2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十六：與圓陰影面積計算(原卷版+解析)

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十六：與圓有關(guān)的陰影面積計算典例分析例1（2022眉山中考）如圖，為的直徑，點是上一點，與相切于點，過點作，連接，．（1）求證：是的角平分線；（2）若，，求的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．專題過關(guān)1．（2022日照中考）（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點D為邊AB的中點，點O在邊BC上，以點O為圓心的圓過頂點C，與邊AB交于點D．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若AC＝，求圖中陰影部分的面積．2．（2022益陽中考）（10分）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．（1）求證：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．3．（2022荊門中考）（8分）如圖，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半徑R＝3．（1）求扇形AOB的面積S及圖中陰影部分的面積S陰；（2）在扇形AOB的內(nèi)部，⊙O1與OA，OB都相切，且與只有一個交點C，此時我們稱⊙O1為扇形AOB的內(nèi)切圓，試求⊙O1的面積S1．4.（2022通遼中考）如圖，在中，，以為圓心，的長為半徑的圓交邊于點，點在邊上且，延長交的延長線于點．（1）求證：是圓的切線；（2）已知，，求長度及陰影部分面積．5.（2022貴陽中考）如圖，為的直徑，是的切線，為切點，連接．垂直平分，垂足為，且交于點，交于點，連接，．（1）求證：；（2）當(dāng)平分時，求證：；（3）在（2）的條件下，，求陰影部分的面積．6.（2022宿遷中考）如圖，在中，∠=45°，，以為直徑的⊙與邊交于點．（1）判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求圖中陰影部分的面積．7.（2022齊齊哈爾中考）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作，且CF=CD，連接BF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若∠BAC=45°，AD=4，求圖中陰影部分的面積．8.（2022駐馬店六校聯(lián)考二模）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑與母線長之比為．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中，．將扇形圍成圓錐時，，恰好重合．（1）求這種加工材料的頂角的大?。?）若圓錐底面圓的直徑為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）

9.（2022駐馬店二模）如圖，AB是的直徑，點C是上一點（與點A，B不重合），過點C作直線PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）求證：直線PQ是的切線．（2）過點A作AD⊥PQ于點D，交于點E，若的半徑為4，，求圖中陰影部分的面積．10.（2022河南鎮(zhèn)平一模）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，點C作CE⊥AB于點E，連接AC．（1）求證：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O切線，∠CAD＝30°，連接OC，如圖2．

①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；

②當(dāng)AB＝2時，求AD，AC與圍成陰影部分的面積．11.（2022信陽一模）如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC于點F，交AB的延長線于點G.（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若CF=1，∠ACB=60°，求圖中陰影部分的面積.

