2023年北京市初三（上）期末數(shù)學(xué)試題匯編：解直角三角形章節(jié)綜合

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編解直角三角形章節(jié)綜合一、單選題1．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校?？计谀┰谥?，，，，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知為銳角，，則的大小是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，則的值是（

）A．1 B． C． D．4．（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┰谥?，，，，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，則的值為____．7．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，如果，，那么的長(zhǎng)為___．8．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┤绻?，那么銳角的度數(shù)為________°．9．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┤鐖D1是一種手機(jī)平板支架，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．托板AB固定在支撐板頂端的點(diǎn)C處，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)．如圖2，若量得支撐板長(zhǎng)CD=8cm，∠CDE=60°，則點(diǎn)C到底座DE的距離為__________cm（結(jié)果保留根號(hào)）．10．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校校考期末）北京冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目競(jìng)賽場(chǎng)地“首鋼滑雪大跳臺(tái)”巧妙地融入了敦煌壁畫“飛天”元素．如圖，賽道剖面圖的一部分可抽象為線段AB．已知坡AB的長(zhǎng)為30m，坡角約為37°，則坡AB的鉛直高度AH約為______m．（參考數(shù)據(jù)：，，．）三、解答題11．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）2022年11月29日，搭載神舟十五號(hào)載人飛船的運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射．運(yùn)載火箭從發(fā)射點(diǎn)O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)A處時(shí)、在地面雷達(dá)站C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，在地面雷達(dá)站B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為．已知，O、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，求B、C兩個(gè)雷達(dá)站之間的距離（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)）．12．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．13．（2023秋·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中，，垂足為D，，求長(zhǎng)．14．（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)E．已知．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)求的值．15．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．16．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某班同學(xué)們來(lái)到操場(chǎng)，想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量旗桿的高度．方法如下：如圖，線段表示旗桿，已知A，C，D三點(diǎn)在一條直線上，首先用米高的測(cè)角儀在點(diǎn)C處測(cè)得旗桿頂端B的仰角為，在點(diǎn)D處測(cè)得旗桿頂端B的仰角為，其中，線段和均表示測(cè)角儀，然后測(cè)量出的距離為米，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．根據(jù)這些數(shù)據(jù)，請(qǐng)計(jì)算旗桿的長(zhǎng)約為多少米．17．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分交邊于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，，求的長(zhǎng)．18．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校?？计谀┤鐖D，在中，，，，求BC的長(zhǎng)．19．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，E為AB上一點(diǎn)，連接CE，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且∠DFE=∠A．(1)求證：△DCF∽△CEB；(2)若BC=4，CE=，tan∠CDF=，求線段BE的長(zhǎng)．20．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，，D為AC上一點(diǎn)，∠BDC=45°，CD=6．求AD的長(zhǎng)．21．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┯?jì)算：．22．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)校考期末）從2020年3月開始，一群野生亞洲象從云南西雙版納傣族自治州走出叢林，一路北上，歷經(jīng)17個(gè)月遷徙逾500公里安全返回棲息地，引發(fā)國(guó)內(nèi)外一波“觀象熱潮”．象群北移途經(jīng)峨山縣時(shí)，一頭亞洲象曾脫離象群．如圖，A，B，C分別表示峨山縣、象群位置和獨(dú)象位置．經(jīng)測(cè)量，象群在峨山縣西北方向約12公里處，獨(dú)象位于象群的正東方向和峨山縣北偏東30°方向的交匯處，請(qǐng)你計(jì)算此時(shí)獨(dú)象距離象群多少公里？（結(jié)果保留根號(hào)）23．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校校考期末）計(jì)算：．24．（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：

