2024-2025學年上海市楊浦區(qū)復旦大學附中高一（上）期初數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市楊浦區(qū)復旦大學附中高一（上）期初數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”這句名言最早出自于《論語?衛(wèi)靈公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.政治書上講，“有使用價值的東西不一定有價值，有價值的東西一定有使用價值”，如果把有使用價值的東西看作集合A，把有價值的東西看作集合B，那么它們的關系是(

)A.A∪B=A B.A∪B=B C.A∩B=A D.A=B3.已知A、B為非空數(shù)集，Ω為平面上的一些點構成的集合，集合C={y|對任意x∈A，有(x,y)∈Ω}，集合D={x|對任意y∈B，有(x,y)∈Ω}，給定下列四個命題，其中真命題是(

)A.若C?B，則D?A B.若C?B，則D?A

C.若C?B，則D?A D.若C?B，則D?A4.已知有限集A={a1,a2,...an}(n≥2，n∈N)，如果A中的元素ai(i=1,2,…,n)滿足a1+a2+...+an=a1×a2×...×an，就稱A為“完美集”.①集合{?1?A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共12小題，共54分。5.用列舉法表示《沁園春?長沙》前三句的意象所組成的集合______．6.設高一(5)班全體學生的集合為A(A中有17名男生，23名女生)，高一(5)班全體女生的集合為B，則A______B.7.用區(qū)間法表示實數(shù)集R=______．8.已知集合A={0,1,2}，集合B={x|2x>3}，則A∩B=9.已知集合A={1,2}，B={x|2x5?4x310.已知集合A={1,2,3,4}，B={1,2}，則滿足A∩C=B∪C的集合C有______個.11.已知集合{x|(x?1)(x2?x+a)=0,x∈R}中的所有元素之和為1，則實數(shù)a12.設集合M={2,0,?1}，N={x||x?a|<1}，若M∩N的真子集的個數(shù)是1，則正實數(shù)a的取值范圍為______．13.關于x的方程x(x?1)=(k?2x)(x14.設集合A={a1,a2,a3,…,15.已知集合A滿足若n∈A且n∈Z，則1n∈A，小張同學迅速得出3個結論：

(1)0?A；

(2)集合A不可能是單元素集；

(3)當n取遍可以取的所有數(shù)時，集合元素的個數(shù)一定是偶數(shù)，其中錯誤結論的序號為______．16.若規(guī)定集合E={0,1,2,…,n}的子集{a1,a2,a3,??,am}為三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

設A={a|a=3n+2,n∈Z}，B={b|b=3k?1,k∈Z}，C={c|c=6m+2,m∈Z}

(1)證明：C?B；

(2)證明：A=B．18.(本小題14分)

設集合A={x|(x?3)(x?a)=0,a∈R}，B={x|x2?5x+4=0}．

(1)當a=4時，求A∩B，A∪B；

(2)記C=A∪B，若集合C的真子集有7個，求：所有實數(shù)a19.(本小題14分)

學校舉辦運動會，某班有28人報名參賽，其中15人報名參加游泳比賽，8人報名參加田徑比賽，14人報名參加球類比賽，同時報名參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時報名參加田徑比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時報名參加這三項比賽．

(1)求同時報名參加游泳和球類比賽的學生人數(shù)X；

(2)在只報名參加游泳一項比賽的Y人中，男生比女生多1人，且男生甲和女生乙都在其中，現(xiàn)從這Y人中隨機選出男女生各1人，求男生甲被選中且女生乙未被選中的概率．20.(本小題18分)

已知集合Sn={1,2,3,?,2n}(n∈N?,n≥4)，對于集合Sn的非空子集A，若Sn中存在三個互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均屬于A，則稱集合A是集合Sn的“期待子集”．

(1)試判斷集合A1={3,4,5}，A2={3,5,7}是否為集合S4的“期待子集”；(直接寫出答案，不必說明理由)

(2)如果一個集合中含有三個元素x，y，z，同時滿足①x<y<z，②x+y>z，③x+y+z為偶數(shù).那么稱該集合具有性質(zhì)P.對于集合S21.(本小題18分)

已知集合A為非空數(shù)集，對于集合A，定義對A中任意兩個不同元素相加得到一個絕對值，將這些絕對值重新組成一個新的集合，對于這一過程，我們定義為“自相加”，重新組成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次進行n?1次“自相加”操作，組成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若A集合A的任意k次自相加集合都不相等，則稱集合A為“完美自相加集合”，同理，我們可以定義出“A的1次自相減集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相減集合分別可表示為：A+={x|x=a+b,a、b∈A}，A?={x|x=|a?b|,a,b∈A}．

(1)已知有兩個集合，集合B={1,2,3,4}，集合C={k|k=2n+1,n∈Z}，判斷集合B和集合C是否是完美自相加集合并說明理由；

(2)對(1)中的集合B進行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素個數(shù)；

(3)若0≤n≤2024且n∈N，集合A={x|n≤x≤2024,x∈N}，A+參考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.{寒秋，湘江，橘子洲}

6.真包含

7.(?∞,+∞)

8.{2}

9.?

