機(jī)器人學(xué)之多機(jī)器人系統(tǒng)算法：博弈論：博弈論基礎(chǔ)

機(jī)器人學(xué)之多機(jī)器人系統(tǒng)算法：博弈論：博弈論基礎(chǔ)1博弈論在機(jī)器人學(xué)中的重要性在機(jī)器人學(xué)領(lǐng)域，尤其是在多機(jī)器人系統(tǒng)中，博弈論提供了一種分析和設(shè)計(jì)機(jī)器人交互策略的強(qiáng)大工具。它幫助我們理解在不確定和競爭環(huán)境中，機(jī)器人如何做出最優(yōu)決策。多機(jī)器人系統(tǒng)可能涉及多個(gè)自主機(jī)器人在共享空間中執(zhí)行任務(wù)，如搜索與救援、環(huán)境監(jiān)測、物流配送等，這些場景下，機(jī)器人之間的合作與競爭關(guān)系至關(guān)重要。1.1博弈論基礎(chǔ)博弈論主要研究在策略相互依賴的環(huán)境下，參與者如何選擇行動(dòng)以最大化自己的收益。在多機(jī)器人系統(tǒng)中，每個(gè)機(jī)器人可以被視為一個(gè)參與者，它們的行動(dòng)（如移動(dòng)方向、任務(wù)選擇）會影響其他機(jī)器人的收益，同時(shí)也受其他機(jī)器人行動(dòng)的影響。1.1.1納什均衡納什均衡是博弈論中的一個(gè)核心概念，指的是在給定其他參與者的策略時(shí)，任何參與者都不愿意改變自己的策略。在多機(jī)器人系統(tǒng)中，納什均衡可以幫助我們找到在特定任務(wù)分配或資源競爭中，機(jī)器人之間穩(wěn)定且最優(yōu)的策略組合。1.1.2博弈矩陣博弈矩陣是描述博弈中所有可能策略組合及其結(jié)果的表格。例如，考慮兩個(gè)機(jī)器人在執(zhí)行任務(wù)時(shí)的選擇，每個(gè)機(jī)器人可以選擇執(zhí)行任務(wù)A或任務(wù)B，其收益可以用以下矩陣表示：機(jī)器人2選擇A機(jī)器人2選擇B機(jī)器人1選擇A(2,2)(1,3)機(jī)器人1選擇B(3,1)(0,0)在這個(gè)矩陣中，每個(gè)單元格內(nèi)的兩個(gè)數(shù)字分別代表機(jī)器人1和機(jī)器人2的收益。例如，如果兩個(gè)機(jī)器人都選擇執(zhí)行任務(wù)A，它們的收益分別為2和2。1.2多機(jī)器人系統(tǒng)算法概述多機(jī)器人系統(tǒng)算法設(shè)計(jì)旨在優(yōu)化機(jī)器人團(tuán)隊(duì)的整體性能，同時(shí)考慮個(gè)體機(jī)器人的自主性和協(xié)作性。博弈論可以作為設(shè)計(jì)這些算法的理論基礎(chǔ)，特別是在處理機(jī)器人之間的競爭和合作時(shí)。1.2.1分布式任務(wù)分配在分布式任務(wù)分配中，每個(gè)機(jī)器人獨(dú)立決定執(zhí)行哪個(gè)任務(wù)，以最大化團(tuán)隊(duì)的整體收益。這可以通過設(shè)計(jì)基于博弈論的算法來實(shí)現(xiàn)，例如，使用拍賣機(jī)制或市場均衡算法，讓機(jī)器人根據(jù)任務(wù)的收益和成本進(jìn)行競價(jià)或交易。1.2.2協(xié)同路徑規(guī)劃協(xié)同路徑規(guī)劃是多機(jī)器人系統(tǒng)中的另一個(gè)關(guān)鍵問題，尤其是在有限的資源或空間中。博弈論可以幫助設(shè)計(jì)算法，以最小化機(jī)器人之間的碰撞風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)優(yōu)化任務(wù)完成時(shí)間。例如，可以使用潛在場方法或圖論中的最短路徑算法，結(jié)合博弈論中的策略選擇，來實(shí)現(xiàn)高效的路徑規(guī)劃。1.2.3信息共享與決策在多機(jī)器人系統(tǒng)中，信息共享和決策是確保團(tuán)隊(duì)協(xié)作的關(guān)鍵。博弈論可以用于設(shè)計(jì)信息共享策略，如基于信譽(yù)的共享機(jī)制，以及決策算法，如基于貝葉斯博弈的決策模型，以提高團(tuán)隊(duì)的適應(yīng)性和效率。2示例：分布式任務(wù)分配假設(shè)我們有兩個(gè)機(jī)器人和兩個(gè)任務(wù)，任務(wù)A和任務(wù)B。每個(gè)任務(wù)都有一個(gè)固定的收益，但機(jī)器人執(zhí)行任務(wù)的成本不同。我們可以使用一個(gè)簡單的拍賣機(jī)制來分配任務(wù)，機(jī)器人根據(jù)任務(wù)的收益和自己的成本進(jìn)行競價(jià)。#分布式任務(wù)分配示例代碼

classRobot:

def__init__(self,id,cost_A,cost_B):

self.id=id

self.cost_A=cost_A

self.cost_B=cost_B

self.task=None

defbid(self,task,bids):

