廣東省廣州市越秀區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末考試試題含解析

PAGE20-廣東省廣州市越秀區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末考試試題（含解析）一、選擇題1.拋物線的焦點坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由拋物線的方程，可知，所以拋物線的焦點坐標為，故選B.2.雙曲線的一條漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆由雙曲線的漸近線的定義可得漸近線的方程．【詳解】解：由雙曲線的方程可得，，焦點在x軸上，所以漸近線的方程為：，即，故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．3.命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是A.若，都偶數(shù)，則不是偶數(shù)B.若，都是偶數(shù)，則不是偶數(shù)C.若，不全是偶數(shù)，則不是偶數(shù)D.若不是偶數(shù)，則，不全是偶數(shù)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)命題的否定和命題之間的關(guān)系確定結(jié)論即可．【詳解】解：否命題就是對原命題的條件和結(jié)論同時進行否定，則命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題為：若，不全是偶數(shù)，則不是偶數(shù)．故選：C．【點睛】本題主要考查四種命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4.設(shè)，，則“”是“橢圓的焦點在y軸上”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的焦點在軸上的充要條件即可得出．【詳解】解：“”?“橢圓的焦點在y軸上”，∴“”是“橢圓的焦點在y軸上”的充要條件．故選：C．【點睛】本題考查了橢圓的焦點在軸上的充要條件，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．5.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是0.5，甲獲勝的概率是0.2，則乙不輸?shù)母怕适牵ǎ〢.0.8 B.0.7 C.0.3 D.0.2【答案】A【解析】【分析】利用互斥事務(wù)概率加法公式干脆求解．【詳解】解：甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，∴乙不輸?shù)母怕适牵海蔬x：A．【點睛】本題考查概率的求法，考查互斥事務(wù)概率加法公式等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題．6.對一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進行抽樣檢測，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．依據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間上為一等品，在區(qū)間和為二等品，在區(qū)間和為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機抽取1件，則其為三等品的概率是（）A.0.03 B.0.05 C.0.15 D.0.25【答案】D【解析】【分析】由頻率分布直方圖得在區(qū)間和的頻率為，由此能求出從這批產(chǎn)品中隨機抽取1件，其為三等品的概率．【詳解】解：在區(qū)間和為三等品，由頻率分布直方圖得：在區(qū)間和的頻率為，∴從這批產(chǎn)品中隨機抽取1件，其為三等品的概率是．故選：D．【點睛】本題考查概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題．7.如圖，四面體OABC中，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知干脆利用向量的加減法運算得答案．【詳解】解：∵，，∴．故選：D．【點睛】本題考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．8.長方體中，，，則直線與直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解．【詳解】解：以D為坐標原點，分別以DA，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，由．得直線與直線所成角的余弦值為．故選：A．【點睛】本題考查利用空間向量求解空間角，屬于中檔題．9.隨機擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，它們向上的點數(shù)之和不大于6的概率記為，點數(shù)之和大于6的概率記為，點數(shù)之和為奇數(shù)的概率記為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用列舉法求出三個概率，再比較大?。驹斀狻拷猓弘S機擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子共有36個基本領(lǐng)件，它們發(fā)生的可能性相等．其中向上的點數(shù)和不大于6的基本領(lǐng)件共有15個，分別是，，，，，，，，，，，，，，，．點數(shù)之和大于6的基本領(lǐng)件共有21個，分別是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．．由于骰子的點數(shù)奇偶數(shù)相同，故點數(shù)之和為偶數(shù)的概率．．故選：B．【點睛】本題考查了古典概型的概率計算，屬于基礎(chǔ)題．10.