2023年北京市初三一模數(shù)學試題匯編：解直角三角形及其應用

第1頁/共1頁2023北京初三一模數(shù)學匯編解直角三角形及其應用一、解答題1．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，對于點P，C，Q（點P與點C不重合），給出如下定義：若，且，則稱點Q為點P關于點C的“k—關聯(lián)點”．已知點，的半徑為r．(1)①在點中，是點A關于點O的“1—關聯(lián)點”的為；②點B關于點O的“—關聯(lián)點”的坐標為；(2)點P為線段上的任意一點，點C為線段上任意一點（不與點B重合）．①若上存在點P關于點O的“—關聯(lián)點”，直接寫出r的最大值及最小值；②當時，上不存在點P關于點C的“k—關聯(lián)點”，直接寫出k的取值范圍：．2．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是直徑，是弦，點C在上，于點E，，交的延長線于點F，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．3．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點E是中點．點F是中點．連接平分．(1)求證：四邊形是菱形：(2)連接，與交于點O，連接．若，，求的長．4．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）給出如下定義：對于線段，以點P為中心，把點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點R，點R叫做線段關于點P的“完美點”，例如等邊中，點C就是線段關于點A的“完美點”．在平面直角坐標系中．(1)已知點，在，，，中，_____是線段關于點O的“完美點”；(2)直線上存在線段，若點恰好是線段關于點B的“完美點”，求線段的長；(3)若，，點D是線段關于點O的“完美點”，點F是線段關于點E的“完美點”，當線段分別取得最大值和最小值時，直接寫出線段的長．5．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖，是的外接圓，AB是直徑，，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．6．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，，是的兩條弦，，過點D作的切線交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，，求的長．7．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C、D是上的兩點，且，過點D作的切線交的延長線于點E．(1)求證：；(2)連接．若，，求的長．8．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）已知在中，，點D，E分別是邊中點，連接，延長到點F，使得，連接．(1)求證：四邊形是菱形(2)如果，且，求的長．9．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，C為上一點，D為的中點，交的延長線于點E．(1)求證：直線為的切線；(2)延長交于點F．若，求的長．10．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C是上一點，的平分線交于點D，過點D作的切線交CB的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，，求線段的長．

參考答案1．(1)①D；②或；(2)①3，；②【分析】（1）①在坐標系中描出對應的點，再根據(jù)“k—關聯(lián)點”的定義逐一判斷即可；②設點B關于點O的“—關聯(lián)點”為T，由題意得，，則點T一定在x軸上，再求出的長即可得到答案；（2）①設上存在一點Q是點P關于點O的“—關聯(lián)點”，過點O作于H，根據(jù)定義可得，則當最大時，最大，即的半徑r最大，當最小時，最小，即的半徑r最小，當點P與點B重合時，最大，點P與點H重合時，最小，據(jù)此求解即可；②假設C、P都為定點，那么k值越小，越大，因此總存在一個特定的值t使得當時，點Q恰好在上，當，點Q一定在圓內(nèi)，則當C、P在運動過程中要保證上不存在點P關于點C的“k—關聯(lián)點”，那么就要保證當最大時，此時即可；當點C與點B重合，點P與點A重合時，此時取得臨界最大值，如圖所示，連接，過點O作交延長線于H，通過解直角三角形和勾股定理求出，則當時滿足題意，由于點C不與點B重合，則上述臨界情況也符合題意，即可得到．【詳解】（1）解：①由題意得，如果一個點M是點A關于點O的“1—關聯(lián)點”，則，如下圖坐標系中，只有點D和點E滿足，又∵，，∴只有點D是點A關于點O的“1—關聯(lián)點”，故答案為：D；②解：設點B關于點O的“—關聯(lián)點”為T，由題意得，，∴點T一定在x軸上，∵，∴，∴，∴，又∵點T在x軸上，∴點T的坐標為或；故答案為：或；（2）解：①設上存在一點Q是點P關于點O的“—關聯(lián)點”，過點O作于H，由題意得，，∴，∴當最大時，最大，即的半徑r最大，當最小時，最小，即的半徑r最小，∵點P在線段上運動，∴當點P與點B重合時，最大，點P與點H重合時，最小，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②設點P關于點C的“k—關聯(lián)點”為Q，∴，且，∴，假設C、P都為定點，那么k值越小，越大，因此總存在一個特定的值t使得當時，點Q恰好在上，當，點Q一定在圓內(nèi)，∴當C、P在運動過程中要保證上不存在點P關于點C的“k—關聯(lián)點”，那么就要保證當最大時，此時即可；∵點C在上運動，點P在上運動，∴，當點C與點B重合，點P與點A重合時，此時取得臨界最大值，如圖所示，連接，過點O作交延長線于H，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴當時滿足題意，由于點C不與點B重合，則上述臨界情況也符合題意，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，勾股定理，解直角三角形，圓的基本性質(zhì)，正確理解題意，找到臨界情況是解題的關鍵．