2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題二十四：拋物線上的線段長問題的轉(zhuǎn)化與探究(原卷版+解析)

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題二十四：拋物線上的線段長問題的轉(zhuǎn)化與探究方法點睛二次函數(shù)圖象上的線段長問題，往往涉及到以下三類：平行x軸或y軸的線段長，一般的斜線類線段，與線段之間的數(shù)量有關(guān)的問題。典例分析類型一：平行于x軸或y軸的線段長的問題例1：（2022貴港中考）如圖，已知拋物線經(jīng)過和兩點，直線與x軸相交于點C，P是直線上方的拋物線上的一個動點，軸交于點D．（1）求該拋物線的表達式；（2）若軸交于點E，求的最大值；（3）若以A，P，D為頂點的三角形與相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標(biāo)．類型二：一般的斜線類線段問題例2：（2022眉山中考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且點的坐標(biāo)為．（1）求點坐標(biāo)；（2）如圖1，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；（3）如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型三：與線段之間的數(shù)量有關(guān)的問題例3：（2022樂山中考）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點、，與y軸交于點C，且．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖2，過點C作軸交二次函數(shù)圖象于點D，P是二次函數(shù)圖象上異于點D的一個動點，連接PB、PC，若，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖3，若點P是二次函數(shù)圖象上位于BC下方的一個動點，連接OP交BC于點Q．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，試用含t的代數(shù)式表示的值，并求的最大值．專題過關(guān)1.（2022益陽中考）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B．（1）求a的值；（2）將A，B的縱坐標(biāo)分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？（3）Q是x軸的正半軸上一點，且PQ的中點M恰好在拋物線F上．試探究：此時無論m為何負(fù)值，在y軸的負(fù)半軸上是否存在定點G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2022湘西中考）（12分）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側(cè)），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點G的坐標(biāo)．（2）點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．（3）如圖②，點E是點H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3.（2022廣元中考）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；（2）當(dāng)a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△PAB周長的最小值；（3）當(dāng)a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當(dāng)QD的值最大時，求此時點Q的坐標(biāo)及QD的最大值．4.（2022德陽中考）拋物線的解析式是．直線與軸交于點，與軸交于點，點與直線上的點關(guān)于軸對稱．（1）如圖①，求射線的解析式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)拋物線與折線有兩個交點時，設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)是x1，x2（），求的值；（3）如圖②，當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，分別與軸交于，兩點，且點在點的左側(cè)．在軸上方的拋物線上有一動點，設(shè)射線與直線交于點．求的最大值．5．（2022內(nèi)江中考）（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，求點D到直線AC的距離的最大值及此時點D的坐標(biāo)；（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點P的坐標(biāo)．6.（2022山西中考）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E

（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；（3）連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．7.（2022撫順中考）如圖，拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點，點D為x軸上方拋物線上的動點，射線交直線于點E，將射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線，交直線于點F，連接．

（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點D在第二象限且時，求點D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標(biāo)．8.（2022湘潭中考）已知拋物線．（1）如圖①，若拋物線圖象與軸交于點，與軸交點．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；②若點是拋物線上一動點（與點不重合），過點作軸于點，與線段交于點．是否存在點使得點是線段的三等分點？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）如圖②，直線與軸交于點，同時與拋物線交于點，以線段為邊作菱形，使點落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點，求的取值范圍．9.（2022武漢中考）拋物線交軸于A，兩點（A在的左邊），是第一象限拋物線上一點，直線交軸于點．

（1）直接寫出A，兩點的坐標(biāo)；（2）如圖（1），當(dāng)時，在拋物線上存在點（異于點），使，兩點到的距離相等，求出所有滿足條件的點的橫坐標(biāo)；（3）如圖（2），直線交拋物線于另一點，連接交軸于點，點的橫坐標(biāo)為．求的值（用含的式子表示）．10.（2022齊齊哈爾中考）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點為A（-1，0），B（4，5）．

（1）求拋物線的解析式；（2）點C為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)AC與BC的和最小時，點C的坐標(biāo)為；（3）點D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點D作DE⊥x軸，交線段AB于點E，求線段DE長度最大值；（4）在（2）條件下，點M為y軸上一點，點F為直線AB上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，若以點C，M，F(xiàn)，N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標(biāo)．11.已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．

（1）求點A，點B的坐標(biāo)；（2）如圖，過點A的直線與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)時，求m的值；（3）將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．12.（2022年重慶中考B卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線上方拋物線上一動點，過點P作軸于點Q，交于點M，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．將拋物線向右平移，使新拋物線的對稱軸l經(jīng)過點A．點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A、、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標(biāo)，并把求其中一個點D的坐標(biāo)的過程寫出來．13.（2022重慶中考A卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)，并寫出求解點的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．14.（2022河南天一大聯(lián)考）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，OB＝2OC＝4OA，連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是拋物線y＝ax2+bx﹣4的圖象上在第四象限內(nèi)的一動點，DE⊥x軸于點E，交BC于點F．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m．①請用含m的代數(shù)式表示線段DF的長；②已知DG∥AC，交BC于點G，請直接寫出當(dāng)時點D的坐標(biāo)．15.（2022商丘二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線解析式為，直線l：y=－x＋1與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）如圖1，當(dāng)拋物線經(jīng)過點A且與x軸的兩個交點都在y軸右側(cè)時，求拋物線的解析式．（2）在（1）的條件下，若點P為直線l上方的拋物線上一點，過點P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．（3）如圖2，點C（－2，0），若拋物線與線段AC只有一個公共點，求m取值范圍．16.（2022南陽唐河一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其項點為D．（1）填空：拋物線的解析式為；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，過點P作y軸的平行線交AC與M，當(dāng)t為何值時，線段PM的長最大，并求其最大值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．17.（2022大同二模）如圖，已如二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C．

