05解直角三角形及其應(yīng)用大題綜合-【黃金沖刺】考前10天中考數(shù)學(xué)極限滿分沖刺(浙江專用)原卷版+解析

05解直角三角形及其應(yīng)用大題綜合1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）某校數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量鐵塔的高度，他們先在點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂B的仰角為，再沿方向前行40米到達(dá)點(diǎn)A處，在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂B的仰角為，已知測(cè)角儀高為米．請(qǐng)根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)，求此塔的高．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）2．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）圖1是一個(gè)太陽能面板，其側(cè)面如圖2，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，支架可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)太陽光線與面板垂直時(shí)，吸收光能的效率最高．若太陽光與地面夾角為，要想吸收光能的效率最高，求A端離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：）3．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖1，是一臺(tái)小型輸送機(jī)，其示意圖如圖2所示．已知兩個(gè)支架的端點(diǎn)的距離，傳輸帶與支架所成的角，支架端點(diǎn)離地面的高度，求支架端點(diǎn)離地面的高度．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)，，）．4．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）虎年歲末，臺(tái)州進(jìn)入輕軌時(shí)代，極大地方便了市民的出行，如圖1是臺(tái)州市城鐵路線恩澤醫(yī)院站出入口的自動(dòng)扶梯，圖2是其截面示意圖，已知扶梯與購(gòu)票廳地面的夾角，扶梯的長(zhǎng)度為，求扶梯的底端C距離入口平臺(tái)的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）如圖1是一種可折疊的臺(tái)燈，圖2是臺(tái)燈的結(jié)構(gòu)圖，是可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的支架，是可以繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的支架，C為燈泡的位置．量得，當(dāng)，時(shí)，求點(diǎn)C到的距離．（參考數(shù)據(jù)，，，）6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖所示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個(gè)菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變的大?。庑蔚倪呴L(zhǎng)不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋碅、C之間的距離）．經(jīng)測(cè)量，可在和之間發(fā)生變化，（包含和），．(1)當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的長(zhǎng)；(2)當(dāng)從變?yōu)闀r(shí)，這個(gè)千斤頂升高了多少？（，，）7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）圖示為某校園的閘口，其雙翼展開時(shí)為兩個(gè)圓心角的扇形，，C、D處于同一水平線上且距離地面高度為，水平距離為．(1)求A點(diǎn)距離地面的高度（精確到）(2)為了起到有效的阻隔作用，要求，請(qǐng)通過計(jì)算說明該設(shè)備的安裝是否符合要求．（參考數(shù)據(jù)）解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．8．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）讀書架也稱臨帖架、書托架，可幫助我們解放雙手和保護(hù)眼睛，非常適合書法人群和學(xué)生使用．圖是實(shí)木讀書架實(shí)物圖，圖是其側(cè)面示意圖，其工作原理是通過調(diào)節(jié)點(diǎn)在上的位置，來改變的傾斜角度．已知，，當(dāng)點(diǎn)調(diào)節(jié)到圖位置時(shí)，測(cè)得，，．(1)求點(diǎn)到的距離．(2)求的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）9．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）某次科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，小王將某個(gè)棱長(zhǎng)為10cm正方體木塊固定于水平木板上，cm，將木板繞一端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至（即）（如圖為該操作的截面示意圖）．(1)求點(diǎn)C到豎直方向上升高度（即過點(diǎn)C，水平線之間的距離）；(2)求點(diǎn)D到豎直方向上升高度（即過點(diǎn)D，水平線之間的距離）．（參考數(shù)據(jù)：，（1）（2）題中結(jié)果精確到個(gè)位）解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1是鋼琴緩降器，圖2和圖3是鋼琴緩降器兩個(gè)位置的示意圖．是緩降器的底板，壓柄可以繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，液壓伸縮連接桿的端點(diǎn)分別固定在壓柄與底板上，已知．(1)如圖2，當(dāng)壓柄與底座垂直時(shí)，約為，求的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)將壓柄從圖2的位置旋轉(zhuǎn)到與成角（即），如圖3的所示，求此時(shí)液壓伸縮連接桿的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：；）11．