#計(jì)算機(jī)器人對任務(wù)的收益

iftask=='A':

gain=10-self.cost_A

else:

gain=15-self.cost_B

#提交競價(jià)

bids[task]=max(bids.get(task,0),gain)

returnbids

#定義兩個(gè)機(jī)器人

robot1=Robot(1,3,7)

robot2=Robot(2,5,4)

#定義任務(wù)收益和機(jī)器人成本

tasks=['A','B']

bids={}

#機(jī)器人進(jìn)行競價(jià)

fortaskintasks:

bids=robot1.bid(task,bids)

bids=robot2.bid(task,bids)

#分配任務(wù)

assigned_tasks={}

fortask,bidinbids.items():

ifbid>0:

iftask=='A':

ifrobot1.cost_A<robot2.cost_A:

assigned_tasks[robot1.id]='A'

else:

assigned_tasks[robot2.id]='A'

else:

ifrobot1.cost_B<robot2.cost_B:

assigned_tasks[robot1.id]='B'

else:

assigned_tasks[robot2.id]='B'

#輸出任務(wù)分配結(jié)果

print("任務(wù)分配結(jié)果：",assigned_tasks)在這個(gè)示例中，我們定義了兩個(gè)機(jī)器人，每個(gè)機(jī)器人都有自己的成本函數(shù)，用于計(jì)算執(zhí)行任務(wù)A或任務(wù)B的成本。機(jī)器人通過競價(jià)機(jī)制來表達(dá)對任務(wù)的偏好，最終任務(wù)被分配給成本最低的機(jī)器人，以最大化團(tuán)隊(duì)的整體收益。通過上述示例，我們可以看到博弈論如何應(yīng)用于多機(jī)器人系統(tǒng)算法設(shè)計(jì)中，特別是在分布式任務(wù)分配問題上。這不僅提高了任務(wù)執(zhí)行的效率，還增強(qiáng)了機(jī)器人團(tuán)隊(duì)的協(xié)作性和適應(yīng)性。3博弈論基礎(chǔ)3.1基本概念與術(shù)語在博弈論中，博弈（Game）是指兩個(gè)或兩個(gè)以上參與者（Players）根據(jù)一定的規(guī)則（Rules），通過選擇策略（Strategies）來決定結(jié)果（Outcomes）的一種互動(dòng)決策過程。博弈論的核心在于分析參與者如何在不確定的環(huán)境中做出最優(yōu)決策，以及這些決策如何影響博弈的最終結(jié)果。3.1.1參與者（Players）參與者是博弈中的決策主體，可以是個(gè)人、機(jī)器人、公司等。在多機(jī)器人系統(tǒng)中，每個(gè)機(jī)器人都是一個(gè)參與者，它們通過算法來選擇行動(dòng)策略。3.1.2策略（Strategies）策略是參與者在博弈中可選擇的行動(dòng)方案。例如，在一個(gè)搜索任務(wù)中，機(jī)器人可以選擇“探索”或“跟隨”策略。策略的選擇直接影響博弈的結(jié)果。3.1.3結(jié)果（Outcomes）結(jié)果是博弈結(jié)束后，每個(gè)參與者獲得的收益或損失。在多機(jī)器人系統(tǒng)中，結(jié)果可能包括任務(wù)完成的時(shí)間、資源消耗、能量使用等。3.1.4支付矩陣（PayoffMatrix）支付矩陣是描述博弈結(jié)果的一種方式，它列出了所有參與者在所有可能策略組合下的收益。例如，在零和博弈中，支付矩陣顯示了每個(gè)參與者在不同策略組合下的得分，總和為零。3.2博弈的類型：零和博弈與非零和博弈3.2.1零和博弈（Zero-SumGame）零和博弈是指所有參與者收益的總和為零的博弈。在零和博弈中，一個(gè)參與者的收益意味著另一個(gè)參與者的損失。例如，兩個(gè)機(jī)器人在有限資源環(huán)境中競爭，一個(gè)機(jī)器人獲取資源，另一個(gè)機(jī)器人就失去獲取資源的機(jī)會。3.2.1.1示例：石頭、剪刀、布游戲石頭、剪刀、布是一個(gè)典型的零和博弈。兩個(gè)機(jī)器人（參與者）選擇石頭、剪刀或布作為策略，支付矩陣如下：石頭剪刀布石頭0,01,-1-1,1剪刀-1,10,01,-1布1,-1-1,10,0在這個(gè)矩陣中，每一行代表一個(gè)機(jī)器人的策略，每一列代表另一個(gè)機(jī)器人的策略。例如，當(dāng)兩個(gè)機(jī)器人都選擇石頭時(shí)，結(jié)果是0,0，表示雙方都沒有收益也沒有損失。3.2.2非零和博弈（Non-Zero-SumGame）非零和博弈是指所有參與者收益的總和不為零的博弈。在非零和博弈中，參與者之間可能存在合作，共同獲得更大的收益。