12.（2022濮陽二模）如圖，點C為外一點，切于點B，弦//，交于D．

（1）如圖1，連接，當(dāng)=度時，四邊形是菱形；（2）在（1）的條件下，①試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖2，連接，若的半徑為2，陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）；13.（2022南陽方城二模）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于，AD為直徑，過點C作于點E，連接AC．（1）求證：；（2）若CE是的切線，，連接OC，如圖2．①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；②當(dāng)AB＝2時，請直接寫出AD，AC與圍成陰影部分的面積為______．14.（2022河南蘭考二模）在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“杠桿”，推動“杠桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎．如圖，AB為圓O的直徑，AC是的一條弦，D為弧BC的中點，作于點E，交AB的延長線于點F，連接DA．（1）若，則圓心O到“杠桿EF”的距離是多少？說明你的理由；（2）若，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）15．（2021達(dá)州中考）（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點（C不與點A，B重合）連接AC，BC，過點C作CD⊥AB，垂足為點D．將△ACD沿AC翻折，點D落在點E處得△ACE，AE交⊙O于點F．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求陰影部分面積．16.（2021巴中中考）如圖、△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分線AD與CO的延長線交于點D．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）若AD＝2，BC＝6，求圖中陰影部分面積．17．（2021江西中考）（9分）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，點C作CE⊥AB于點E，連接AC．（1）求證：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切線，∠CAD＝30°，連接OC，如圖2．①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；②當(dāng)AB＝2時，求AD，AC與圍成陰影部分的面積．18.（2021揚州中考）如圖，四邊形中，，，，連接，以點B為圓心，長為半徑作，交于點E．（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求圖中陰影部分的面積．19．(2021襄陽中考)（8分）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，直線BO與⊙O交于點F和點D，OA與⊙O交于點E，與DC交于點G，OA＝OB，CA＝CB．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若FC∥OA，CD＝6，求圖中陰影部分面積．20．（2021黃岡中考）（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分別相切于點E，F(xiàn)，BO平分∠ABC（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半徑是1，求圖中陰影部分的面積．21．（2021遵義中考）在復(fù)習(xí)菱形的判定方法時，某同學(xué)進行了畫圖探究，其作法和圖形如下：①畫線段AB；②分別以點A，B為圓心，大于AB長的一半為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點O；③在直線MN上取一點C（不與點O重合），連接AC、BC；④過點A作平行于BC的直線AD，交直線MN于點D，連接BD．（1）根據(jù)以上作法，證明四邊形ADBC是菱形；（2）該同學(xué)在圖形上繼續(xù)探究，他以點O為圓心作四邊形ADBC的內(nèi)切圓，構(gòu)成如圖所示的陰影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求圖中陰影部分的面積．22．（2021貴陽中考）（12分）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點E是的中點，過點E作AB的垂線，交AB于點M，交⊙O于點N，分別連接EB，CN．（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是；（2）求證：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求陰影部分圖形的面積．23.（2021桂林中考）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E為BC中點，AE⊥DE于點E．點O是線段AE上的點，以點O為圓心，OE為半徑的⊙O與AB相切于點G，交BC于點F，連接OG．（1）求證：△ECD∽△ABE；（2）求證：⊙O與AD相切；（3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半徑和陰影部分的面積．24．（2021黃石中考）（10分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點，AC是⊙O的直徑，連接OP，交⊙O于點D，交AB于點E．（1）求證：BC∥OP；（2）若E恰好是OD的中點，且四邊形OAPB的面積是16，求陰影部分的面積；（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切線PA的長．2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十六：與圓有關(guān)的陰影面積計算典例分析例1（2022眉山中考）如圖，為的直徑，點是上一點，與相切于點，過點作，連接，．（1）求證：是的角平分線；（2）若，，求的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）連接，先證明，然后由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論成立；（2）證明△ABC∽△CBD即可，根據(jù)題目中的條件，可以得到∠ABC=∠CBD，∠ACB=∠D，從而可以得到△ABC∽△CBD，即可求出BC的長度；．（3）先證明△AOC是等邊三角形，然后求出扇形AOC和△AOC的面積，即可得到答案【小問1詳解】證明：連接，如圖∵與相切于點，∴∵，∴∴．又∵，∴，∴，∴平分．【小問2詳解】解：根據(jù)題意，∵線段AB是直徑，∴，∵平分，∴∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴，∵，，∴，∴；【小問3詳解】解：作CE⊥AO于E，如圖：在直角△ABC中，，∴，∴△AOC是等邊三角形，∴，，∴，∴陰影部分的面積為：．【點睛】本題考查了扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，從而進行證明．專題過關(guān)1．（2022日照中考）（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點D為邊AB的中點，點O在邊BC上，以點O為圓心的圓過頂點C，與邊AB交于點D．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若AC＝，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接OD，CD，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AC＝AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BD＝AD＝AB，求出AD＝AC，根據(jù)等邊三角形的判定得出△ADC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根據(jù)切線的判定得出即可；（2）求出BD＝AC＝，BO＝2DO，根據(jù)勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分別求出△BDO和扇形DOE的面積即可．