專題19相交線中的幾何計(jì)數(shù)問題-原卷版+解析

專題19專項(xiàng)突破-相交線中的幾何計(jì)數(shù)問題◎【專題講解】閱讀：在直線上有個(gè)不同的點(diǎn)，則此圖中共有多少條線段？通過分析、畫圖嘗試得如下表格：圖形直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有線段的條數(shù)兩者關(guān)系213346問題：（1）把表格補(bǔ)充完整；（2）根據(jù)上述得到的信息解決下列問題：①某學(xué)校七年級(jí)共有20個(gè)班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)砂噘愐粓?chǎng)），那么該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行多少場(chǎng)？②乘火車從站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個(gè)車站方可到達(dá)站，那么在，兩站之間需要安排多少種不同的車票？【例】例1．（2022春·廣西南寧·七年級(jí)三美學(xué)校?？茧A段練習(xí)）平面上畫三條直線，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)例2．（2016秋·山東德州·七年級(jí)階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不能是（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【跟蹤訓(xùn)練】．（2018秋·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察圖形，并閱讀相關(guān)的文字：那么8條直線相交，最多可形成交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．21 B．28 C．36 D．45【變式訓(xùn)練】變式1．（2019春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）平面上兩條直線相交于一點(diǎn)，三條直線倆兩相交，每個(gè)交點(diǎn)都不經(jīng)過第三條直線．（1）5條直線的交點(diǎn)為_____個(gè)．（2）請(qǐng)?zhí)剿鱪條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．變式2．（2018秋·山西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分,我們從最簡(jiǎn)單的情形入手:①一條直線把平面分成2部分;②兩條直線可把平面最多分成4部分;③三條直線可把平面最多分成7部分;④四條直線可把平面最多分成11部分;……把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理,列表分析:直線條數(shù)把平面最多分成的部分?jǐn)?shù)寫成和的形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………(1)當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí),把平面最多分成____部分,寫成和的形式:______;

(2)當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí),把平面最多分成____部分;