2．(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)證出是的平分線，再利用平行證出即可．（2）利用三角函數(shù)求出和，再用計算即可．【詳解】（1）連接、.，，，.，，..，，為的半徑，是的切線；（2）連接.，.，，為等邊三角形，.，，【點睛】本題考查了切線的判定、平行的性質(zhì)、角平分線的判定、三角函數(shù)的應用等知識點，計算的準確性是解題關鍵．3．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形及F是AD中點，E是BC中點，可得四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)EF平分∠AEC，易證得，則可得，繼而證得結論；（2）過點O作于點G，由三角形面積公式可求的長，勾股定理可求，的長，的長即可求解.【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴，∵F是AD中點，E是BC中點∴，∴四邊形AECF是平行四邊形∵EF平分∠AEC∴∵∴∴∴四邊形AECF是菱形（2）解：∵四邊形AECF是菱形∴，，∵，，∴∴，過點O作于點G，∵，即∴，∵∴，∴【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用，解直角三角形，三角形面積公式的應用，解題的關鍵是熟練掌握各知識點，作出輔助線，用好數(shù)形結合的思想.4．(1)(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)“完美點”的定義判斷即可；（2）根據(jù)“完美點”的定義計算即可；（3）根據(jù)“完美點”的定義畫出圖形再分別計算即可．【詳解】（1）∵點∴線段關于點O的“完美點”在第二象限，∴是線段關于點O的“完美點”；其他點都不符合題意；故答案為：；（2）點恰好是線段關于點B的“完美點”，是等邊三角形.過點O作于點M.∴，∴在直線上，∴直線與x軸交點為，與y軸交點為，..（3）∵點D是線段關于點O的“完美點”，點F是線段關于點E的“完美點”，∴、是等邊三角形，∴，，，當線段取得最大值時，此時在線段上，此時∵，∴，∴；當線段取得最小值時，此時在線段上，過作于，則∴，，∴∴．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，解題的關鍵是理解“完美點”的定義得到等邊三角形．5．(1)見解析；(2)4．【分析】（1）由和即可得出，由此證明結論．（2）過點C作于點，根據(jù)，設（），則，，求出，繼而根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴．∴．∵∴．∴．∵是的直徑，∴是的切線．（2）解：∵是⊙O的直徑，∴．∴．過點C作于點，∴．∴．∵，∴．設（），則，．∴，．∴．∴．∵，，∴，∴．∴．∵，∴．∴的半徑為4．【點睛】本題考查切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的判定，圓周角定理的推論，本題屬圓的綜合題目，熟練掌握相關性質(zhì)與判定是解題的關鍵．6．(1)見解析；(2)8．【分析】（1）連接．由切線的性質(zhì)可知，根據(jù)圓周定理可得，可知，進而可得，可證得結論；（2）連接，．先證明，，再利用，求解即可．【詳解】（1）證明：連接．是的切線，．．．．（2）解：連接，．是的直徑，．．，．，．，，．，．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)為的切線，得出，根據(jù)，得出，進而得出，則，即可求證；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形，則，根據(jù)是直徑，得出，則，最后根據(jù)，得出．【詳解】（1）解：連接．∵為的切線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴，∵是直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理，解決本題掌握切線的判定與性質(zhì)和圓周角定理是解答本題的關鍵．8．(1)見解析(2)的長為10【分析】（1）先根據(jù)對角線互相平分證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)三角線中位線的性質(zhì)證明，進而得出，即可證明四邊形是菱形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再利用三角函數(shù)、勾股定理解即可．【詳解】（1）證明：點E是邊中點，，又，四邊形是平行四邊形在中，點D，E分別是邊中點，，，，，．四邊形是菱形；（2）解：由（1）知，四邊形是菱形，，，，，在中，，，解得或（舍），的長為10．【點睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，利用三角函數(shù)、勾股定理解直角三角形等，解題的關鍵是掌握菱形的判定方法及性質(zhì)，牢記三角函數(shù)的定義．9．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，連接交于點，是的直徑，可得，根據(jù)垂徑定理可得，進而得出四邊形是矩形，即可得出結論；（2）設的半徑為r，則，先解，得到，解得，則，再證明，最后解，即可得到．【詳解】（1）證明：連接，連接交于點．∵是的直徑，∴，∵點是的中點，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：設的半徑為r，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)判定，垂徑定理，矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．10．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得，再由圓周角定理可求得，從而得結論成立．（2）過點作于點，可證明四邊形是正方形，與都與互余，得，在中，由，求出，再由得結果．【詳解】（1）證明：連接