（1）求點A、B、C的坐標(biāo)并直接寫出直線BC的關(guān)系式；（2）若D是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上任意一點，軸于點E，與線段BC交于點F，過點F作軸于點G，連接CD．①求線段的最大值；②當(dāng)是以FC為腰的等腰三角形時，請直接寫出點E的坐標(biāo)．18.（2022深圳三模）如圖1，拋物線經(jīng)過點，點．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，點P為拋物線上第三象限內(nèi)一動點，過點作y軸的平行線，交直線于點M，交直線于點N，當(dāng)點P運動時，的值是否變化？若變化，說明變化規(guī)律，若不變，求其值；（3）如圖3，長度為的線段（點C在點D的左邊）在射線上移動（點C在線段上），連接，過點C作CEOD交拋物線于點E，線段在移動的過程中，直線經(jīng)過一定點F，直接寫出定點F的坐標(biāo)與的最小值．2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題二十四：拋物線上的線段長問題的轉(zhuǎn)化與探究方法點睛二次函數(shù)圖象上的線段長問題，往往涉及到以下三類：平行x軸或y軸的線段長，一般的斜線類線段，與線段之間的數(shù)量有關(guān)的問題。典例分析類型一：平行于x軸或y軸的線段長的問題例1：（2022貴港中考）如圖，已知拋物線經(jīng)過和兩點，直線與x軸相交于點C，P是直線上方的拋物線上的一個動點，軸交于點D．（1）求該拋物線的表達式；（2）若軸交于點E，求的最大值；（3）若以A，P，D為頂點的三角形與相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）最大值為（3）或，【解析】【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；（2）先求出點C的坐標(biāo)為，然后證明，設(shè)點P的坐標(biāo)為，其中，則點D的坐標(biāo)為，分別表示出和，再由二次函數(shù)的最值性質(zhì)，求出答案；（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況進行分析：當(dāng)∽時；當(dāng)∽時；分別求出兩種情況點的坐標(biāo)，即可得到答案．【小問1詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過和兩點，∴解得：，，∴拋物線的表達式為．【小問2詳解】解：∵，∴直線表達式為，∵直線與x軸交于點C，∴點C的坐標(biāo)為，∵軸，軸，∴，∴，∴，則，設(shè)點P的坐標(biāo)為，其中，則點D的坐標(biāo)為，∵，∴，∵，∴當(dāng)時，有最大值，且最大值為．【小問3詳解】解：根據(jù)題意，在一次函數(shù)中，令，則，∴點C的坐標(biāo)為（2，0）；當(dāng)∽時，如圖此時點D與點C重合，∴點D的坐標(biāo)為（2，0）；∵軸，∴點P的橫坐標(biāo)為2，∴點P的縱坐標(biāo)為：，∴點P的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)∽時，如圖，則，設(shè)點，則點P，∴，∵，∴，，∴，∴，∴點D的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為；∴滿足條件的點P，點D的坐標(biāo)為或，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行分析．類型二：一般的斜線類線段問題例2：（2022眉山中考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且點的坐標(biāo)為．（1）求點坐標(biāo)；（2）如圖1，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；（3）如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）最大為（3）存在，的坐標(biāo)為或（3，-16）或【解析】【分析】（1）把點A的坐標(biāo)代入，求出c的值即可；（2）過作于點，過點作軸交于點，證明是等腰直角三角形，得，當(dāng)最大時，最大，，運用待定系數(shù)法求直線解析式為，設(shè)，，則，求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊，②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊，③當(dāng)AC為對角線三種情況討論求解即可．【小問1詳解】（1）∵點在拋物線的圖象上，∴∴，∴點的坐標(biāo)為；【小問2詳解】過作于點，過點作軸交于點，如圖：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)最大時，最大，設(shè)直線解析式為，將代入得，∴，∴直線解析式為，設(shè)，，則，∴，∵，∴當(dāng)時，最大為，∴此時最大為，即點到直線的距離值最大；【小問3詳解】存在．∵∴拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點N的坐標(biāo)為（-2，m），點M的坐標(biāo)為（x，）分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴點M的坐標(biāo)為（3，-16）②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊長時，如圖，方法同①可得，，∴∴點M的坐標(biāo)為（-7，-16）；③當(dāng)AC為對角線時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴線段AC的中點H的坐標(biāo)為，即H（）∴，解得，。∴∴點M的坐標(biāo)為（-3，8）綜上，點的坐標(biāo)為：或（3，-16）或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．類型三：與線段之間的數(shù)量有關(guān)的問題例3：（2022樂山中考）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點、，與y軸交于點C，且．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖2，過點C作軸交二次函數(shù)圖象于點D，P是二次函數(shù)圖象上異于點D的一個動點，連接PB、PC，若，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖3，若點P是二次函數(shù)圖象上位于BC下方的一個動點，連接OP交BC于點Q．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，試用含t的代數(shù)式表示的值，并求的最大值．【答案】（1）；（2）P（1+）或（1-）；（3）【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的長，從而確定點C的坐標(biāo)，將二次函數(shù)設(shè)為交點式，將點C的坐標(biāo)代入，進一步求得結(jié)果；（2）可分為點P在第三象限和第一象限兩種情況：當(dāng)點P在第三象限時，設(shè)點P（a，），可表示出△BCD的面積，作PE∥AB交BC于E，先求出直線BC，從而得到E點坐標(biāo)，從而表示出△PBC的面積，根據(jù)S△PBC=S△BCD，列出方程，進一步求得結(jié)果，當(dāng)P在第一象限，同樣的方法求得結(jié)果；（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根據(jù)P（t，），M（t，），表示出PM的長，根據(jù)PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，從而得出，從而得出的函數(shù)表達式，進一步求得結(jié)果．【小問1詳解】∵A（-1，0），∴OA=1，又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，∴OC=2OA=2即點C的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-2），將C點坐標(biāo)代入得：a=1，∴y=（x+1）（x-2）=；【小問2詳解】設(shè)點P（a，），如圖所示，當(dāng)點P在第三象限時，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直線BC的解析式為：y=x-2，∴當(dāng)時，x=y+2=，∴PE==，∴S△PBC=PE·OC，∵拋物線的對稱軸為y=，CD∥x軸，C（0，-2），∴點D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=CD·OC，∴PE·OC=CD·OC，∴a2-2a=1，解得a1=1+（舍去），a2=1-；當(dāng)x=1-時，y==a-1=-，∴P（1-，-），如圖，當(dāng)點P在第一象限時，作PE⊥x軸于點E，交直線BC于F，∴F（a，a-2），∴PF=（）-（a-2）=，∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，∴=1，解得a1=1+，a2=1-（舍去）；當(dāng)a=1+時，y==，∴P（1+，），綜上所述，P點坐標(biāo)為（1+）或（1-）；【小問3詳解】如圖，作PN⊥AB于N，交BC于M，由題意可知，P（t，），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（）=-，又∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴+，∴當(dāng)t=1時，()最大=．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的解析式、相似三角形的綜合和配方法求最值等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022益陽中考）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B．（1）求a的值；（2）將A，B的縱坐標(biāo)分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？（3）Q是x軸的正半軸上一點，且PQ的中點M恰好在拋物線F上．試探究：此時無論m為何負(fù)值，在y軸的負(fù)半軸上是否存在定點G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由拋物線的頂點式可直接得出頂點P的坐標(biāo)，再代入拋物線F即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意可分別表達A，B的縱坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出m的值；（3）過點Q作x軸的垂線KN，分別過點P，G作x軸的平行線，與KN分別交于K，N，則△PKQ∽△QNG，設(shè)出點M的坐標(biāo)，可表達點Q和點G的坐標(biāo)，進而可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可知，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P的坐標(biāo)為（m，2m2），∵點P在拋物線F：y＝ax2上，∴am2＝2m2，∴a＝2．