電路基礎(chǔ)（微課版）課件 第6章 耦合電感和諧振電路

第6章耦合電感和諧振電路第6章耦合電感和諧振電路本章分析正弦交流電路中的互感和諧振現(xiàn)象。首先介紹耦合電感及其伏安特性、含有耦合電感的電路分析方法、去耦等效變換以及空心變壓器的概念和分析方法；接著分別介紹串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的原理和主要特性。2第6章耦合電感和諧振電路6.1耦合電感6.2含有耦合電感的電路分析6.3耦合電感的去耦等效變換6.4空芯變壓器6.5諧振電路36.1耦合電感實(shí)際電路中，常常遇到一些兩線圈相鄰的現(xiàn)象。如收音機(jī)、電視機(jī)中使用的中低頻變壓器、振蕩線圈等。當(dāng)任意一個(gè)線圈中通過電流時(shí)，必然會(huì)在其自身線圈中產(chǎn)生自感磁鏈，同時(shí)自感磁鏈的一部分也必然會(huì)穿過相鄰線圈。即穿過每個(gè)線圈的磁鏈不僅與線圈本身電流有關(guān)，也與相鄰線圈的電流有關(guān)。根據(jù)兩個(gè)線圈的繞向、電流參考方向和兩線圈的相對(duì)位置，按右手螺旋法則可判定電流產(chǎn)生的磁鏈方向和兩線圈的相互交鏈情況。這種載流線圈之間磁鏈相互作用的物理現(xiàn)象稱為磁耦合或互感現(xiàn)象。具有磁耦合的線圈稱為耦合電感線圈或互感線圈。46.1耦合電感如圖所示的耦合線圈56.1.1

互感與自感系數(shù)的定義類似，可以定義為耦合線圈的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感。互感的單位與自感相同，在國(guó)際制單位中也是亨利（H）。6.1耦合電感耦合線圈間的互感在無鐵芯的情況下是一個(gè)與各線圈所通過的電流及其變動(dòng)率無關(guān)的常量，而只與兩線圈的結(jié)構(gòu)、尺寸、匝數(shù)、相互位置和周圍介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)，這種情況下的耦合線圈，稱為線性耦合電感。鐵磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率不是常量，鐵芯耦合電感的磁鏈?zhǔn)请娏鞯姆蔷€性函數(shù)，其互感系數(shù)不是常量，構(gòu)成非線性耦合電感。本書只討論線性耦合電感。66.1.1

互感6.1耦合電感互感的量值反映了一個(gè)線圈在另一個(gè)線圈產(chǎn)生磁鏈的能力，通常兩個(gè)耦合線圈的電流產(chǎn)生的磁通只有部分磁通相互交鏈，而彼此不交鏈的那一部分磁通稱為漏磁通。為了表征兩個(gè)線圈耦合的緊密程度，把兩個(gè)線圈互感磁鏈與自感磁鏈的比值的幾何平均值定義為耦合系數(shù)，即76.1.1

互感6.1耦合電感由于86.1.1

互感可得耦合系數(shù)k

的大小與線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)。如果兩個(gè)線圈靠得很緊或緊密的繞在一起，則k

值可以接近于1，反之，如果它們相隔很遠(yuǎn)，或者它們的軸線互相垂直，則k

值就很小，甚至可能接近于零。6.1耦合電感如果耦合電感每個(gè)電感線圈兩端電壓的參考方向與磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則，此時(shí)電感線圈的端電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，有96.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系在耦合線圈相對(duì)位置、繞向和電流的流入方向確定的情況下，上式中互感電壓的極性可確定。在實(shí)際應(yīng)用中，線圈往往是密封的，看不到實(shí)際繞向，互感電壓的極性難以確定，而且在電路圖中繪出繞向也不方便。為此，引入同名端的概念。6.1耦合電感如圖所示為耦合線圈的電路模型，其中“?”表示同名端。耦合電感的同名端可通過實(shí)驗(yàn)方法確定：在耦合電感的一個(gè)線圈（如L1）的一端（如a），輸入正值且為增長(zhǎng)的電流（如

i1），在另一個(gè)線圈（如L2）將產(chǎn)生互感電壓，將電流流入端和互感電壓的高電位端（如c）做相同的標(biāo)記，通常用“?”表示，標(biāo)有標(biāo)記的一對(duì)端子稱為同名端，另一對(duì)沒有標(biāo)記的也為同名端；有標(biāo)記和沒有標(biāo)記的一對(duì)端子稱為異名端。106.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系6.1耦合電感利用同名端可判定耦合電感互感電壓的參考極性，方法如下：當(dāng)電流從線圈的同名端流入時(shí)，在另一線圈上所產(chǎn)生的互感電壓的參考極性由同名端指向另一端（即互感電壓的“+”極性端與同名端一致）?；ジ须妷旱臉O性確定后，耦合電感的伏安關(guān)系式便可列出。116.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系6.1耦合電感如圖所示耦合電感的伏安關(guān)系分別為：126.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系6.1耦合電感13例題