(3)當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí),把平面最多分成多少部分?變式3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）觀察圖形，尋找對(duì)頂角（不含平角）．（1）兩條直線相交于一點(diǎn)，如圖①，共有__________對(duì)對(duì)頂角；（2）三條直線相交于一點(diǎn)，如圖②，共有__________對(duì)對(duì)頂角；（3）四條直線相交于一點(diǎn)，如圖③，共有__________對(duì)對(duì)頂角；（4）根據(jù)填空結(jié)果探究：當(dāng)n條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)與直線條數(shù)之間的關(guān)系；（5）根據(jù)探究結(jié)果，試求2018條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成對(duì)頂角的對(duì)數(shù)．變式4．（2020春·七年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）觀察圖形，回答下列各題：（1）圖A中，共有＿＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；（2）圖B中，共有＿＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；（3）圖C中，共有＿＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；（4）探究（1）--（3）各題中直線條數(shù)與對(duì)頂角對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成＿＿＿＿＿＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；變式5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫圖說明．（2）四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系．（3）平面上有條直線，每?jī)蓷l直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，處于這種位置的條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關(guān)系．思維方法天地變式6．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)有n條直線，任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，如圖（1），一條直線將一個(gè)平面分成兩個(gè)部分；當(dāng)時(shí)，如圖（2），兩條直線將一個(gè)平面分成四個(gè)部分；則：當(dāng)時(shí)，三條直線將一個(gè)平面分成部分；當(dāng)時(shí)，四條直線將一個(gè)平面分成部分；若n條直線將一個(gè)平面分成個(gè)部分，條直線將一個(gè)平面分成個(gè)部分．試探索、、n之間的關(guān)系．專題19專項(xiàng)突破-相交線中的幾何計(jì)數(shù)問題◎【專題講解】閱讀：在直線上有個(gè)不同的點(diǎn)，則此圖中共有多少條線段？通過分析、畫圖嘗試得如下表格：圖形直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有線段的條數(shù)兩者關(guān)系213346問題：（1）把表格補(bǔ)充完整；（2）根據(jù)上述得到的信息解決下列問題：①某學(xué)校七年級(jí)共有20個(gè)班進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)砂噘愐粓?chǎng)），那么該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行多少場(chǎng)？②乘火車從站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個(gè)車站方可到達(dá)站，那么在，兩站之間需要安排多少種不同的車票？【例】例1．（2022春·廣西南寧·七年級(jí)三美學(xué)校校考階段練習(xí)）平面上畫三條直線，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)相交線的性質(zhì)可得答案．【詳解】平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相交線，理解平面內(nèi)兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)是正確判斷的前題，也是解題的關(guān)鍵．例2．（2016秋·山東德州·七年級(jí)階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不能是（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【詳解】試題分析：三條直線相交，有三種情況，如圖，即：兩條直線平行，被第三條直線所截，有兩個(gè)交點(diǎn)；三條直線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，有一個(gè)交點(diǎn)；三條直線兩兩相交且不經(jīng)過同一點(diǎn)，有三個(gè)交點(diǎn)．所以在同一平面內(nèi)，三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)，不可能是4個(gè)．故選D．考點(diǎn)：相交線．【跟蹤訓(xùn)練】．（2018秋·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察圖形，并閱讀相關(guān)的文字：那么8條直線相交，最多可形成交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．21 B．28 C．36 D．45【答案】B【詳解】解：找規(guī)律的方法是從特殊到一般,由題,觀察圖形可得：兩條直線1個(gè)交點(diǎn)，三條直線1+2個(gè)交點(diǎn)，四條直線1+2+3個(gè)交點(diǎn)n條直線相交最多可形成的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1+2+3+…+n-1=，∴8條直線相交，最多可形成交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為==28故選B．【點(diǎn)睛】本題屬于找規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合思想，正確計(jì)算解題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】變式1．（2019春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）平面上兩條直線相交于一點(diǎn)，三條直線倆兩相交，每個(gè)交點(diǎn)都不經(jīng)過第三條直線．（1）5條直線的交點(diǎn)為_____個(gè)．（2）請(qǐng)?zhí)剿鱪條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）10；（2）1+2+3+…+n﹣1＝．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，可直觀的得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)歸納出公式即可．【詳解】如圖所示：我們發(fā)現(xiàn)：2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)，則5條直線的交點(diǎn)為1+2+3+4=10；（2）圖（n）：1+2+3+…+n-1=．【點(diǎn)睛】本題考查了相交線，關(guān)鍵是正確找出規(guī)律．變式2．（2018秋·山西·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分,我們從最簡(jiǎn)單的情形入手:①一條直線把平面分成2部分;②兩條直線可把平面最多分成4部分;③三條直線可把平面最多分成7部分;④四條直線可把平面最多分成11部分;……把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理,列表分析:直線條數(shù)把平面最多分成的部分?jǐn)?shù)寫成和的形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………(1)當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí),把平面最多分成____部分,寫成和的形式:______;

(2)當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí),把平面最多分成____部分;