【解答】（1）證明：連接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，∵D為AB的中點，∴BD＝AD＝AB，∴AD＝AC，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°，∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥AB，∵OD過圓心O，∴直線AB是⊙O的切線；（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，又∵AC＝，∴BD＝AC＝，∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，即（2OD）2＝OD2+（）2，解得：OD＝1（負(fù)數(shù)舍去），所以陰影部分的面積S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．【點評】本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積計算等知識點，能熟記直角三角形的性質(zhì)、切線的判定和扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．2．（2022益陽中考）（10分）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．（1）求證：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．【分析】（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，即得S△ABC＝BC?AC＝2，故陰影部分的面積是π×（）2﹣2＝2π﹣2．【解答】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圓O的切線，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度數(shù)是30°；（3）解：由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC?AC＝×2×2＝2，∴陰影部分的面積是π×（）2﹣2＝2π﹣2，答：陰影部分的面積是2π﹣2．【點評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識，題目難度不大．3．（2022荊門中考）（8分）如圖，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半徑R＝3．（1）求扇形AOB的面積S及圖中陰影部分的面積S陰；（2）在扇形AOB的內(nèi)部，⊙O1與OA，OB都相切，且與只有一個交點C，此時我們稱⊙O1為扇形AOB的內(nèi)切圓，試求⊙O1的面積S1．【分析】（1）根據(jù)扇形的面積公式就可以求出，陰影的面積用扇形的面積減去三角形的面積；（2）先求出⊙P的半徑，再利用陰影部分面積＝扇形的面積﹣圓的面積進行計算．【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半徑R＝3，∴S＝＝，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB是等邊三角形，∴S△OAB＝，∴陰影部分的面積S陰＝﹣．（2）設(shè)⊙O1與OA相切于點E，連接O1O，O1E，∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，在Rt△OO1E中，∵∠EOO1＝30°，∴OO1＝2O1E，∴O1E＝1，∴⊙O1的半徑O1E＝1．∴S1＝πr2＝π．【點評】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)．構(gòu)造直角三角形是常用的方法，本題的關(guān)鍵是求得圓的半徑．4.（2022通遼中考）如圖，在中，，以為圓心，的長為半徑的圓交邊于點，點在邊上且，延長交的延長線于點．（1）求證：是圓的切線；（2）已知，，求長度及陰影部分面積．【答案】（1）證明見詳解；（2）AC=3，陰影部分面積為．【解析】【分析】（1）連接OD，證明∠ODE=90°即可；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面積減扇形面積即可得出陰影部分面積．【小問1詳解】證明：連接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD⊥CE，又D在上∴是圓的切線；【小問2詳解】解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt△OCD中，∴設(shè)OD=OB=4x，則OC=5x，∴∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt△OAB中：即：解得，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在在Rt△OCE中，∴設(shè)OE=4y，則CE=5y，∵解得，（舍去）∴∴陰影部分面積為．【點睛】本題考查切線的判斷和性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、陰影部分面積的求法，解題的關(guān)鍵在于靈活運用勾股定理和三角函數(shù)求出相應(yīng)的邊長，并能將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形與扇形面積的差．5.（2022貴陽中考）如圖，為的直徑，是的切線，為切點，連接．垂直平分，垂足為，且交于點，交于點，連接，．（1）求證：；（2）當(dāng)平分時，求證：；（3）在（2）的條件下，，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）如圖，連接證明再利用等角的余角相等可得結(jié)論；（2）如圖，連接OF，垂直平分證明為等邊三角形，再證明從而可得結(jié)論；（3）先證明為等邊三角形，可得再利用進行計算即可．【小問1詳解】解：如圖，連接為的切線，【小問2詳解】如圖，連接OF，垂直平分而為等邊三角形，平分【小問3詳解】為等邊三角形，為等邊三角形，【點睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的運用圓的基本性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．6.（2022宿遷中考）如圖，在中，∠=45°，，以為直徑的⊙與邊交于點．（1）判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理證明從而可得結(jié)論；（2）如圖，記BC與的交點為M，連接OM，先證明再利用陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去三角形BOM的面積，減去扇形AOM的面積即可．【小問1詳解】證明：∠=45°，，即在上，為的切線．【小問2詳解】如圖，記BC與的交點為M，連接OM，，，，，，，．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，扇形面積的計算，掌握“切線的判定方法與割補法求解不規(guī)則圖形面積的方法”是解本題的關(guān)鍵．7.（2022齊齊哈爾中考）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作，且CF=CD，連接BF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若∠BAC=45°，AD=4，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接BD，得；利用AB=AC得到，由得到，故；利用SAS證明，得到，最后同旁內(nèi)角互補，即可得（2）連接OE，與BD相交于M點，根據(jù)∠BAC=45°，得是等腰直角三角形，由AD=4，得AB，OB，OE長度；和是共一底角的等腰三角形，故，，，是等腰直角三角形，即可算出陰影部分面積【小問1詳解】連接BD