（2）∵直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B，∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，∴s＝y(tǒng)A﹣yB＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2＝﹣3t2+2mt+m2＝﹣3（t﹣m）2+m2，∵﹣3＜0，∴當(dāng)t＝m時，s的最大值為m2，∵s的最大值為4，∴m2＝4，解得m＝±，∵m＜0，∴m＝﹣．（3）存在，理由如下：設(shè)點M的坐標(biāo)為n，則M（n，2n2），∴Q（2n﹣m，4n2﹣m2），∵點Q在x軸正半軸上，∴2n﹣m＞0且4n2﹣m2＝0，∴n＝﹣m，∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．如圖，過點Q作x軸的垂線KN，分別過點P，G作x軸的平行線，與KN分別交于K，N，∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∵∠PQG＝90°，∴∠PQK+∠GQN＝90°，∴∠QPK＝∠GQN，∴△PKQ∽△QNG，∴PK：QN＝KQ：GN，即PK?GN＝KQ?QN．∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2?QN解得QM＝．∴G（0，﹣）．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，中點坐標(biāo)公式等知識，構(gòu)造相似得出方程是解題關(guān)鍵．2．（2022湘西中考）（12分）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側(cè)），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點G的坐標(biāo)．（2）點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．（3）如圖②，點E是點H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可；（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分來兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時，2＝，F(xiàn)點不存在．【解答】解：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2+t﹣1），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，∴＝＝；（3）存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，∵E點與H點關(guān)于對稱軸x＝﹣1對稱，∴E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），①當(dāng)EG＝EF時，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時，2＝，此時x無解；綜上所述：F點坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．3.（2022廣元中考）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；（2）當(dāng)a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△PAB周長的最小值；（3）當(dāng)a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當(dāng)QD的值最大時，求此時點Q的坐標(biāo)及QD的最大值．【答案】（1）2a=b+1，c=-2；（2）△PAB周長最小值是2+2；（3）此時Q（-1，-2），DQ最大值為．【解析】【分析】（1）先求得點A、點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先利用對稱性找出△PAB周長最小時點P的位置，此時AP=CP，△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，根據(jù)勾股定理求出AB、BC的長即可求出△PAB最小值；（3）過點Q作QF⊥x軸交于F點，交直線AB于點E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】解：∵直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴點A的坐標(biāo)為(-2，0)，點B的坐標(biāo)為(0，-2)，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點，∴，∴2a=b+1，c=-2；【小問2詳解】解：當(dāng)a=時，則b=-，∴拋物線的解析式為y=x2-x-2，拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點A的坐標(biāo)為(-2，0)，∴點C的坐標(biāo)為(4，0)，△PAB的周長為：PB+PA+AB，且AB是定值，∴當(dāng)PB+PA最小時，△PAB的周長最小，∵點A、C關(guān)于直線x=1對稱，∴連接BC交直線x=1于點P，此時PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周長最小值是：2+2．【小問3詳解】解：當(dāng)a=1時，b=1，∴拋物線的解析式為y=x2+x-2，過點Q作QF⊥x軸交于F點，交直線AB于點E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，當(dāng)t=-1時，DQ有最大值，此時Q（-1，-2）．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2022德陽中考）拋物線的解析式是．直線與軸交于點，與軸交于點，點與直線上的點關(guān)于軸對稱．（1）如圖①，求射線的解析式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)拋物線與折線有兩個交點時，設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)是x1，x2（），求的值；（3）如圖②，當(dāng)拋物線經(jīng)過點時，分別與軸交于，兩點，且點在點的左側(cè)．在軸上方的拋物線上有一動點，設(shè)射線與直線交于點．求的最大值．【答案】（1），（2）4（3）【解析】【分析】（1）先求出直線與坐標(biāo)軸的交點M、E的坐標(biāo)，根據(jù)G(5,-3)、F關(guān)于x軸對稱求出F點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求出拋物線的對稱軸x=2，可確定M點在拋物線對稱軸上，可確定拋物線與折線EMF的兩個交點，必然是一個點落在射線ME上，一個點落在射線MF，即可得到，①-②，得到，則問題得解；（3）先求出拋物線的解析式，再求出拋物線與x軸的交點A、B坐標(biāo)，設(shè)P點坐標(biāo)為，根據(jù)A、P的坐標(biāo)求出直線AP的解析式，即可求出AP與ME的交點N的坐標(biāo)，即可用含a的代數(shù)式表示出和，即可得到，則問題得解．【小問1詳解】∵直線與坐標(biāo)軸交于點M、E，∴令x=0時，y=2；令y=0時，x=2，∴M點坐標(biāo)為(2,0)，E點坐標(biāo)為(0,2)，∵G(5,-3)，且點G、F關(guān)于x軸對稱，∴F(5,3)，設(shè)射線MF的解析式為，，∵M點坐標(biāo)為(2,0)，F(xiàn)(5,3)，∴，解得：，∴射線MF的解析式為，，【小問2詳解】根據(jù)題意可知射線ME的解析式為：，，在（1）中已求得射線MF的解析式為，，∵的對稱軸為x=2，又∵M點(2,0)，∴M點剛好在的對稱軸為x=2上，∴拋物線與折線EMF的兩個交點，必然是一個點落在射線ME上，一個點落在射線MF，∵，∴此時交點的坐標(biāo)為、，且、，∵、在拋物線上，∴，由①-②，得：，整理得：∵、，∴，∴，∴，∴；【小問3詳解】∵拋物線過點C(0,5)，∴代入C點坐標(biāo)可得a=5，∴拋物線解析式，令y=0，得，解得：，，∴A點坐標(biāo)(-1,0)、B點坐標(biāo)為(5,0)，∵P點在拋物線上，∴設(shè)P點坐標(biāo)為，顯然A、P不重合，即a≠-1，∵P點在x軸上方，∴，設(shè)直線AP的解析式為，∴即有，解得，即直線AP的解析式為：，聯(lián)立，解得，∴N點坐標(biāo)為，∵P點坐標(biāo)為，A點坐標(biāo)(-1,0)，∴，∴，∴，∴，∵，且通過圖像可知，只有當(dāng)P點在直線ME上方時，的值才有可能取得最大值，∴，即，∴即有，∴，∴當(dāng)時，取的最大值，且最大值為：，即的最大值為．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求解析式、拋物線與一元二次方程的根的知識、勾股定理、二次函數(shù)求最值等知識，本題的計算量較大，仔細化簡所表示出和的代數(shù)式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022內(nèi)江中考）（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，求點D到直線AC的距離的最大值及此時點D的坐標(biāo)；（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，過點D作DE⊥AC于E，可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點G的橫坐標(biāo)也為m，從而可以用m的代數(shù)式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝DG，可得出關(guān)于m的二次函數(shù)，運用二次函數(shù)的最值即可解決問題；（3）根據(jù)S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，過點D作DE⊥AC于E，如圖．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+2．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點G的橫坐標(biāo)也為m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，∴，∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴當(dāng)m＝﹣2時，點D到直線AC的距離取得最大值．此時yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即點D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，則BE：AE＝1：5或5：1則AE＝5或1，即點E的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣3，0），將點E的坐標(biāo)代入直線CP的表達式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或，故直線CP的表達式為：y＝﹣2x+2或y＝x+2，聯(lián)立方程組或，解得：x＝6或﹣（不合題意值已舍去），故點P的坐標(biāo)為（6，﹣10）或（﹣，﹣）．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)、圖象面積計算等，解決問題的關(guān)鍵是將面積比轉(zhuǎn)化為線段比．6.（2022山西中考）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E

