2022-2023學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義拓展五：空間向量與立體幾何大題專項訓(xùn)練(32道)(詳解版)

拓展五：空間向量與立體幾何大題專項訓(xùn)練（32道）

等高頻考點

考點精析

類型一異面直線所成的角（2道）

1,（2022?湖南岳陽?高二期末）如圖，在直三棱柱A8C-ABG中，側(cè)面懼，側(cè)面的與民M、N分別

為8C、AG的中點，AB=AC=4,AA[=3i

（1）求證：直線MCJ/面A&V；（2）求異面直線MG與BN

C

所成角的余弦值.

2、（2022?江蘇省如皋中學(xué)高二期末）如圖，直三棱柱ABC-ABG中，AB=AC=AA,=\,AB1AC,。是

棱3c的中點,

G

⑴求異面直線AB,,0G所成角的余弦值;

（2）求二面角8,-AD-C,的余弦值.

類型二直線與平面的夾角（5道）3、（2022?廣東?高二期末）四邊形ABC。是平行四邊形,

7T.1

ZCBA=~,四邊形A5E尸是梯形，BE//AF,且AB_LAF,AB=BE=-AF=\,8c=0，平面ABC￡）_L

平面ABEF.

⑴求證:AC1EF,

（2）求直線EC與平面所成角的正弦值.

4、（2022?云南玉溪?高二期末）如圖，在四棱錐P-A3C￡）中，底面A8CO是矩形，E,尸分別是PC,AB

的中點.

⑴證明：EF//平面PAD；

B

(2)若△24。是邊長為2的等邊三角形，AB=>H，平面P4DJ_平面A8CZ),求直線尸￡>與平面OE廳所成角

的正弦值.

5、(2022?江蘇?鎮(zhèn)江市實驗高級中學(xué)高二期末)在四棱錐P-ABC。中，底面A5CZ)為矩形,以)，底面45a),

通=2,直線厚與底面A5O成60角'點M,N分別是孫形的中點.

(1)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

(2)求二面角P-NC-。的大小的余弦值.

6、(2022?江蘇宿遷?高二期末)在直角梯形CEPD中，PD//EC,PD=S,CE=6,A為線段PD的中點，四邊

形A3C。為正方形.將四邊形以BE沿A8折疊，使得得到如圖(2)所示的幾何體.

⑴求直線PD與平面PCE所

(1)(2)

成角的正弦值；

(2)當(dāng)F為線段A8的中點時，求二面角P-CE-尸的余弦值.

7、(2022?湖北咸寧?高二期末)如圖，在梯形43。中，已知AB=4,AD=DC=BC=2,M為AB的中點.

將△ADM沿OW翻折至△Q加，連接PC,PB.

（1）證明：DMLPC.

（2）若二面角P-OM-C的大小為60°,求P8與平面4BCD所成角的正弦值.

類型三平面與平面的夾角（二面角）（12道）

8、（2022?湖北武漢?高二期末）如圖，在四棱錐尸中，平面E4O,平面A8C。，點E為PC的中點,

AB//CD,CD±AD,CD=2AB=2,PA=AD=1,PALAD.

（1）證明：BE_L平面PC。；

（2）求二面角P-8ZAE的余弦值.

9、（2022?廣東梅州?高二期末）如圖是一個四棱柱被一個平面所截的幾何體，底面ABC。是正方形，M是。

的中點，AD=AE=DE=CG=2,BF=\,EMYBD.

⑴證明：BDLGM；

（2）求平面與平面EFG所成二面角的余弦值.

10、（2022?江西上饒?高二期末（理））如圖，在四棱錐P-AfiCD中，PA_L底面

ABCD,AB±AD,BC//AD,PA=AB=BC=^AD,E、f分別為棱PD、PC的中點

⑴作出平面ACE與平面8FE的交線，并說明理由.

⑵求二面角C-AE-尸的余弦值.

11,（2022?福建?福州三中高二期末）如圖，在三棱錐S-A3C中，側(cè)面SAB為等邊三角形，XABC=90,

AB=BC=2,平面SAB，平面A8C,。為AC的中點.

（1）求證：ABA.SD；

（2）若無=2可，求二面角S-尸的大小.

