北京市昌平區(qū)新學道臨川學校2025屆高三數(shù)學上學期第三次月考試題理含解析

PAGE18-北京市昌平區(qū)新學道臨川學校2025屆高三數(shù)學上學期第三次月考試題理（含解析）一.選擇題(共12小題)1.已知復數(shù)z=2+i，則A. B. C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】題先求得，然后依據(jù)復數(shù)的乘法運算法則即得.【詳解】∵故選D.【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算法則，共軛復數(shù)的定義等學問，屬于基礎題..2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調遞增的是A. B.y= C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意結合函數(shù)的解析式考查函數(shù)的單調性即可.【詳解】函數(shù)，在區(qū)間上單調遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故選A.【點睛】本題考查簡潔的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性，留意對重要學問、基礎學問的考查，蘊含數(shù)形結合思想，屬于簡潔題.3.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從其次個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：依據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠推斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的推斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.4.設均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】分析：先對模平方，將等價轉化為0，再依據(jù)向量垂直時數(shù)量積為零得充要關系.詳解：，因為均為單位向量，所以a⊥b，即“”是“”的充分必要條件.選C.點睛：充分、必要條件的三種推斷方法．1．定義法：干脆推斷“若則”、“若則”的真假．并留意和圖示相結合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．5.定積分的值為()A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)微積分基本定理，可知求解，即可.【詳解】故選：C【點睛】本題考查微積分基本定理，屬于較易題.6.七人并排站成一行，假如甲乙兩個必需不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是()A.3600種 B.1440種 C.4820種 D.4800種【答案】A【解析】【分析】不相鄰問題用插空法，先將除甲乙外的其他5人全排列，再將甲乙2人插入6個空中，即可.【詳解】第一步，先將除甲乙外的其他5人全排列，種其次步，將甲乙2人插入6個空中，種則不同的排法種數(shù)是種故選：A【點睛】本題考查排列問題，插空法是解決本題的關鍵.屬于較易題.7.的綻開式中的系數(shù)為（）A. B. C.、 D.【答案】C【解析】【分析】把依據(jù)二項式定理綻開，可得的綻開式中的系數(shù)．【詳解】解：，故它的綻開式中含的項有的和故系數(shù)為，故選：．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項綻開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．8.將三枚骰子各擲一次，設事務為“三個點數(shù)都不相同”，事務為“至少出現(xiàn)一個6點”，則概率的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】考點：條件概率與獨立事務．分析：本題要求條件概率，依據(jù)要求的結果等于P（AB）÷P（B），須要先求出AB同時發(fā)生的概率，除以B發(fā)生的概率，依據(jù)等可能事務的概率公式做出要用的概率．代入算式得到結果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故選A．9.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)（）A.1 B.2 C.1或2 D.【答案】A【解析】【分析】先由冪函數(shù)求出的值，再依據(jù)函數(shù)的單調性確定答案.【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，所以或.當時，在上不是減函數(shù)，所以舍去.當時，在上是減函數(shù).故選A【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.10.將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個周期即個單位，所得圖象對應的函數(shù)為，故選D.【此處有視頻，請去附件查看】11.已知一元二次不等式的解集為或，則的解集為（）.A.或 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)不等式的解集得出，求出解集即可．【詳解】一元二次不等式的解集為或，則的解集為，則可化為；解得，所以所求不等式的解集為．故選．【點睛】本題考查一元二次不等式的解法與應用問題，考查指數(shù)不等式的解法，是基礎題．12.已知函數(shù)有唯一零點，則a=A. B. C. D.1【答案】C【解析】函數(shù)的零點滿意，設，則，當時，；當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)取得最小值，為.設，當時，函數(shù)取得最小值，為，若，函數(shù)與函數(shù)沒有交點；若，當時，函數(shù)和有一個交點，即，解得.故選C.【名師點睛】利用函數(shù)零點的狀況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構建不等式求解.（2）分別參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉化為兩個熟識的函數(shù)圖像的上、下關系問題，從而構建不等式求解.二.填空題(共4小題)13.已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.【答案】8.【解析】【分析】利用轉化得到加以計算，得到.【詳解】向量則.【點睛】本題考查平面對量的坐標運算、平面對量的數(shù)量積、平面對量的垂直以及轉化與化歸思想的應用.屬于簡潔題.14.設是等差數(shù)列，且，，則的通項公式為_____.【答案】【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為，，依據(jù)列方程求解公差，即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，解得.所以故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式，屬于較易題.15.傾斜角為且過點的直線方程為______．【答案】.【解析】【分析】干脆依據(jù)直線方程點斜式寫出直線方程，化簡后得到所求的結果.【詳解】依題意得，化簡得.【點睛】本小題主要考查直線方程點斜式，考查傾斜角和斜率的對應關系，屬于基礎題.16.已知，則_______.【答案】【解析】【分析】先對函數(shù)求導，然后求出，進而求出答案．【詳解】由題可得，令，則，解得，所以，則【點睛】本題考查導函數(shù)，解題的關鍵是先求出，屬于一般題．三.解答題(共6小題)17.已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區(qū)間.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解析】試題分析：（Ⅰ）運用兩角和的正弦公式對f（x）化簡整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）依據(jù)函數(shù)y=sinx的單調遞增區(qū)間對應求解即可.試題解析：（Ⅰ）因為，所以的最小正周期．依題意，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）．由，得．所以單調遞增區(qū)間為（）．【考點】兩角和的正弦公式、周期公式、三角函數(shù)的單調性.【名師點睛】三角函數(shù)的單調性：1.三角函數(shù)單調區(qū)間的確定，一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)標準式，然后通過同解變形或利用數(shù)形結合方法求解．關于復合函數(shù)的單調性的求法；2.利用三角函數(shù)的單調性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，必需先看兩角是否同屬于這一函數(shù)的同一單調區(qū)間內，不屬于的，可先化至同一單調區(qū)間內．若不是同名三角函數(shù)，則應考慮化為同名三角函數(shù)或用差值法（例如與0比較，與1比較等）求解．【此處有視頻，請去附件查看】18.已知數(shù)列的前項和為，，.(1)求數(shù)列的前項和為；(2)令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)將變形整理為，則數(shù)列符合等差數(shù)列定義，首項，公差，求解數(shù)列的通項公式，即可.(2)先依據(jù)(1)中的，求出，從而確定，再依據(jù)錯位相減法求解，即可.【詳解】(1)即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.則，即(2)由(1)可知.當時，當時，當時，成立.所以，則①②①②得即【點睛】本題考查定義法求數(shù)列的通項公式，以及錯位相減法求前項和，屬于中檔題.19.如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==2．（1）求證：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B?CD?C1的余弦值；（3）證明：直線FG與平面BCD相交．【答案】(1)見解析（2）；（3）見解析．【解析】【詳解】分析：（1）由等腰三角形性質得，由線面垂直性質得,由三棱柱性質可得，因此，最終依據(jù)線面垂直判定定理得結論，（2）依據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面BCD一個法向量，依據(jù)向量數(shù)量積求得兩法向量夾角，再依據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關系求結果，（3）依據(jù)平面BCD一個法向量與直線FG方向向量數(shù)量積不為零，可得結論.詳解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四邊形A1ACC1為矩形．又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如圖建立空間直角坐稱系E-xyz．由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1）．∴，設平面BCD的法向量為，∴，∴，令a=2，則b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC1的法向量為，∴．由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為．（Ⅲ）平面BCD的法向量為，∵G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2），∴，∴，∴與不垂直，∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內，∴GF與平面BCD相交．點睛：垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.20.德陽中學數(shù)學競賽培訓共開設有初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步共四門課程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格，則能取得參與數(shù)學競賽復賽的資格，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學報名參與數(shù)學競賽培訓，每一位同學對這四門課程考試是否合格相互獨立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨立，課程

