廣東省惠州市博羅縣楊僑中學(xué)、石灣中學(xué)兩校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)廣東省博羅縣楊僑中學(xué)、石灣中學(xué)兩校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=2+i，則zz?1=A.1 B.72 C.102.已知a和b的夾角為150°，且a=2,b=A.?9 B.?3 C.3 D.93.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a5A.5 B.6 C.7 D.84.為了美化廣場(chǎng)環(huán)境，縣政府計(jì)劃定購(gòu)一批石墩．已知這批石墩可以看作是一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中AB=2CE=2EF=40cm，AC=102cm，則該石墩的體積為(

)

A.10000π3cm3 B.11000π3c5.已知sinα+π3?sinA.?59 B.?19 C.6.已知函數(shù)fx=?14x?4,x≤34A.0,1 B.1,3 C.1,7.函數(shù)f(x)=2sinπx?3x?x2A.6 B.7.5 C.9 D.12二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。8.下列說法中，正確的是(

)A.數(shù)據(jù)40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位數(shù)為32

B.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N2,δ2，Pξ<4=0.84；則P2<ξ<4=0.34

C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為y=a+bx；若b=2，x=19.已知函數(shù)f(x)=13x3A.若f(x)是R上的增函數(shù)，則a∈[?1,1]

B.當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值

C.當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)有兩零點(diǎn)

D.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與f(x)只有唯一個(gè)公共點(diǎn)10.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.它既是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”，如圖曲線C:x2+y22A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.曲線C經(jīng)過7個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過3

D.若直線y=kx與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?∞,?1]∪[1,+∞)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。11.設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2?y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P12.若曲線fx=mx2+ln2x存在垂直于y13.第33屆奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行．某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米、200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為12，200米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為310，兩項(xiàng)比賽都未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為110.若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)，則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率是

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題12分)記?ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c.已知ba(1)求A的大??；(2)若22sinB=3sinC，再?gòu)南铝袟l件條件①：asinC=2；條件②：注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．15.(本小題12分)已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C

的

標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l:y=kx+2交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?23.16.(本小題12分)如圖，AB是圓的直徑，平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若AB=2,AC=1,AP=1，求直線AC與面PBC所成角的正弦值．17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=xeax?ex．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<?1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)設(shè)n∈18.(本小題12分)對(duì)任意正整數(shù)n，定義n的豐度指數(shù)In=Snn(1)求I8(2)若an=I2n，求數(shù)列n(3)對(duì)互不相等的質(zhì)數(shù)p,m,n，證明：Ip3mn=Ip參考答案1.C

2.C

3.C

4.D

5.B

6.B

7.C

8.BC

9.AB

10.ACD

11.3

12.?∞,0

13.3514.解：(1)∵b由正弦定理知sinBsinA在?ABC中，由B=π?A+C∴sin?B=sin∴cos?Asin?C=∴sin∵A∈0,π(2)若選擇條件①，由正弦定理asinA=∴c=2又22sin∴b=3．∴S若選擇條件②，由22sin設(shè)c=2則a2由ac=210，得∴a=∴S

15.【小問1詳解】由橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，可得a=所以2又F1,0，所以2b所以a=所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2【小問2詳解】設(shè)Ax1,由x22+則x1+x因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?2所以x1解得k2=1所以直線l的方程為y=±1

16.【小問1詳解】因?yàn)槠矫鍼AC⊥面ACB，且AP⊥AC．，平面PAC∩面ACB=AC，AP?平面PAC，所以PA⊥面ACB，又因?yàn)锽C?平面PBC，所以PA⊥BC，又因?yàn)锳B是圓的直徑，所以AC⊥BC，因?yàn)锳C∩PA=A,AC,PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC；【小問2詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/p>

AC⊥BC，所以BC=所以C0,0,0,A0,1,0設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z)，則而AC=0,?1,0，設(shè)直線AC與面PBC所成角為則sinθ=所以直線AC與面PBC所成角的正弦值為2

17.解：(1)?a=1?f(x)=xex?ex=(x?1)ex?f′(x)=xex

當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

(2)令g(x)=f(x)+1=xeax?ex+1(x≥0)?g(x)≤g(0)=0對(duì)?x≥0恒成立

又g′(x)=eax+axeax?ex?g′(0)=0

令?(x)=g′(x)??′(x)=aeax+a(eax+axeax)?ex=a(2eax+axeax)?ex，則?′(0)=2a?1

?①若?18.【小問1詳解】因?yàn)?的所有正因數(shù)為1,2,4,8，所以S8=1+2+4+8=15，得到【小問2詳解】因?yàn)?n共有n+1個(gè)正因數(shù)，它們?yōu)?,2,所