12、（2022?四川省成都市新都一中高二期末（理））如圖，點O是正方形48C。的中心，CDLDE,CD//EF,

CD=2EF=2,AC1OE.

13、（2022?重慶市實驗中學(xué)高二期末）已知底面A8CQ為菱形的直四棱柱，被平面4E尸G所截幾何體如圖

G,

所示.

(1)若CE_LBG,求證：FGLBG；

(2)若AB=2,ND48=60',三棱錐GACD的體積為2叵，直線4尸與底面A5CD所成角的正切值為必，

32

求銳二面角A-EC-3的余弦值.

14、(2022?安徽省臨泉第一中學(xué)高二期末)如圖，在四棱錐中，PAL^ABCD,M,N分別為

PB,尸。的中點，底面ABCQ為正方形，且43=4.

(1)若=證明：PC_L平面AMN.

(2)若平面MNA與底面ABCD所成銳二面角的大小為45°,求PC的長.

15、(2022?云南昆明?高二期末)如圖，在三棱錐P-ABC中，PC_L平面ABC,BC=6AC,ZBAC=^,

M是%的中點.

(1)證明：PAYBC；

(2)若PC=AC,求平面PBC與平面BCM所成角的大小.

16、(2022?廣東廣州?高二期末)如圖，在三棱錐P-ABC中，PCA.BC,A3,平面PBC,AG=GC,PD=DA.

P

D

（1）求證：平面8DG_L平面ABC；

（2）若AB=BC=CP=2,求平面AM與平面CBD的夾角大小.

17、（2022?廣東廣州?高二期末）如圖，。尸為圓錐的高,43為底面圓。的直徑,C為圓0上一點，并且4C=8C，

E為劣弧BC上的一點，且AB=6,OP=4.

（1）若E為劣弧BC的中點，求證：3C，平面POE；

（2）若￡為劣弧BC的三等分點（靠近點C）,求平面PEO與平面PE5的夾角的余弦值.

18、（2022?湖南郴州?高二期末）如圖，直三棱柱ABC-ABC中，A8C是邊長為2的正三角形，。為AB的

中點.

COJL平面A8BH；

（2）若直線BC與平面ABA4所成的角的正切值為半，求平面A8G與平面48G夾角的余弦值.

19、（2022?海南??？谥袑W(xué)高二期末）如圖，在四棱錐尸—A3CD中，AD//BC,ZADC=ZPAB=90°,

BC=CD=-AD=\,E為邊A。的中點，異面直線PA與CO所成的角為90°.

p

(1)在直線抬上找一點M,使得直線CM〃平面P8E,并求翳的值;

⑵若直線C。到平面PBE的距離為平，求平面P5E與平面PBC夾角的余弦值.

類型四點到面的距離(3道)

20、(2022?江蘇宿遷?高二期末)如圖，三棱柱ABC-ABC中，所有棱長都為2,且幺AC=60。，平面AACC」

平面A8C,點P,。分別在A8,上，且AP=AQ.

(1)求證：PQ〃平面B|BCG

(2)當(dāng)點尸是邊AB的中點時，求點用到直線PQ的距離.

21、(2022?安徽?合肥一中高二期末)如圖，在四棱錐尸-A3CO中，底面ABC。為菱形，且AB=2,

7T

ZABC=2NBAD,ZPDC=-,點用為棱的中點.

(1)在棱BC上是否存在一點N,使得CM〃平面PAN,并說明理由;

(2)若P5_LAC,二面角8-CM-。的余弦值為逅時，求點A到平面BCM的距離.

6

22、(2022?江蘇?南京師大附中高二期末)在矩形A8C。中，AD=2AB=2C，點E是線段4。的中點，將

△4〃七沿56折起到425后位置(如圖)，點尸是線段CP的中點.

(1)求證：。尸〃平面尸BE：

(2)若二面角P-BE-C的大小為多求點A到平面PCD的距離.

類型五空間向量動點的設(shè)法(3道)

23、(2022?江蘇徐州?高二期末)如圖，已知SA垂直于梯形A5C。所在的平面，矩形SAOE的對角線交于

JT1

點F,G為S8的中點，ZABC=ZBAD=~,SA=AB=BC=-AD=\.

