2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十六：與圓有關(guān)的弧長(zhǎng)計(jì)算(原卷版+解析)

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十六：與圓有關(guān)的弧長(zhǎng)計(jì)算典例分析例1（2022福建中考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．（1）求證：AC＝AF；（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．專題過(guò)關(guān)1．（2022紹興中考）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B=90°，連接OD，AD．（1）若∠ACB=20°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．（2）求證：AD平分∠BDO．2.（2022邵陽(yáng)中考）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，且．（1）求的度數(shù)；（2）若的半徑為3，求圓弧的長(zhǎng)．3.（2022泰州中考）如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點(diǎn)E、F都在直線l上，且AB=7，EF=10，BC＞5.點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)E處出發(fā)，沿射線EF方向運(yùn)動(dòng)矩形ABCD隨之運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）如圖2，當(dāng)t=2.5時(shí)，求半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長(zhǎng)度；（2）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)AD、BC都與半圓O相交，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為G、H連接OG，OH.若∠GOH為直角，求此時(shí)t的值.4.（2022深圳中考）一個(gè)玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點(diǎn)處有個(gè)吊燈的中點(diǎn)為（1）如圖①，為一條拉線，在上，求長(zhǎng)度．（2）如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓相切，為切點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為入射光線，為反射光線，求的長(zhǎng)度．（3）如圖③，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為入射光線，為反射光線交圓于點(diǎn)在從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．5.（2022河南西華二模）如圖，已知內(nèi)接于，AB為直徑，點(diǎn)D在上，，作直線CF切于點(diǎn)C，與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，，填空：①_______．②劣弧的長(zhǎng)為_(kāi)______．6.（2022河南長(zhǎng)垣二模）如圖，在中，，以AB為直徑作交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖：（i）以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊AB，AC于點(diǎn)M，N；（ii）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)P，作射線AP，射線AP恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．（1）證明：．（2）①連接OD，DE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形AODE是菱形，并證明；②在①的條件下，求的長(zhǎng)．7.（2022河南夏邑一模）如圖1展示的是曲柄連桿運(yùn)動(dòng)的示意圖（1-曲柄，2-連桿，3-搖桿，4-機(jī)架），滑塊C在弧形滑槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，通過(guò)連桿帶動(dòng)點(diǎn)B繞點(diǎn)A做圓周運(yùn)動(dòng)．某數(shù)學(xué)興趣小組利用示意圖，構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型．如圖2，點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)，利用連桿，使得點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖3，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到這一時(shí)刻時(shí)，連接交于點(diǎn)M，連接．請(qǐng)判斷此時(shí)與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)一個(gè)來(lái)回，則點(diǎn)B恰好繞點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)一周，若，請(qǐng)求出的度數(shù)．8.（2022商丘二模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．戰(zhàn)國(guó)時(shí)的《墨經(jīng)》就有“圓，一中同長(zhǎng)也”的記載．與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．下面是弦切角定理的部分證明過(guò)程：證明：如圖1，與相切于點(diǎn)A．當(dāng)圓心O在弦上時(shí)，容易得到，所以弦切角．如圖2，與相切于點(diǎn)A．當(dāng)圓心O在的外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直徑交于點(diǎn)F，連接．∵是直徑，∴，∴，∵與相切于點(diǎn)A，∴，∴；∴．