（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；（3）連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1），點C的坐標(biāo)為；（2）（3）存在；m的值為4或【解析】【分析】（1）令中y和x分別為0，即可求出A，B，C三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BC的函數(shù)表達式；（2）過點C作于點G，易證四邊形CODG是矩形，推出，，，再證明，推出，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可以得出，則，由P點在拋物線上可得，聯(lián)立解出m，代入二次函數(shù)解析式即可求出點P的坐標(biāo)；（3）分點F在y軸的負(fù)半軸上和點F在y軸的正半軸上兩種情況，畫出大致圖形，當(dāng)時，，由（2）知，用含m的代數(shù)式分別表示出OF，列等式計算即可．【小問1詳解】解：由得，當(dāng)時，，∴點C的坐標(biāo)為．當(dāng)時，，解得．∵點A在點B的左側(cè)，∴點A，B的坐標(biāo)分別為．設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為，將，代入得，解得，∴直線BC的函數(shù)表達式為﹒【小問2詳解】解：∵點P在第一象限拋物線上，橫坐標(biāo)m，且軸于點D，∴點P的坐標(biāo)為，，∴．∵點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，∴，．過點C作于點G，則．∵，∴四邊形CODG是矩形，∴，，．∴．∵，∴．∴，即，∴．在中，∵，∴．∴，∴解得（舍去），∴．當(dāng)時，﹒∴點P的坐標(biāo)為．