∵AB是的直徑∴∴∵∴∵∴，∴∵，∴∴又∵∴∴BF是的切線【小問2詳解】連接OE，與BD相交于M點

∵，，∴為等腰直角三角形∴，，∴∴∴∵，∴∴∴∴為等腰直角三角形∴∴【點睛】本題考查圓，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟練運用各種幾何知識本題關(guān)鍵8.（2022駐馬店六校聯(lián)考二模）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑與母線長之比為．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中，．將扇形圍成圓錐時，，恰好重合．（1）求這種加工材料的頂角的大?。?）若圓錐底面圓的直徑為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）

【答案】（1）=90°；（2）S陰影=（100-）cm2．【解析】【分析】（1）設(shè)ED=x，則AD=2x，根據(jù)圓的周長求弧長，利用弧長公式求即可；（2）由，=90°，可得△ABC為等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm，利用三角形面積公式求S△BAC=，利用扇形面積公式求，利用面積差求S陰影即可．【詳解】解：（1）設(shè)ED=x，則AD=2x，∴弧長，∴，∴=90°；（2）∵ED=5cm，∴AD=2ED=10cm，∵，=90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∵，∴BD=CD=AD=10cm，∴BC=BD+CD=20cm，∴S△BAC=cm2，∴，∴S陰影=S△BAC-=（100-）cm2．【點睛】本題考查圓錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，利用割補法求陰影面積，掌握圓錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，利用割補法求陰影面積是解題關(guān)鍵．9.（2022駐馬店二模）如圖，AB是的直徑，點C是上一點（與點A，B不重合），過點C作直線PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）求證：直線PQ是的切線．（2）過點A作AD⊥PQ于點D，交于點E，若的半徑為4，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OC，由∠ACQ＝∠ABC，得到∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即OC⊥PQ，由此得到結(jié)論；（2）連接OE，由，AD⊥PQ，可得∠DAC=30°，從而得到∠ACD=60°，進而判定△AEO為等邊三角形，得到∠AOE=60°，利用可求得答案．【小問1詳解】解：連接OC，∵AB是的直徑，∴∠ACB=90°，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∵∠ACQ＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即OC⊥PQ，∴直線PQ是的切線．【小問2詳解】連接OE，∵，AD⊥PQ，∴∠DAC=30°，∠ACD=60°，∴∠ABC=60°，∴∠CAB=30°，∴∠EAO=60°，又∵OA=OE，∴△AEO為等邊三角形，∴∠AOE=60°，∴==．【點睛】此題考查了求不規(guī)則圖形面積的基礎(chǔ)思想：將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形面積的和或差來解，另外還考查了證明圓的切線的過程．10.（2022河南鎮(zhèn)平一模）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，點C作CE⊥AB于點E，連接AC．（1）求證：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O切線，∠CAD＝30°，連接OC，如圖2．

①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；

②當(dāng)AB＝2時，求AD，AC與圍成陰影部分的面積．【25題答案】【答案】（1）見解析（2）①四邊形ABCO是菱形，理由見解析；②+π．【解析】【分析】（1）先判斷出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出OC∥AB，再判斷出BC∥OA，進而得出四邊形ABCO是平行四邊形，即可得出結(jié)論；②先求出AC，BC，再用面積的和，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CBE+∠CBA=180°，∠D+∠CBA=180°，∴∠CBE=∠D，∵AD為⊙O直徑，∴∠ACD=90°，∴∠D+∠CAD=90°，∴∠CBE+∠CAD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE；【小問2詳解】解：①四邊形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD=30°，∴∠COD=2∠CAD=60°，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，∵CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB=∠COD=60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD=90°，∴∠CBE=90°-∠CAD=60°=∠DAB，∴BC∥OA，∴四邊形ABCO是平行四邊形，∵OA=OC，∴?ABCO是菱形；②由①知，四邊形ABCO是菱形，∴OA=OC=AB=2，∴AD=2OA=4，由①知，∠COD=60°，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=2，AC=2，∴AD，AC與圍成陰影部分的面積為S△AOC+S扇形COD=S△ACD+S扇形COD=××2×2+=+π．【點睛】本題主要考查了同角的余角相等，切線的性質(zhì)，菱形的判定，扇形的面積公式，判斷出BC∥OA是解本題的關(guān)鍵．11.（2022信陽一模）如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC于點F，交AB的延長線于點G.（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若CF=1，∠ACB=60°，求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，連接，，由題意知，是線段的中點，是的中位線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，進而可證結(jié)論；（2）由題意知，是等邊三角形，，，，，，證明，有，求解的長，根據(jù)，計算求解即可．【小問1詳解】證明：如圖，連接，