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖為某學(xué)校安裝的紅外線體溫檢測(cè)儀（如圖1），該設(shè)備通過探測(cè)人體紅外輻射能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測(cè)溫，其紅外線探測(cè)點(diǎn)O可以在垂直于地面的支桿上下調(diào)節(jié)（如圖2），已知探測(cè)最大角（）為，探測(cè)最小角（）為．(1)若該設(shè)備的安裝高度為米時(shí)，求測(cè)溫區(qū)域的寬度．(2)該校要求測(cè)溫區(qū)域的寬度為米，請(qǐng)你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）12．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考一模）如圖1是一種可折疊的臺(tái)燈，圖2是臺(tái)燈的結(jié)構(gòu)圖，是可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的支架，點(diǎn)C為燈泡的位置，燈罩可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．量得，，此時(shí)，且．(1)當(dāng)，時(shí)（圖2），求燈泡C所在的高度；(2)在（1）的條件下，旋轉(zhuǎn)支架（固定）．當(dāng)從變成（圖3）時(shí)，且的度數(shù)不變，，求的值．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）13．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┠撤N落地?zé)羧鐖D1所示，為立桿，其高為，為支桿，它可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，其中長(zhǎng)為，為懸桿，支桿與懸桿之間的夾角為．(1)如圖2，當(dāng)支桿與地面垂直，且燈泡懸掛點(diǎn)D距離地面的高度為，求的長(zhǎng)；(2)在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3，求此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）14．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，從點(diǎn)處觀測(cè)樓房的樓頂端點(diǎn)的仰角為，從點(diǎn)處沿著直線直走到達(dá)點(diǎn)，從點(diǎn)處觀測(cè)樓頂端點(diǎn)的仰角為，觀測(cè)廣告牌端點(diǎn)的仰角為，求樓房的高度和廣告牌的高度（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）．15．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1是一架踏板式人字梯，如圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，左支撐架和右支撐架長(zhǎng)度都為，最上一層的踏板側(cè)面平行于地面，若支撐架的張角．(1)求的長(zhǎng)．(2)求踏板到地面的距離（結(jié)果精確到)（參考數(shù)據(jù)：）16．（2023·浙江臺(tái)州·臺(tái)州市書生中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖是汽車尾門向上開啟時(shí)的截面圖，已知車高，尾門，當(dāng)尾門開啟時(shí)，，求點(diǎn)C離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）17．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）圖1是一款筆記本電腦支架，它便于電腦散熱，減輕使用者的頸椎壓力．圖2是支架與電腦底部的接觸面以及側(cè)面的抽象圖．已知，互相平分于點(diǎn)O，，若，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求點(diǎn)D到底架的高．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）18．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖1是某小車側(cè)面示意圖，圖2是該車后備箱開啟側(cè)面示意圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示（單位：）且，，箱蓋開啟過程中，點(diǎn)B，E繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)相同角度，分別到點(diǎn)，的位置，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上．若直線．(1)求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．(2)若，求的長(zhǎng)度．19．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形為其橫截面，為吸管，其示意圖如圖2所示，．(1)當(dāng)杯子蓋上時(shí)，吸管繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到處，求掃過的面積．(2)當(dāng)杯子繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到與水平線平行時(shí)（如圖3）．①求杯子與水平線的夾角的度數(shù)．②由圖2到圖3，點(diǎn)A的位置是升高了還是下降了？變化了多少厘米？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）20．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖是某風(fēng)車平面示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽光線恰好垂直照射葉片，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)形成線段，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，測(cè)得，此時(shí)太陽的與地面的夾角為（即）．(1)求旋轉(zhuǎn)中心到地面的距離的值．(2)風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要求葉片外端離地面的最低高度高于米，請(qǐng)判斷此風(fēng)車是否符合要求．