（1）如圖3，與相切于點(diǎn)A，當(dāng)圓心O在的內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直徑交于點(diǎn)D，在上任取一點(diǎn)E，連接，求證：；（2）如圖3，已知的半徑為1，弦切角，求的長(zhǎng)．9.（2022許昌一模）張老師在復(fù)習(xí)《圓》的內(nèi)容時(shí)，用投影屏幕展示出如下內(nèi)容：已知，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C為半圓O上任一點(diǎn)．張老師讓同學(xué)們根據(jù)題意畫出圖形，添加條件后，編制一道題目，并給出解答．以下是小亮和小穎的對(duì)話：小亮：我畫的圖形如圖，過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．連接OC，AC，BC，若∠A＝30°，則圖形中存在全等的三角形；小穎：我在半圓O上找一點(diǎn)E，且滿足以點(diǎn)A，O，C，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若AB＝2，可求出的長(zhǎng)為；小亮：小穎的答案是有問(wèn)題的．參考上面對(duì)話，完成以下任務(wù)：（1）請(qǐng)寫出圖中所有的全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)給出證明；（2）填空：小穎編制的題目中的長(zhǎng)應(yīng)為_(kāi)_____．10.（2021麗水中考）如圖，在中，，以為直徑的半圓O交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線，交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．11．（2021金華中考）（10分）在扇形AOB中，半徑OA＝6，點(diǎn)P在OA上，連結(jié)PB，將△OBP沿PB折疊得到△O′BP．（1）如圖1，若∠O＝75°，且BO′與所在的圓相切于點(diǎn)B．①求∠APO′的度數(shù)．②求AP的長(zhǎng)．（2）如圖2，BO′與相交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，且PD∥OB，求的長(zhǎng)．12．（2021宜昌中考）（8分）如圖，在菱形ABCD中，O是對(duì)角線BD上一點(diǎn)（BO＞DO），OE⊥AB，垂足為E，以O(shè)E為半徑的⊙O分別交DC于點(diǎn)H，交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EF與DC交于點(diǎn)G．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若G是OF的中點(diǎn)，OG＝2，DG＝1．①求的長(zhǎng)；②求AD的長(zhǎng)．13．（2021河北中考）（9分）如圖，⊙O的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點(diǎn)為An（n為1～12的整數(shù)），過(guò)點(diǎn)A7作⊙O的切線交A1A11延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）通過(guò)計(jì)算比較直徑和劣弧長(zhǎng)度哪個(gè)更長(zhǎng)；（2）連接A7A11，則A7A11和PA1有什么特殊位置關(guān)系？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；（3）求切線長(zhǎng)PA7的值．14.（2021百色中考）據(jù)國(guó)際田聯(lián)《田徑場(chǎng)地設(shè)施標(biāo)準(zhǔn)手冊(cè)》，400米標(biāo)準(zhǔn)跑道由兩個(gè)平行的直道和兩個(gè)半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.2米，直道長(zhǎng)87米；跑道的彎道是半圓形，環(huán)形跑道第一圈（最內(nèi)圈）彎道半徑為35.00米到38.00米之間．某校據(jù)國(guó)際田聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)校場(chǎng)地實(shí)際，建成第一圈彎道半徑為36米的標(biāo)準(zhǔn)跑道．小王同學(xué)計(jì)算了各圈的長(zhǎng)：第一圈長(zhǎng)：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；第二圈長(zhǎng)：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；第三圈長(zhǎng)：87×2＋2π（36＋12×2）≈415（米）；……請(qǐng)問(wèn)：（1）第三圈半圓形彎道長(zhǎng)比第一圈半圓形彎道長(zhǎng)多多少米？小王計(jì)算的第八圈長(zhǎng)是多少？（2）小王緊靠第一圈邊線逆時(shí)針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線順時(shí)針騎自行車（均以所靠邊線長(zhǎng)計(jì)路程），在如圖的起跑線同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)20秒兩人在直道第一次相遇．若鄧教練平均速度是小王平均速度的2倍，求他們的平均速度各是多少？（注：在同側(cè)直道，過(guò)兩人所在點(diǎn)的直線與跑道邊線垂直時(shí)，稱兩人直道相遇）2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十六：與圓有關(guān)的弧長(zhǎng)計(jì)算典例分析例1（2022福建中考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．（1）求證：AC＝AF；（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證明四邊形ABED是平行四邊形，得∠B＝∠D，再證明即可得到結(jié)論；（2）連接OA，OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，由圓周角定理可得最后由弧長(zhǎng)公式可求出結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】∵，，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．【小問(wèn)2詳解】連接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．專題過(guò)關(guān)1．