面是小美同學進行二次根式運算的過程，請認真閱讀，完成相應的任務．1=1=3=53任務：(1)原式中的二次根式18、24、12、2、3(2)第______步開始出錯，錯誤的原因是______；(3)第一步中，去括號的依據(jù)是______；(4)請寫出正確的計算過程．【變式5-1】（23-24八年級·北京房山·期末）計算52?【變式5-2】（23-24八年級·湖北十堰·期末）計算3432?A．3+2 B．2+3 C．2【變式5-3】（23-24八年級·江西宜春·期末）（1）計算：2?32+（2）化簡：2ab【題型6已知字母的取值對二次根式進行化簡求值】【例6】（23-24八年級·山東濱州·期中）先化簡，再求值：x6?x+【變式6-1】（23-24八年級·湖北武漢·期末）設x=2-12+1【變式6-2】（23-24八年級·湖南岳陽·期末）若a=5+2，(1)a2(2)求a3【變式6-3】（23-24八年級·河北衡水·階段練習）已知x=2?3(1)求x+y和xy的值；(2)求x2(3)若x的小數(shù)部分是a，y的整數(shù)部分是b，求ax?by的值．【題型7已知條件式對二次根式進行化簡求值】【例7】（23-24八年級·浙江杭州·期末）已知：y＝x?4+4?x＋5，化簡并求【變式7-1】（23-24八年級·河南許昌·期末）已知x+1x【變式7-2】（23-24八年級·上海寶山·階段練習）已知實數(shù)a、b滿足aa?b【變式7-3】（23-24八年級·山東威?！て谥校┮阎猘+b=?8，ab=12，求bb【題型8二次根式混合運算的實際應用】【例8】（23-24八年級·江蘇南通·期中）某小區(qū)有一塊長方形綠地ABCD，長BC為128米，寬AB為50米，現(xiàn)在要在長方形綠地中修建兩個形狀大小相同的小長方形花壇（即圖中陰影部分），每個小長方形花壇的長為13+1米，寬為13(1)求長方形綠地ABCD的周長；(2)除花壇外，其他地方全修建成通道，通道需鋪上造價為55元/平方米的地磚，則購買地磚需要多少錢？【變式8-1】（23-24八年級·安徽合肥·期末）小明同學每次回家進入電梯間時，總能看見如圖所示的提示“高空拋物害人害己”．為進一步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物下落的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t=2?g（不考慮風速的影響，g≈10m/s

(1)已知小明家住20層，每層的高度近似為3m，假如從小明家墜落一個物品，求該物品落地的時間；（結(jié)果保留根號）(2)小明查閱資料得知，傷害無防護人體只需要64焦的動能，高空拋物動能（焦）=10×物體質(zhì)量（千克）×高度（米），某質(zhì)量為0.1千克的玩具在高空被拋出后，最少經(jīng)過幾秒落地就可能會傷害到樓下的行人？【變式8-2】（23-24八年級·河南洛陽·期中）現(xiàn)有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖①所示的方式，在長方形木板①上截出兩個面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板(1)圖①截出的正方形木板A的邊長為_______dm，B的邊長為_______dm；(2)求圖①中陰影部分的面積；(3)乙木工想采用如圖②所示的方式，在長方形木板②上截出面積為25dm【變式8-3】（23-24八年級·北京海淀·期末）團扇是中國傳統(tǒng)工藝品，代表著團圓友善、吉祥如意．某社團組織學生制作團扇，扇面有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均300平方厘米．為了提升團扇的耐用性和美觀度，需對扇面邊緣用緞帶進行包邊處理，如圖所示．(1)圓形團扇的半徑為_____________厘米，正方形團扇的邊長為__________厘米；(2)請你通過計算說明哪種形狀的扇面所用的包邊長度更短．【題型9二次根式中的新定義類問題】【例9】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）對于任意兩個非零實數(shù)a、b，定義運算?如下：a?b如：2?5=25，根據(jù)上述定義，解決下列問題：(1)6?3=______，1?3(2)若x?1?x+1=2【變式9-1】（23-24八年級·全國·專題練習）定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b=c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的因子二次根式．(1)若a與2是關(guān)于4的因子二次根式，則a=；(2)若3?1與m?3是關(guān)于?2的因子二次根式，求【變式9-2】（23-24八年級·浙江杭州·期末）定義：若兩個二次根式m，n滿足m?n=p，且p是有理數(shù)．