(1)求證：8?！ㄆ矫鍭EG；

(2)求二面角C-SO-E的余弦值;

(3)在線段EG上是否存在一點//,使得8"與平面SCO所成角的大小為?？若存在，求出GH的長；若不

0

存在，說明理由.

24、(2022?江蘇泰州?高二期末)如圖，在正四棱錐中，AC,30交于點。，45=2,OP=\.

(1)求二面角。一/^—3的大??；

⑵在線段AD上是否存在一點Q,使得PQ與平面APB所成角的正弦值為也?若存在，指出點。的位置

6

若不存在，說明理由.

25、（2022?浙江紹興?高二期末）如圖，在四棱錐尸-A8C。中，底面A5CZ）,ADLAB,AB//CD,

S.AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的動點.

（1）當(dāng)點E是棱尸C的中點時，求直線BE與平面所成角的正弦值;

（2）若E為棱PC上任一點，滿足8ELAC,求二面角P-A8-E的余弦值.

類型六與動點有關(guān)的最值問題（4道）

26、（2022?江蘇淮安?高二期末）已知四棱錐P-A3co的底面為正方形，側(cè)面加。為等腰直角三角形,

7T

ZAPD=-,平面R4D_L平面A5C￡>,平面AWc平面PCD=/.

⑴求證：平面以。；

⑵設(shè)M為/上一點，求PC與平面MAO所成角正弦值的最小值.

27、（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）如圖，在六面體P/WCD中，△PAS是等邊三角形，二面角P-A8-￡>

的平面角為30。，PC=AB=y[2AD=42BD=>/2AC=y/2BC=4.

B

（1）證明：AB±PD；

⑵若點E為線段50上一動點，求直線CE與平面R3所成角的正切的最大值.

28、（2022?福建省福州第八中學(xué)高二期末）已知直三棱柱ABC-A8G中，側(cè)面4ABtB為正方形,AB=BC=2,

E,尸分別為AC和CC,的中點，。為棱4向上的點，BF±A?,.

（1）證明：BFLDE；

⑵求當(dāng)面88CC與面。莊所成的二面角的正弦值最小時，三棱錐E-雙出的體積.

29、（2022?遼寧葫蘆島?高二期末）如圖，在長方體A3CD-A'8'C'D中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長

為2,且動點尸在線段AC上運動.

⑴若。為48'的中點，求點。到平面ACD的距離；

⑵設(shè)直線3'P與平面ACD'所成角為6,求sin6的取值范圍.

類型七立體幾何的探索性問題（3道）

30、（2022?廣東汕尾?高二期末）如圖（1）所示的四邊形ABCP中，AB//PC,ZABC=90°,AD//BC,

PC=2AB=2,沿A。將進(jìn)行翻折，使得NPDC=90。，得到如圖（2）所示的四棱錐P-ABCD.四

棱錐的體積為也，點M為線段8c上的動點（與端點8,C不重合）.

3

⑴求證：P￡>_L平面ABC。；

(2)

⑵探求是否存在大小為?的二面角M-PA-8.如果存在，求出此時線段CM的長度；若不存在，請說明理

O

由.

31、（2022?江蘇常州?高二期末）如圖，在三棱柱中，四邊形48陰4為正方形，四邊形AA/GC

為菱形，且NA4c=60。，平面44/C/CL平面4Ba4,點。為棱B明的中點.

⑴求證：AAi±CD；

⑵棱小G（除兩端點外）上是否存在點M,使得二面角5-4M一用的余弦值為半？若存在'請指出點

M的位置；若不存在，請說明理由.

32、（2022?江蘇省如皋中學(xué)高二期末）如圖，在四棱錐ST5C0中，底面A8CO為矩形，45=4,AB=2,

_uni1iim

ACHHD=O,SO_L平面ABC。，SO=J5,BF=-FC,E是S4的中點.

（1）求直線E尸與平面SCO所成角的正弦值;

（2）在直線SC上是否存在點M,使得平面平面SCD?若存在，求出點M的位置;

若不存在，請說明理由.