為了探討某班學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學生，依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來直線方程為，已知，，，該班某學生的腳長為25，據(jù)此估計其身高為（）厘米.A.165 B.168 C.173 D.178【答案】C【解析】【分析】由已知求得，的值，結(jié)合求得，可得線性回來方程，取求得值即可．【詳解】解：，，又，，∴．∴y關(guān)于x的線性回來方程為．取，得（厘米）．故選：C．【點睛】本題考查線性回來方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．11.將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為92，現(xiàn)場做的9個分數(shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊，無法分辨，在圖中以x表示：則7個剩余分數(shù)的標準差為（）A.4 B.2 C.5 D.【答案】B【解析】【分析】由平均數(shù)求得的值，再計算7個剩余分數(shù)的方差和標準差．【詳解】解：將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉一個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為92；最低分是87，當時，剩余7個數(shù)分別是89、90、91、92、94、95、98，平均值為，所以，計算剩余7個數(shù)的平均值為，解得；所以7個剩余分數(shù)的方差為：．所以標準差為．故選：B．【點睛】本題考查了利用莖葉圖求平均數(shù)和方差、標準差的應(yīng)用問題，也考查了運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題．12.已知圓錐曲線C的方程是，則下列命題中是假命題的是（）A.曲線C上的點的橫坐標x的取值范圍是B.曲線C關(guān)于直線對稱C.曲線C上的點到曲線C的對稱中心的最遠距離為2D.曲線C的離心率是【答案】D【解析】【分析】由關(guān)于的二次方程有實數(shù)解，運用判別式非負，解得的范圍，可推斷；將換為，換為，方程不變，可推斷；由旋轉(zhuǎn)變換公式可得，代入原方程化簡可得橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)可推斷，．【詳解】解：方程，可看做關(guān)于y的二次方程，依據(jù)方程有實數(shù)解的條件可得，解得，故A正確；將x換為y，y換為x，可得方程不變，則圓錐曲線C關(guān)于直線對稱；同樣將x換為，y換為，可得方程不變，則圓錐曲線C關(guān)于直線對稱，故B正確；由旋轉(zhuǎn)變換公式可得，代入曲線C的方程可得，化為，即為橢圓方程，且長軸長為4，即曲線C上的點到曲線C的對稱中心O的最遠距離為2，離心率為，故C正確，D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查圓錐曲線的方程和性質(zhì)，考查化簡變形實力和運算實力、推理實力，以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．二、填空題13.命題“，”的否定是_________．【答案】對隨意，使【解析】【分析】本題中所給的命題是一個特稱命題，其否定是一個全稱命題，按規(guī)則寫出其否定即可.【詳解】解：∵命題“存在，使”是一個特稱命題∴命題“存在，使”的否定是“對隨意，使”故答案為：對隨意，使【點睛】本題考查命題的否定，正確解答本題，關(guān)鍵是駕馭住命題的否定的定義及書寫規(guī)則，對于兩特別命題特稱命題與全稱命題的否定，留意變換量詞．14.一支田徑隊有男運動員40人，女運動員30人，按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，那么應(yīng)抽取男運動員的人數(shù)是________．【答案】12【解析】【分析】先求出男運動員的人數(shù)占的比例，再用樣本容量乘以此比例，即為所求．【詳解】解：男運動員的人數(shù)占的比例為，故應(yīng)抽取的男運動員的人數(shù)為人，故答案為：12．【點睛】本題主要考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．15.已知點和向量，若，則點B的坐標是_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，，由向量坐標運算法則和向量相等的定義得，，，8，，由此能求出點坐標．【詳解】解：點和向量，，設(shè)，則，解得，，，∴點B的坐標．故答案：．【點睛】本題考查點的坐標的求法，考查向量坐標運算法則和向量相等的定義等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題．16.在相距1000m的A、B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲音的時間相距2s，已知聲速340m/s．以AB的中點O為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則炮彈爆炸點所在曲線的方程為________．【答案】【解析】【分析】由題意可得雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，且由雙曲線的定義可得，的值，再由，，之間的關(guān)系進而求出雙曲線的方程．【詳解】解：由題意可得雙曲線的焦點在x軸上，中心在原點，且，，即，，所以，，所以雙曲線的方程為：；故答案為：．【點睛】考查由雙曲線的定義求標準方程的求法，屬于基本學問干脆應(yīng)用題，雙基考查題，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題17.一個盒子里裝有標號為1，2，4，8的4張標簽．（1）從盒中不放回地隨機取兩張標簽，求取出的標簽上的數(shù)字之和不大于5的概率．（2）從盒中有放回地隨機取兩張標簽，求第一次取出的標簽上的數(shù)字小于其次次取出的標簽上的數(shù)字的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）從盒中不放回地隨機取兩張標簽，基本領(lǐng)件總數(shù)，利用列舉法取出的標簽上的數(shù)字之和不大于5包含的基本領(lǐng)件有2個，由此能求出取出的標簽上的數(shù)字之和不大于5的概率．