則稱m與n是關(guān)于p的美好二次根式．(1)若m與2是關(guān)于6的美好二次根式，求m的值：(2)若1?3與4+3m是關(guān)于n的美好二次根式，求m【變式9-3】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）定義：我們將a+b與因為a+在得到a±2b的化簡的一般方法后，興奮的小聰繼續(xù)深入探究化簡形如a±cb（a、b、c均為正整數(shù)，且b沒有平方數(shù)因數(shù)，c≠2）的式子的一般方法，通過思考，他發(fā)現(xiàn)當c=2k（k為大于1的整數(shù)）時，將k移進根號內(nèi)，就把問題轉(zhuǎn)化為(2)請你根據(jù)小聰?shù)姆椒ɑ??43接著他想，上面的式子之所以能通過變形化簡，是因為第一層根號內(nèi)的式子能變形成完全平方式，小聰又琢磨形如a±db（a、b、d均為正整數(shù)，且b沒有平方數(shù)因數(shù)，d為奇數(shù)）的式子能否化簡，若能化簡，其一般方法又是怎樣的呢？經(jīng)過深入思考，他得到如下方法：將a±db看出分母為1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一層根號內(nèi)，這樣，問題就變成（2）中的問題了，即(3)他這種解決問題的策略用的是______數(shù)學思想．【變式10-1】（23-24八年級·陜西咸陽·期末）閱讀下列材料，解答提出的問題：原題：已知x=2?3,y=2+3.求x∵x=2?3∴x+y=2?3+2+3=4(1)若x=3?5,y=2+5(2)若x=7+2【變式10-2】（23-24八年級·江西吉安·期末）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應的任務．任務：請根據(jù)以上材料，通過計算求出斐波那契數(shù)列中的第1個數(shù)和第2個數(shù)．【變式10-3】（23-24八年級·湖南郴州·期末）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當a>0，b>0時，∵a?b2=a?2ab例如：當a>0時，求a+4解∵a>0∴a+4a≥2a?16a又∵∴a+4請利用上述結(jié)論解決以下問題：(1)當x>0時，當且僅當x=__________時，x+1(2)當m>0時，求m2(3)請解答以下問題：如圖所示，某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成，設垂直于墻的一邊長為x米．若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？專題2.6二次根式的加減【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1同類二次根式】 1【題型2分母有理化】 3【題型3二次根式的加減】 5【題型4比較二次根式的大小】 7【題型5二次根式的混合運算】 10【題型6已知字母的取值對二次根式進行化簡求值】 13【題型7已知條件式對二次根式進行化簡求值】 15【題型8二次根式混合運算的實際應用】 18【題型9二次根式中的新定義類問題】 21【題型10二次根式中的閱讀理解類問題】 25知識點1：同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.特別說明：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.【題型1同類二次根式】【例1】（23-24八年級·上海浦東新·階段練習）下列各組二次根式中，為同類二次根式的是（

）A．136和32 B．C．12和13 D．3和【答案】C【分析】本題主要考查了同類二次根式．將二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)同類二次根式的定義逐項判斷即可解答．【詳解】解：A、136與B、a與2a的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項錯誤；C、12=23與D、3與9=3故選：D．【變式1-1】（23-24八年級·江蘇無錫·期末）若最簡二次根式2a?3與12是同類二次根式，則a=．【答案】3【分析】本題考查了同類二次根式和最簡二次根式．先求出12=23，再根據(jù)同類二次根式的定義得出【詳解】解：12=2∵最簡二次根式2a?3與12是同類二次根式，∴2a?3=3，∴a=3．故答案為：3．【變式1-2】（23-24八年級·安徽滁州·期末）下列各式中，不能與12合并的是（