例如，兩個(gè)機(jī)器人在執(zhí)行搜索任務(wù)時(shí)，通過合作可以更快地完成任務(wù)，從而雙方都獲得正收益。3.2.2.1示例：合作搜索任務(wù)假設(shè)兩個(gè)機(jī)器人A和B在一個(gè)未知環(huán)境中執(zhí)行搜索任務(wù)，環(huán)境中有兩個(gè)目標(biāo)點(diǎn)。如果兩個(gè)機(jī)器人合作，它們可以同時(shí)找到兩個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，從而獲得更高的收益。支付矩陣可以簡化為以下形式：合作競爭A合作2,20,1A競爭1,01,1在這個(gè)矩陣中，如果兩個(gè)機(jī)器人都選擇合作策略，它們將獲得2,2的收益，表示雙方都獲得了正收益。如果一個(gè)選擇合作，另一個(gè)選擇競爭，合作的一方將獲得較低的收益，而競爭的一方將獲得較高的收益。3.3結(jié)論在多機(jī)器人系統(tǒng)算法中，理解博弈論的基礎(chǔ)概念和類型對于設(shè)計(jì)有效的決策算法至關(guān)重要。通過分析支付矩陣，機(jī)器人可以預(yù)測對手的策略，從而做出最優(yōu)決策，無論是在零和博弈還是非零和博弈中。4策略與納什均衡4.1純策略與混合策略在博弈論中，策略是參與者在博弈中可能采取的一系列行動(dòng)或計(jì)劃。對于多機(jī)器人系統(tǒng)算法，策略可以視為機(jī)器人在面對不同環(huán)境或?qū)κ謺r(shí)的決策規(guī)則。策略分為純策略和混合策略。4.1.1純策略純策略是指在博弈中，參與者總是選擇相同的行動(dòng)。例如，在一個(gè)簡單的追逐游戲中，如果一個(gè)機(jī)器人總是選擇向左移動(dòng)，那么“向左移動(dòng)”就是它的純策略。4.1.2混合策略混合策略則是參與者在博弈中以一定的概率隨機(jī)選擇不同的行動(dòng)。在多機(jī)器人系統(tǒng)中，混合策略可以增加對手預(yù)測機(jī)器人行動(dòng)的難度，從而提高機(jī)器人在博弈中的表現(xiàn)。例如，一個(gè)機(jī)器人可能以50%的概率選擇向左移動(dòng)，以50%的概率選擇向右移動(dòng)。4.2納什均衡的定義與例子納什均衡是博弈論中的一個(gè)核心概念，由約翰·納什提出。在一個(gè)博弈中，一組策略構(gòu)成納什均衡，如果每個(gè)參與者在其他參與者策略不變的情況下，沒有動(dòng)力改變自己的策略。換句話說，每個(gè)參與者選擇的策略都是對其他參與者策略的最佳響應(yīng)。4.2.1定義假設(shè)存在一個(gè)博弈，其中包含多個(gè)參與者，每個(gè)參與者都有一個(gè)策略集。一組策略構(gòu)成納什均衡，如果對于每個(gè)參與者i，其策略si是給定其他參與者策略s?其中ui是參與者i的效用函數(shù)，S4.2.2例子4.2.2.1石頭、剪刀、布游戲石頭、剪刀、布是一個(gè)典型的博弈論例子，可以用來說明納什均衡。在這個(gè)游戲中，兩個(gè)玩家同時(shí)出石頭、剪刀或布，石頭贏剪刀，剪刀贏布，布贏石頭。如果兩個(gè)玩家都出相同的選項(xiàng)，則平局。假設(shè)兩個(gè)機(jī)器人參與這個(gè)游戲，它們的策略集為{石頭,剪刀,布}。如果一個(gè)機(jī)器人總是出石頭，另一個(gè)機(jī)器人可以總是出布來贏得比賽。但是，如果兩個(gè)機(jī)器人都采用混合策略，即以相等的概率隨機(jī)出石頭、剪刀或布，那么它們的策略就構(gòu)成了納什均衡。在這種情況下，每個(gè)機(jī)器人都沒有動(dòng)力改變自己的策略，因?yàn)闊o論它如何改變，獲勝的概率都不會增加。4.2.2.2代碼示例下面是一個(gè)使用Python實(shí)現(xiàn)的石頭、剪刀、布游戲的納什均衡檢查函數(shù)。這個(gè)函數(shù)接受兩個(gè)機(jī)器人的策略（以概率分布表示），并檢查它們是否構(gòu)成納什均衡。importnumpyasnp

#策略矩陣，表示每個(gè)策略對其他策略的得分

payoff_matrix=np.array([[0,-1,1],[1,0,-1],[-1,1,0]])

defis_nash_equilibrium(strategy1,strategy2):

"""

檢查兩個(gè)策略是否構(gòu)成納什均衡。

參數(shù):

strategy1:第一個(gè)機(jī)器人的策略，一個(gè)長度為3的概率分布數(shù)組。

strategy2:第二個(gè)機(jī)器人的策略，一個(gè)長度為3的概率分布數(shù)組。

返回:

True如果構(gòu)成納什均衡，否則False。

"""

#計(jì)算每個(gè)機(jī)器人的期望得分

expected_score1=np.dot(strategy1,np.dot(payoff_matrix,strategy2))

expected_score2=np.dot(strategy2,np.dot(payoff_matrix.T,strategy1))