（2022紹興中考）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B=90°，連接OD，AD．（1）若∠ACB=20°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．（2）求證：AD平分∠BDO．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接，由，得，由弧長(zhǎng)公式即得的長(zhǎng)為；（2）根據(jù)切于點(diǎn)，，可得，有，而，即可得，從而平分．【小問(wèn)1詳解】解：連接OA，∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴，．【小問(wèn)2詳解】證明：，，切于點(diǎn)，，，，，，平分．【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算及圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式及圓的切線的性質(zhì)．2.（2022邵陽(yáng)中考）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，且．（1）求的度數(shù)；（2）若的半徑為3，求圓弧的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）證明是等邊三角形，得到，從而計(jì)算出的度數(shù)；（2）計(jì)算出圓弧的圓心角，根據(jù)圓弧弧長(zhǎng)公式計(jì)算出最終的答案．【小問(wèn)1詳解】如下圖，連接AO∵是的切線∴∴∵∴∵∴∴∴∴是等邊三角形∴∵∴【小問(wèn)2詳解】∵∴圓弧的長(zhǎng)為：∴圓弧的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．3.（2022泰州中考）如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點(diǎn)E、F都在直線l上，且AB=7，EF=10，BC＞5.點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)E處出發(fā)，沿射線EF方向運(yùn)動(dòng)矩形ABCD隨之運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）如圖2，當(dāng)t=2.5時(shí)，求半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長(zhǎng)度；（2）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)AD、BC都與半圓O相交，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為G、H連接OG，OH.若∠GOH為直角，求此時(shí)t的值.【答案】（1）（2）8或9秒【解析】【分析】(1)通過(guò)計(jì)算當(dāng)t=2.5時(shí)EB=BO，進(jìn)而得到△MBE≌△MBO，判斷出△MEO為等邊三角形得到∠EOM=60°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解；(2)通過(guò)判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)BC與⊙O交于點(diǎn)M，如下圖所示：當(dāng)t=2.5時(shí)，BE=2.5，∵EF=10，∴OE=EF=5，∴OB=2.5，∴EB=OB，在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，∴△MBE≌△MBO(SAS)，∴ME=MO，∴ME=EO=MO，∴△MOE是等邊三角形，∴∠EOM=60°，∴．【小問(wèn)2詳解】解：連接GO和HO，如下圖所示：∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，∵∠AOG+∠AGO=90°，∴∠AGO=∠BOH，在△AGO和△OBH中，，∴△AGO≌△BOH(AAS)，∴AG=OB=BE-EO=t-5，∵AB=7，∴AE=BE-AB=t-7，∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，∴(t-5)2+(12-t)2=52，解得：t1=8，t2=9，即t的值為8或9秒．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定(一線三垂直模型)，結(jié)合勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．4.（2022深圳中考）一個(gè)玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點(diǎn)處有個(gè)吊燈的中點(diǎn)為（1）如圖①，為一條拉線，在上，求長(zhǎng)度．（2）如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓相切，為切點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為入射光線，為反射光線，求的長(zhǎng)度．（3）如圖③，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為入射光線，為反射光線交圓于點(diǎn)在從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）由，可得出為的中位線，可得出D為中點(diǎn)，即可得出的長(zhǎng)度；（2）過(guò)N點(diǎn)作，交于點(diǎn)D，可得出為等腰直角三角形，根據(jù),可得出，設(shè)，則，根據(jù)，即可求得，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（3）依題意得出點(diǎn)N路徑長(zhǎng)為：，推導(dǎo)得出，即可計(jì)算給出，即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】∵∴為的中位線∴D為的中點(diǎn)∵∴【小問(wèn)2詳解】過(guò)N點(diǎn)作，交于點(diǎn)D，∵，∴為等腰直角三角形，即，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，，∴在中，；【小問(wèn)3詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)T，故點(diǎn)N路徑長(zhǎng)為：．∵．∴．∴．