A．2 B．8 C．118 D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的合并，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡方法，以及同類二次根式才可以合并．將各選項化為最簡二次根式即可解答．【詳解】解：12A、2與12B、8=22與C、118=2D、0.2=15故選：D．【變式1-3】（23-24八年級·北京海淀·期末）已知最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11是同類二次根式，求x【答案】±5【分析】根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義列出關(guān)于x、y的方程組，解方程組得出x、y的值，再求出x2【詳解】解：∵最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11∴3x?10=22x+y?5=x?3y+11解得：x=4y=3∴x2∴x2+y【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，平方根的定義，最簡二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同類二次根式的定義，準確進行計算．知識點2：分母有理化①分母有理化是指把分母中的根號化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式；②兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．【題型2分母有理化】【例2】（23-24八年級·河北衡水·期末）已知a=45?3，b=5+3，則aA．互為相反數(shù) B．相等 C．互為倒數(shù) D．互為負倒數(shù)【答案】A【分析】本題考查了分母有理化和相反數(shù)，根據(jù)分母有理化的方法求得a的值，即可求解，熟練掌握相反數(shù)的定義和分母有理化的方法，進而求得a的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：a=4∴a+b=0，∴a與b互為相反數(shù)，故選：A．【變式2-1】（23-24八年級·上?！て谀┯嬎悖?1?2【答案】?1【分析】本題考查了分母有理化．根據(jù)分母有理化的法則計算即可求解．【詳解】解：1=?=?1?=?1．故答案為：?1．【變式2-2】（23-24八年級·上海浦東新·期末）2a?1的一個有理化因式是（A．2a?1 B．2a?1 C．2【答案】C【分析】本題主要考查了有理化因式的定義，平方差公式，根據(jù)有理化因式的定義即可解答．【詳解】解：∵2a∴2a?1的一個有理化因式是故選：D．【變式2-3】（23-24八年級·江西贛州·期末）觀察下列各式及其驗證過程．11+2=驗證：11+12(1)按照上面兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想：13+4(2)通過上述探究，猜想1n+n+1=______（(3)計算：1【答案】(1)2?3，(2)n+1?(3)2023【分析】本題考查了分母有理化，根據(jù)題中給的例子找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題中給的例子即可得出答案；（2）根據(jù)題中給的例子找出規(guī)律即可得出答案；（3）根據(jù)（2）中規(guī)律計算化簡即可；【詳解】（1）1316故答案為：2?3，7（2）1n驗證：1n故答案為：n+1?（3）1=2==2023．知識點3：二次根式的加減將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.特別說明：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如【題型3二次根式的加減】【例3】（23-24八年級·山西呂梁·期末）計算(1)3(2)16【答案】(1)?8(2)1?【分析】本題主要考查了乘方和開方，二次根式的加減，對于（1），根據(jù)3?27=?3，81=9對于（2），先開方，再去括號，然后根據(jù)二次根式的加減法法則計算．【詳解】（1）原式=?3?9+4=?8；（2）原式==1?6【變式3-1】（23-24八年級·山東聊城·期末）計算313?2【答案】?4【分析】本題考查了二次根式的加減法運算，正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．先將二次根式化簡，然后計算加減法即可．【詳解】解：3=3×==?43故答案為：?43【變式3-2】（23-24八年級·吉林長春·開學考試）212?6【答案】14【分析】先根據(jù)性質(zhì)化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】原式=43=143故答案為：143【點睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)和加減運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用二次根式性質(zhì)的化簡及其應用．