21．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）若小紅的眼睛離地面的距離為米，在一處用眼睛看籃球框，測(cè)得仰角，繼續(xù)向正前方走米再看籃球框，測(cè)得仰角，問籃球框距地面的高度是多少米？22．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1，是一個(gè)自動(dòng)伸縮晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的支架左側(cè)平面示意圖，當(dāng)，D在上滑槽上左右滑動(dòng)時(shí)，，同時(shí)在與平行的下滑槽上滑動(dòng)，帶動(dòng)整個(gè)支架改變菱形內(nèi)角度數(shù)，從而調(diào)節(jié)支架的高度，圖2中，中間個(gè)菱形的邊長(zhǎng)均為．(1)當(dāng)調(diào)節(jié)至?xí)r，求兩滑槽間的距離（即與之間的距離）；(2)根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)一個(gè)身高的人，頭頂與下滑槽的距離不超過時(shí)，曬衣服比較方便，若上滑槽距離地面，那么至少調(diào)整到多少度？（參考數(shù)據(jù)：，，）23．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）桑梯——登以採(cǎi)桑，它是我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種采桑工具．圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知米，米，設(shè)，為保證安全，的調(diào)整范圍是．(1)當(dāng)時(shí)，若人站在的中點(diǎn)處，求此人離地面（）的高度．(2)在安全使用范圍下，求桑梯頂端到地面的距離范圍．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，精確到0.1米）24．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖①是一把折疊躺椅，其示意圖如圖②所示，其中平行地面，人們可通過調(diào)整和的大小來滿足不同需求，經(jīng)測(cè)量?jī)芍_，支點(diǎn)在上且，椅背，躺椅打開時(shí)兩支腳的夾角．(1)求躺椅打開時(shí)兩支腳端點(diǎn)、之間的距離；(2)躺椅打開時(shí)，調(diào)整椅背使，求此時(shí)椅背的最高點(diǎn)F到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）在課題學(xué)習(xí)《如何設(shè)計(jì)遮陽棚》中，計(jì)劃在移門上方安裝一個(gè)可伸縮的遮陽棚（如圖1），其中為移門的高度，B為遮陽棚固定點(diǎn)，為遮陽棚的寬度（可變動(dòng)），，．小丁所在小組負(fù)責(zé)探究“移門在正午完全透光時(shí)太陽高度角與遮陽棚寬度的關(guān)系”，查閱得到如下信息：太陽高度角是指太陽光線與地平面的夾角；該地區(qū)冬至日正午的太陽高度角a最?。s）；夏至日正午的太陽高度角a最大（約）．請(qǐng)你協(xié)助該小組，完成以下任務(wù)：【任務(wù)1】如圖2，在冬至日正午時(shí)要使太陽光完全透過移門，應(yīng)該不超過多少長(zhǎng)度（結(jié)果精確到）【任務(wù)2】如圖3，有一小桌子在移門的正前方，桌子最外端E到移門的距離為，桌子高度．若要求在夏至日正午時(shí)太陽光恰好照射不到桌面，則BD應(yīng)該多長(zhǎng)？（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）．05解直角三角形及其應(yīng)用大題綜合1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）某校數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量鐵塔的高度，他們先在點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂B的仰角為，再沿方向前行40米到達(dá)點(diǎn)A處，在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂B的仰角為，已知測(cè)角儀高為米．請(qǐng)根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)，求此塔的高．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】米【分析】根據(jù)題意得到，，，分別在和中，得到，，據(jù)此列出方程，解之可得x，從而求出，再加上即可．【詳解】解：由題意可得：，，，設(shè)，在中，，

在中，，由題意列方程得：，解得：，∴，∴塔高為米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）圖1是一個(gè)太陽能面板，其側(cè)面如圖2，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，支架可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)太陽光線與面板垂直時(shí)，吸收光能的效率最高．若太陽光與地面夾角為，要想吸收光能的效率最高，求A端離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】作于點(diǎn)E，利用三角函數(shù)解即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)E，由題意知，，，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，，在中，，，即A端離地面的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形．3．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖1，是一臺(tái)小型輸送機(jī)，其示意圖如圖2所示．已知兩個(gè)支架的端點(diǎn)的距離，傳輸帶與支架所成的角，支架端點(diǎn)離地面的高度，求支架端點(diǎn)離地面的高度．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)，，）．【答案】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，可得，在利用三角函數(shù)求出BF，利用即可得解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，在中，，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，記住銳角三角函數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型．