10.4

11.{0}∪(112.(0,1)∪(1,3)

13.?1

14.45

15.(2)

16.{0,1,4,6,7}

17.證明：(1)令k=s+1，s∈Z，則B={b|b=3k?1,k∈Z}={b|b=3s+2,s∈Z}，

∴B為被3整除余2的整數(shù)構成的集合，

C={c|c=6m+2,m∈Z}={c|c=3(2m)+2,2m∈Z}，

即C中元素都可以表示為3s+2，s∈Z的形式，其中s=2m，

∴C中任意元素都屬于B，

又B中存在不屬于C的元素，例：5∈B，但5?C，

∴C?B；

(2)由(1)知B={b|b=3k?1,k∈Z}={b|b=3s?2,s∈Z}，

A={a|3n+2,n∈Z}，

∴A=B．

18.解：(1)當a=4時，A={x|(x?3)(x?4)=0,a∈R}={3,4}，

x2?5x+4=0，即(x?4)(x?1)=0，解得x=4或1，∴B={1,4}，

∴A∩B={4}，A∪B={1,3,4}．

(2)若集合C的真子集有7個，則2n?1=7，可得n=3，

即C=A∪B中的元素只有3個，

而(x+3)(x?a)=0，解得x=3或a，則A={3,a}，

由(1)知B={1,4}，

則當a=1，3，4時，C=A∪B={1,3,4}，

故所有實數(shù)a19.解：(1)以H，I，K分別表示參加游泳、田徑、球類比賽的學生構成的集合，

由圖可知，15+5+11?X=28，

解得X=3；

(2)由(1)及題意得，Y=12?3=9，這9人中，因為男生比女生多1人，

所以男生5人、女生4人，

設這5名男生分別為a，b，c，d，e，這4名女生分別為A，B，C，D，其中甲記為a，乙記為A，

從這5名男生和4名女生中各隨機選出1人，所有的樣本點：

(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)，(c,A)，(c,B)，(c,C)，(c,D)，(d,A)，(d,B)，(d,C)，(d,D)，(e,A)，(e,B)，(e,C)，(e,D)，共20個，

其中男生甲被選中且女生乙未被選中包含的樣本點有3個，

故所求概率P=320．20.解：(1)因為S4={1,2,3,4,5,6,7,8}，

對于集合A1={3,4,5}，令a+b=3b+c=4c+a=5，解得a=2b=1c=3，顯然1∈S4，2∈S4，3∈S4，

所以A1是集合S4的“期待子集”；

對于集合A2={3,5,7}，令a1+b1=3b1+c1=5c1+a1=7，則a1+b1+c1=152，

因為a1，b1，c1∈S4，即a1+b1+c1∈N?，故矛盾，所以A2不是集合S4的“期待子集”；

(2)先證明必要性：

當集合A是集合Sn的“期待子集”時，由題意，存在互不相同的a，b，c∈Sn，使得a+b，b+c，c+a∈A，

不妨設a<b<c，令x=a+b，y=a+c，z=b+c，則x<y<z，即條件P中的①成立；

又x+y?z=(a+b)+(c+a)?(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即條件P中的②成立；

因為x+y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c)，

所以x+y+z為偶數(shù)，即條件P中的③成立；

所以集合A滿足條件P．

再證明充分性：

當集合A滿足條件P時，有存在x，y，z∈A21.解：(1)B是完美自相加集合，C不是完美自相加集合，理由如下：

集合B={1,2,3,4}?B+={3,4,5,6,7}，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素為自相加之前的集合中的最小兩個元素之和，

所以顯然集合B={1,2,3,4}的最小兩個元素為1，2，所以B+的最小元素為1+2=3；

對集合B={1,2,3,4}進行任意次自相加操作后，最小值在變大，

故不可能有相等集合，

所以B是完美自相加集合；

集合C={k|k=2n+1,n∈Z}表示所以奇數(shù)構成的集合，任何兩個奇數(shù)相加都是偶數(shù)，

所以C+={k|k=2n,n∈Z}，為所有偶數(shù)構成集合；

所以對C+={k|k=2n,n∈Z}再進行一次自相加操作，所有偶數(shù)相加還是會是所有偶數(shù)，

故后面集合不管進行多少次相加都是與C+={k|k=2n,n∈Z}相同；

故C不是完美自相加集合；

(2)由自相加性質(zhì)可知，對于集合B={1,2,3,4}，進行一次自相加，

得到集合的最小值必然是原來集合的兩個最小元素值之和，

得到的最大值為原來集合的兩個最大元素值之和，且中間必然是連續(xù)的整數(shù)元素；

所以對集合B={1,2,3,4}進行一次自相加之后，得到的集合最小兩個元素為3，4，最大的兩個元素為6，7；

進行第二次自相加，得到的集合最小兩個元素為7，8，最大的兩個元素為12，13；

進行第三次自相加，得到的集合最小兩個元素為15，16，最大的兩個元素為24，25；

進行第四次自相加，得到的集合最小兩個元素為31，32，最大的兩個元素為18，49；

進行第五次自相加，得到的集合最小兩個元素為63，64，最大的兩個元素為96，97；

進行第六次自相加，得到的集合最小兩個元素為127，128，最大的兩個元素為192，193；

進行第七次自相加，得到的集合最小兩個元素為255，256，最大的兩個元素為384，385；

進行第八次自相加，得到的集合最小兩個元素為511，512，最大的兩個元素為768，769；

進行第九次自相加，得到的集合最小兩個元素為1023，1024，最大的兩個元素為1536，1537；

進行第十