【變式3-3】（23-24八年級·全國·單元測試）計算：a?ba【答案】2【分析】分母不變，分子作減法后，根據(jù)b=b?b【詳解】原式=【點睛】本題考查分式的化簡，利用b=b【題型4比較二次根式的大小】【例4】（23-24八年級·河南省直轄縣級單位·期末）在二次根式的比較大小中，有時候用“平方法”會取得很好的效果，例如，比較a=23和b=32的大小，我們可以把a和b分別平方，∵a2=12，請利用“平方法”解決下面問題：(1)比較c=36，d=45大小，cd（填寫>，<或者(2)猜想m=25+13【答案】(1)<(2)m>n，證明見解析【分析】本題考查二次根式比較大小，二次根式的性質(zhì)和運算，完全平方公式，掌握平方法比較大小，是解題的關(guān)鍵：（1）利用平方法比較大小即可；（2）利用平方法進行比較即可．【詳解】（1）解：∵c=36，d=4∴c2=54，∵c2∴c<d；故答案為：<；（2）解：猜想m>n，理由如下：∵m=25+13∴m2=2∵65>∴m2∴m>n．【變式4-1】（23-24八年級·山東青島·期末）觀察下列一組等式，然后解答問題：(2(3(4(5(1)觀察以上規(guī)律，請寫出第n個等式：___________（n為正整數(shù)）；(2)利用上面的規(guī)律，計算：12(3)請利用上面的規(guī)律，比較99?98與【答案】(1)n+1(2)2023(3)99【分析】（1）根據(jù)題干，觀察規(guī)律，即可得到第n個等式；（2）先將各項分母有理化，在進行有理數(shù)計算即可得到答案；（3）根據(jù)平方差公式，可化成分子相同的數(shù)，根據(jù)相同的分子，分母越大的數(shù)越小進行比較，即可得到答案．【詳解】（1）解：通過觀察可知，n+1+故答案為：n+1+（2）解：原式==2==2023（3）解：∵99?98198∴99【點睛】本題考查了二次根式混合運算和大小比較，主要運用分母有理化和分子有理化，熟練掌握相關(guān)的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（23-24八年級·河北石家莊·期末）5?2、2+52、2+A．2+2>2+5C．2+52>5?【答案】D【分析】根據(jù)作差法，分別比較5?2與2+2，2+2【詳解】∵(5?2)-(2+2)=3-22=3-8=9-∴5?2∵(2+2)-(2+52)=2-52=22∴2+2∴5?2故選D.【點睛】本題主要考查比較二次根式的大小，掌握作差法比較大小，是解題的關(guān)鍵.【變式4-3】（23-24八年級·山西呂梁·期中）閱讀下列解題過程，回答問題：111(1)化簡：19+8(2)利用上面的規(guī)律，比較13?12______14?13（填“>”或“【答案】(1)3?22，(2)>【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式比較大?。海?）仿照題意求解即可；（2）根據(jù)分母有理化的方法得到113+12=13?12，1【詳解】（1）解：1===3?221===91故答案為：3?22，91（2）解：113114∵14+∴114∴13?故答案為：>．【題型5二次根式的混合運算】【例5】（23-24八年級·河南三門峽·期末）下面是小美同學進行二次根式運算的過程，請認真閱讀，完成相應的任務．1=1=3=53任務：(1)原式中的二次根式18、24、12、2、3(2)第______步開始出錯，錯誤的原因是______；(3)第一步中，去括號的依據(jù)是______；(4)請寫出正確的計算過程．【答案】(1)2、3(2)一，去括號時，括號前是負號，沒有改變括號內(nèi)符號；(3)乘法分配律(4)見解析【分析】本題考查了最簡二次根式的定義、去括號法則，二次根式的混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)最簡二次根式的定義逐一判斷即可；（2）根據(jù)去括號法則分析即可；（3）根據(jù)去括號的依據(jù)解答即可；（4）先計算二次根式乘法、去括號，再合并同類項即可．【詳解】（1）解：1824=212=22、3是最簡二次根式，故答案為：2、3（2）解：第一步開始出錯，錯誤的原因是：去括號時，括號前是負號，沒有改變括號內(nèi)符號；故答案為：一，去括號時，括號前是負號，沒有改變括號內(nèi)符號；（3）解：第一步中，去括號的依據(jù)是乘法分配律，故答案為：乘法分配律；（4）解：1==3=3【變式5-1】（23-24八年級·北京房山·期末）計算52?【答案】22【分析】本題考查了二次根式的混合運算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運算法則，平方差公式分別運算，最后相減即可得到結(jié)果，掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式=5?1故答案為：22．