高考總復習理數(shù)（人教版）第01章集合與常用邏輯用語第3節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結詞全稱量詞與存在量詞

第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞考點高考試題考查內容核心素養(yǎng)簡單的邏輯聯(lián)結詞未單獨考查全稱量詞與存在量詞2015·全國卷Ⅰ·T3·5分特稱命題的否定邏輯推理2014·全國卷Ⅰ·T9·5分以線性規(guī)劃為載體考查含有命題的否定邏輯推理命題分析全稱命題與特稱命題的真假判斷及含有一個量詞的命題的否定是高考考查的重點；對邏輯聯(lián)結詞的考查，常以函數(shù)、三角函數(shù)、不等式為載體進行命題，題型以選擇題為主，分值為5分.1．命題p∧q，p∨q，?p的真假判斷pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等?存在量詞存在一個、至少一個、有些、某些等?3．全稱命題和特稱命題名稱形式全稱命題特稱命題結構對M中的任意一個x，有p(x)成立存在M中的一個x0，使p(x0)成立簡記?x∈M，p(x)?x0∈M，p(x0)否定?x0∈M，?p(x0)?x∈M，?p(x)提醒：(1)注意區(qū)分命題的否定與否命題的不同“否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結論．(2)由于全稱量詞經(jīng)常省略，因此，在寫這類命題的否定時，應先確定其中的全稱量詞，再否定量詞和結論．(3)“p∨q”的否定是“(?p)∧(?q)”；“p∧q”的否定是“(?p)∨(?q)”．1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)命題“5>6或5>2”是真命題(2)命題p和?p不可能都是真命題．()(3)若p∧q為真，則p為真或q為真．()(4)p∧q為假的充要條件是p，q至少有一個為假．()(5)寫特稱命題的否定時，存在量詞變?yōu)槿Q量詞．()(6)?x0∈M，p(x0)與?x∈M，?p(x)的真假性相反．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√2．(教材習題改編)已知p：2是偶數(shù)，q：2是質數(shù)，則命題?p，?q，p∨q，p∧q中真命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選Bp和q顯然都是真命題，所以?p，?q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題．3．命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為A．對任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0解析：選D全稱命題的否定為特稱命題，所以答案為D.4．(2015·全國卷Ⅰ)設命題p：?n∈N，n2>2n，則?p為()A．?n∈N，n2>2nB．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2nD．?n∈N，n2＝2n解析：選C?p：?n∈N，n2≤2n.5．命題p：?x∈R，sinx<1；命題q：?x0∈R，cosx0≤－1，則下列結論是真命題的是()A．p∧q B．(?p)∧qC．p∨(?q) D．(?p)∧(?q)解析：選Bp是假命題，q是真命題，所以(?p)∧q為真命題．判斷含有邏輯聯(lián)結詞的命題真假[明技法]判斷含有邏輯聯(lián)結詞命題真假的步驟[提能力]【典例】(1)若命題“p∨q”為真命題，“?p為真命題”，則()A．p真，q真 B．p假，q真C．p真，q假 D．p假，q假(2)已知命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,x\o\al(2,0))≤2，命題q是命題p的否定，則命題p，q，p∧q，p∨q中是真命題的是________.解析：(1)由?p為真，知“p”為假，又“p∨q”為真，所以q為真．(2)當x0＝1時，xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,x\o\al(2,0))＝2，所以p是真命題，則q是假命題，p∧q是假命題，p∨q是真命題．答案：(1)B(2)p，p∨q[刷好題]1．(金榜原創(chuàng))已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨q中，真命題是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：選C當x>y時，－x<－y，故命題p為真命題，從而?p為假命題．當x>y時，x2>y2不一定成立，故命題q為假命題，從而?q為真命題．故①p∧q為假命題；②p∨q為真命題；③p∧(?q)為真命題；④(?p)∨q為假命題．2．已知命題：p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)；p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)．則在命題q1：“p1∨p2”，q2：“p1∧p2”，q3：“(?p1)∨p2”和q4：“p1∧(?p2)”中A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4解析：選C由f′(x)＝(2x－2－x)′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))ln2＞0知，命題p1是真命題，?p1是假命題；g′(x)＝(2x＋2－x)′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))))ln2，當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0，故命題p2是假命題，?p2是真命題，從而命題q1，q4是真命題，故選C.全稱命題與特稱命題[析考情]全稱命題、特稱命題的真假及其否定以其獨特的形式成為高考命題的亮點，常和其他數(shù)學知識相結合，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．