如圖所示的耦合電感，寫出其端口的伏安關(guān)系式。6.1耦合電感14解從圖中可知，i1

與

u1

為關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓為正；i2從帶“?”的同名端流入，在

L1上產(chǎn)生的互感電壓“+”極性端與同名端一致，即下“+”上“-”，與

u1極性相反，互感電壓為負(fù)，因此有i2

與

u2為非關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓為負(fù)；i1從不帶“?”的同名端流入，在

L2上產(chǎn)生的互感電壓“+”極性端與同名端不一致，即上“+”下“-”，與

u2極性相同，互感電壓為正，因此有6.1耦合電感在計(jì)算含有耦合電感的正弦交流電路時(shí)，仍可采用相量法，基爾霍夫電流定律的形式仍然不變，但在基爾霍夫電壓定律的表達(dá)式中，應(yīng)正確計(jì)入由于耦合電感引起的互感電壓。如果通過耦合線圈的兩個(gè)電流為同頻率的正弦電流，由它們產(chǎn)生的互感電壓也是同頻率的正弦量。當(dāng)線圈電流和由它引起的互感電壓的參考方向?qū)τ谕耸且恢拢赐擞邢嗤膮⒖茧妷簶O性）時(shí)，有156.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系6.1耦合電感當(dāng)線圈電流和由它引起的互感電壓的參考方向?qū)τ谕瞬灰恢拢赐擞邢喾吹膮⒖茧妷簶O性）時(shí)，有166.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系上述式子中稱為互感感抗，單位是歐姆。6.2含有耦合電感的電路分析兩個(gè)耦合電感線圈的串聯(lián)有順向串聯(lián)和反向串聯(lián)兩種接法。順向串聯(lián)是把兩個(gè)線圈的異名端相連，電流從兩個(gè)線圈的同名端流入，兩個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互增強(qiáng)，如圖（a）所示。反相串聯(lián)是把兩個(gè)線圈的同名端相連，電流從兩個(gè)線圈的異名端流入，兩個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互削弱，如圖（b）所示。176.2.1

耦合電感的串聯(lián)6.2含有耦合電感的電路分析根據(jù)基爾霍夫定律可以寫出兩種串聯(lián)情況下的電壓表達(dá)式分別為：186.2.1

耦合電感的串聯(lián)因此耦合電感串聯(lián)時(shí)的兩種情況的等效阻抗可以統(tǒng)一寫為6.2含有耦合電感的電路分析式中稱為串聯(lián)等效電感，順向串聯(lián)時(shí)取正號(hào)，等效電感增加，反向串聯(lián)取負(fù)號(hào)時(shí)，等效電感減少。利用這個(gè)結(jié)論，也可以用實(shí)驗(yàn)方法判斷耦合電感的同名端。應(yīng)該注意，反向串聯(lián)有削弱電感的作用，互感的這種作用稱為互感的“容性”效應(yīng)。在一定的條件下，可能有一個(gè)線圈的自感小于互感，則該線圈呈容性反應(yīng)，即其端電壓滯后于電流。但串聯(lián)后的等效電感必然大于或等于零，即196.2.1

耦合電感的串聯(lián)6.2含有耦合電感的電路分析20例題

兩個(gè)耦合電感串聯(lián)后接到220V的工頻正弦電壓電源上，測(cè)得順向串聯(lián)時(shí)的電流為2.2A，功率為242W，反相串聯(lián)時(shí)的電流為4A。求互感系數(shù)。解順向串聯(lián)的等效阻抗為根據(jù)已知條件，順向串聯(lián)時(shí)有6.2含有耦合電感的電路分析21因此可得順向串聯(lián)的等效電感反相串聯(lián)的等效阻抗為可得反相串聯(lián)的等效電感6.2含有耦合電感的電路分析22所以，可得互感系數(shù)6.2含有耦合電感的電路分析兩個(gè)耦合電感線圈的并聯(lián)也有兩種接法，如圖（a）電路為同側(cè)并聯(lián)，即同名端在同一側(cè)。圖（b）電路為異側(cè)并聯(lián)，即異名端在同一側(cè)。236.2.2