拓展五：空間向量與立體幾何大題專項訓(xùn)練（32道）

等高頻考點

考點精析

類型一異面直線所成的角（2道）

1,（2022?湖南岳陽?高二期末）如圖，在直三棱柱A8C-ABG中，側(cè)面懼，側(cè)面的與民M、N分別

為8C、AG的中點，AB=AC=4,AA[=3i

（1）求證：直線MCJ/面A&V；（2）求異面直線MG與BN

所成角的余弦值.

【解題思路】（1）證明平行四邊形得線線平行，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理即可證明.（2）根據(jù)空間直角

坐標(biāo)系根據(jù)向量的夾角求線線角.

【解題過程】（1）證明：取AB的中點P,連PM、PN

因為M，N分別為BC、AG的中點，所以

且MP=（AC,又在直三棱柱ABC-ABC中，

C、N"AC且CM=；AC,所以MP//CR且MP=qN.

所以四邊形MPZq為平行四邊形，所以MCJ/PN

因為MGa平面ABN,PNa平面ABN,

所以直線MCJ/平面ABN；

⑵解:在直三棱柱ABC—AAG中AA，平面ABC,所以AB，AA,

又側(cè)面AACC，側(cè)面AA48,平面例CCD平面A44B=AA，所以48，平面4。。小，分別以

AC、A4PAB所在直線為x，V，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意可知

G(4,3,0),8(0,0,4),M2,3,0),M(2,0,2),所以西=(2,3,-2),就=(2,3,T)；

K引MC.BN2x2+3x3+(-2)x(-4)217493

所以cos<MC,,BN>=I.一=I---------]--------=---------------

切■人\MCt\\BN\百+3?+(-2產(chǎn)也?+3?+(-4>493'

所以異面直線MG與8N所成角的余弦值為嚅.

2、(2022?江蘇省如皋中學(xué)高二期末)如圖，直三棱柱ABC-ASG中，AB=AC=AA,=\,AB1AC,。是

棱BC的中點，

(1)求異面直線Ag,OG所成角的余弦值;

⑵求二面角B,-AD-C,的余弦值.

【解題思路】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點的坐標(biāo)，求出福，西，利用向量的夾角公式求得答案;

(2)求出平面平面用4。和平面ADCt的一個法向量，利用向量夾角公式求得答案.

【解題過程】(1)以｛醺，衣，羽｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型,

則A(0,0,0),8(1,0,0),線(l,0,l),C(0,l,0),D(|,1,0),C,(0,1,1),

—?——11

AB,=(1,0,1),DC,1),

所以cos〈福，/>=瑞禽=個，所以直線Ag,0G所成角的余弦值為《；

(2)設(shè)正=(x,y,z)為平面的一個法向量,

AZ5=（g,；,0）,A瓦=（1,0,1）,

____b]]

m-AD=-x+-y=0rx+y=0

\m-AB；=X+z=0'G+z=O

令x=l,則y=-l,z=-1,機(jī)=（1,-1,一1）,

—?11——

同理4。=（萬,于0）,AC|=（0,1,1）,

nAD=—x+—y=0x+y=0

則22

y+z=0'

fl.ACx=y+z=0

可取平面ADC,的一個法向量為］=

-----m?n11

則cos<見心輛=反耳下

由圖可知二面角4-4O-G為銳角，

所以二面角用-A。-G的余弦值為g.

類型二直線與平面的夾角(5道)

TT

3、(2022?廣東?高二期末)四邊形"。是平行四邊形，四邊形A度是梯形，BEHAF,且

D

ABVAF,AB=BE=-AF=\,BC=0,平面ABC￡>_L平面ABEF.

2

BE

（1）求證：AC±EF；

（2）求直線EC與平面EBD所成角的正弦值.