【小問3詳解】解：存在；m的值為4或．分兩種情況，①當(dāng)點F在y軸的負(fù)半軸上時，如下圖所示，過點P作直線軸于點H，

∵過點P作直線，交y軸于點F，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，由（2）知，．根據(jù)勾股定理，在中，，在中，，當(dāng)時，，∵，∴，∴，解得或，∵點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，∴；②當(dāng)點F在y軸的正半軸上時，如下圖所示，

同理可得，，，，，∴∴，解得或，∵點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上一個動點，∴；綜上，m的值為4或【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第三問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出OF是解題的關(guān)鍵．7.（2022撫順中考）如圖，拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點，點D為x軸上方拋物線上的動點，射線交直線于點E，將射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線，交直線于點F，連接．

（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點D在第二象限且時，求點D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或（3）或或或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點D作于點G，交于點H，先求出直線AC的解析式，設(shè)，則，證明△EDH∽△EOC得到，即可求出DH=3，據(jù)此求解即可；（3）分D和F為直角頂點進行討論求解即可．【小問1詳解】解：將代入得：，解得，∴拋物線解析式為；【小問2詳解】解：過點D作于點G，交于點H，設(shè)過點的直線的解析式為，則，解得，

∴直線的解析式為，設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴解得或?qū)⒎謩e代入得∴或；【小問3詳解】解：如圖1所示，當(dāng)點D與點C重合時，∵點A（-4，0），點C（0，4），∴OA=OC=4，∴∠OCA=∠OAC=45°，當(dāng)點C與點D重合時，∵OP是OD逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的，∴∠POD=45°，即∠FOC=45°，∴∠AOF=∠FOC=45°，又∵OA=OC，∴OF⊥AC，即∠OFC=90°，∴△OFC是直角三角形，∴此時點D的坐標(biāo)為（0，4）；

如圖2所示，當(dāng)∠DFO=90°時，連接CD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DOF=45°，∴△DOF是等腰直角三角形，∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°，∴C、D、F、O四點共圓，∴∠FCD=∠FOD=45°，∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°，∴CD⊥OC，∴點D的縱坐標(biāo)為4，∴當(dāng)y=4時，，解得或（舍去），∴點D的坐標(biāo)為（-3，4）；

如圖3所示，當(dāng)∠ODF=90°時，過點D作DH⊥y軸于H，過點F作FG⊥DH交HD延長線于G，同理可證△DOF是等腰直角三角形，∴OD=DF，∵FG⊥DH，DH⊥y軸，∴∠FGD=∠DHO=90°，∴∠GDF+∠GFD=90°，又∵∠GDF+∠HDO=90°，∴∠GFD=∠HDO，∴△GDF≌△HOD（AAS），∴GD=OH，GF=DH，設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，），∴，∴，∴點F的坐標(biāo)為（，），∵點F在直線AC：上，∴，∴，解得，∴點D的坐標(biāo)為或；綜上所述，點D的坐標(biāo)為（-3，4）或（0，4）或或