初等代數(shù)

初等幾何

初等數(shù)論

微積分初步

合格的概率

（1）求甲同學取得參與數(shù)學競賽復賽的資格的概率；（2）記表示三位同學中取得參與數(shù)學競賽復賽的資格的人數(shù)，求的分布列及期望．【答案】(1);(2)見解析.【解析】【分析】(1)先將合格事務標記，然后依據(jù)題目給出的條件求出復賽的資格的概率.(2)干脆依據(jù)離散型隨機變量的概率計算方法解答.【詳解】（1）分別記甲對這四門課程考試合格為事務,則“甲能修得該課程學分”的概率為,事務相互獨立，.(2)，，,因此，的分布列如下：因為～所以考點：1.離散型隨機變量的分布列；2.數(shù)學期望；3.相互獨立事務的概率.21.已知橢圓的右焦點為，且經過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON表達式，結合韋達定理確定t的值即可證明直線恒過定點.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為，所以；因為橢圓經過點,所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設聯(lián)立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因為,所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要留意：(1)留意視察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算實力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若存在，使成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）見解析（2）5.【解析】試題分析：(1)求導，分類探討時三種狀況的單調性(2)分別含參量，構造新函數(shù)，，求導算出零點的范圍，從而求出結果解析：（1）由題意可知，，，方程對應的，當，即時，當時，，∴在上單調遞減；當時，方程的兩根為，且，此時，在上，函數(shù)單調遞增