【解題思路】（1）利用余弦定理求出AC,即可得到AC1.AB,由面面垂直的性質(zhì)得到AC_L平面4BEF,

即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得；

【解題過程】（1）證明：因為45=1,BC=C，ZCBA=^,

由余弦定理AC2=AB2+BC--2AB-BCcosNCBA=l+2-2xlx>/2x—=1,

2

所以AC=1,則AC2+AB2=BC2,所以NBAC=],即ACJ_他，

又平面ABC￡>_L平面ABEF,平面ABCOA平面=ACu平面ABC￡）

所以AC_L平面ABEF,又EFu平面ABEF,所以ACE/7;

（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則以1』,0）、尸（0,2,0）、C（0,0,l）、0（-1,0,1）,

所以就=(—1,一1,1),EF=(-1,1,O),ED=(-2,-1,1),

n-EF=-x+y=0.八.八

設(shè)平面EE。的法向量為〃=（x,y,z）,所以<值而―=。，令I(lǐng)'則〃=(1/,3)，

|反臼1733

設(shè)直線EC與平面E"）所成角為氏貝心血=扁=及忑=方

D

故直線EC與平面EFD所成角的正弦值為醇;

4、(2022?云南玉溪?高二期末)如圖，在四棱錐中，底面ABCO是矩形，E,尸分別是尸C,AB

的中點.

(1)證明：EF//平面PAD；

(2)若△以。是邊長為2的等邊三角形，AB=O,平面PADJ_平面48。，求直線PD與平面OEF所成角

的正弦值.

【解題思路】(D由線面平行的判定定理求解即可；

(2)建立坐標(biāo)系，用向量法求解即可

【解題過程】⑴取尸。的中點G,連接GE,AG,

在^PZX7中，GE//DC,且GE=《OC,

又ZX7/MB,AF=^AB=^DC,

所以GE〃AF,S.GE=AF.

所以四邊形"EG為平行四邊形，

所以EF//GA,

因為EFcZ平面PAD,GAu平面PAD,所以EF〃平面PAD.

(2)取A。的中點為。，連接OP,則

又平面RW_L平面A8CD,貝！JOPJ■平面ABCZ).

建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-型.由已知得

P(O,O,⑹，0(-1,0,0),F|

11,4,。],C(-1,V2,O),5'2'2,

2,號o],DE

所以PD=(—1,0,—6),DF—

n-DF=Q

設(shè)G=(x,y,z)是平面￡＞即的法向量，貝人

n-DE=0

2x+^-y=0

2

即?r-「，令x=l,則石=(1,-2立⑹

13石八''

—x+——y+——z=()

1222

設(shè)直線產(chǎn)。與平面OEF所成的角為夕

|PD.?|_

4百

則sin。=

|PD||W|-2xVi2-3，

所以直線PO與平面。瓦'所成角的正弦值為由.

M,N分別是R1,的中點.

(1)求直線PA與平面尸3c所成角的正弦值;

(2)求二面角P-NC-。的大小的余弦值.

【解題思路】（1）以。為原點，向量D4、詼、。戶的方向為x、y、z軸的正方向，建立坐標(biāo)系，設(shè)AD=I,

設(shè)面P8C的法向量為而=（不如zj,直線E4與面P8C所成的角為，，求出法向量和麗，再代入公式計算；

（2）由（1）知面PBC的法向量為正=（0,石,2）,設(shè)面COV的法向量為日=（超,％4），求出反=（-6,0,1）再

代入公式cos（而用m-n

一I一I門計算;

【解題過程】（1）以。為原點，向量方、玩、麗的方向為x.y.z軸的正方向，建立坐標(biāo)系,

設(shè)A￡>=1,貝UAB=2,

VPQ_L底面ABCD,：.NR4D為直線總與平面ABCO所成的角,

二2PAD=60,/.PD=y/3,

0,0),A(l,0,0),8(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,向,M(；,0,苧)，7V(-,1,

尸/=（1,（）,-石），麗=（1,2,-6）,設(shè)面PBC的法向量為而=（.y”zj,

直線以與面PBC所成的角為巴

則》??=±+2y-Gz]=0且/?-3C=-X1=0,取Z|=2,則4=0,乂=#,.?.根=((),石,2),

麻?珂0T

sm0=...—.=——?

H網(wǎng)7

⑵由(1)知面P8C的法向量為送=(0,6,2),設(shè)面CON的法向量為3=(々,%*2)，

?麗=(1/，￥),反=(0,2,0),。戶=(0,0,6),

n-DN=g々~z2=0K?-DC=2y2=0,

取z?=l,則9=-6，%=。，貝”=(-右,0,1),

又：正.麗=3>0，n-DP=y/3>0,

...二面角P-NC-力的大小的余弦值為

6、（2022?江蘇宿遷?高二期末）在直角梯形CEPD中，PD//EC,PD=8,CE=6,A

為線段叨的中點，四邊形ABCZ）為正方形.將四邊形以8E沿A8折疊，使得上得到如圖（2）所

示的幾何體.