#檢查策略1是否對策略2的最佳響應(yīng)

foriinrange(3):

alternative_strategy1=np.zeros(3)

alternative_strategy1[i]=1

ifnp.dot(alternative_strategy1,np.dot(payoff_matrix,strategy2))>expected_score1:

returnFalse

#檢查策略2是否對策略1的最佳響應(yīng)

foriinrange(3):

alternative_strategy2=np.zeros(3)

alternative_strategy2[i]=1

ifnp.dot(alternative_strategy2,np.dot(payoff_matrix.T,strategy1))>expected_score2:

returnFalse

returnTrue

#兩個(gè)機(jī)器人都以相等的概率隨機(jī)出石頭、剪刀或布

robot1_strategy=np.array([1/3,1/3,1/3])

robot2_strategy=np.array([1/3,1/3,1/3])

#檢查是否構(gòu)成納什均衡

print(is_nash_equilibrium(robot1_strategy,robot2_strategy))#應(yīng)該輸出True在這個(gè)例子中，兩個(gè)機(jī)器人都以相等的概率隨機(jī)出石頭、剪刀或布，這構(gòu)成了納什均衡。無論哪個(gè)機(jī)器人改變策略，其獲勝的概率都不會增加，因此沒有動(dòng)力改變策略。4.2.3結(jié)論納什均衡是博弈論中一個(gè)重要的概念，它描述了在多機(jī)器人系統(tǒng)算法中，當(dāng)每個(gè)機(jī)器人選擇的策略都是對其他機(jī)器人策略的最佳響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到的一種穩(wěn)定狀態(tài)。理解納什均衡對于設(shè)計(jì)和分析多機(jī)器人系統(tǒng)中的決策算法至關(guān)重要。5擴(kuò)展型博弈5.1擴(kuò)展型博弈樹擴(kuò)展型博弈樹是描述動(dòng)態(tài)博弈的一種圖形表示方法，它以樹形結(jié)構(gòu)展示博弈的進(jìn)程，每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)決策點(diǎn)，每條邊代表一個(gè)可能的行動(dòng)。這種表示方法特別適用于有先后行動(dòng)順序的博弈，能夠清晰地展示每個(gè)參與者的決策路徑和可能的博弈結(jié)果。5.1.1示例：一個(gè)簡單的擴(kuò)展型博弈樹假設(shè)我們有兩個(gè)機(jī)器人，分別稱為機(jī)器人A和機(jī)器人B，它們在一個(gè)簡單的游戲中進(jìn)行博弈。游戲規(guī)則如下：機(jī)器人A首先決定是否“合作”或“背叛”。然后，機(jī)器人B根據(jù)機(jī)器人A的決策，決定自己的行動(dòng)，也是“合作”或“背叛”。根據(jù)兩個(gè)機(jī)器人的決策，游戲會有不同的結(jié)果。我們可以用擴(kuò)展型博弈樹來表示這個(gè)博弈過程：graphTD;

A[機(jī)器人A]-->|合作|B1(機(jī)器人B);

A-->|背叛|B2(機(jī)器人B);

B1-->|合作|C1(結(jié)果1);

B1-->|背叛|C2(結(jié)果2);

B2-->|合作|C3(結(jié)果3);

B2-->|背叛|C4(結(jié)果4);5.1.2逆向歸納法逆向歸納法是一種解決擴(kuò)展型博弈問題的策略，它從博弈的最后一個(gè)決策點(diǎn)開始，逐步向前推導(dǎo)最優(yōu)策略。這種方法特別適用于完美信息博弈，即所有參與者在每個(gè)決策點(diǎn)都能看到之前的所有行動(dòng)。5.1.3示例：使用逆向歸納法解決上述博弈假設(shè)游戲的結(jié)果可以用以下矩陣表示，其中正數(shù)表示收益，負(fù)數(shù)表示損失：機(jī)器人A合作背叛合作3,30,5背叛5,01,1在這個(gè)矩陣中，第一個(gè)數(shù)字代表機(jī)器人A的收益或損失，第二個(gè)數(shù)字代表機(jī)器人B的收益或損失。5.1.3.1逆向歸納法步驟：從最后一個(gè)決策點(diǎn)開始：在這個(gè)例子中，我們從機(jī)器人B的決策開始。計(jì)算每個(gè)決策點(diǎn)的最優(yōu)策略：如果機(jī)器人A選擇“合作”，機(jī)器人B選擇“背叛”將獲得最大收益（5）。如果機(jī)器人A選擇“背叛”，機(jī)器人B選擇“背叛”將獲得最大收益（1）。向前推導(dǎo)：基于機(jī)器人B的最優(yōu)策略，機(jī)器人A可以推斷出如果它選擇“合作”，機(jī)器人B將選擇“背叛”，導(dǎo)致機(jī)器人A的收益為0。因此，機(jī)器人A的最優(yōu)策略是“背叛”，無論機(jī)器人B如何行動(dòng)，它都能保證至少獲得1的收益。5.1.3.2代碼示例#定義收益矩陣

payoff_matrix={

('合作','合作'):(3,3),

('合作','背叛'):(0,5),

('背叛','合作'):(5,0),

('背叛','背叛'):(1,1)