由題意知，∵∴是線段的中點∴是的中位線∴∵∴∴又∵是半徑∴DF是⊙O的切線．【小問2詳解】解：∵，∴，∴，是等邊三角形∵∴∵∴，∴，∴∵，∴∴，即解得∵∴陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了切線的判定，直角所對的圓周角為90°，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運用．12.（2022濮陽二模）如圖，點C為外一點，切于點B，弦//，交于D．

（1）如圖1，連接，當(dāng)=度時，四邊形是菱形；（2）在（1）的條件下，①試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖2，連接，若的半徑為2，陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）；【答案】（1）60（2）①，證明見解析；②【解析】【分析】（1）證明是等邊三角形即可求解；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得，據(jù)此求解即可；②根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得，，根據(jù)陰影部分面積求解即可．【小問1詳解】如圖，連接，

四邊形是菱形，，，，是等邊三角形，，故答案為：60；【小問2詳解】①四邊形是菱形，，又，是等邊三角形，，是的切線，，，，；②，，陰影部分面積．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正切函數(shù)，扇形面積公式，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13.（2022南陽方城二模）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于，AD為直徑，過點C作于點E，連接AC．（1）求證：；（2）若CE是的切線，，連接OC，如圖2．①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；②當(dāng)AB＝2時，請直接寫出AD，AC與圍成陰影部分的面積為______．【答案】（1）見解析（2）①四邊形ABCO是菱形．理由見解析；②【解析】【分析】（1）先判斷出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出OC∥AB，再判斷出BC∥OA，進而得出四邊形ABCO是平行四邊形，即可得出結(jié)論；②先求出AC，BC，再求△AOC和扇形OCD的面積和，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于∴∠D＋∠ABC＝180°∵∠CBE＋∠ABC＝180°∴∠CBE＝∠D∵AD為☉O的直徑∴∠ACD＝90°∴∠CAD＋∠D＝90°∵CE⊥AB在Rt△BCE中，∠CBE＋∠ECB＝90°∴∠CAD＝∠ECB【小問2詳解】①四邊形ABCO是菱形理由：∵CE切☉O于點C∴CE⊥OC∵CE⊥AB∴AB∥OC∵∠CAD＝30°∴∠COD＝60°.∴∠BAO＝∠COD＝60°由（1）知∠CAD＝∠ECB＝30°∴∠CBE＝60°∴∠CBE＝∠BAO＝60°∴BC∥AO又AB∥OC∴四邊形ABCO是平行四邊形∵OA＝OC四邊形ABCO是菱形.②由①知，四邊形ABCO是菱形，∴OA=OC=AB=2，∴AD=2OA=4，由①知，∠COD=60°，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=2，AC=2，∴AD，AC與圍成陰影部分的面積為：S△AOC+S扇形COD=S△ACD+S扇形COD=．．故答案為：．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了同角的余角相等，切線的性質(zhì)，菱形的判定，扇形的面積公式，判斷出BC∥OA是解本題的關(guān)鍵．14.（2022河南蘭考二模）在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“杠桿”，推動“杠桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎．如圖，AB為圓O的直徑，AC是的一條弦，D為弧BC的中點，作于點E，交AB的延長線于點F，連接DA．（1）若，則圓心O到“杠桿EF”的距離是多少？說明你的理由；（2）若，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）【答案】（1）45cm；（2）．【解析】【分析】（1）連接AD，證明，即圓心O到EF的距離為OD，再求出OD即可；（2）設(shè)，求出，作交AB于點H，求出，，即可求出陰影面積．【小問1詳解】解：連接AD，∵D為弧BC的中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即圓心O到EF的距離為OD，∵，∴；【小問2詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，作交AB于點H，∴，∵，∴，∴S陰影．【點睛】本題考查平行線的判定及性質(zhì)，等弧所對的圓周角相等，解直角三角形，分割法求陰影部分的面積，（1）的關(guān)鍵是證明；（2）的關(guān)鍵是求出DH，OA的長度，理解陰影部分的面積包括扇形和三角形兩部分．15．（2021達(dá)州中考）（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點（C不與點A，B重合）連接AC，BC，過點C作CD⊥AB，垂足為點D．將△ACD沿AC翻折，點D落在點E處得△ACE，AE交⊙O于點F．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求陰影部分面積．【解答】（1）證明：連接OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切線；（2）連解：接OF，過點O作OG⊥AE于點G，∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠OAC＝30°，∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2，∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝，∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，∴S陰影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22＝2﹣﹣π．