⑴求直線也與平面PCE所

(1)(2)

成角的正弦值；

（2）當(dāng)尸為線段AB的中點時，求二面角P-CE-尸的余弦值.

【解題分析】（D（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用即可向量法計算可得；

【解題過程】⑴解：依題意可得以_LA8、PA±AD,ABLAD,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,0）、3（4,0,0）、。（4,4,0）、￡>（0,4,0）、*0,0,4）、￡（4,0,2）,

所以京=（0,<2）,麗=（工-4,4）,DP=（0,-4,4）,

設(shè)平面PCE的法向量為X”z），所以得二m二。，令日，則z=2,I,所以.0』,2）,

卜?加|4x/3

設(shè)直線即與平面PCE所成角為凡貝^”扇=卬4=不

設(shè)平面CE尸的法向量為加=(a,b,c),所以上會，，\，令6=1,則加=(-2,1,2),

m-CE=-Ab+2c=u

7、(2022?湖北咸寧?高二期末)如圖，在梯形ABQ9中，已知AB=4,AD=DC=BC=2,M為AB的中點.

將△AZW沿。M翻折至△2加，連接PC,PB.

(2)若二面角P-OM-C的大小為60°,求尸8與平面48。所成角的正弦值.

【解題思路】(1)連接AC,交DM于點O,連接PO,根據(jù)線段長度關(guān)系可得四邊形AMCO為菱形，從而

得到DM±AC,再根據(jù)等腰三角形證明DMLPO即可證明平面PCO,從而得到DMLPC.

（2）以。點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，再由（1）可得NPOC=60。，進(jìn)而得到而，再根據(jù)線面

角的向量求法求解即可

【解題過程】（1）證明：連接AC,交于點0,連接尸0.

因為4B=4,AD=DC=BC=2,M為48的中點，所以4M=AQ=CD.

又四邊形A8C。為梯形，則四邊形為菱形，所以O(shè)MLAC.

又P￡>=PM,。是。M的中點，所以O(shè)MLP。.

因為ACu平面PCO,POu平面PCO,ACHPO=O,所以O(shè)M_L平面PCO

又尸Cu平面PCO,所以O(shè)M_LPC.

（2）以。點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因為二面角P-DM-C的大小為60。，由（1）OM_L平面PC。，所以NPOC=60。,

(3、___(h3

易得NB/W=60。，貝!!8(2,6,0),P0,^-,-，方=2,y-,-1

平面48C。的一個法向量而=（（）,（）/），設(shè)/,8與平面48co所成的角為a,

貝kina=|cos（第,：?=*=誓，即網(wǎng)與平面45。所成角的正弦值為呼

類型三平面與平面的夾角（二面角）（12道）

8、（2022?湖北武漢?高二期末）如圖，在四棱錐尸-A8C。中，平面RLDJL平面A8C。，點E為PC的中點,

AB//CD,CD1.AD,CD=2AB=2,PA=AD=1,PA1.AD.

⑴證明：BEJ_平面PC。；

(2)求二面角P-5D-E的余弦值.

【解題思路】(1)取尸。的中點尸，連接EF,根據(jù)題意證得3EJ_P￡),BE上PC,結(jié)合線面垂直的判

定定理證得結(jié)果；(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBD的法向量為(1,1,1),平面E8D的法向

量為后=(1,1,-1),利用向量所成角的余弦值，進(jìn)而得到二面角尸-BD-E的余弦值

【解題過程】(1)證明：取尸。的中點尸，連接4尸，EF,

又回〃CD,AB=gcD,所以￡尸//43,EF=AB,

所以四邊形ABE尸為平行四邊形，所以AF//BE.

因為Q4=AO=1,PF=FD,所以AF_LP￡>.

所以BELPD

因為平面RLDJ?平面A3CD,PA±AD,

所以"_L平面48CO,所以

所以PB=BC=8.

又點E為PC的中點，所以BE_LPC

又PCcPD=D,所以8E_L平面PCD.