耦合電感的并聯(lián)6.2含有耦合電感的電路分析對(duì)于并聯(lián)的兩條支路分別應(yīng)用基爾霍夫電壓定律可得246.2.2

耦合電感的并聯(lián)上述兩項(xiàng)中互感電壓項(xiàng)前面的符號(hào)，同側(cè)并聯(lián)取“+”，異側(cè)并聯(lián)取“-”。求解上列兩式得到6.2含有耦合電感的電路分析可得端口總電流256.2.2

耦合電感的并聯(lián)因此，端口等效阻抗為在

的特殊情況下，有6.2含有耦合電感的電路分析此時(shí)電路的等效電感為266.2.2

耦合電感的并聯(lián)耦合電感同側(cè)并聯(lián)時(shí)，磁場(chǎng)增強(qiáng)，等效電感增大，分母取負(fù)號(hào)；耦合電感異側(cè)并聯(lián)時(shí)，磁場(chǎng)削弱，等效電感減小，分母取正號(hào)。6.3耦合電感的去耦等效變換27在分析求解含有耦合電感的電路時(shí)，耦合電感的互感作用可用受控源等效。對(duì)于有一個(gè)公共端的耦合電感，也可用三個(gè)沒有耦合作用的電感元件等效。6.3耦合電感的去耦等效變換28耦合電感的受控源等效。6.3耦合電感的去耦等效變換29T型耦合電感的去耦等效。6.3耦合電感的去耦等效變換30關(guān)于耦合電感的去耦等效變換需要注意以下幾點(diǎn)：（1）去耦等效電路只適用于線性耦合電感元件。如果是非線性耦合電感元件，去耦等效電路不適用。（2）去耦等效電路只是對(duì)耦合元件端口而言等效，它只能用來分析計(jì)算耦合電感元件端口的電流和電壓。（3）T型電路去耦時(shí)，耦合電感元件兩個(gè)互感支路應(yīng)有公共節(jié)點(diǎn)。（4）在去耦等效電路的參數(shù)中出現(xiàn)-M，它本身沒有實(shí)際的物理意義。6.3耦合電感的去耦等效變換31例題

電路如圖（a）所示，已知求電流和電容上的電壓。6.3耦合電感的去耦等效變換32解首先對(duì)圖（a）中的T形耦合電感進(jìn)行去耦等效，得到圖（b），計(jì)算輸入阻抗為代入已知數(shù)值得因此可得電流6.3耦合電感的去耦等效變換33以及所以可得6.4空芯變壓器34變壓器是利用互感來實(shí)現(xiàn)從一個(gè)電路向另一個(gè)電路傳輸能量或信號(hào)的一種器件，空芯變壓器是由繞在非鐵磁材料制成的芯子上并且具有互感的線圈組成的，它不會(huì)產(chǎn)生由鐵芯引起的能量損耗，廣泛應(yīng)用在高頻電路中，也應(yīng)用在測(cè)量設(shè)備中。分析空芯變壓器時(shí)可以采用與耦合線圈相同的電路模型。如圖所示是空芯變壓器的電路模型圖，與電源相聯(lián)的一邊稱為原邊(或原繞組)，也叫初級(jí)線圈；與負(fù)載相聯(lián)的一邊稱為副邊(或副繞組)，也叫次級(jí)線圈。6.4空芯變壓器35根據(jù)圖示的電流、電壓參考方向和同名端，可寫出下列方程整理后得其中6.4空芯變壓器36可解得其中可得到空芯變壓器的等效電路6.4空芯變壓器37例題下圖所示變壓器電路中，已知求變壓器的耦合系數(shù)以及原邊和副邊的電流。6.4空芯變壓器38解根據(jù)定義得變壓器的耦合系數(shù)可求得原邊和副邊電流分別為6.5諧振電路39在具有電感和電容元件的電路中，電路兩端的電壓與其中的電流一般是不同相的。如果調(diào)節(jié)電路的參數(shù)或電源的頻率而使電路呈電阻性，即電路的電壓與電流同相，把電路的這種現(xiàn)象稱為諧振現(xiàn)象，簡(jiǎn)稱諧振。諧振現(xiàn)象的物理本質(zhì)是電路中無功功率完全補(bǔ)償，自給自足，無需與外界交換能量。諧振現(xiàn)象在電工和無線電技術(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用，而在電力輸配電系統(tǒng)中發(fā)生諧振時(shí)又可能破壞系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)，必須加以避免。因此，研究諧振的目的就是要充分認(rèn)識(shí)這種現(xiàn)象的客觀規(guī)律。按照發(fā)生諧振的電路結(jié)構(gòu)，諧振現(xiàn)象可以分串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振。6.5諧振電路406.5.1串聯(lián)諧振串聯(lián)諧振電路由電阻、電感和電容串聯(lián)而成，如圖所示。根據(jù)定義，諧振發(fā)生的條件為電路呈現(xiàn)純電阻性，即發(fā)生諧振的角頻率稱為諧振角頻率6.5諧振電路416.5.1串聯(lián)諧振對(duì)于給定的電路，為了實(shí)現(xiàn)諧振，可固定電路參數(shù)（L或C），改變電源頻率；也可以固定電源頻率，改變電感或電容參數(shù)。調(diào)節(jié)而達(dá)到諧振的過程稱為調(diào)諧。對(duì)于任一給定的RLC串聯(lián)電路，總有一個(gè)對(duì)應(yīng)的諧振頻率，它反映了電路的一種固有性質(zhì)。因此又稱為電路的固有頻率，它是由電路自身參數(shù)確定的。6.5諧振電路426.5.1串聯(lián)諧振當(dāng)RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，電路具有以下特性。（1）電抗為零，阻抗最小且為一純電阻，電路中的電流最大，并且與外加電壓同相位，即（2）串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，盡管電抗為零，但感抗和容抗都不為零，這時(shí)的感抗或容抗稱為特性阻抗，即6.5諧振電路436.5.1串聯(lián)諧振（3）串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，有所以有即串聯(lián)諧振時(shí)電感與電容上的電壓的有效值相等，相位相反，相互完全補(bǔ)償，因此串聯(lián)諧振又稱為電壓諧振。6.5諧振電路446.5.1串聯(lián)諧振定義為諧振電路的感抗或容抗與電路電阻之比，稱為串聯(lián)電路的品質(zhì)因數(shù)，工程上簡(jiǎn)稱Q