16.（2021巴中中考）如圖、△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分線AD與CO的延長線交于點D．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）若AD＝2，BC＝6，求圖中陰影部分面積．【考點】角平分線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算．【專題】證明題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力；推理能力．【答案】（1）詳見解答；（2）6π﹣9．【分析】（1）連接OA，證明OA⊥AD即可，利用角平分線的意義以及等腰三角形的性質(zhì)得以證明；（2）求出圓的半徑和陰影部分所對應(yīng)的圓心角度數(shù)即可，利用相似三角形求出半徑，再根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)求出∠BOC．【解答】解：（1）如圖，連接OA并延長交BC于E，∵AB＝AC，△ABC內(nèi)接于⊙O，∴AE所在的直線是△ABC的對稱軸，也是⊙O的對稱軸，∴∠BAE＝∠CAE，又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，即AD⊥OA，∴AD是⊙O的切線；（2）連接OB，∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴＝設(shè)半徑為r，在Rt△EOC中，有勾股定理得，OE＝＝，∴＝，解得r＝6（取正值），經(jīng)檢驗r＝6是原方程的解，即OB＝OC＝OA＝6，又∵BC＝6，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC＝60°，OE＝OC＝3，∴S陰影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×6×3＝6π﹣9．17．（2021江西中考）（9分）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，點C作CE⊥AB于點E，連接AC．（1）求證：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切線，∠CAD＝30°，連接OC，如圖2．①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；②當(dāng)AB＝2時，求AD，AC與圍成陰影部分的面積．【分析】（1）先判斷出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出OC∥AB，再判斷出BC∥OA，進而得出四邊形ABCO是平行四邊形，即可得出結(jié)論；②先求出AC，BC，再用面積的和，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CBE＝∠D，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；(2)①四邊形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，∴CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四邊形ABCO是平行四邊形，∵OA＝OC，∴?ABCO是菱形；②由①知，四邊形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD，AC與圍成陰影部分的面積為S△AOC+S扇形COD＝S△ACD+S扇形COD＝××2×2+＝+π．18.（2021揚州中考）如圖，四邊形中，，，，連接，以點B為圓心，長為半徑作，交于點E．（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）相切，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）過點B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可證明CD與圓B相切；（2）先證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出陰影部分面積．【詳解】解：（1）過點B作BF⊥CD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF=BA，則點F在圓B上，∴CD與圓B相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD=60°∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF==2，∴陰影部分的面積=S△ABD-S扇形ABE==．【點睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強，難度不小，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線．19．(2021襄陽中考)（8分）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，直線BO與⊙O交于點F和點D，OA與⊙O交于點E，與DC交于點G，OA＝OB，CA＝CB．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若FC∥OA，CD＝6，求圖中陰影部分面積．【分析】（1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)證得OC⊥AB，根據(jù)切線的判定得到AB是⊙O的切線；（2）由圓周角定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得到∠DGO＝90°，由垂徑定理求得DG＝3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合平角的定義求得∠DOE＝60°，在Rt△ODG中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OG＝2，OG＝，根據(jù)S陰影＝S扇形ODE﹣S△DOG即可求出陰影部分面積．