34-第三章第四節(jié)(概率統(tǒng)計)

3.4兩個隨機變量函數(shù)的分布第三章多維隨機變量及其分布內(nèi)容簡介:已經(jīng)討論過一個隨機變量函數(shù)的分布問題,本節(jié)討論兩個隨機變量函數(shù)的概率分布.兩個隨機變量函數(shù)的概率分布有許多的實際應(yīng)用,其各個例題的處理方法具有代表性.

第三章多維隨機變量及其分布3.4兩個隨機變量函數(shù)的分布3.4.1提出問題(1)設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,它們都服從標準正態(tài)分布,Z=2X+Y概率分布怎樣

?

(2)設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,它們的極大隨機變量、極小隨機變量的概率分布怎樣

？3.4.2預(yù)備知識

1.一個隨機變量函數(shù)的概率分布問題，二維隨機變量的分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系；

2.隨機事件和的概率加法公式，隨機變量獨立的充分必要條件，反常二重積分計算，卷積公式

.

3.4.3方法應(yīng)用

在2.5節(jié)中,已經(jīng)討論過一個隨機變量函數(shù)的分布問題,本節(jié)討論兩個隨機變量函數(shù)的分布,我們只就下面幾個具體的函數(shù)關(guān)系來討論,其中的處理方法具有普遍的代表性.

例3.4.1

設(shè)離散型隨機變量(X,Y)的分布律為求隨機變量Z=X+Y的分布律.解Z=X+Y的可能取值為0,1,2和3.

1.

隨機變量和的分布:Z=X+Y

(1)

離散型隨機變量情形

XY01201/41/61/811/41/81/12P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=1/4,

因此,Z=X+Y的表格形式的分布律為

Z=X+Y0123PZ1/45/121/41/12P{Z=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=1/4+1/6=5/12,

P{Z=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=1,Y=1}=1/8+1/8=1/4,

P{Z=3}=P{X=2,Y=1}=1/12.

Z取各值的概率分別為

對于非負整數(shù)i,{Z=i}={X+Y=i}可按下列方式分解為若干個兩兩互不相容的事件之和:

證Z=X+Y的可能取值為0,1,2,….

例3.4.2設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,其分布律分別為

P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….證明隨機變量Z=X+Y的分布律為

P{Z=i}=P{X=k,Y=i-k}=P{X=k}P{Y=i-k}=p(k)q(i-k),k=0,1,2,…,i.又由X,Y的獨立性(3.3.1)式知

,

{Z=i}={X+Y=i} ={X=0,Y=i}∪{X=1,Y=i-1}∪

…∪{X=i,Y=0}.因此,

講評例3.4.1和例3.4.2這種解決問題的方法具有一般性.用類似的方法同樣可以求隨機變量差X-Y,隨機變量積XY,極大隨機變量max{X,Y}和極小隨機變量min{X,Y}等的分布律.

(2)

連續(xù)型隨機變量情形

設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),則Z=X+Y的分布函數(shù)為(參見圖3-5)固定z和y,對上述積分作變量變換,

圖3-5積分區(qū)域G:x+y≤z令x=u-y,

得于是

由概率密度的定義,即得Z=X+Y的概率密度

由X,Y的對稱性,fZ(z)又可寫成

(3.4.1)和(3.4.2)式是兩個隨機變量和Z=X+Y的概率密度的一般計算公式.

特別地,當(dāng)X和Y相互獨立時,設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為fX(x),fY(y),則(3.4.1)和(3.4.2)式化為這兩個公式稱為卷積公式,記為f

X*f

Y,即

例3.4.3

設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,它們都服從標準正態(tài)分布N(0,1),其概率密度為,-∞<x<+∞和

,-∞<y<+∞.求Z=X+Y的概率密度.解

由(3.4.4)式知

定理1設(shè)X,Y相互獨立且X~N(,),Y~N(,),則Z=X+Y仍服從正態(tài)分布,且有Z~N(+,+).

對于一般正態(tài)分布N(,

)和N(,),用同樣的處理方法也有類似結(jié)論.即Z=X+Y服從N(0,2)分布.證明方法同例3.4.3,此處略.