⑵

以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,

設(shè)平面PM的法向量為還（”的）,則上募:

x.-z.=0一，、

得取X1=1.得〃1=(1,1,1)

[―辦+y=0

設(shè)平面屈BZ）的法向量為后=（々,）”，），貝!I,々獸"

[n2-BD-0

J,1—

得5"+斗-取馬=1.得|=（□,_1）.

.-X,+y2=0

所以8s⑸司二淌4,

所以二面角P-BD-E的余弦值為g.

9、（2022?廣東梅州?高二期末）如圖是一個四棱柱被一個平面所截的幾何體，底面A8CO是正方形，M是CD

的中點，AD=AE=DE=CG=2,BF=\,EM±BD.

⑴證明：BDA.GMi

⑵求平面EMG與平面EFG所成二面角的余弦值.

【解題思路】(1)由正方體對角線垂直3D_LAC結(jié)合AC7/EG可得結(jié)合題意根據(jù)線面垂直的判

斷定理證明；

⑵利空空間向量處理面面夾角，cos0=|cos(n,8可.【解題過程】⑴證明：連AC,因為AE//CG,AE=CG,

所以四邊形AEGC是平行四邊形，所以AC//EG,

又5O_LAC,所以8￡>_LEG,

而EGcEM=E,所以8。1平面EMG,

因為GA/u平面EMG,所以8￡>J_GM.

(2)解：取AO的中點0,連E。、OM,則。M//AC7/EG,所以E、G、M、。四點共面，

又BD_L平面EMG,EOu平面EMG,所以BDLEO,

又EO_LA。，BD2ADD,所以EO_L面ABC。，

以。為原點，過。垂直于AD的向外的射線為X軸，。。為y軸，0E為z建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則A（OTO）,0（0,1,0）,8（2,-1,0）,￡（0,0,5/3）,C（2,l,0）,

由前=；通=(0,；,圖，所以尸卜,-；岑

—.1V3—?—■,、

所以后尸=2,--,-^-,又￡G=AC=（2,2,0）

設(shè)〃=(x,y,z)為平面EFG的法向量,

2x--y-^-z=0^取“5可得分=（亞-后,5）,

n-EF=O行，

由，一，貝叫

無EG=O

2x+2y=0

又麗=(-2,2,0)是平面EMG的一個法向量,

設(shè)平面EMG與平面EFG所成的角為0,

所以cosjfcos依而卜儡|=卜2勺2閩鬧

丁?J3+3+25-31

10、（2022?江西上饒?高二期末（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

ABCD,AB1AD,BC//AD,PA=AB=BC=AD,E、F分別為棱PD、PC的中點

⑴作出平面ACE與平面BFE的交線，并說明理由.

（2）求二面角C—AE-F的余弦值.

【解題思路】（D根據(jù)證明平行四邊形可得平行線，進(jìn)而可得四點共面，進(jìn)而根據(jù)交點可找交線.

（2）根據(jù)空間坐標(biāo)法，利用法向量的夾角求二面角大小.

【解題過程】（1汝口圖，取A。的中點G,連接8G交AC于H,

連接EH,貝！I平面ACED平面5莊=E"

以下為證明過程

?：AB±AD,BC//AD,AB=BC=-AD,則四邊形ABCG為正方

形，四邊形88G為平行四邊形，，8G=Cr>=28〃，又CD=2EF,故BH/1EF,BH=EF

BHEF為平行四邊形，:.BF〃EH.

則，5、尸、E、H四點共面，.平面8莊，

又He平面ACE:.H為平面ACE與平面BEF的公共點，又r.E為平面4CE與平面BEF的公共點

..平面ACE口平面BFE=EH

⑵因為PA_L底面ABCD,AB,ADu平面ABCD,所以a_LM,

PAJ_AD.由題意可知，AB,A￡>,4尸兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系。-孫Z,不妨令上4=2,則A（0,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,2）,

E（0,2,1）所以衣=（2,2,0）,通=（0,2,1）,

設(shè)平面4CE的一個法向量為加=（x,y,z）.

fAC-/n=012x+2y=0,_八?*

Si—八得：I八不妨令x=l,得加=（1,-1,2）.

AE-m=0[2y+z=0.