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．8.（2022湘潭中考）已知拋物線．（1）如圖①，若拋物線圖象與軸交于點，與軸交點．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；②若點是拋物線上一動點（與點不重合），過點作軸于點，與線段交于點．是否存在點使得點是線段的三等分點？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）如圖②，直線與軸交于點，同時與拋物線交于點，以線段為邊作菱形，使點落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點，求的取值范圍．【答案】（1）①，②存在，點P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-），理由見解析（2）b<或b>【解析】【分析】（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點M(m，m-3)點P（m，m2-2m-3）若點是線段的三等分點，則或，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5，因為四邊形CDFE是菱形，由此得出點E的坐標(biāo)．再根據(jù)該拋物線與線段沒有交點，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進行討論，求出b的取值范圍．【小問1詳解】①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y=x-3，設(shè)點M(m，m-3)、點P（m，m2-2m-3）若點是線段的三等分點，則或，即或，解得：m=2或m=或m=3，經(jīng)檢驗，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴點P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-）【小問2詳解】解：把點D（-3，0）代入直線，解得n=4，∴直線，當(dāng)x=0時，y=4，即點C（0，4）∴CD==5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點E（5，4）∵點在拋物線上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵該拋物線與線段沒有交點，分情況討論當(dāng)CE在拋物線內(nèi)時52+5b+3b-9<4解得：b<當(dāng)CE在拋物線右側(cè)時，3b-9>4解得：b>綜上所述，b<或b>【點睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論．9.（2022武漢中考）拋物線交軸于A，兩點（A在的左邊），是第一象限拋物線上一點，直線交軸于點．

（1）直接寫出A，兩點的坐標(biāo)；（2）如圖（1），當(dāng)時，在拋物線上存在點（異于點），使，兩點到的距離相等，求出所有滿足條件的點的橫坐標(biāo)；（3）如圖（2），直線交拋物線于另一點，連接交軸于點，點的橫坐標(biāo)為．求的值（用含的式子表示）．【答案】（1），；（2）0，或；（3）．【解析】【分析】（1）令求出x的值即可知道A，兩點的坐標(biāo)；（2）求出直線的解析式為，分情況討論：①若點在下方時，②若點在上方時；（3）設(shè)點的橫坐標(biāo)為．過點的直線解析式為．聯(lián)立，得．利用A，B點的橫坐標(biāo)求出，，設(shè)直線的解析式為，求出，進一步求出，即可求出答案．【小問1詳解】解：令，解得：，，∴，．【小問2詳解】解：∵，∴，∴直線的解析式為．①若點在下方時，過點作的平行線與拋物線的交點即為．

∵，，∴的解析式為．聯(lián)立，解得，，（舍）．∴點的橫坐標(biāo)為0．②若點在上方時，點關(guān)于點的對稱點為．過點作的平行線，則與拋物線的交點即為符合條件的點．直線的解析式為．聯(lián)立，得，解得，，．∴點，的橫坐標(biāo)分別為，．∴符合條件的點的橫坐標(biāo)為：0，或．【小問3詳解】解：設(shè)點的橫坐標(biāo)為．過點的直線解析式為．聯(lián)立，得．設(shè)，是方程兩根，則．（*）∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．設(shè)直線的解析式為，同（*）得，∴．∴．∴．∵，∴．∴．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，難度較大，需要掌握函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)，（1）的關(guān)鍵是令進行求解；（2）的關(guān)鍵是分點在下方和在上方時兩種情況討論：（3）的關(guān)鍵是求出OP，F(xiàn)P．10.（2022齊齊哈爾中考）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點為A（-1，0），B（4，5）．

（1）求拋物線的解析式；（2）點C為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)AC與BC的和最小時，點C的坐標(biāo)為；（3）點D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點D作DE⊥x軸，交線段AB于點E，求線段DE長度最大值；（4）在（2）條件下，點M為y軸上一點，點F為直線AB上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，若以點C，M，F(xiàn)，N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）（1，2）（3）（4）【解析】【分析】（1）將A（-1，0），B（4，5）代入得到關(guān)于m，n的二元一次方程組求解即可；（2）拋物線的對稱軸為，求出直線AB與對稱軸的交點即可求解；（3）設(shè)，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（4）根據(jù)題意畫出圖形，分情況求解即可．【小問1詳解】解：將A（-1，0），B（4，5）代入得，，解這個方程組得，拋物線的解析式為：；小問2詳解】解：如圖，設(shè)直線AB的解析式為：，把點A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得，直線AB的解析式為：，由（1）知拋物線的對稱軸為，點C為拋物線對稱軸上一動點，，當(dāng)點C在AB上時，最小，把x=1代入，得y=2，點C的坐標(biāo)為（1，2）；