∴，∴，∴N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以上知識(shí)，并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5.（2022河南西華二模）如圖，已知內(nèi)接于，AB為直徑，點(diǎn)D在上，，作直線CF切于點(diǎn)C，與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，，填空：①_______．②劣弧的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①6；②【解析】【分析】（1）如圖，連接，延長(zhǎng)交于，由等邊對(duì)等角得，由三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)可知，，由可知，則，，由圓周角定理可得，對(duì)等角相等可知，則，，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）①由同弧所對(duì)的圓周角相等可知，在含30°的直角三角形中，由可得，則，由，，在含30°的直角三角形中可得；②由可知的半徑為4，由（1）可知，根據(jù)計(jì)算求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接，延長(zhǎng)交于∵∴∴，∵∴∴∴∴∴∴∴∵∴．【小問(wèn)2詳解】①解：∵，∴∵∴在中，∴∵，∴故答案為：6．②解：∵∴的半徑為4由（1）可知故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，對(duì)頂角，含30°的直角三角形，弧長(zhǎng)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．6.（2022河南長(zhǎng)垣二模）如圖，在中，，以AB為直徑作交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖：（i）以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊AB，AC于點(diǎn)M，N；（ii）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)P，作射線AP，射線AP恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．（1）證明：．（2）①連接OD，DE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形AODE是菱形，并證明；②在①的條件下，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①添加的條件是，理由見(jiàn)解析；②．【解析】【分析】（1）由作圖的步驟可知，AP平分∠BAC，知∠BAD＝∠CAD，AB是的直徑，由直徑所對(duì)的圓周角是直角可證∠ADB＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD是公共邊，即可證明（ASA）；（2）①添加的條件是，先證明△OAE是等邊三角形，得AE＝OA，可得AE＝DE，進(jìn)而得到OD＝OA＝AE＝DE，結(jié)論得證；②由直徑AB先求得半徑的長(zhǎng)，再求得圓心角∠BOE的度數(shù)，運(yùn)用弧長(zhǎng)公式即可求得的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】證明：由作圖的步驟可知，AP平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB是的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ADB和△ADC中，，∴（ASA）；【小問(wèn)2詳解】解：①如圖所示，可以添加的條件是，理由如下：∵AP平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∵，∴，∴∠AOE＝∠DOE＝∠BOD＝×180°＝60°，∵OA＝OE，∴△OAE是等邊三角形，∴AE＝OA，∵，∴AE＝DE，∴OD＝OA＝AE＝DE，∴四邊形AODE是菱形；②∵AB＝4，∴OB＝OE＝AB＝2，∵∠DOE＝∠DOB＝60°，∴∠BOE＝∠DOE＋∠DOB＝60°＋60°＝120°，∴長(zhǎng)＝，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、弧和圓心角之間關(guān)系、弧長(zhǎng)公式、菱形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定等，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.（2022河南夏邑一模）如圖1展示的是曲柄連桿運(yùn)動(dòng)的示意圖（1-曲柄，2-連桿，3-搖桿，4-機(jī)架），滑塊C在弧形滑槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，通過(guò)連桿帶動(dòng)點(diǎn)B繞點(diǎn)A做圓周運(yùn)動(dòng)．某數(shù)學(xué)興趣小組利用示意圖，構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型．如圖2，點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)，利用連桿，使得點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖3，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到這一時(shí)刻時(shí)，連接交于點(diǎn)M，連接．請(qǐng)判斷此時(shí)與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)一個(gè)來(lái)回，則點(diǎn)B恰好繞點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)一周，若，請(qǐng)求出的度數(shù)．