參考答案1．B【分析】根據(jù)銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊求出的值即可．【詳解】解：在中，，，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．2．C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】解：∵為銳角，且，∴．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，屬較簡(jiǎn)單題目，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題關(guān)鍵．3．C【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)正弦的定義即可求解．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，在中，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和正切的定義，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度．4．A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定義，sinα=，代入AB值即可求解．【詳解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】由勾股定理算出AC的值，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可得到解答．【詳解】解：由勾股定理可得：，∴tanA=，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握勾股定理及三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．6．【分析】根據(jù)勾股定理可以求出，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得的值．【詳解】解：∵中，，∴根據(jù)勾股定理，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及正弦函數(shù)的定義：直角三角形，銳角的對(duì)邊與斜邊的比，難度適中．7．4【分析】根據(jù)，再代入數(shù)據(jù)解答即可．【詳解】解：在中∵，，∴，又∵，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用銳角三角函數(shù)求解直角三角形的邊長(zhǎng)，熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．8．30【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可直接得出答案【詳解】解：∵，∴銳角A的度數(shù)為30°，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°、45°、60°的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DE，利用正弦函數(shù)即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DE，點(diǎn)C到底座DE的距離為CM∵CD=8cm，∠CDE=60°，∴CM=8sin60°=8×=4故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形求解．10．18【分析】由結(jié)合再解方程即可.【詳解】解：由題意得：m，故答案為：18【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握“由銳角的正弦求解直角三角形的邊長(zhǎng)”是解本題的關(guān)鍵.11．【分析】在中，求出，在中，由，，求得，進(jìn)一步即可得到B、C兩個(gè)雷達(dá)站之間的距離．【詳解】解：在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，即B、C兩個(gè)雷達(dá)站之間的距離為．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．【分析】將各個(gè)特殊角的三角函數(shù)值代入求解即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】題目主要考查特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟練掌握各個(gè)特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．13．【分析】先求出，由，得到，則，由勾股定理即可得到長(zhǎng)．【詳解】∵，垂足是點(diǎn)D，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理，銳角三角函數(shù)等，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵．14．(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長(zhǎng)即可；（2）先運(yùn)用勾股定理求出，再由于D為上的中點(diǎn)可得，推出，利用正弦函數(shù)求出，據(jù)此即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵為直角三角形，D是邊的中點(diǎn)，∴；（2）解：∵，，∴，，∵為直角三角形，D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．15．【分析】先將絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)冪、二次根式化簡(jiǎn)，將銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角度的銳角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是的熟練掌握特殊角度的銳角三角函數(shù)值，絕對(duì)值的定義，負(fù)整數(shù)冪的運(yùn)算法則，以及二次根式的化簡(jiǎn)方法．16．12米【分析】設(shè)，根據(jù)銳角三角函數(shù)，將和用x表示出來(lái)，最后根據(jù)，列出方程求解即可．【詳解】解：∵米，∴米，設(shè)，∵，∴，，∵，∴，解得：，∵米，∴米，答：旗桿的長(zhǎng)約為12米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．17．6【分析】先根據(jù)，求出的長(zhǎng)度，即可根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)，求出的長(zhǎng)度，即可根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，，，∴在中，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∵平分，，，∴，∴，在中，，∴在中，根據(jù)勾股定理可得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法和步驟，角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等．18．10【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，結(jié)合三角函數(shù)值，分別求出BD、CD的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，如圖：∴△ABD，△ACD都是直角三角形，∵，設(shè)，，∴，解得：（負(fù)值已舍去），∴，,∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的求出BD、CD的長(zhǎng)度．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)BE=【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)有AB//CD，AD//BC，可得∠DFE=∠A，∠DFC=∠B，故△DCF∽△CEB．（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由題意可設(shè)EH=x，CH=2x，由勾股定理即可得EH=3，CH=6，再由勾股定理即可求得BE=．【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB//CD，AD//BC∴∠DCE=∠BEC，∠A+∠B=180°∵∠DFE+∠DFC=180°又∵∠DFE=∠A∴∠DFC=∠B∴△DCF∽△CEB（2）∵△DCF∽△CEB∴∠CDF=∠ECB∴tan∠CDF=tan∠ECB=過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H在Rt△CEH中∴設(shè)EH=x，CH=2x∴CE=∵CE=∴x=3，則有EH=3，CH=6∵BC=4∴BH=6-4=2在Rt△EBH中有BE=則BE=【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)解直角三角形以及勾股定理，第二問(wèn)作輔助線將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解題的關(guān)鍵．20．AD=2【分析】先判定△BDC是等腰直角三角形，求得BC，解直角三角形ABC，求得AB，AC的長(zhǎng)，計(jì)算即可．【詳解】在△BDC中，∠C=90°

，∵∠BDC=45°，∴△BDC是等腰直角三角形

，

∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，，∴，∴AB=10，∴AC=8，

∴AD=AC-CD=8-6=2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟練進(jìn)行解直角三角形是解題的關(guān)鍵．21．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、45°的余弦值和絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：=．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、45°的余弦值和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．此時(shí)獨(dú)象距離象群公里【分析】連接BC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中求出BD，在Rt△ADC中求出DC，根據(jù)BC=BD+DC即可．【詳解】連接BC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中∵AB=12，∠BAD=45°

∴sin45°=

即∴BD=∴BD=AD=在Rt△ACD中，∠DAC=30°∴tan30°=即，∴DC=，∴BC=BD+DC=,

∴此時(shí)獨(dú)象距離象群公里【點(diǎn)睛】本題考查了