2023年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：幾何綜合（第27題）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京初三一模數(shù)學(xué)匯編幾何綜合（第27題）一、解答題1.（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是平分線的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是射線OA，OC上的點(diǎn)，且ME=NE.（1）求證：；（2）點(diǎn)F在線段NO上，點(diǎn)G在線段NO延長(zhǎng)線上，連接EF，EG，若EF=EG，依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段NF，OG，OM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.2.（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，∠MON=α，點(diǎn)A在ON上，過(guò)點(diǎn)A作OM的平行線，與∠MON的平分線交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在OB上（不與點(diǎn)O，B重合），連接AC，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°-α，得到線段AD，連接BD.（1）直接寫(xiě)出線段AO與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明∠MOB=∠DBA；（2）連接DC并延長(zhǎng)，分別交AB，OM于點(diǎn)E，F(xiàn).若α=60°，用等式表示線段EF與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.3.（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=CF，AE，BF交于點(diǎn)G.（1）求∠AGF的度數(shù)；（2）在線段AG上截取MG=BG，連接DM，∠AGF的角平分線交DM于點(diǎn)N.①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段MN與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.備用圖4.（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，連接AE，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF，取EF中點(diǎn)G，連接DG.（1）依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示∠ADG與∠CDG的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）若DG=DF，用等式表示線段BC與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明.5.（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接EB，點(diǎn)F在直線AD上（點(diǎn)F與點(diǎn)D不重合），且EF=EB.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AO上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，①求證：∠AFE=∠ABE；②用等式表示線段AB，AE，AF的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出線段AB，AE，AF的數(shù)量關(guān)系.圖1圖26．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）已知正方形ABCD和一動(dòng)點(diǎn)E，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接BE，DF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖1；②求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，連接AF，取AF中點(diǎn)M，連接AE，DM，用等式表示線段AE與DM的數(shù)量關(guān)系，并證明．7．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）已知：如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為E，射線BE交直線CD于點(diǎn)F，連接AF．（1）設(shè)∠ACD=α，用含α的代數(shù)式表示∠CBF的大小，并求∠CFB的度數(shù)；（2）用等式表示線段AF，CF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．8．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）直線是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，連接．以為斜邊作等腰直角，連接．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2所示，點(diǎn)E是直線上一點(diǎn)，且，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接．根據(jù)題意補(bǔ)全圖2，寫(xiě)出線段之間的關(guān)系，并證明．9.（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CE交AD于點(diǎn)F．將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CG，連接AG．（1）如圖1，當(dāng)CE是∠ACB的角平分線時(shí)，①求證：AE=AF；②直接寫(xiě)出∠CAG=°．（2）依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AF，AC，AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．圖1圖210．（2023·北京燕山·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，交直線CE于點(diǎn)F．(1)依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示線段CE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)點(diǎn)G為AB中點(diǎn)，連接FG，用等式表示線段

