2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十九：二次函數(shù)的應(yīng)用-面積型問題(原卷版+解析)

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十九：二次函數(shù)的應(yīng)用——面積型問題方法點(diǎn)睛利用二次函數(shù)解決面積問題，一般是先根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值，需要注意的是自變量的取值范圍.典例分析例1：（2022無錫中考）某農(nóng)場計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．

（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時(shí)x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？專題過關(guān)1.（2022威海中考）某農(nóng)場要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．

2.（2022湘潭中考）為落實(shí)國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？此時(shí)最大面積為多少？3.（2022赤峰中考）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個(gè)長，寬的長方形水池進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池1），同時(shí)，再建造一個(gè)周長為的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池2）．【建立模型】如果設(shè)水池的邊加長長度為，加長后水池1的總面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：；設(shè)水池2的邊的長為，面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：，上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③．【問題解決】（1）若水池2的面積隨長度的增加而減小，則長度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________；（2）在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是_________，此時(shí)的值是_________；（3）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，的取值范圍是_________；（4）在范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)的值；（5）假設(shè)水池的邊的長度為，其他條件不變（這個(gè)加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積關(guān)于的函數(shù)解析式為：．若水池3與水池2的面積相等時(shí)，有唯一值，求的值．4.（2022沈陽中考）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．

（1）若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？（2）矩形框架ABCD面積最大值為______平方厘米．2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十九：二次函數(shù)的應(yīng)用——面積型問題方法點(diǎn)睛利用二次函數(shù)解決面積問題，一般是先根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值，需要注意的是自變量的取值范圍.典例分析例1：（2022無錫中考）某農(nóng)場計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．

（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時(shí)x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】（1）x的值為2m；（2）當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值，最大值為48．【解析】【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時(shí)x的值為2m；；【小問2詳解】解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵-3<0，∴當(dāng)x=4m時(shí)，S有最大值，最大值為48，【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022威海中考）某農(nóng)場要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．

【答案】288m2【解析】【分析】設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長為m，設(shè)雞場面積為ym2，根據(jù)矩形面積公式寫出二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．【詳解】解：設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長為m，設(shè)雞場面積為ym2，根據(jù)題意，得，∴當(dāng)x=24時(shí)，y有最大值為288，∴雞場面積的最大值為288m2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出二次函數(shù)解析式．2.（2022湘潭中考）為落實(shí)國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？此時(shí)最大面積為多少？【答案】（1）CG長為8m，DG長為4m（2）當(dāng)BC=m時(shí)，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=m2【解析】【分析】（1）兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式即可.【小問1詳解】解：兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．【小問2詳解】解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴當(dāng)BC=m時(shí)，y最大=m2．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．3.（2022赤峰中考）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個(gè)長，寬的長方形水池進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池1），同時(shí)，再建造一個(gè)周長為的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池2）．【建立模型】如果設(shè)水池的邊加長長度為，加長后水池1的總面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：；設(shè)水池2的邊的長為，面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：，上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③．【問題解決】（1）若水池2的面積隨長度的增加而減小，則長度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________；（2）在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是_________，此時(shí)的值是_________；（3）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，的取值范圍是_________；（4）在范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)的值；（5）假設(shè)水池的邊的長度為，其他條件不變（這個(gè)加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積關(guān)于的函數(shù)解析式為：．若水池3與水池2的面積相等時(shí)，有唯一值，求的值．【答案】（1）；9（2）C，E；1，4；（3）或（4）（5）【解析】【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可解決問題；（2）交點(diǎn)即為面積相等的點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)C，點(diǎn)E的坐標(biāo)可得結(jié)論；（4）求出面積差的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（5）根據(jù)面積相等列出一元二次方程，依據(jù)，求出b的值即可．【小問1詳解】∵∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9），對稱軸為x=3，∵水池2的面積隨長度的增加而減小，∴長度的取值范圍是；水池2面積的最大值是9；故答案為：；9；【小問2詳解】由圖象得，兩函數(shù)交于點(diǎn)C，E，所以，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是C，E；聯(lián)立方程組解得，∴x的值為1或4，故答案為：C，E；1或4【小問3詳解】由（3）知，C（1，5），E（4，8），又直線在拋物線上方時(shí)，或，所以，水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，的取值范圍是或，故答案為或；【小問4詳解】在范圍內(nèi)，兩個(gè)水池面積差，∵∴函數(shù)有最大值，∵∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，為即，當(dāng)時(shí)，面積最大值為【小問5詳解】∵水池3與水池2的面積相等，∴，整理得，∵有唯一值，∴解得，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4.（2022沈陽中考）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．

（1）若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？（2）矩形框架ABCD面積最大值為______平方厘米．【答案】（1）AB的長為8厘米或12厘米．（2）150【解析】【分析】（1）設(shè)AB的長為x厘米，則有厘米，然后根據(jù)題意可得方程，進(jìn)