故平面ACE"的一個法向量機(jī)=（1,T,2）,

麗=（0,0,2）,通=（0,2,1）,所以而=而+；斤=（1,1,1）

設(shè)平面AEF的一個法向量為3=（%,%,Z。）.

?A*,弁=0,殂J2y+z=0,-/、

由彳得彳00令%=1,得〃=（1,1,一2）,,

7

[AF-n=0,[xo+yo+zo=O.'

所以cos（前,》=mn1—1—42

同“aX瓜3,

因為二面角為銳角，所以一面角C-AE-尸的余弦值為（

11、（2022?福建?福州三中高二期末）如圖，在三棱錐S-A3C中，側(cè)面SAB為等邊三角形，/ABC=90,

AB=8C=2,平面SA5L平面ABC,。為AC的中點.

B

⑴求證：ABYSD；

(2)若定=2/，求二面角S-AB-P的大小.

【解題思路】Q)取A8中點￡,由面面垂直和線面垂直性質(zhì)可證得SELAB,結(jié)合A8J_￡>E,由線面垂直

判定可證得平面SDE,由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)以E為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，由向量數(shù)乘運算可求得尸點坐標(biāo)，利用二面角的向量求法可

求得結(jié)果.

【解題過程】(1)取A8中點E,連接SE,Z)E,

?.?△SAB為等邊三角形,E為AB中點,:.SE±AB,

?平面SA8_L平面A8C,平面SABD平面A3C=A8,SEu平面ABC,

.?.SE_L平面ABC,XABI平面ABC,:.SE1AB；

?.?￡>,￡?分別為中點，.?.DE7/AB,又乙48。=90,.".越_1_￡>￡,

,.?￡)E,SEu平面S￡)E,DEC\SE=E,ABSDE,

又S￡)u平面SDK,:.ABLSD.

⑵以E為坐標(biāo)原點，麗，而，旃為％Xz軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則A（-1,O,O）,5（1,0,0）,S（0,0,G）,C（l,2,0）,.?.通=（2,0,0）,

設(shè)尸(x,y,z),則斤=(l—x,2—y,—z),SP=^x,y,z-^

I

x=—

\-x=2x3

2，即Pf

由1=2可得：.2-y=2y，解得:y=-

3

-z=2(z-退)

273

z=---

3

???麗=用

設(shè)平面的法向量〃=（a,b,c）,

ABn=2a=0

則，一422百，令c=l,解得：〃=0,b=-G，；

AP-n=-a+-b+^-c=O'）

333

uI——?J3

又平面SAB的一個法向量m=（0,1,0）,.,.cos<m,n>\=匕g=—；

Hrl2

由圖象知：二面角S-AB-P為銳二面角，，二面角S-AB-P的大小為

0

12、（2022?四川省成都市新都一中高二期末（理））如圖，點。是正方形A5C。的中心，CD1DE,CD//EF,

（2）若直線0E與平面ABCD所成角的正弦值為也，求二面角E-AC-F的余弦值.

3

【解題思路】（1）由正方形性質(zhì)和線面垂直判定可知AC_L平面8E,由此可得月C_LDE,結(jié)合C￡）_L0E,

由線面垂直的判定可得結(jié)論；

（2）以。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角定義可求得匹=1,利用二面角的向量求法可求得

結(jié)果.

【解題過程】(1)；四邊形A3。為正方形，

.-.AC1BD,又AC_LO￡,BDcOE=O,8￡>,OEu平面,

r.AC_L平面OOE,

???DEu平面O￡>E,

：.ACIDEi

又CDA.DE,ACC\CD=C,AC,8u平面ABC。，

.?.EE>_L平面ABCD.

(2)

LILUUUUiumu

以。為坐標(biāo)原點，D&OCOE的正方向為x，％z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

?.?ED_L平面ABCD,

???直線OE與平面ABCD所成角為NEOD,

ED

sinZEO￡)=—

OE4可+ED?T，

解得：￡0=1;

￡(0,0,1),4(2,(),0),C(0,2,0),F(0,1,1),

.-.AC=(-2,2,0),^4￡=(-2,0,1),麗=(0,-1,1),

設(shè)平面E4C的法向量”=(x,y,z),

AC-n=-2x+