參考答案1．（1）證明：作EH⊥CD，EK⊥AB，垂足分別是H，K，如圖1．∵OE是∠BOC的平分線，∴EH＝EK．∵M(jìn)E＝NE，∴Rt△EHN≌Rt△EKM．圖1∴∠ENH＝∠EMK圖1記ME與OC的交點(diǎn)為P，∴∠EPN＝∠OPM．∴∠MEN＝∠AOC． 3分（2）OM＝NF＋OG．證明：在線段OM上截取OG1＝OG，連接EG1，如圖2．∵OE是∠BOC的平分線，∴∠EON＝∠EOB．∵∠MOF＝∠DOB，∴∠EOM＝∠EOD．圖2∵OE=OE圖2∴△EOG1≌△EOG．∴EG1=EG，∠EG1O=∠EGF．∵EF＝EG，∴EF=EG1，∠EFG=∠EGF．∴∠EFG=∠EG1O．∴∠EFN=∠EG1M．∵∠ENF=∠EMG1．∴△ENF≌△EMG1．∴NF＝MG1．∵OM＝MG1＋OG1，∴OM＝NF＋OG． 7分2．解：（1）AO=AB.證明：∵OB平分∠MON，∴∠MOB=∠NOB.∵OM//AB，∴∠MOB=∠ABO.∴∠NOB=∠ABO.∴AO=AB.根據(jù)題意，得AC=AD，∠OAB=∠CAD.∴∠CAO=∠DAB.∴△OAC≌△BAD.∴∠COA=∠DBA.∴∠MOB=∠DBA.（2）.證明：如圖，在OM上截取OH=BE，連接CH.∵△OAC≌△BAD，∴OC=BD.又OH=BE，∴△OHC≌△BED.∴CH=DE，∠OHC=∠BED，∵OM//AB，∴∠MFC=∠BED.∴∠MFC=∠OHC.∴CF=CH.∴CF=DE.∴CD=EF.∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°，作AK⊥CD于點(diǎn)K.∵AC=AD，∴∠ACK=30°，∴∴.∴.3.（本題滿分7分）（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°.又∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）.………1分∴∠BAE=∠FBC.∵∠FBC+∠ABG=90°，∴∠BAE+∠ABG=90°.∴∠AGF=90°.…………………2分（2）①依題意補(bǔ)全圖形.…………………3分②線段MN與ND的數(shù)量關(guān)系為MN=ND.…………………4分證明：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥AE交GN延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接DH.∵∠AGF=90°，GN平分∠AGF，∴∠AGN=∠AGF=45°.∵AH⊥AE，∴∠GAH=90°.∴∠AHG=∠AGH=45°.∴AG=AH.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD.∵∠GAH=90°，∴∠BAG=∠DAH.∴△BAG≌△DAH（SAS）.∴BG=DH，∠AHD=∠AGB=90°.∵BG=GM，∠AHG=45°，∴GM=DH，∠DHN=∠NGM=45°.∵∠HND=∠GNM，∴△HND≌△GNM（AAS）.∴MN=ND.……………7分4.（1）補(bǔ)完圖形如下：……1分∠ADG=∠CDG.……2分證明：如圖，連接AG、CG∵∠EAF=90°，點(diǎn)G是EF中點(diǎn)，∴AG=EF∵正方形ABCD，∠ECF=90°，∴CG=EF∴AG=CG……3分∵AD=CD，DG=DG∴△ADG≌△CDG∴∠CDG=∠ADG……4分（2）BC=3BE……5分過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CD于點(diǎn)H，易證GH是△CEF的中位線，∴CE=2GH.……6分易證△GDH是等腰直角三角形，∴DG=GH.又∵DG=DF，∴DF=GH.易證△ADF≌△ABE∴DF=BE，∴BE=GH.∵CE=2GH，∴CE=2BE∴BC=3BE……7分（其它證法酌情給分）5.（1）①證明：連接DE.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°.∵點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，∴∠BAC=∠DAC=45°.∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE.∴BE=DE,∠ABE=∠ADE.∵EF=BE,∴DE=EF.∴∠F=∠ADE.∴∠F=∠ABE.……2分②AB=AF+AE;……3分證明：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AE交AB于點(diǎn)G.∴∠AEG=90°.∵∠BAE=45°，∴∠AGE=∠BAE=45°.∴AG=AE,∠EGB=135°.∵∠FAE=∠FAB+∠BAE=135°,∴∠EGB=∠FAE.∵∠F=∠ABE,EF=EB,∴△AEF≌△GEB.∴BG=AF.∴AB=BG+GA=AF+AE.……5分（2）正確補(bǔ)全圖形；AB+AF=AE.……7分6．（本小題滿分7分）解：（1）①圖1；……………1分②∵正方形ABCD，∴BC=DC，∠BCD=90°.……2分∵線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，∴CE=CF，∠ECF=90°.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD=90°.∴∠BCE=∠DCF.……………3分圖1∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.…………4分（2）猜想：AE=2DM.證明：如圖2，延長(zhǎng)AD到N，使得DN=AD.∵M(jìn)是AF中點(diǎn)，∴NF=2DM.………5分∵由（1）得△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC，EB=FD.又∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°.∵DN=AD，∠ADC+∠CDN=180°，∴AB=DN，∠CDN=90°.∴，圖2即：∠ABE=∠NDF.∴△ABE≌△NDF.……………6分∴AE=NF.∴AE=2DM.……………………7分7．（1）解：∵A、E關(guān)于直線CD對(duì)稱，∴∠ACF=∠ECF=α，AC=CE．∵∠ACB=90°，∴∠BCE=90°-2α．……………1分∵AC=CE，∴CB=CE．∴∠CBF=∠CEB=(180°-∠BCE)=45°+α．……2分∠CFB=∠CEB-∠ECF=45°+α-α=45°．……3分（2）線段AF，CF，BF之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)F+BF=CF．………………4分證明：過(guò)C作MC⊥CF于C交FA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．∵A、E關(guān)于FC對(duì)稱∴∠AFC=∠CFE=45°．∵M(jìn)C⊥CF∴∠M=∠AFC=45°．∴MC=FC．∵∠ACB=∠MCF=90°∴∠MCA=∠BCF．又∵AC=BC∴△MCA≌△FCB．∴MA=FB．∴MF=AF+MA=AF+BF．∵M(jìn)C=FC，∠MCF=90°∴MF=FC．∴AF+BF=FC．……………………7分8.暫缺9．（本小題滿分7分）（1）①證明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°．∵AD是BC邊上的高，∴∠BAD=∠CAD=45°．∵CE是∠ACB的角平分線，∴∠ACE=∠BCE．∵∠AFE=∠CAD+∠ACE，∠AEF=∠B+∠BCE．∴∠AFE=∠AEF．…………3分…………2分∴…………3分…………2分②∠CAG=45°．（2）依題意補(bǔ)全圖形．?dāng)?shù)量關(guān)系：AC=AF+AG．證明：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AC于點(diǎn)C，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．∵∠CAD=45°，∴∠M=45°．∴CA=CM．∴AM=AC