【小問3詳解】解：如圖，由（2）知直線AB的解析式為y=x+1設(shè)，則，則，當(dāng)時，DE有最大值為，

【小問4詳解】解：如圖，直線AB的解析式為：y=x+1，直線與y軸的交點為D（0，1），，，若以點C，M，F(xiàn)，N為頂點的四邊形是正方形，分情況討論：①過點C作軸于點，則為等腰直角三角形，過點C作，則四邊形為正方形，依題意，知D與F重合，點的坐標(biāo)為（1，1）；

②以為中心分別作點F，點C點的對稱點，連接，則四邊形是正方形，則點的坐標(biāo)為（-1，2）；

③延長到使，作于點，則四邊形是正方形，則的坐標(biāo)為（1，4）；

④取的中點，的中點，則為正方形，則的坐標(biāo)為，

綜上所述，點N的坐標(biāo)為：【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的判定，根據(jù)題意正確畫圖是解本題的關(guān)鍵．11.已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．

（1）求點A，點B的坐標(biāo)；（2）如圖，過點A的直線與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)時，求m的值；（3）將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）（2）-3（3）或或【解析】【分析】（1）令，由拋物線解析式可得，解方程即可確定點A，點B的坐標(biāo)；（2）由拋物線解析式確定其對稱軸為，可知點P（1，m），再將直線l與拋物線解析式聯(lián)立，解方程組可確定點C坐標(biāo)，由列方程求解即可；（3）根據(jù)題意先確定點M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，根據(jù)一元二次方程的根的判別式為可知，然后分情況討論時以及結(jié)合圖像分析a的取值范圍．【小問1詳解】解：拋物線解析式，令，可得，解得，，故點A、B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3，0）；【小問2詳解】對于拋物線，其對稱軸，∵點P為拋物線對稱軸上的一點，且點P的縱坐標(biāo)為m，∴P（1，m），將直線l與拋物線解析式聯(lián)立，可得，可解得或，故點C坐標(biāo)為（4，-5），∴，，當(dāng)時，可得，解得；【小問3詳解】將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，結(jié)合（1），可知M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，其判別式為，①當(dāng)時，解得，此時拋物線與線段MN只有一個交點；②當(dāng)即時，解方程，可得，即，，若時，如圖1，由，可解得，