【變式5-2】（23-24八年級·湖北十堰·期末）計算3432?A．3+2 B．2+3 C．2【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，先化簡二次根式，計算乘法，再算二次根式加減即可，靈活運用二次根式的性質(zhì)及運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式=3=32=2故選：A．【變式5-3】（23-24八年級·江西宜春·期末）（1）計算：2?32+（2）化簡：2ab【答案】（1）?1；（2）4a【分析】本題考查了二次根式的混合運算，二次根式的性質(zhì)，平方差公式，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)平方差公式展開，再計算加減法即可；（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再將除法化為計算即可．【詳解】解：（1）2?==4?3?2=?1；（2）2=2=2=4a．【題型6已知字母的取值對二次根式進行化簡求值】【例6】（23-24八年級·山東濱州·期中）先化簡，再求值：x6?x+【答案】6x?5；【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，二次根式的化簡求值，熟知二次根式的相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則和平方差公式去括號，然后合并同類二次根式化簡，最后代值計算即可．【詳解】解：x==6x===8=6原式=6【變式6-1】（23-24八年級·湖北武漢·期末）設x=2-12+1【答案】31【分析】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解答本題的關(guān)鍵，整式的乘法的運算公式及運算法則對二次根式的運算同樣適應．先把x=2?12+1，y=2【詳解】解：∵x=2?12∴x=====32?1=31．【變式6-2】（23-24八年級·湖南岳陽·期末）若a=5+2，(1)a2(2)求a3【答案】(1)8(2)18【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值：（1）先求出a+b=25，a?b=4，再根據(jù)a（2）先求出a+b=25，ab=1，再把所求式子變形為ab【詳解】（1）解：∵a=5+2，∴a+b=5+2+5∴a==2=85（2）解：∵a=5+2，∴a+b=5+2+∴a=ab=ab=1×=1×=18．【變式6-3】（23-24八年級·河北衡水·階段練習）已知x=2?3(1)求x+y和xy的值；(2)求x2(3)若x的小數(shù)部分是a，y的整數(shù)部分是b，求ax?by的值．【答案】(1)x+y=4，xy=1(2)11(3)1?7【分析】本題考查了二次根式的混合運算、利用完全平方公式進行計算、無理數(shù)的估算，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）代入x=2?3，y=2+3即可求出（2）將原式變形為x+y2（3）先估算出1<3<2，從而得出a=2?3【詳解】（1）解：∵x=2?3∴x+y=2?3+2+3（2）解：由（1）得：x+y=4，xy=1，∴（3）解：∵1<3<4，∴1<3∴?2<?3∴0<2?3∵x的小數(shù)部分是a，∴a=2?3∵3<2+3<4，y的整數(shù)部分是∴b=3，∴ax?by=2?【題型7已知條件式對二次根式進行化簡求值】【例7】（23-24八年級·浙江杭州·期末）已知：y＝x?4+4?x＋5，化簡并求【答案】2x【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到x=4，則y=5，再利用約分得到原式=1x+y+1x?【詳解】解：∵x-4≥0且4-x≥0，∴x=4，∴y=5，x=1=x?=2x=24=-4．【點睛】本題考查了考查了二次根式有意義的條件、二次根式的化簡求值，做題的關(guān)鍵是要先化簡再代入求值．【變式7-1】（23-24八年級·河南許昌·期末）已知x+1x【答案】2【分析】把已知等式兩邊平方求出x+1【詳解】解：把x+1x=3兩邊平方得：則原式＝(x+1故答案為27【點睛】此題考查了分式的化簡求值，以及二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24八年級·上海寶山·階段練習）已知實數(shù)a、b滿足aa?b【答案】19【分析】首先化簡已知條件的等式，得出a=5【詳解】解：由已知條件，等式可化為a?a?4a2?4解得a=5b，將其代入，即得原式=25b+10b+3b50b+5b+b故答案為1928【點睛】此題主要考查二次根式的化簡求值，熟練運用即可解題.【變式7-3】（23-24八年級·山東威?！