值。它是一個(gè)僅與電路參數(shù)有關(guān)而無量綱的常數(shù)，用來表征諧振電路的性能，還可表示為Q

越大，或的值就越大于電源電壓。在收音機(jī)中利用串聯(lián)諧振電路來選擇電臺(tái)信號(hào)，就是應(yīng)用了這一原理。在電子系統(tǒng)中，Q

值一般為10~500。但是在電力系統(tǒng)中，一般要避免發(fā)生串聯(lián)諧振現(xiàn)象，避免出現(xiàn)過高的電壓破壞電氣設(shè)備的絕緣性。6.5諧振電路456.5.1串聯(lián)諧振（4）串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，由于電抗為零，阻抗角為零，電路的功率因數(shù)=1，因此有此時(shí)，電路的有功功率即為電阻元件消耗的功率，電路的無功功率為零，即電路的磁場(chǎng)儲(chǔ)能和電場(chǎng)儲(chǔ)能之間的相互轉(zhuǎn)換僅在電感和電容之間進(jìn)行，而與電源沒有儲(chǔ)能交換。6.5諧振電路466.5.1串聯(lián)諧振在RLC串聯(lián)電路中的感抗、容抗、電抗、阻抗模和阻抗角等表示電路性質(zhì)的量均是電源角頻率的函數(shù)，均可用隨角頻率變化的曲線來表示，這些量隨角頻率變化的曲線叫頻率特性曲線，如圖所示。6.5諧振電路476.5.1串聯(lián)諧振當(dāng)電源電壓一定時(shí)，電路的電流有效值為從圖中可知，當(dāng)

時(shí)，電流達(dá)到最大值，即諧振電流，越偏離諧振點(diǎn)電抗越大，電流也就越小。這表明，串聯(lián)諧振電路具有選擇出最接近諧振頻率的電流的能力，這種特性稱為電路的選擇性。6.5諧振電路486.5.1串聯(lián)諧振工程上常將諧振電流的0.707倍對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率點(diǎn)之間的寬度稱為帶寬，又稱為通頻帶，它規(guī)定了諧振電路容許通過信號(hào)的頻率范圍從圖中可知，當(dāng)