此時有，且，解得；②當(dāng)時，如圖2，由，可解得，

此時有，且，解得；綜上所述，當(dāng)拋物線與線段MN只有一個交點時，a的取值范圍為或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括求二次函數(shù)與x軸的交點、利用二次函數(shù)解決圖形問題等知識，解題關(guān)鍵是熟練運用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問題．12.（2022年重慶中考B卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線上方拋物線上一動點，過點P作軸于點Q，交于點M，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．將拋物線向右平移，使新拋物線的對稱軸l經(jīng)過點A．點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A、、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標(biāo)，并把求其中一個點D的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】（1）（2）最大值為：，（3）、、【解析】【分析】（1）將、代入拋物線，即可求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)得到，推出，即可得到，則，求出直線的解析式為：，設(shè)，則，，求出，即可求解；（3）先求出平移后新拋物線解析式：，，，設(shè)，，再利用平行四邊形中心對稱性分情況列出方程組求解即可．【小問1詳解】解：將、代入拋物線可得：，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為：；【小問2詳解】解：∵、，∴，，在中，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為：，將、代入可得：，解得，∴直線的解析式為：，設(shè)，則，，∴∵，，∴當(dāng)時，存在最大值，最大值為：，此時；【小問3詳解】解：∵對稱軸為：，∴，∵直線：，∴拋物線向右平移個單位，∴，，，設(shè)，，①以、為對角線時，，解得∴；②以、為對角線時，，解得∴；③以、為對角線時，，解得∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式．13.（2022重慶中考A卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)，并寫出求解點的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【答案】（1）（2），（3）；；【解析】【分析】（1）將點A，B的坐標(biāo)代入拋物線中求出b，c即可；（2）設(shè)交于，可得，求出直線AB的解析式，設(shè)，則，，表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后拋物線解析式及點E、F坐標(biāo)，設(shè)，，分情況討論：①當(dāng)為對角線時，②當(dāng)為對角線時，③當(dāng)為對角線時，分別根據(jù)對角線交點的橫坐標(biāo)相同列式計算即可．【小問1詳解】解：將點，代入得：，解得：，∴該拋物線的函數(shù)表達式為：；【小問2詳解】如圖，設(shè)交于，∵，，∴OA＝OB＝4，∴，∵PC∥OB，PD∥OA，∴，，∴，設(shè)直線AB的解析式為，則，解得：，∴直線AB的解析式為，設(shè)，則，，∴，∴當(dāng)時，取得最大值，此時；【小問3詳解】由題意得：平移后拋物線解析式為，，∴，∵拋物線的對稱軸為，∴設(shè)，，分情況討論：①當(dāng)為對角線時，則，解得：，此時，∴；②當(dāng)為對角線時，則，即，此時，∴；③當(dāng)為對角線時，則，即，此時，∴，綜上所述，點的坐標(biāo)為：，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值以及利用平行四邊形的性質(zhì)列方程．14.（2022河南天一大聯(lián)考）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，OB＝2OC＝4OA，連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是拋物線y＝ax2+bx﹣4的圖象上在第四象限內(nèi)的一動點，DE⊥x軸于點E，交BC于點F．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m．①請用含m的代數(shù)式表示線段DF的長；②已知DG∥AC，交BC于點G，請直接寫出當(dāng)時點D的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）①；②點D的坐標(biāo)為（2，-6）或（6，-4）【解析】【分析】（1）先求出點C坐標(biāo)，再根據(jù)OB＝2OC＝4OA，求出點A、B的坐標(biāo)，再代入函數(shù)關(guān)系式求出a，b，可得結(jié)果；（2）①先求出直線BC的函數(shù)關(guān)系式，再得點，，再求出DF的長；②先證明，得，再證得，再求出DF的長，最后求出m的值，即可得出點D的坐標(biāo)【小問1詳解】∵拋物線y＝ax2+bx﹣4交y軸于點C，∴C（0，-4），∴OC=4，∵OB＝2OC＝4OA，∴OA=2，OB=8，∴A（-2，0），B（8，0），∵拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點，∴，，∴拋物線的解析式為：；【小問2詳解】①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=mx+n，∵直線BC邊點B（8，0），點C（0，-4），∴，解得：，∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為，∵點D是拋物線y＝ax2+bx﹣4的圖象上在第四象限內(nèi)的一動點，點D的橫坐標(biāo)為m，∴，∵DE⊥x軸于點E，交BC于點F，∴把x=m代入，得：，∴，，②，，，，，，∵，，，，，，，，，軸，，，，即又，，解得：，當(dāng)m1=2時，，當(dāng)m2=時，，或【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．15.（2022商丘二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線解析式為，直線l：y=－x＋1與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）如圖1，當(dāng)拋物線經(jīng)過點A且與x軸的兩個交點都在y軸右側(cè)時，求拋物線的解析式．（2）在（1）的條件下，若點P為直線l上方的拋物線上一點，過點P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．（3）如圖2，點C（－2，0），若拋物線與線段AC只有一個公共點，求m取值范圍．【答案】（1）y=－2x2＋8x－6；（2）；（3）－3≤m＜－1或0＜m≤2．【解析】【分析】（1）先解得點A的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)解析式中，求得拋物線與x軸的兩個交點，根據(jù)題意解得m的值即可；（2）作PMy軸交直線l于點M，先求一次函數(shù)與y軸的交點B，證得∠PMQ=∠OBA=45°，再利用正弦定義解得PQ=PM，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為n，則點P的縱坐標(biāo)為－2n2＋8n－6，點M的縱坐標(biāo)為－n＋1，計算PM的長，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程－2x2＋8x－6=－x＋1，解得x的值，最后根據(jù)一次函數(shù)的增減性解題；（3）分兩種情況討論，當(dāng)只有點（m－1，0）在線段AC上時，或當(dāng)只有點（m＋1，0）在線段AC上時，分別結(jié)合圖象解題．【詳解】解：（1）由y=－x＋1=0，解得：x=1，所以，由y=－2x2＋4mx－2m2＋2=－2（x－m）2＋2=0，解得：x1=m－1，x2=m＋1，∵拋物線經(jīng)過點A，且拋物線與x軸的交點在y軸的右側(cè)，m－1＜m＋1，∴m－1=1，解得：m=2，∴拋物線的解析式為y=－2x2＋8x－6；（2）如圖，作PMy軸交直線l于點M，當(dāng)x=0時，y=－x＋1=1，所以，∴OA=OB．∵∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠PMQ=∠OBA=45°，∵PQ⊥l于Q，∴PQ=PM·sin∠PMQ=PM·sin45°=PM設(shè)點P的橫坐標(biāo)為n，則點P的縱坐標(biāo)為－2n2＋8n－6，點M的縱坐標(biāo)為－n＋1，∴PM=（－2n2＋8n－6）－（－n＋1）=－2（n－）2＋，∴PQ=PM=－（n－）2＋,由－2x2＋8x－6=－x＋1，解得：x1=1，x2=．∵點P在直線l上方的拋物線上，∴1＜n＜,∵－＜0，1＜＜，∴當(dāng)n=時，PQ取最大值為;（3）∵，∴AC=3，由（1）可知，拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（m－1，0），（m＋1，0）∵m－1＜m＋1，（m＋1）－（m－1）=2＜3，∴當(dāng)拋物線與線段AC只有一個公共點時，這兩個交點只能有1個在線段AC上,如圖，當(dāng)只有點（m－1，0）在線段AC上時，，解得：0＜m≤2,如圖，當(dāng)只有點（m＋1，0）在線段AC上時，，解得：－3≤m＜－1,綜上可知：當(dāng)拋物線與線段AC只有一個公共點時－3≤m＜－1或0＜m≤2．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)與x軸的交點問題、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦、二次函數(shù)與一元二次方程等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．16.（2022南陽唐河一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其項點為D．（1）填空：拋物線的解析式為；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，過點P作y軸的平行線交AC與M，當(dāng)t為何值時，線段PM的長最大，并求其最大值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．【25題答案】【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)t=時，PM有最大值，最大值為；（3）（0，1）或（，）或（，）．【解析】【分析】（1）運用待