}

#逆向歸納法

defbackward_induction(matrix):

#最后一個(gè)決策點(diǎn)：機(jī)器人B

if'合作'inmatrix:

#如果機(jī)器人A選擇合作，機(jī)器人B選擇背叛

ifmatrix[('合作','背叛')][1]>matrix[('合作','合作')][1]:

return('背叛',matrix[('合作','背叛')])

else:

return('合作',matrix[('合作','合作')])

else:

#如果機(jī)器人A選擇背叛，機(jī)器人B選擇背叛

ifmatrix[('背叛','背叛')][1]>matrix[('背叛','合作')][1]:

return('背叛',matrix[('背叛','背叛')])

else:

return('合作',matrix[('背叛','合作')])

#機(jī)器人B的最優(yōu)策略

optimal_strategy_B=backward_induction(payoff_matrix)

print("機(jī)器人B的最優(yōu)策略：",optimal_strategy_B[0],"收益：",optimal_strategy_B[1])

#基于機(jī)器人B的最優(yōu)策略，推導(dǎo)機(jī)器人A的最優(yōu)策略

ifoptimal_strategy_B[0]=='背叛':

#機(jī)器人A選擇背叛

optimal_strategy_A='背叛'

print("機(jī)器人A的最優(yōu)策略：",optimal_strategy_A,"收益：",payoff_matrix[(optimal_strategy_A,'背叛')][0])

else:

#機(jī)器人A選擇背叛

optimal_strategy_A='背叛'

print("機(jī)器人A的最優(yōu)策略：",optimal_strategy_A,"收益：",payoff_matrix[(optimal_strategy_A,'合作')][0])通過逆向歸納法，我們發(fā)現(xiàn)機(jī)器人A的最優(yōu)策略是“背叛”，而機(jī)器人B的最優(yōu)策略也是“背叛”，無論機(jī)器人A如何行動(dòng)。這展示了在博弈論中，逆向歸納法如何幫助我們找到動(dòng)態(tài)博弈的最優(yōu)解。6重復(fù)博弈與演化穩(wěn)定策略6.1重復(fù)博弈的概念重復(fù)博弈（RepeatedGames）是博弈論中的一個(gè)重要概念，它指的是兩個(gè)或多個(gè)參與者在一段時(shí)間內(nèi)多次進(jìn)行相同結(jié)構(gòu)的博弈。在單次博弈中，參與者可能選擇一次性策略以最大化自己的短期利益，但在重復(fù)博弈中，長期關(guān)系和聲譽(yù)變得至關(guān)重要，參與者可能會選擇更復(fù)雜的戰(zhàn)略來考慮未來的互動(dòng)。6.1.1例子：囚徒困境的重復(fù)博弈囚徒困境是一個(gè)經(jīng)典的博弈論模型，描述了兩個(gè)被捕的囚犯如何在沒有溝通的情況下選擇是否背叛對方。在單次囚徒困境中，背叛總是納什均衡，但在重復(fù)囚徒困境中，合作可能成為一種可行的策略。假設(shè)兩個(gè)機(jī)器人在重復(fù)囚徒困境中進(jìn)行博弈，它們可以選擇“合作”或“背叛”。如果雙方都合作，它們各自獲得3分；如果一方合作而另一方背叛，背叛者獲得5分，合作者獲得0分；如果雙方都背叛，它們各自獲得1分。在重復(fù)博弈中，機(jī)器人可以基于對方過去的行為來調(diào)整自己的策略。#定義收益矩陣

payoff_matrix={

('合作','合作'):(3,3),

('合作','背叛'):(0,5),

('背叛','合作'):(5,0),

('背叛','背叛'):(1,1)

}

#定義策略函數(shù)

deftit_for_tat(history):

#如果是第一輪，選擇合作

ifnothistory:

return'合作'

#如果對方上一輪合作，本輪也合作；否則背叛

returnhistory[-1][1]

#模擬重復(fù)博弈

defsimulate_game(strategy1,strategy2,rounds=10):

history=[]

for_inrange(rounds):

action1=strategy1(history)

action2=strategy2(history)

history.append((action1,action2))

#計(jì)算本輪收益

payoff1,payoff2=payoff_matrix[(action1,action2)]

print(f"輪次{_+1}:{action1}vs{action2},收益:{payoff1}vs{payoff2}")

returnhistory

#使用tit_for_tat策略進(jìn)行模擬

simulate_game(tit_for_tat,tit_for_tat)在這個(gè)例子中，tit_for_tat策略意味著“以牙還牙”，即如果對方上一輪合作，本輪也選擇合作；如果對方背叛，則本輪選擇背叛。通過模擬，我們可以觀察到雙方在重復(fù)博弈中如何通過調(diào)整策略來達(dá)到更好的長期收益。6.2演化穩(wěn)定策略的解釋演化穩(wěn)定策略（EvolutionarilyStableStrategy,ESS）是約翰·梅納德·史密斯和喬治·普萊斯在1973年提出的概念，用于描述在演化博弈論中，一個(gè)策略如何能夠在群體中穩(wěn)定存在。一個(gè)策略被認(rèn)為是ESS，如果當(dāng)大部分群體成員都采用這個(gè)策略時(shí)，任何小規(guī)模的變異策略都無法在群體中擴(kuò)散。6.2.1例子：鷹鴿博弈中的ESS鷹鴿博弈（Hawk-DoveGame）是一個(gè)用于分析資源爭奪的模型。在這個(gè)模型中，有兩個(gè)策略：鷹（Hawk）和鴿（Dove）。鷹策略意味著不惜一切代價(jià)爭奪資源，而鴿策略則是在遇到鷹時(shí)選擇放棄資源。假設(shè)資源的價(jià)值為V，爭斗的成本為C，且V<C。#定義收益矩陣