[提能力]【典例】(1)(2018·滁州檢測)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2(2)下列命題中的假命題是()A．?x∈R,2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x0∈R，lnx0<1D．?x0∈R，tanx0＝2解析：(1)選D由于特稱命題的否定形式是全稱命題，全稱命題的否定形式是特稱命題，所以“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式為“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2(2)選B因為2x－1>0，對?x∈R恒成立，所以A是真命題；當x＝1時，(x－1)2＝0，所以B是假命題；存在0<x0<e，使得lnx0<1，所以C是真命題；因為正切函數(shù)y＝tanx的值域是R，所以D是真命題．[悟技法](1)對全(特)稱命題進行否定的方法①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義先加上量詞，再改變量詞．②對原命題的結論進行否定．(2)全稱命題真假的判斷方法①要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立．②要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．(3)特稱命題真假的判斷方法要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題．[刷好題]1．命題“全等三角形的面積一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面積不一定都相等B．不全等三角形的面積不一定都相等C．存在兩個不全等三角形的面積相等D．存在兩個全等三角形的面積不相等解析：選D命題是省略量詞的全稱命題．故選D.2．(2018·西安質檢)已知命題p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0，則()A．p是假命題；?p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命題；?p：?x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命題；?p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命題；?p：?x∈R，log2(3x＋1)>0解析：選B∵3x>0，∴3x＋1>1，則log2(3x＋1)>0，∴p是假命題；?p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.故選B.3．(2018·沈陽模擬)下列命題中為假命題的是()A．?x∈R，ex>0B．?x∈N，x2>0C．?x0∈R，lnx0<1D．?x0∈N*，sineq\f(πx0,2)＝1解析：選B對于選項A，由函數(shù)y＝ex的圖象可知，?x∈R，ex>0，故選項A為真命題；對于選項B，當x＝0時，x2＝0，故選項B為假命題；對于選項C，當x0＝eq\f(1,e)時，lneq\f(1,e)＝－1<1，故選項C為真命題；對于選項D，當x0＝1時，sineq\f(π,2)＝1，故選項D為真命題．綜上知選B.根據(jù)命題的真假求參數(shù)取值范圍[析考情]以邏輯聯(lián)結詞為工具，與函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識相結合，根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍在模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)，題型多為選擇題或填空題，難度較?。甗提能力]【典例】已知命題p：關于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命題q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R，如果“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：由關于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；由函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集為R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－4a2<0，))解得a＞eq\f(1,2).因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1，,a>\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a≤\f(1,2)，))解得a≥1或0<a≤eq\f(1,2)，故實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．[母題變式1]在本例條件下，若命題q∨(p∧q)真、?p真，求實數(shù)a的取值范圍．解：由命題q∨(p∧q)真、?p真知p假，q真，p假，a≤0或a≥1；q真，a＞eq\f(1,2).∴實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞)).[母題變式2]若本例條件變?yōu)椋阂阎}p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命題q：“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋4x0＋a＝0”．若命題“p∧q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：若命題“p∧q”是真命題，那么命題p，q都是真命題．由?x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由?x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤則實數(shù)a的取值范圍為[e,4]．[悟技法]根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法步驟(1)先根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)．(2)然后再求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍．(3)最后根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍．[刷好題](2018·南陽模擬)已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：eq\f(1,3－x)＞1，若“(?q)∧p”為真，則x的取值范圍是