4．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）虎年歲末，臺(tái)州進(jìn)入輕軌時(shí)代，極大地方便了市民的出行，如圖1是臺(tái)州市城鐵路線恩澤醫(yī)院站出入口的自動(dòng)扶梯，圖2是其截面示意圖，已知扶梯與購(gòu)票廳地面的夾角，扶梯的長(zhǎng)度為，求扶梯的底端C距離入口平臺(tái)的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】扶梯的底端C距離入口平臺(tái)的高度約為．【分析】過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．由題意可求，再結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求出的長(zhǎng)，即扶梯的底端C距離入口平臺(tái)的高度．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∵，∴．由題意可得，在中，．∴扶梯的底端C距離入口平臺(tái)的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）如圖1是一種可折疊的臺(tái)燈，圖2是臺(tái)燈的結(jié)構(gòu)圖，是可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的支架，是可以繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的支架，C為燈泡的位置．量得，當(dāng)，時(shí)，求點(diǎn)C到的距離．（參考數(shù)據(jù)，，，）【答案】【分析】過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形的長(zhǎng)，求出點(diǎn)C到的距離即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則，∴，在中，，∴點(diǎn)C到的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖所示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個(gè)菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變的大小（菱形的邊長(zhǎng)不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋碅、C之間的距離）．經(jīng)測(cè)量，可在和之間發(fā)生變化，（包含和），．(1)當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的長(zhǎng)；(2)當(dāng)從變?yōu)闀r(shí)，這個(gè)千斤頂升高了多少？（，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)E，由四邊形是菱形得到，，，，當(dāng)時(shí)，，由得到是等邊三角形，則；（2）當(dāng)時(shí)，在中，，則，則，當(dāng)時(shí)，中，則可得到，得到，即可得到答案【詳解】（1）連接交于點(diǎn)E，∵四邊形是菱形，∴，，，，當(dāng)時(shí)，，又∵，∴是等邊三角形，∴；（2）當(dāng)時(shí)，中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，中，，∴，∴∴這個(gè)千斤頂升高了，答：這個(gè)千斤頂升高了64.8cm．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）圖示為某校園的閘口，其雙翼展開時(shí)為兩個(gè)圓心角的扇形，，C、D處于同一水平線上且距離地面高度為，水平距離為．(1)求A點(diǎn)距離地面的高度（精確到）(2)為了起到有效的阻隔作用，要求，請(qǐng)通過計(jì)算說明該設(shè)備的安裝是否符合要求．（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)70cm(2)該設(shè)備的安裝符合要求【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果；（2）作于N點(diǎn)，分別求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，，．，∵點(diǎn)距離地面的高度為點(diǎn)距離地面的高度為（2）解：作于N點(diǎn)，在中，，．同理．∴該設(shè)備的安裝符合要求．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．8．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）讀書架也稱臨帖架、書托架，可幫助我們解放雙手和保護(hù)眼睛，非常適合書法人群和學(xué)生使用．圖是實(shí)木讀書架實(shí)物圖，圖是其側(cè)面示意圖，其工作原理是通過調(diào)節(jié)點(diǎn)在上的位置，來改變的傾斜角度．已知，，當(dāng)點(diǎn)調(diào)節(jié)到圖位置時(shí)，測(cè)得，，．(1)求點(diǎn)到的距離．(2)求的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，解，即可求解；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．根據(jù)已知得出，進(jìn)而得出，在中，求得，在中，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，，．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，．．．．在中，．在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）某次科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，小王將某個(gè)棱長(zhǎng)為10cm正方體木塊固定于水平木板上，cm，將木板繞一端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至（即）（如圖為該操作的截面示意圖）．(1)求點(diǎn)C到豎直方向上升高度（即過點(diǎn)C，水平線之間的距離）；(2)求點(diǎn)D到豎直方向上升高度（即過點(diǎn)D，水平線之間的距離）．