高考數(shù)學(xué)理科二輪總復(fù)習(xí)高考小題分項(xiàng)練8

高考小題分項(xiàng)練8立體幾何1．如果圓錐的底面半徑為eq\r(2)，高為2，那么它的側(cè)面積為________．答案2eq\r(3)π解析圓錐底面周長為2eq\r(2)π，母線長為eq\r(22＋2)＝eq\r(6)，所以它的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)π×eq\r(6)＝2eq\r(3)π.2．若兩球表面積之比是4∶9，則其體積之比為________．答案8∶27解析設(shè)兩球半徑分別為r1，r2，∵4πreq\o\al(2,1)∶4πreq\o\al(2,2)＝4∶9，∴r1∶r2＝2∶3，∴兩球體積之比為eq\f(4,3)πreq\o\al(3,1)∶eq\f(4,3)πreq\o\al(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝8∶27.3．下列命題中，其中真命題的個數(shù)為________．①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；④若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．答案1解析∵直線l雖與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內(nèi)，∴l(xiāng)不一定平行于平面α，∴①是假命題；∵直線a在平面α外包括兩種情況：a∥α和a與α相交，∴a和α不一定平行．∴②是假命題；∵直線a∥b，b?α，則只能說明a和b無公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，∴a不一定平行于平面α，∴③是假命題；∵a∥b，b?α，∴a?α或a∥α，∴a可以與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，∴④是真命題．綜上，真命題的個數(shù)為1.4．如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝________.答案eq\r(13)解析因?yàn)锳F⊥平面ABCD，所以AF垂直于平面ABCD內(nèi)的任意一條直線；又AF∥ED，所以ED垂直于平面ABCD內(nèi)的任意一條直線．所以ED⊥CD，所以△EDC為直角三角形，CE＝eq\r(ED2＋CD2)＝eq\r(13).5．圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑是10cm，有一個實(shí)心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個鐵球，測得容器的水面下降了eq\f(5,3)cm，則這個鐵球的表面積為________cm2.答案100π解析設(shè)該鐵球的半徑為rcm，則由題意得eq\f(4,3)πr3＝π×102×eq\f(5,3)，解得r3＝53，∴r＝5，∴這個鐵球的表面積S＝4π×52＝100π(cm2)．6．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1，V2的兩部分，那么V1∶V2＝________.答案7∶5解析設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh.∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＋\f(1,4)S＋\r(S·\f(S,4))))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，∴V1∶V2＝7∶5.7．以一個圓柱的下底面為底面，并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐，若所得的圓錐底面半徑等于圓錐的高，則圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積之比為________．答案eq\f(\r(2),2)解析設(shè)底面半徑為r，則圓錐的母線長為eq\r(2)r，圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積之比為eq\f(πr·\r(2)r,2πr·r)＝eq\f(\r(2),2).8．P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出結(jié)論：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PCB.其中正確的是________．(填序號)答案①②③解析由題意可知OM是△BPD的中位線，∴OM∥PD，①正確；由線面平行的判定定理可知，②③正確；OM與平面PBA及平面PCB都相交，故④⑤不正確．9．如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF，EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3重合，重合后的點(diǎn)記為G.給出下列關(guān)系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的序號為________．答案①③解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，①正確；若SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S矛盾，所以②錯；由GF⊥GE，GF⊥GS，得GF⊥平面SEG，所以GF⊥SE，③正確；若EF⊥平面SEG，則EF∥GF，這與EF∩GF＝F矛盾，所以④錯．10．已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝2BC＝4，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，BC，CC1的中點(diǎn)，則三棱錐G－A1EF的體積為________．答案eq\f(1,2)解析如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，連結(jié)A1C1，AC，C1F，C1E，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，所以A1C1∥AC∥EF，所以＝＝＝＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)CC1×eq\f(1,2)BC×eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).11．已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的序號是________．①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥β；②若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β；③若α⊥β，l?α，則l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β.答案④解析①缺少了條件：l?α；②缺少了條件：α⊥β；③缺少了條件：α∩β＝m，l⊥m；④具備了面面垂直的性質(zhì)定理的所有條件．12．正△ABC的邊長為a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，則B到AC的距離為________．答案eq\f(\r(7),4)a解析如圖，作DH⊥AC于點(diǎn)H，連結(jié)BH.∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD，從而BD⊥DH.∴DH為BH在平面ACD內(nèi)的射影，∴BH⊥AC.又正△ABC的邊長為a，∴DH＝eq\f(\r(3),4)a，∴BH＝eq\r(BD2＋DH2)＝eq\f(\r(7),4)a.13．如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動，則下列四個命題：①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確命題的序號是________．答案①②④解析由題意，可得直線BC1平行于直線AD1，并且直線AD1?平面ACD1，直線BC1?平面ACD1，所以直線BC1∥平面ACD1.所以點(diǎn)P到平面ACD1的距離不變，VA－D1PC＝VP－ACD1，所以體積不變．故①正確；如圖，連結(jié)A1C1，A1B，可得平面ACD1∥平面A1C1B.又因?yàn)锳1P?平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正確；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時，△DBC1是等邊三角形，所以DP不垂直于BC1，故③不正確；連結(jié)DB1，因?yàn)橹本€AC⊥平面DB1B，DB1?平面DB1B，所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1，所以可得DB1⊥平面AD1C.又因?yàn)镈B1?平面PDB1，所以可得平面PDB1⊥平面ACD1，故④正確．綜上，正確命題的序號是①②④.14．如圖，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，則三棱錐D－AEF體積的最大值為________．答案eq\f(\r(2),6)解析因?yàn)镈A⊥平面ABC，所以DA⊥BC.又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE為三棱錐D－AEF的高．因?yàn)锳E為等腰直角三角形ABD斜邊上的高，BD＝eq\r(AD2＋AB2)＝2eq\r(2)，所以AE