payoff_matrix={

('鷹','鷹'):(0,0),#雙方爭斗，成本抵消收益

('鷹','鴿'):(V,0),#鷹獲得資源，鴿放棄

('鴿','鷹'):(0,V),#鷹獲得資源，鴿放棄

('鴿','鴿'):(V/2,V/2)#雙方和平分享資源

}

#定義策略函數(shù)

defhawk_strategy():

return'鷹'

defdove_strategy():

return'鴿'

#模擬博弈

defsimulate_hawk_dove(strategy1,strategy2):

action1=strategy1()

action2=strategy2()

payoff1,payoff2=payoff_matrix[(action1,action2)]

print(f"{action1}vs{action2},收益:{payoff1}vs{payoff2}")

#使用鷹和鴿策略進(jìn)行模擬

V=10

C=20

simulate_hawk_dove(hawk_strategy,dove_strategy)

simulate_hawk_dove(dove_strategy,dove_strategy)在這個(gè)例子中，如果群體中大部分個(gè)體采用鴿策略，那么鷹策略的個(gè)體在遇到鴿時(shí)可以輕易獲得資源，但當(dāng)鷹遇到鷹時(shí)，爭斗的成本將抵消資源的價(jià)值。因此，鴿策略可以被視為一個(gè)ESS，因?yàn)樗軌虻钟棽呗缘男∫?guī)模入侵。6.2.2結(jié)論重復(fù)博弈和演化穩(wěn)定策略是理解多機(jī)器人系統(tǒng)中策略選擇和演化的重要工具。通過模擬不同策略在重復(fù)博弈中的表現(xiàn)，我們可以預(yù)測機(jī)器人在長期互動(dòng)中的行為模式，并設(shè)計(jì)出更有效的多機(jī)器人協(xié)作算法。在實(shí)際應(yīng)用中，這些理論可以幫助我們優(yōu)化機(jī)器人團(tuán)隊(duì)的決策過程，提高整體效率和穩(wěn)定性。7多機(jī)器人系統(tǒng)中的博弈論應(yīng)用7.1多機(jī)器人協(xié)作的博弈論模型7.1.1引言在多機(jī)器人系統(tǒng)中，機(jī)器人之間的協(xié)作與競爭是核心問題。博弈論作為一種分析策略決策的數(shù)學(xué)工具，為多機(jī)器人系統(tǒng)提供了理論框架，幫助機(jī)器人在不確定的環(huán)境中做出最優(yōu)決策。7.1.2博弈論模型7.1.2.1合作博弈合作博弈關(guān)注機(jī)器人如何通過合作達(dá)到共同目標(biāo)。在多機(jī)器人系統(tǒng)中，合作博弈模型可以用于優(yōu)化任務(wù)分配、路徑規(guī)劃等場景。7.1.2.2非合作博弈非合作博弈則側(cè)重于機(jī)器人在資源有限、信息不完全的情況下如何獨(dú)立決策以最大化自身利益。例如，在資源分配中，每個(gè)機(jī)器人可能有自己優(yōu)先級，非合作博弈幫助機(jī)器人在競爭中找到平衡點(diǎn)。7.1.3示例：資源分配博弈假設(shè)在一個(gè)多機(jī)器人系統(tǒng)中，有三個(gè)機(jī)器人（A、B、C）需要分配四個(gè)任務(wù)（T1、T2、T3、T4），每個(gè)任務(wù)的完成可以獲得不同的獎(jiǎng)勵(lì)。機(jī)器人之間的合作或競爭可以通過博弈論模型來分析。7.1.3.1數(shù)據(jù)樣例任務(wù)獎(jiǎng)勵(lì)矩陣：|機(jī)器人/任務(wù)|T1|T2|T3|T4||—|—|—|—|—||A|10|5|8|3||B|7|12|4|6||C|9|3|11|2|7.1.3.2代碼示例importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportlinear_sum_assignment

#任務(wù)獎(jiǎng)勵(lì)矩陣

rewards=np.array([[10,5,8,3],

[7,12,4,6],

[9,3,11,2]])

#使用匈牙利算法求解最優(yōu)分配

row_ind,col_ind=linear_sum_assignment(-rewards)