（參考數(shù)據(jù)：，（1）（2）題中結(jié)果精確到個(gè)位）【答案】(1)38cm(2)36cm【分析】（1）過點(diǎn)作，在中，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)度即可．（2）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，分別求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵正方體木塊的棱長(zhǎng)為10cm，cm，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴在中，；∴點(diǎn)C到豎直方向上升高度為38cm；（2）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)則：四邊形矩形，，∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴，在中，，∴；∴點(diǎn)D到豎直方向上升高度為36cm．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1是鋼琴緩降器，圖2和圖3是鋼琴緩降器兩個(gè)位置的示意圖．是緩降器的底板，壓柄可以繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，液壓伸縮連接桿的端點(diǎn)分別固定在壓柄與底板上，已知．(1)如圖2，當(dāng)壓柄與底座垂直時(shí)，約為，求的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)將壓柄從圖2的位置旋轉(zhuǎn)到與成角（即），如圖3的所示，求此時(shí)液壓伸縮連接桿的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：；）【答案】(1)cm(2)cm【分析】（1）根據(jù)正切即為對(duì)邊與鄰邊的比可得答案；（2）過點(diǎn)作，垂足為，在中，根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形求出的值，根據(jù)求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：在中，，答：此時(shí)的長(zhǎng)約為5cm；（2）過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，∴，在中，，答：此時(shí)液壓伸縮連接桿的長(zhǎng)約為cm．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用以及勾股定理，熟練利用三角函數(shù)解直角三角形是解本題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖為某學(xué)校安裝的紅外線體溫檢測(cè)儀（如圖1），該設(shè)備通過探測(cè)人體紅外輻射能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測(cè)溫，其紅外線探測(cè)點(diǎn)O可以在垂直于地面的支桿上下調(diào)節(jié)（如圖2），已知探測(cè)最大角（）為，探測(cè)最小角（）為．(1)若該設(shè)備的安裝高度為米時(shí)，求測(cè)溫區(qū)域的寬度．(2)該校要求測(cè)溫區(qū)域的寬度為米，請(qǐng)你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)米(2)米【分析】（1）根據(jù)題意可得，，，米，利用銳角三角函數(shù)列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)列式計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可知：，，，米，在中，（米，在中，（米，（米．答：測(cè)溫區(qū)域的寬度為米；（2）根據(jù)題意可知：，在中，，，在中，，，解得米，（米．答：該設(shè)備的安裝高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的過程．12．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考一模）如圖1是一種可折疊的臺(tái)燈，圖2是臺(tái)燈的結(jié)構(gòu)圖，是可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的支架，點(diǎn)C為燈泡的位置，燈罩可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．量得，，此時(shí)，且．(1)當(dāng)，時(shí)（圖2），求燈泡C所在的高度；(2)在（1）的條件下，旋轉(zhuǎn)支架（固定）．當(dāng)從變成（圖3）時(shí)，且的度數(shù)不變，，求的值．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)燈泡所在的高度為；(2)．【分析】（1）過點(diǎn)作于，于，利用直角三角形求出，的長(zhǎng)度即可求解；（2）由（1）可知，，，過點(diǎn)作于，于，同（1）方法相同，求出，進(jìn)而求出，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于，于，∵，∴四邊形為矩形，則，，在中，∵，，∴，，則，∵，∴，則，∴，∴燈泡所在的高度為：；即：燈泡所在的高度為；（2）由（1）可知，，，∴，則，，當(dāng)從變成時(shí)，且的度數(shù)不變，則，過點(diǎn)作于，于，∵，∴四邊形為矩形，則，，∴，∵，∴，在中，，在中，∵，，∴，，∴；則，∴【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的過程．13．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┠撤N落地?zé)羧鐖D1所示，為立桿，其高為，為支桿，它可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，其中長(zhǎng)為，為懸桿，支桿與懸桿之間的夾角為．(1)如圖2，當(dāng)支桿與地面垂直，且燈泡懸掛點(diǎn)D距離地面的高度為，求的長(zhǎng)；(2)在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3，求此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)的長(zhǎng)為(2)此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離為．