て谥校┮阎猘+b=?8，ab=12，求bb【答案】?20【分析】根據(jù)題意可判斷a和b都是負數(shù)，然后二次根式的乘、除法公式和合并同類二次根式法則化簡并求值即可．【詳解】解：∵a+b=?8，ab=12，∴a和b均為負數(shù)，ab=b=b========【點睛】此題考查的是二次根式的化簡和完全平方公式的變形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同類二次根式法則是解決此題的關(guān)鍵．【題型8二次根式混合運算的實際應用】【例8】（23-24八年級·江蘇南通·期中）某小區(qū)有一塊長方形綠地ABCD，長BC為128米，寬AB為50米，現(xiàn)在要在長方形綠地中修建兩個形狀大小相同的小長方形花壇（即圖中陰影部分），每個小長方形花壇的長為13+1米，寬為13(1)求長方形綠地ABCD的周長；(2)除花壇外，其他地方全修建成通道，通道需鋪上造價為55元/平方米的地磚，則購買地磚需要多少錢？【答案】(1)262(2)3080元【分析】此題考查了二次根式的四則混合運算的應用，讀懂題意，熟練掌握運算法則和順序是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)長方形的周長公式計算即可；（2）先利用長方形的綠地面積減去花壇的面積，再用化簡結(jié)果乘以地磚的單價即可．【詳解】（1）解：2×(128∴長方形ABCD的周長為262（2）解：128×則56×55=3080(元)，∴要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費3080元．【變式8-1】（23-24八年級·安徽合肥·期末）小明同學每次回家進入電梯間時，總能看見如圖所示的提示“高空拋物害人害己”．為進一步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物下落的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t=2?g（不考慮風速的影響，g≈10m/s

(1)已知小明家住20層，每層的高度近似為3m，假如從小明家墜落一個物品，求該物品落地的時間；（結(jié)果保留根號）(2)小明查閱資料得知，傷害無防護人體只需要64焦的動能，高空拋物動能（焦）=10×物體質(zhì)量（千克）×高度（米），某質(zhì)量為0.1千克的玩具在高空被拋出后，最少經(jīng)過幾秒落地就可能會傷害到樓下的行人？【答案】(1)23(2)3.5776秒【分析】（1）根據(jù)題意可先求得?=60m，根據(jù)t=（2）先根據(jù)高空拋物動能（焦）=10×物體質(zhì)量（千克）×高度（米），求出該玩具最低的下落高度，再由t=2?【詳解】（1）解：∵小明家住20層，每層的高度近似為3m，∴?=20×3=60m∴t=2?∴該物品落地的時間為23（2）該玩具最低的下落高度為?=64∴t=2?∴最少經(jīng)過3.5776秒落地就可能會傷害到樓下的行人．【點睛】本題主要考查二次根式的應用，讀懂題意，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24八年級·河南洛陽·期中）現(xiàn)有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖①所示的方式，在長方形木板①上截出兩個面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板(1)圖①截出的正方形木板A的邊長為_______dm，B的邊長為_______dm；(2)求圖①中陰影部分的面積；(3)乙木工想采用如圖②所示的方式，在長方形木板②上截出面積為25dm【答案】(1)2(2)6(3)不能截出，見解析【分析】本題主要考查了二次根式混合運算的實際應用，（1）根據(jù)正方形的面積，即可求出邊長；（2）先求出木板B的邊長，再得出陰影部分的長和寬，根據(jù)長方形面積公式即可求解；（3）求出兩個面積為25dm【詳解】（1）解：∵正方形木板A的面積為12dm2，正方形木板B的面積為∴正方形木板A的邊長為12=23dm，正方形木板B故答案為：23，3（2）解：∵正方形木板A的邊長為23dm，正方形木板B的邊長為∴陰影部分寬為3dm∴陰影部分面積為23（3）解：不能截出；理由：25=5，2×5=10∴兩個正方形木板放在一起的寬為5dm，長為10由（2）可得長方形木板的長為53dm，寬為∵33>5，但∴不能截出．【變式8-3】（23-24八年級·北京海淀·期末）團扇是中國傳統(tǒng)工藝品，代表著團圓友善、吉祥如意．某社團組織學生制作團扇，扇面有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均300平方厘米．為了提升團扇的耐用性和美觀度，需對扇面邊緣用緞帶進行包邊處理，如圖所示．(1)圓形團扇的半徑為_____________厘米，正方形團扇的邊長為__________厘米；(2)請你通過計算說明哪種形狀的扇面所用的包邊長度更短．