這個結(jié)論還能推廣到n個獨立正態(tài)隨機變量之和的情況,即若Xi

~N(μi,σi2)(i=1,2,…,n),且它們相互獨立,則它們的和Z=X1+X2+…+Xn仍然服從正態(tài)分布,且

更一般地,可以證明有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.即其中ci為常數(shù),i=1,2,…,n.例如，根據(jù)上述結(jié)論可知，

★例3.4.4

(05考研數(shù)(三))設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度fX(x),fY(y);(2)Z=2X-Y的概率密度fZ(z);

(3)

解(1)當(dāng)0<x<1時,

所以同理，當(dāng)0<y<2時，

所以

(2)先求Z=2X-Y的分布函數(shù)：當(dāng)z<0時，

當(dāng)0≤z<2時,考慮2x－y≤z和f(x,y)≠0的定義范圍,得到圖3－6.圖3－6積分區(qū)域和f(x,y)≠0的區(qū)域

當(dāng)z≥2時，

所以,分布函數(shù)為

因此,概率密度為

(3)因為

又由于所以,所求概率為

(1)此題是2005年考研數(shù)(三)大題，也是?？碱}型；(2)此題是求解隨機變量線性函數(shù)Z=2X-Y的概率密度，是本科知識求“和函數(shù)Z=X+Y的概率密度”的推廣，用的是方法和學(xué)習(xí)能力；

(3)此題解法綜合，全體同學(xué)應(yīng)熟練掌握其解法.

講評

2.極大隨機變量和極小隨機變量的分布

設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y).現(xiàn)在來求極大隨機變量M=max{X,Y}及極小隨機變量N=min{X,Y}的分布函數(shù).

由于M=max{X,Y}不大于z等價于X和Y都不大于z,故有P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}.

又由于X和Y相互獨立,得到M=max{X,Y}的分布函數(shù)為

Fmax(z)=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}

=P{X≤z}P{Y≤z}.即

Fmax(z)=FX(z)FY(z).

(3.4.7)

類似地,可得N=min{X,Y}的分布函數(shù)為

Fmin(z)=P{N≤z}=1-P{N>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}.即

Fmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)].(3.4.8)

以上結(jié)果容易推廣到n個相互獨立的隨機變量的情況.

設(shè)X1,X2,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量.它們的分布函數(shù)分別為(i=1,2,…,n),則M=max{X1,X2,…,Xn}及N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函數(shù)為Fmax(z)=

Fmin(z)=1-

特別地,當(dāng)X1,X2,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時,有Fmax(z)=[F(z)]n,

(3.4.11)Fmin(z)=1-[1-F(z)]n.(3.4.12)

例3.4.5

設(shè)X1,X2,…,Xn是相互獨立的n個隨機變量，若Y=min{X1,X2,…,Xn}.試在以下情況下求Y的分布.求:

(1)Xi～Fi(x),i=1,2,…,n;

(2)Xi同分布，即Xi～F(x),i=1,2,…,n;(3)Xi為連續(xù)型隨機變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)p(x),i=1,2,…,n;

(4)Xi～E(λ),i=1,2,…,n.解

(1)Y=min{X1,X2,…,Xn}的分布函數(shù)為

FY(y)=P{min{X1,X2,…,Xn}≤y}=1-P{max{X1,X2,…,Xn}>y}=1-P{X1>y,X2>y,…,Xn>y}=1-P{X1>y}P{X2>y}…P{Xn

>y}

(2)將Xi的共同分布函數(shù)F(x)代入上式得

FY(y)=1-[1-F(y)]n.

(3)Y的分布函數(shù)見上式，概率密度可對上式關(guān)于y求導(dǎo)，得到

(4)將E(λ)的分布函數(shù)和概率密度代入問題(2),(3),

得可以看出，min{X1,X2,…,Xn}仍服從指數(shù)分布，參數(shù)為.這個結(jié)果在例7.2.3要用到.3.4.4內(nèi)容小結(jié)與思考

本次課主要介紹了

(1)兩