【分析】（1）過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，從而可求出的長(zhǎng)度，然后利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作于點(diǎn)N，從而可知四邊形和四邊形是矩形，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出的長(zhǎng)度即可求出答案．【詳解】（1）過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，答：的長(zhǎng)為；（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作于點(diǎn)N，，∴四邊形和四邊形是矩形，由題意可知：，∴，在中，，∴，∴，在中，∴，∴，∴，答：此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義．14．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，從點(diǎn)處觀測(cè)樓房的樓頂端點(diǎn)的仰角為，從點(diǎn)處沿著直線直走到達(dá)點(diǎn)，從點(diǎn)處觀測(cè)樓頂端點(diǎn)的仰角為，觀測(cè)廣告牌端點(diǎn)的仰角為，求樓房的高度和廣告牌的高度（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）．【答案】樓房的高度為，廣告牌的高度為【分析】設(shè)，利用正切定義，表示出和的長(zhǎng)，根據(jù)，列方程求出和的長(zhǎng)，在中，利用正切定義求出的長(zhǎng)，根據(jù)，可求出廣告牌的高度．【詳解】解：由題意，得，，設(shè)，則，．，∴，解得．∴，．又∵，∴．∴．答：樓房的高度為，廣告牌的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角和俯角問題：解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．15．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1是一架踏板式人字梯，如圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，左支撐架和右支撐架長(zhǎng)度都為，最上一層的踏板側(cè)面平行于地面，若支撐架的張角．(1)求的長(zhǎng)．(2)求踏板到地面的距離（結(jié)果精確到)（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)得到，，利用解直角三角形得，即可得到的長(zhǎng)．（2）設(shè)交于點(diǎn)M，得，，，求出，即可得到，得到踏板到地面的距離．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，即的長(zhǎng)為．（2）解：設(shè)交于點(diǎn)M，∵，∴，，∴，，∵，∴，即踏板到地面的距離為．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)和解直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江臺(tái)州·臺(tái)州市書生中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖是汽車尾門向上開啟時(shí)的截面圖，已知車高，尾門，當(dāng)尾門開啟時(shí)，，求點(diǎn)C離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）【答案】點(diǎn)C離地面的高度約為2.2米【分析】過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意可以得出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦值求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∵，∴，∵，∴，∴（米），∴（米），答：點(diǎn)C離地面的高度約為2.2米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）圖1是一款筆記本電腦支架，它便于電腦散熱，減輕使用者的頸椎壓力．圖2是支架與電腦底部的接觸面以及側(cè)面的抽象圖．已知，互相平分于點(diǎn)O，，若，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求點(diǎn)D到底架的高．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，由，證明與均是正三角形，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定義求解即可.【詳解】（1）解：∵，，互相平分于點(diǎn)O，∴，∵，∴與均是正三角形，∴．（2）解：在中，，即，答：點(diǎn)D到底架的高為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形，對(duì)頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，準(zhǔn)確計(jì)算．18．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖1是某小車側(cè)面示意圖，圖2是該車后備箱開啟側(cè)面示意圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示（單位：）且，，箱蓋開啟過程中，點(diǎn)B，E繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)相同角度，分別到點(diǎn)，的位置，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上．若直線．(1)求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．(2)若，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【分析】（1）過A作，垂足為G，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)分別得到，，相加可得結(jié)果；（2）過作延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)一定角度后得到可知，旋轉(zhuǎn)角度為，過作，交于點(diǎn)，分別表示出、的長(zhǎng)，即可得出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，過A作，垂足為G，由旋轉(zhuǎn)可得：，且都為旋轉(zhuǎn)角，，∵，∴，∴，則，∵，則，∴；（2）如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，則，，，，在中，，設(shè)，則，，，，由（1）可知：，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，已知三角函數(shù)表示邊長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)角是是解題的關(guān)鍵．