【答案】（1）與相切，理由見(jiàn)解析（2）的度數(shù)為【解析】【分析】（1）先證明∠AMB=∠ABM，即可證明∠ABC=∠ABM+∠MBC=∠AMB+∠MBC=∠MBC+∠ACB+∠MBC=90°，由此即可得到結(jié)論；（2）由題意得點(diǎn)B和點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路程是一樣的，設(shè)AB=m，則CD=3m，設(shè)∠FDG=n°，則點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)一周的路程為，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程為，由此求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：與相切，理由如下：∵AB=AM，∴∠AMB=∠ABM，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=∠AMB+∠MBC=∠MBC+∠ACB+∠MBC=90°，∴與相切；【小問(wèn)2詳解】解：由題意得點(diǎn)B和點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路程是一樣的，設(shè)AB=m，則CD=3m，設(shè)∠FDG=n°，∴點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)一周的路程為，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程為，∴，∴，∴∠FDG=60°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，求弧長(zhǎng)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．8.（2022商丘二模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．戰(zhàn)國(guó)時(shí)的《墨經(jīng)》就有“圓，一中同長(zhǎng)也”的記載．與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．下面是弦切角定理的部分證明過(guò)程：證明：如圖1，與相切于點(diǎn)A．當(dāng)圓心O在弦上時(shí)，容易得到，所以弦切角．如圖2，與相切于點(diǎn)A．當(dāng)圓心O在的外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直徑交于點(diǎn)F，連接．∵是直徑，∴，∴，∵與相切于點(diǎn)A，∴，∴；∴．（1）如圖3，與相切于點(diǎn)A，當(dāng)圓心O在的內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作直徑交于點(diǎn)D，在上任取一點(diǎn)E，連接，求證：；（2）如圖3，已知的半徑為1，弦切角，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直徑的性質(zhì)及切線的特點(diǎn)即可求解；（2）先求出的圓心角度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】（1）∵是的直徑∴∠DEA=90°∵與相切于點(diǎn)A，∴∠DAB=90°∵∠CED=∠CAD∴∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB∴（2）如圖，連接CO∵∴∴∴的長(zhǎng)==．【點(diǎn)睛】此題主要考查切線的性質(zhì)與弧長(zhǎng)的求解，解題的關(guān)鍵是熟知切線的性質(zhì)定理、弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用．9.（2022許昌一模）張老師在復(fù)習(xí)《圓》的內(nèi)容時(shí)，用投影屏幕展示出如下內(nèi)容：已知，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C為半圓O上任一點(diǎn)．張老師讓同學(xué)們根據(jù)題意畫出圖形，添加條件后，編制一道題目，并給出解答．以下是小亮和小穎的對(duì)話：小亮：我畫的圖形如圖，過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．連接OC，AC，BC，若∠A＝30°，則圖形中存在全等的三角形；小穎：我在半圓O上找一點(diǎn)E，且滿足以點(diǎn)A，O，C，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若AB＝2，可求出的長(zhǎng)為；小亮：小穎的答案是有問(wèn)題的．參考上面對(duì)話，完成以下任務(wù)：（1）請(qǐng)寫出圖中所有的全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)給出證明；（2）填空：小穎編制的題目中的長(zhǎng)應(yīng)為_(kāi)_____．【答案】（1）△AOC≌△DBC，△ACB≌△DCO．證明見(jiàn)解析（2）或【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形解答小明給出的題目：由切線性質(zhì)得∠DCO＝90°，由圓周角定理得∠ACB＝90°，再證明△OBC為等邊三角形，再證三角形全等即可；（2）分當(dāng)四邊形AOCE為菱形時(shí)及當(dāng)四邊形AOEC為菱形時(shí)兩種情況進(jìn)行討論；【小問(wèn)1詳解】解：△AOC≌△DBC，△ACB≌△DCO．證明△ACB≌△DCO，過(guò)程如下：∵CD是⊙O的切線，∴∠DCO＝90°，∵AB是⊙O是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DCO∵∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，又OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形，∴OC＝BC，∠ABC＝∠DOC＝60°，在△ACB和△DCO中，∴△ACB≌△DCO（ASA）【小問(wèn)2詳解】如圖1，當(dāng)四邊形AOCE為菱形時(shí)，∵四邊形AOCE為菱形，∴OA=AE，∵OE=OA，∴OE=OA=AE，∴△AEO為等邊三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠COE＝∠AOE＝60°，∴∠BOC＝60°，∵AB＝2，∴OB=1,∴，如圖2，當(dāng)四邊形AOEC為菱形時(shí)，∵四邊形AOEC為菱形，∴OA=AC，∵OC=OA，∴OC=OA=AC，∴△ACO為等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝2，∴OB=1∴，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)及菱形性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．