【答案】(1)103π(2)圓形團扇所用的包邊長度更短【分析】本題考查了二次根式的應用、實數(shù)的比較大小，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓和正方形的面積公式計算即可得出答案；（2）分別求出圓形團扇的周長和正方形團扇的周長，比較即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：圓形團扇的半徑為300π=10（2）解：∵圓形團扇半徑為103ππ∴圓形團扇的周長為203π厘米，正方形團扇的周長為∵403=203×∴203π∴圓形團扇所用的包邊長度更短．【題型9二次根式中的新定義類問題】【例9】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）對于任意兩個非零實數(shù)a、b，定義運算?如下：a?b如：2?5=25，根據(jù)上述定義，解決下列問題：(1)6?3=______，1?3(2)若x?1?x+1=2【答案】(1)2，?2(2)x=?【分析】本題考查定義新運算，二次根式的運算，解分式方程：（1）根據(jù)新運算的法則，列出算式進行計算即可；（2）分x?1>0和x?1<0，列出方程進行求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：6?∵1?3∴1?3?1+故答案為：2，?2；（2）當x?1>0，即：x>1時，則：x?1x+1=2，解得：經(jīng)檢驗，x=?3是原方程的解，∵x>1，∴x=?3（舍去）；當x?1<0，即：x<1時，則：x?1x+1∴x=?3或x=∴x=?3【變式9-1】（23-24八年級·全國·專題練習）定義：若兩個二次根式a，b滿足a?b=c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的因子二次根式．(1)若a與2是關(guān)于4的因子二次根式，則a=；(2)若3?1與m?3是關(guān)于?2的因子二次根式，求【答案】(1)2(2)?1【分析】（1）根據(jù)因子二次根式的定義進行計算即可；（2）根據(jù)因子二次根式的定義得到3?1【詳解】（1）解：由題意，得：2a=4∴a=22故答案為：2（2）由題意，得：3?1∴m?3∴m=?1．【點睛】本題考查二次根式的計算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24八年級·浙江杭州·期末）定義：若兩個二次根式m，n滿足m?n=p，且p是有理數(shù)．則稱m與n是關(guān)于p的美好二次根式．(1)若m與2是關(guān)于6的美好二次根式，求m的值：(2)若1?3與4+3m是關(guān)于n的美好二次根式，求m【答案】(1)m=32(2)n=?8，m=4．【分析】本題考查了二次根式的新定義運算，掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）利用二次根式的新定義運算解答即可求解（2）利用二次根式的新定義運算解答即可求解【詳解】（1）解：由題意可得，m·2∴m=32（2）解：由題意可得，1?3整理得，3?33m?3m=4∴m=4，?3m=n?4∴m=4，∴n=?8．【變式9-3】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）定義：我們將a+b與因為a+例如：15?x+3?x15?x?3?x(1)7?2的“對偶式”是________，(2)已知21?x?5?x=2①21?x?②利用“對偶式”的相關(guān)知識，求方程21?x?5?x=2【答案】(1)7+2(2)①8；②x=?4【分析】本題考查新定義，平方差公式，二次根式的混合運算．（1）根據(jù)“對偶式”的定義即可解答．（2）①根據(jù)平方差公式求得21?x?5?x21?x②由21?x?5?x=2，21?x+5?x【詳解】（1）解：由題意可得，7?2的“對偶式”是7+2，故答案為：7+2（2）解：①21?x?5?x的“對偶式”是而21?x?∵21?x?∴21?x+故答案為：8②∵21?x?5?x=2∴21?x=5，5?x解得x=?4．【題型10二次根式中的閱讀理解類問題】【例10】（23-24八年級·湖北十堰·期末）閱讀材料，學解問題：小聰在學習二次根式時，通過計算2+12=3+22，他就想3+22化簡的結(jié)果應為2+1，即設a+2b=(m+n)2（其中則有a+2b∴m+n=a①，mn=b②，①+②得∴mn+m+n+1=a+b+1，因式分解得，m+1n+1∵a、b、m、n均為整數(shù)，∴m+1和n+1均為a+b+1的因數(shù)，由此可以得到方程組驗證求出m，n的值，從而化簡a±2b(1)請你根據(jù)小聰?shù)姆椒ㄌ剿骰??215當設8?215=(m?n)2（m、∴②mn+m+n+1=______，m+1n+1∴③m=______，n=______，（經(jīng)驗證，