【解答】（1）證明：連接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∵OC是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線；（2）解：∵OF是⊙O的直徑，∴∠DCF＝90°，∵FC∥OA，∴∠DGO＝∠DCF＝90°，∴DG⊥CD，∴DG＝CD＝×6＝3，∵OD＝OC，∴∠DOG＝∠COG，∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝×180°＝60°，在Rt△ODG中，∵sin∠DOG＝，cos∠ODG＝，∴OD＝＝＝2，OG＝OD?cos∠DOG＝2×＝，∴S陰影＝S扇形ODE﹣S△DOG＝﹣××3＝2π﹣．20．（2021黃岡中考）（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分別相切于點E，F(xiàn)，BO平分∠ABC（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半徑是1，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）有切點則連圓心，證明垂直關(guān)系；無切點則作垂線，證明等于半徑；（2）將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形間的換算．【解答】（1）證明：連接OE，OF，∵BO是∠ABC的平分線，∴OD═OE，OE是圓的一條半徑，∴AB是⊙O的切線，故：AB是⊙O的切線．（2）∵BC、AC與圓分別相切于點E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四邊形OECF是正方形，∴OE═OF═EC═FC═1，∴BC═BE+EC═4，又AC═3，∴S陰影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣優(yōu)弧所對的S扇形EOF）═×（）═﹣．故圖中陰影部分的面積是：﹣．21．（2021遵義中考）在復(fù)習(xí)菱形的判定方法時，某同學(xué)進行了畫圖探究，其作法和圖形如下：①畫線段AB；②分別以點A，B為圓心，大于AB長的一半為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點O；③在直線MN上取一點C（不與點O重合），連接AC、BC；④過點A作平行于BC的直線AD，交直線MN于點D，連接BD．（1）根據(jù)以上作法，證明四邊形ADBC是菱形；（2）該同學(xué)在圖形上繼續(xù)探究，他以點O為圓心作四邊形ADBC的內(nèi)切圓，構(gòu)成如圖所示的陰影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)作法可得AC＝BC，證明△ADO≌△BCO，根據(jù)對角線垂直平分的四邊形ADBC是菱形即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）四邊形ADBC是菱形，根據(jù)AB＝2，∠BAD＝30°，先求出圓O的半徑，進而可以求圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：根據(jù)作法可知：直線MN是AB的垂直平分線，∴AC＝BC，OA＝OB，MN⊥AB，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠BCO，在△ADO和△BCO中，，∴△ADO≌△BCO（AAS），∴OD＝OC，∵OA＝OB，MN⊥AB，∴四邊形ADBC是菱形；（2）∵四邊形ADBC是菱形，∴OA＝AB＝2＝，∵∠BAD＝30°，設(shè)圓O切AD于點H，連接OH，則OH⊥AD，∴OH＝OA＝，∴S圓O＝OH2×π＝π，在Rt△AOD中，∠DOA＝30°，OA＝，∴OD＝OA×tan30°＝×＝1，∴CD＝2OD＝2，∴S菱形ADBC＝AB?CD＝2×2＝2，∴圖中陰影部分的面積＝S菱形ADBC﹣S圓O＝2﹣π．22．（2021貴陽中考）（12分）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點E是的中點，過點E作AB的垂線，交AB于點M，交⊙O于點N，分別連接EB，CN．（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是；（2）求證：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求陰影部分圖形的面積．【分析】（1）證得△BME是等腰直角三角形即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理得到∠EMB＝90°，進而證得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根據(jù)題意得到＝，進一步得到＝；（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，從而得到∠EOB＝60°，證得△EOB是等邊三角形，則OE＝BE＝，然后證得△OEB≌△OCN，然后根據(jù)扇形的面積公式和三角形面積公式求得即可．【解答】解：（1）∵AC為⊙O的直徑，點E是的中點，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM，故答案為BE＝EM；（2）連接EO，AC是⊙O的直徑，E是的中點，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝45°，∵EN⊥AB，垂足為點M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵點E是的中點，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）連接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足為點M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等邊三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△