#輸出每個(gè)機(jī)器人分配的任務(wù)

foriinrange(len(row_ind)):

print(f"機(jī)器人{(lán)i+1}分配任務(wù){(diào)col_ind[i]+1}，獎(jiǎng)勵(lì)為{rewards[row_ind[i],col_ind[i]]}")7.1.4解釋上述代碼使用了匈牙利算法（通過linear_sum_assignment函數(shù)實(shí)現(xiàn)），這是一種解決分配問題的高效算法，旨在最小化成本或最大化收益。在這個(gè)例子中，我們最大化每個(gè)機(jī)器人完成任務(wù)的獎(jiǎng)勵(lì)。通過將獎(jiǎng)勵(lì)矩陣取負(fù)值，我們可以將最大化問題轉(zhuǎn)化為最小化問題，從而直接應(yīng)用匈牙利算法。7.2沖突解決與資源分配7.2.1引言在多機(jī)器人系統(tǒng)中，資源有限且需求多樣，沖突解決與資源分配是關(guān)鍵挑戰(zhàn)。博弈論提供了一套分析和解決這些沖突的工具。7.2.2沖突解決策略7.2.2.1納什均衡納什均衡是博弈論中的一個(gè)核心概念，指的是在給定其他參與者的策略時(shí)，任何參與者都不會改變自己的策略。在多機(jī)器人系統(tǒng)中，納什均衡可以用于描述機(jī)器人在資源分配上的穩(wěn)定狀態(tài)。7.2.2.2社會福利最大化社會福利最大化策略考慮的是整個(gè)系統(tǒng)或群體的總收益。在資源分配中，這可能意味著尋找一種分配方式，使得所有機(jī)器人的總獎(jiǎng)勵(lì)最大。7.2.3示例：沖突解決博弈考慮一個(gè)場景，兩個(gè)機(jī)器人（R1、R2）需要訪問同一資源（例如，充電站），但資源在同一時(shí)間只能供一個(gè)機(jī)器人使用。我們可以使用博弈論來分析和解決這種沖突。7.2.3.1數(shù)據(jù)樣例每個(gè)機(jī)器人訪問資源的收益和成本：|機(jī)器人|訪問收益|不訪問收益|訪問成本||—|—|—|—||R1|15|0|5||R2|10|0|3|7.2.3.2代碼示例#定義收益和成本

payoffs=np.array([[15-5,0],

[10-3,0]])

#計(jì)算納什均衡

fromscipy.optimizeimportlinprog

#定義線性規(guī)劃問題

c=[-1,-1]#目標(biāo)函數(shù)系數(shù)，最小化成本

A=[[1,1],[1,-1],[-1,1]]#約束條件矩陣

b=[1,15-10,10-15]#約束條件向量

#求解線性規(guī)劃問題

res=linprog(c,A_ub=A,b_ub=b,bounds=(0,1))

#輸出納什均衡策略

print(f"機(jī)器人R1的納什均衡策略為{res.x[0]},機(jī)器人R2的納什均衡策略為{res.x[1]}")7.2.4解釋在這個(gè)例子中，我們使用線性規(guī)劃來求解納什均衡。payoffs矩陣表示了每個(gè)機(jī)器人訪問或不訪問資源的凈收益。通過定義線性規(guī)劃問題，我們尋找一個(gè)策略組合，使得在給定對方策略的情況下，任何一方都不會有動(dòng)力改變自己的策略。linprog函數(shù)返回的結(jié)果res.x即為納什均衡策略，表示每個(gè)機(jī)器人訪問資源的概率。通過上述兩個(gè)模塊的詳細(xì)講解，我們不僅理解了多機(jī)器人系統(tǒng)中博弈論的基本應(yīng)用，還通過具體代碼示例學(xué)習(xí)了如何在資源分配和沖突解決中應(yīng)用博弈論模型。這為設(shè)計(jì)和優(yōu)化多機(jī)器人系統(tǒng)提供了理論依據(jù)和實(shí)踐指導(dǎo)。8案例研究與實(shí)踐8.1機(jī)器人足球比賽中的博弈策略在機(jī)器人足球比賽中，多機(jī)器人系統(tǒng)算法中的博弈論應(yīng)用尤為關(guān)鍵。博弈論幫助機(jī)器人團(tuán)隊(duì)在不確定的環(huán)境中做出最優(yōu)決策，尤其是在對抗另一支機(jī)器人隊(duì)伍時(shí)。下面，我們將通過一個(gè)簡化版的機(jī)器人足球比賽場景，來探討如何使用博弈論來制定策略。8.1.1場景描述假設(shè)我們有兩個(gè)機(jī)器人足球隊(duì)，每個(gè)隊(duì)有兩個(gè)機(jī)器人。比賽的目標(biāo)是將球射入對方球門。每個(gè)機(jī)器人可以執(zhí)行以下動(dòng)作：向前移動(dòng)、向后移動(dòng)、向左移動(dòng)、向右移動(dòng)、射門或傳球。我們關(guān)注的是在球位于中場時(shí)，兩個(gè)機(jī)器人如何協(xié)作以提高射門成功的概率。8.1.2博弈矩陣我們可以將這個(gè)場景建模為一個(gè)2x2的矩陣博弈，其中行代表一個(gè)隊(duì)的策略，列代表另一隊(duì)的策略。每個(gè)策略可以是“進(jìn)攻”或“防守”。矩陣中的每個(gè)單元格表示兩個(gè)策略組合的結(jié)果，即得分。對方防守對方進(jìn)攻我方防守0,01,-1我方進(jìn)攻-1,10,08.1.3納什均衡在上述矩陣中，納什均衡出現(xiàn)在“我方防守，對方進(jìn)攻”和“我方進(jìn)攻，對方防守”的策略組合上。這意味著，如果兩個(gè)隊(duì)伍都選擇防守，那么沒有隊(duì)伍有動(dòng)機(jī)改變策略，因?yàn)楦淖儾呗圆粫砀玫慕Y(jié)果。同樣，如果兩個(gè)隊(duì)伍都選擇進(jìn)攻，也沒有隊(duì)伍有動(dòng)機(jī)改變策略。8.1.4策略制定為了打破這種均衡，我們可以引入概率策略，即機(jī)器人在進(jìn)攻和防守之間隨機(jī)選擇，但這種隨機(jī)性是基于概率的。例如，一個(gè)機(jī)器人可能有70%的概率選擇進(jìn)攻，30%的概率選擇防守。8.1.5代碼示例下面是一個(gè)使用Python實(shí)現(xiàn)的簡化版機(jī)器人足球博弈策略的例子：importrandom