（2）從盒中有放回地隨機取兩張標簽，基本領(lǐng)件，第一次取出的標簽上的數(shù)字小于其次次取出的標簽上的數(shù)字包含的基本領(lǐng)件有6個，由此能求出第一次取出的標簽上的數(shù)字小于其次次取出的標簽上的數(shù)字的概率．【詳解】解：（1）一個盒子里裝有標號為1，2，4，8的4張標簽．從盒中不放回地隨機取兩張標簽，基本領(lǐng)件總數(shù)，取出的標簽上的數(shù)字之和不大于5包含的基本領(lǐng)件有：（1，2），（1，4），共2個，∴取出的標簽上的數(shù)字之和不大于5的概率．（2）從盒中有放回地隨機取兩張標簽，基本領(lǐng)件，第一次取出的標簽上的數(shù)字小于其次次取出的標簽上的數(shù)字包含的基本領(lǐng)件有：（1，2），（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（4，8），共6個，∴第一次取出的標簽上的數(shù)字小于其次次取出的標簽上的數(shù)字的概率．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題．18.某家庭記錄了運用節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：日用水量頻數(shù)21026203210（1）作出訪用了節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．（2）估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0．4的概率．（3）求該家庭運用節(jié)水龍頭的日用水量的中位數(shù)的估計值（結(jié)果精確到0．01）．【答案】（1）見解析（2）0.58（3）【解析】【分析】（1）由頻數(shù)分布表能作出訪用節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．（2）由頻數(shù)分布表能估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率．（3）由頻率分布直方圖得，的頻率為，，的頻率為，由此能求出該家庭運用節(jié)水龍頭的日用水量的中位數(shù)的估計值．【詳解】解：（1）由頻數(shù)分布表作出訪用了節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下：（2）估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0．4的概率為：．（3）由頻率分布直方圖得：的頻率為，的頻率為，∴該家庭運用節(jié)水龍頭的日用水量的中位數(shù)的估計值（結(jié)果精確到0．01）為：．【點睛】本題考查頻率分布直方圖的作法，考查概率、中位數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，屬于中檔題．19.如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點．（1）求證：；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）見解析（2）【解析】分析】（1）推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明．（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的正切值．【詳解】（1）證明：∵在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點．∴，，∵，∴平面，∵平面，∴．（2）解：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，，∴二面角的正切值為．【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，屬于中檔題．20.已知直線與拋物線（）相交于A，B兩點，且是等腰直角三角形．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l過定點，斜率為k，當k為何值時，直線l與拋物線C只有一個公共點？【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）將代入拋物線的方程，求得，的坐標，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再由兩直線垂直的條件，解方程可得，進而得到拋物線的方程；（2）由題意可得直線與拋物線的對稱軸平行，可得，又直線和拋物線相切，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用判別式為0，可得所求值．【詳解】解：（1）直線與拋物線（）相交于A，B兩點，可設(shè)，，又是等腰直角三角形，可得，則，解得，即有拋物線的方程為；（2）直線l過定點，斜率為k，可設(shè)直線l的方程為，當直線l平行于拋物線的對稱軸x軸，可得直線與拋物線只有一個公共點，即；當直線l與拋物線相切時，可得直線與拋物線只有一個公共點，由可得，，由，解得或，綜上可得或或，直線l與拋物線C只有一個公共點．【點睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要是直線和拋物線有交點，考查方程思想和運算實力，屬于中檔題．21.如圖，四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，平面平面，為的中點．（1）求證：平面；（2）若，，試問在線段DE上是否存在點Q，使得直線BQ與平面PCD所成角的正弦值為？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析（2）存在，DQ的長為．【解析】【分析】（1）由已知證明平面，則，再由，結(jié)合線面垂直的判定可得平面；（2）取中點，則，則底面，以為坐標原點，分別以，為，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明在線段上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，并求得的長為．【詳解】（1）∵平面