(3)當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí),把平面最多分成多少部分?【答案】(1)16；(2)56；(3)部分【分析】（1）根據(jù)已知探究的結(jié)果可以算出當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成16部分；（2）通過已知探究結(jié)果，寫出一般規(guī)律，當(dāng)直線為n條時(shí)，把平面最多分成1+1+2+3+…+n，求和即可．【詳解】（1）16;1+1+2+3+4+5.（2）56.根據(jù)表中規(guī)律知,當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí),把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.（3）當(dāng)直線條數(shù)為n時(shí),把平面最多分成1+1+2+3+…+n=部分.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化，通過直線分平面探究其中的隱含規(guī)律，運(yùn)用了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，解決此題關(guān)鍵是寫出和的形式．變式3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）觀察圖形，尋找對(duì)頂角（不含平角）．（1）兩條直線相交于一點(diǎn)，如圖①，共有__________對(duì)對(duì)頂角；（2）三條直線相交于一點(diǎn)，如圖②，共有__________對(duì)對(duì)頂角；（3）四條直線相交于一點(diǎn)，如圖③，共有__________對(duì)對(duì)頂角；（4）根據(jù)填空結(jié)果探究：當(dāng)n條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)與直線條數(shù)之間的關(guān)系；（5）根據(jù)探究結(jié)果，試求2018條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成對(duì)頂角的對(duì)數(shù)．【答案】（1）2；（2）6；（3）12；（4）（n-1）×n；（5）4070306（對(duì)）．【分析】由圖示可得，（1）兩條直線相交于一點(diǎn)，形成2對(duì)對(duì)頂角；（2）三條直線相交于一點(diǎn)，形成6對(duì)對(duì)頂角，（3）4條直線相交于一點(diǎn)，形成12對(duì)對(duì)頂角；依次可找出規(guī)律：（4）若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成（n?1）n對(duì)對(duì)頂角；（5）將n=2018代入（n?1）n，可得2018條直線相交于一點(diǎn)可形成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)．【詳解】解：（1）如圖①，圖中共有1×2=2對(duì)對(duì)頂角，故答案為2；（2）如圖②，圖中共有2×3=6對(duì)對(duì)頂角，故答案為6；（3）如圖③，圖中共有3×4=12對(duì)對(duì)頂角，故答案為12；（4）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：2=1×2，6=2×3，12=3×4，…，即對(duì)頂角的對(duì)數(shù)與直線條數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：對(duì)頂角的對(duì)數(shù)=（直線條數(shù)?1）×直線條數(shù)，因此，當(dāng)n條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)是（n?1）×n．（5）2018條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)是（2018?1）×2018=2017×2018=4070306（對(duì)）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多條直線相交于一點(diǎn)，所形成的對(duì)頂角的個(gè)數(shù)的計(jì)算規(guī)律．即若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成（n?1）n對(duì)對(duì)頂角．變式4．（2020春·七年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）觀察圖形，回答下列各題：（1）圖A中，共有＿＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；（2）圖B中，共有＿＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；（3）圖C中，共有＿＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；（4）探究（1）--（3）各題中直線條數(shù)與對(duì)頂角對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成＿＿＿＿＿＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；【答案】（1）2對(duì)；（2）6對(duì)；（3）12對(duì)；（4）n(n-1)(n≥2).【詳解】試題分析：（1）圖A中，共有2對(duì)對(duì)頂角；（2）圖B中，共有6對(duì)對(duì)頂角；（3）圖C中，共有12對(duì)對(duì)頂角；（4）找出對(duì)頂角的對(duì)數(shù)與直線的條數(shù)n之間的關(guān)系式為：n（n－1）（n≥2）.試題解析：（1）2對(duì)；（2）6對(duì)；（3）12對(duì)；（4）2條直線相交時(shí)，對(duì)頂角對(duì)數(shù)為：1×2=2對(duì)；3條直線相交時(shí)，對(duì)頂角對(duì)數(shù)為：3×2=6對(duì)；4條直線相交時(shí)，對(duì)頂角對(duì)數(shù)為：4×3=12對(duì)；…n條直線相交時(shí)，對(duì)頂角對(duì)數(shù)為：n（n－1）（n≥2）對(duì).點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于找出直線的條數(shù)與對(duì)頂角對(duì)數(shù)的關(guān)系式.變式5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫圖說明．（2）四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系．（3）平面上有條直線，每?jī)蓷l直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，處于這種位置的條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關(guān)系．思維方法天地【答案】答案見解析【詳解】試題分析：（1）分別得到兩條直線平行和相交，三條直線平行和交于一點(diǎn)和兩兩相交的結(jié)果；（2）只有四條直線兩兩相交時(shí)，才能將平面分得最多，分別畫出圖形即可求得所分平面的部分；（3）一條直線可以把平面分成兩部分，兩條直線最多可以把平面分成4部分，三條直線最多可以把平面分成7部分，四條直線最多可以把平面分成11部分，可以發(fā)現(xiàn)，兩條直線時(shí)多了2部分，三條直線比原來多了3部分，四條直線時(shí)比原來多了4部分，…，n條時(shí)比原來多了n部分，由此即可得.試題解析：（1）如圖1，兩條直線因其位置不同，可以分別把平面分成個(gè)或個(gè)區(qū)域；如圖2，三條直線因其位置關(guān)系的不同，可以分別把平面分成個(gè)、個(gè)和個(gè)區(qū)域．（2）如圖3，四條直線最多可以把平面分成個(gè)區(qū)域，此時(shí)這四條直線位置關(guān)系是兩兩都相交，且無三線共點(diǎn)．（3）平面上條直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，把平面分成個(gè)區(qū)域，平面本身就是一個(gè)區(qū)域，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，……由此可以歸納公式【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化，找到an=1+1+2+3+…+n=1+是解題的關(guān)鍵，第（1）題注意分類討論．變式6．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)有n條直線，任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，如圖（1），一條直線將一個(gè)平面分成兩個(gè)部分；當(dāng)時(shí)，如圖（2），兩條直線將一個(gè)平面分成四個(gè)部分；則：當(dāng)時(shí)，三條直線將一個(gè)平面分成部分；當(dāng)時(shí)，四條直線將一個(gè)平面分成部分；若n條直線將一個(gè)平面分成個(gè)部分，條直線將一個(gè)平面分成個(gè)部分