#定義策略概率

strategy_prob={'offense':0.7,'defense':0.3}

#定義機(jī)器人策略選擇函數(shù)

defchoose_strategy():

ifrandom.random()<strategy_prob['offense']:

return'offense'

else:

return'defense'

#定義比賽結(jié)果函數(shù)

defgame_result(strategy1,strategy2):

ifstrategy1=='offense'andstrategy2=='defense':

return1,-1

elifstrategy1=='defense'andstrategy2=='offense':

return-1,1

else:

return0,0

#模擬比賽

foriinrange(10):

strategy_team1=choose_strategy()

strategy_team2=choose_strategy()

score_team1,score_team2=game_result(strategy_team1,strategy_team2)

print(f"Round{i+1}:Team1chose{strategy_team1},Team2chose{strategy_team2}.Scores:Team1{score_team1},Team2{score_team2}")8.1.6解釋在這個(gè)例子中，我們首先定義了機(jī)器人選擇進(jìn)攻或防守的概率。然后，我們創(chuàng)建了一個(gè)函數(shù)來隨機(jī)選擇策略。最后，我們定義了一個(gè)函數(shù)來模擬比賽結(jié)果，根據(jù)兩個(gè)隊(duì)伍的策略選擇，返回得分。通過多次運(yùn)行這個(gè)模擬，我們可以觀察到策略選擇如何影響比賽結(jié)果，以及如何通過概率策略來優(yōu)化得分。8.2無人機(jī)群的協(xié)同任務(wù)分配在多機(jī)器人系統(tǒng)中，無人機(jī)群的協(xié)同任務(wù)分配是一個(gè)復(fù)雜的問題，尤其是在資源有限、任務(wù)需求多變的情況下。博弈論可以提供一種框架，幫助無人機(jī)在執(zhí)行任務(wù)時(shí)做出最優(yōu)決策，以最大化整體效率或完成特定目標(biāo)。8.2.1場景描述假設(shè)我們有一組無人機(jī)，需要執(zhí)行多個(gè)任務(wù)，如監(jiān)控、運(yùn)輸或搜索。每個(gè)任務(wù)有不同的優(yōu)先級和完成難度。無人機(jī)需要在這些任務(wù)之間分配，以確保所有任務(wù)都能被高效地完成。8.2.2博弈模型我們可以將任務(wù)分配問題建模為一個(gè)合作博弈，其中無人機(jī)之間的合作可以帶來更高的任務(wù)完成效率。每個(gè)無人機(jī)都有一個(gè)能力值，表示它完成任務(wù)的效率。任務(wù)的優(yōu)先級和難度可以轉(zhuǎn)化為任務(wù)的價(jià)值。無人機(jī)之間的合作可以通過共享任務(wù)價(jià)值來實(shí)現(xiàn)。8.2.3算法實(shí)現(xiàn)一種可能的算法是使用Shapley值來分配任務(wù)價(jià)值。Shapley值是一種公平分配合作收益的方法，它確保每個(gè)參與者（在這個(gè)場景中是無人機(jī)）獲得的收益反映了它對整體合作的貢獻(xiàn)。8.2.4代碼示例下面是一個(gè)使用Python實(shí)現(xiàn)的簡化版無人機(jī)任務(wù)分配的例子：fromitertoolsimportcombinations

#定義任務(wù)價(jià)值

task_values={'monitor':10,'transport':20,'search':15}

#定義無人機(jī)能力

drone_abilities={'drone1':5,'drone2':7,'drone3':8}

#定義任務(wù)完成函數(shù)

defcomplete_task(task,drones):

total_ability=sum([drone_abilities[d]fordindrones])

iftotal_ability>=task_values[task]:

returntask_values[task]

else:

return0

#定義Shapley值計(jì)算函數(shù)

defshapley_value(task,drones):

n=len(drones)

value=0

foriinrange(1,n+1):

forcoalitionincombinations(drones,i):

coalition_value=complete_task(task,coalition)

value+=coalition_value/(n*(n-1)*(i-1))

r