10.（2021麗水中考）如圖，在中，，以為直徑的半圓O交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線，交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)，利用圓的切線性質(zhì)，間接證明：，再根據(jù)條件中：且，即能證明：；（2）由（1）可以證明：為直角三角形，由勾股定求出的長(zhǎng)，求出，可得到的度數(shù)，從而說(shuō)明為等邊三角形，再根據(jù)邊之間的關(guān)系及弦長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓周角及圓心角之間的關(guān)系，求出，半徑,最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖，連結(jié)．與相切，．是圓的直徑，．．．．．（2）由（1）可知，，，，，是等邊三角形．,，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、圓心角和圓周角之間的關(guān)系、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是：熟練掌握等邊三角形判定與性質(zhì).11．（2021金華中考）（10分）在扇形AOB中，半徑OA＝6，點(diǎn)P在OA上，連結(jié)PB，將△OBP沿PB折疊得到△O′BP．（1）如圖1，若∠O＝75°，且BO′與所在的圓相切于點(diǎn)B．①求∠APO′的度數(shù)．②求AP的長(zhǎng)．（2）如圖2，BO′與相交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，且PD∥OB，求的長(zhǎng)．【分析】（1）①利用三角形內(nèi)角和定理求解即可。②如圖1中，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA于H,在BH上取一點(diǎn)F,使得OF＝FB,連接OF．想辦法求出OH,PH,可得結(jié)論。（2）如圖2中，連接AD,OD．證明∠AOB＝72°可得結(jié)論?！窘獯稹拷猓海?）①如圖1中，∵BO′是⊙O的切線，∴∠OBO′＝90°,由翻折的性質(zhì)可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,∵∠AOB＝75°,∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,∴∠OPO′＝120°,∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．②如圖1中，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA于H,在BH上取一點(diǎn)F,使得OF＝FB,連接OF．∵∠BHO＝90°,∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,∵FO＝FB,∴∠FOB＝∠FBO＝15°,∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,設(shè)OH＝m,則HF＝m,OF＝FB＝2m,∵OB2＝OH2+BH2,∴62＝m2+(m+2m)2,∴m＝或﹣（舍棄），∴OH＝,BH＝,在Rt△PBH中，PH＝＝,∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．(2)如圖2中，連接AD,OD．∵＝,∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,由翻折的旋轉(zhuǎn)可知，∠OBP＝∠PBD,∵PD∥OB,∴∠DPB＝∠OBP,∴∠DPB＝∠PBD,∴DP＝DB＝AD,∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,∴△AOD≌△BOD,∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,∵OB＝OD,∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,∴∠DOB＝36°,∴∠AOB＝72°，∴的長(zhǎng)＝＝。12．（2021宜昌中考）（8分）如圖，在菱形ABCD中，O是對(duì)角線BD上一點(diǎn)（BO＞DO），OE⊥AB，垂足為E，以O(shè)E為半徑的⊙O分別交DC于點(diǎn)H，交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EF與DC交于點(diǎn)G．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若G是OF的中點(diǎn)，OG＝2，DG＝1．①求的長(zhǎng)；②求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，證明OM＝OE即可；（2）①先求出∠HOE＝120°，再求出OH＝4，代入弧長(zhǎng)公式即可；②過(guò)A作AN⊥BD，由△DOG∽△DAN，對(duì)應(yīng)邊成比例求出AD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，∵BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠ABD＝∠CBD，∵OM⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OM，∴BC是⊙O的切線．（2）①如圖2，∵G是OF的中點(diǎn)，OF＝OH，∴OG＝OH，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴∠OGH＝90°，∴sin∠GHO＝，∴∠GHO＝30°，∴∠GOH＝60°，∴∠HOE＝120°，∵OG＝2，∴OH＝4，∴由弧長(zhǎng)公式得到的長(zhǎng)：＝．②如圖3，過(guò)A作AN⊥BD于點(diǎn)N，∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，∴OD＝，OB＝2，DN＝，∴△DOG∽△DAN，∴，∴，∴AD＝．13．（2021河北中考）（9分）如圖，⊙O的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點(diǎn)為An（n為1～12的整數(shù)），過(guò)點(diǎn)A7作⊙O的切線交A1A11延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）通過(guò)計(jì)算比較直徑和劣弧長(zhǎng)度哪個(gè)更長(zhǎng)；（