19．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形為其橫截面，為吸管，其示意圖如圖2所示，．(1)當(dāng)杯子蓋上時(shí)，吸管繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到處，求掃過的面積．(2)當(dāng)杯子繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到與水平線平行時(shí)（如圖3）．①求杯子與水平線的夾角的度數(shù)．②由圖2到圖3，點(diǎn)A的位置是升高了還是下降了？變化了多少厘米？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)①；②點(diǎn)A的位置是下降了厘米【分析】（1）根據(jù)扇形面積公式即可求解；（2）①過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，，在中，，，求得，即可求解．【詳解】（1）解：掃過的面積為，（2）解：①如圖所示，過點(diǎn)作，∴，，∴，∵，∴；②如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，，∴，，∴；點(diǎn)A的位置是下降了厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，求扇形面積，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖是某風(fēng)車平面示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽光線恰好垂直照射葉片，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)形成線段，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，測(cè)得，此時(shí)太陽的與地面的夾角為（即）．(1)求旋轉(zhuǎn)中心到地面的距離的值．(2)風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要求葉片外端離地面的最低高度高于米，請(qǐng)判斷此風(fēng)車是否符合要求．【答案】(1)(2)此風(fēng)車符合要求【分析】（1）由平行線分線段成比例定理求得，再利用三角形函數(shù)的定義求解即可；（2）過點(diǎn)C作，垂足為F，則四邊形為矩形，利用特殊角的三角函數(shù)值求得，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，，∴，∴．∵，∴，∵，∴．（2）解：如圖，過點(diǎn)C作，垂足為F，則四邊形為矩形．∵，∴，即，∴葉片外端離地面的最低高度為，∵．∴此風(fēng)車符合要求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線分線段成比例，及勾股定理和矩形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．21．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）若小紅的眼睛離地面的距離為米，在一處用眼睛看籃球框，測(cè)得仰角，繼續(xù)向正前方走米再看籃球框，測(cè)得仰角，問籃球框距地面的高度是多少米？【答案】【分析】連接，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，根據(jù)題意得：，設(shè)，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)可得的長(zhǎng)，再由，求出x的值，即可．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，根據(jù)題意得：，設(shè)，在中，，，在中，，，∵，∴，解得：，即，∴籃球框距地面的高度是米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1，是一個(gè)自動(dòng)伸縮晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的支架左側(cè)平面示意圖，當(dāng)，D在上滑槽上左右滑動(dòng)時(shí)，，同時(shí)在與平行的下滑槽上滑動(dòng)，帶動(dòng)整個(gè)支架改變菱形內(nèi)角度數(shù)，從而調(diào)節(jié)支架的高度，圖2中，中間個(gè)菱形的邊長(zhǎng)均為．(1)當(dāng)調(diào)節(jié)至?xí)r，求兩滑槽間的距離（即與之間的距離）；(2)根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)一個(gè)身高的人，頭頂與下滑槽的距離不超過時(shí)，曬衣服比較方便，若上滑槽距離地面，那么至少調(diào)整到多少度？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)至少調(diào)整到【分析】（1）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用，，求出的度數(shù)，利用三角函數(shù)求出，，最后用求出最后結(jié)果．（2）由（1）可知，所以，根據(jù)題意得出，利用已知可求出，再得出最后結(jié)果即可．【詳解】（1）如圖，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．由菱形的軸對(duì)稱性可知，，，為與之間的距離，即兩滑槽間的距離，，，，．同理，，兩滑槽間的距離為．（2）如圖，由（1）可知，，由題意可得，，即，，，，至少調(diào)整到．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)，正確作出輔助線，結(jié)合圖形判斷出是解答本題的關(guān)鍵．23．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）桑梯——登以採(cǎi)桑，它是我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種采桑工具．圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知米，米，設(shè)，為保證安全，的調(diào)整范圍是．(1)當(dāng)時(shí)，若人站在的中點(diǎn)處，求此人離地面（）的高度．(2)在安全使用范圍下，求桑梯頂端到地面的距離范圍