時(shí)，電流達(dá)到最大值，即諧振電流，越偏離諧振點(diǎn)電抗越大，電流也就越小。這表明，串聯(lián)諧振電路具有選擇出最接近諧振頻率的電流的能力，這種特性稱為電路的選擇性。6.5諧振電路496.5.1串聯(lián)諧振根據(jù)定義，在和處，有整理后得6.5諧振電路506.5.1串聯(lián)諧振可解得因此可得通頻帶或者6.5諧振電路516.5.1串聯(lián)諧振當(dāng)

Q>10的情況下，可以認(rèn)為諧振頻率位于通頻帶的中心點(diǎn)，則截止頻率的計(jì)算可以簡(jiǎn)化為6.5諧振電路526.5.1串聯(lián)諧振為了使電流諧振曲線具有普遍意義，將橫坐標(biāo)改為

，縱坐標(biāo)改為

，可以作出對(duì)應(yīng)不同

Q值的標(biāo)準(zhǔn)化諧振曲線如圖所示。由圖可見，較大的

Q值對(duì)應(yīng)較尖銳的電流諧振曲線，而較尖銳的電流諧振曲線意味著電路有較高的選擇性。因此

Q值越大，電路的通頻帶越窄，選頻特性越好。反之，Q值越小，電路的通頻帶越寬，選頻性也就越差。當(dāng)強(qiáng)調(diào)電路的選頻性時(shí)，就希望通頻帶窄一些，當(dāng)強(qiáng)調(diào)電路的信號(hào)通過能力時(shí)，則希望通頻帶寬一些。在實(shí)際選擇電路的

Q值時(shí)，需要兼顧這兩方面的要求。6.5諧振電路53例題

已知RLC串聯(lián)電路中求該電路的諧振角頻率、帶寬、上截止角頻率頻率和下截止角頻率。解

諧振角頻率為品質(zhì)因數(shù)為帶寬以及上下截止角頻率分別為6.5諧振電路54例題

將一線圈（）與電容器（）串聯(lián)，接在25V的電源上。（1）當(dāng)時(shí)發(fā)生諧振，求電流和電容器上的電壓；（2）當(dāng)頻率增加10%時(shí)，求電流和電容器上的電壓。解

發(fā)生諧振時(shí)有6.5諧振電路55當(dāng)頻率增加10%時(shí)，有可見偏離諧振頻率10%時(shí)，電路中的電流和電容器上的電壓都會(huì)大大減少，可知該電路的選擇性較好。6.5諧振電路566.5.2并聯(lián)諧振串聯(lián)諧振電路適合應(yīng)用在信號(hào)源內(nèi)阻較小的情況下，因?yàn)樾盘?hào)源內(nèi)阻是和諧振電路相串聯(lián)的，當(dāng)信號(hào)源內(nèi)阻較大時(shí)，就會(huì)使串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)大為降低，從而影響到諧振電路的選擇性。因此在高內(nèi)阻信號(hào)源的情況下，應(yīng)當(dāng)采用并聯(lián)諧振電路。工程上廣泛應(yīng)用電感線圈和電容器組成的并聯(lián)諧振電路，由于實(shí)際線圈總是有電阻的，因此當(dāng)將電感線圈與電容器并聯(lián)時(shí)，其等效電路如圖所示。其中R為線圈的等效電阻。6.5諧振電路576.5.2并聯(lián)諧振并聯(lián)諧振電路與串聯(lián)諧振電路相似，它的諧振條件可從電路的復(fù)導(dǎo)納來分析根據(jù)定義，發(fā)生并聯(lián)諧振時(shí)，上式的電納部分（虛部）應(yīng)該為零，即因此有固定其中任意三個(gè)量，調(diào)節(jié)第四個(gè)量都可能使電路發(fā)生諧振。6.5諧振電路586.5.2并聯(lián)諧振并聯(lián)諧振的角頻率為不僅取決于L

和C

，還與R

有關(guān)，且小于串聯(lián)諧振角頻率。諧振角頻率與電路的電阻有關(guān)，是并聯(lián)諧振電路與串聯(lián)諧振電路的第一個(gè)不同點(diǎn)。只有當(dāng)R=0時(shí)，并聯(lián)諧振電路的諧振頻率才等于串聯(lián)諧振電路的諧振頻率。實(shí)際應(yīng)用中的并聯(lián)諧振電路，線圈本身的電阻很小，在工作頻率范圍內(nèi)一般都能滿足，諧振時(shí)，因此并聯(lián)諧振條件可簡(jiǎn)化為6.5諧振電路596.5.2并聯(lián)諧振當(dāng)RLC

并聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，電路具有以下特性。（1）回路的總導(dǎo)納最小，且為