第11講中考熱點04二次函數(shù)與幾何結(jié)合壓軸題(Ⅱ)(原卷版+解析)

第11講中考熱點04二次函數(shù)與幾何結(jié)合壓軸題（Ⅱ）目錄：題型一：最值問題；題型二：存在性問題；題型三：特殊四邊形問題；題型四：相似三角形問題；五、其他問題一、解答題題型一：最值問題1．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線經(jīng)過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．(1)①求點A，B，C的坐標；②求b，c的值．(2)若點P是邊BC上的一個動點，連結(jié)AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）“距離”是數(shù)學研究的重要對象，如我們所熟悉的兩點間的距離．現(xiàn)在我們定義一種新的距離：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐標系內(nèi)的兩點，我們將稱作P，Q間的“L型距離”，記作L（P，Q），即．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平面直角坐標系內(nèi)的A，B，C三點，其中A，B兩點的坐標為A（－1，0），B（0，3），點C在直線x＝2上運動，且滿足．

(1)求L（A，B）；(2)求拋物線的表達式；(3)已知是該坐標系內(nèi)的一個一次函數(shù)．①若D，E是圖像上的兩個動點，且，求面積的最大值；②當時，若函數(shù)的最大值與最小值之和為8，求實數(shù)t的值．3．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．(1)若直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使MA+MC的值最小，求點M的坐標；(3)設P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．4．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸，y軸分別交于A，D，C三點，已知點A(4，0)，點C(0，4)．若該拋物線與正方形OABC交于點G且CG:GB=3:1．(1)求拋物線的解析式和點D的坐標；(2)若線段OA，OC上分別存在點E，F(xiàn)，使EF⊥FG．已知OE=m，OF=t．①當t為何值時，m有最大值？最大值是多少？②若點E與點R關于直線FG對稱，點R與點Q關于直線OB對稱．問是否存在t，使點Q恰好落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．5．（2022·浙江溫州·二模）如圖，對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．(1)求點B的坐標．(2)已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．①求拋物線的解析式．②若點P在拋物線上，且S=4S，求點P的坐標．③設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，請直接寫出線段QD長度的最大值和對應的點Q的坐標．6．（2021·浙江湖州·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系中，⊙C與x軸交于點A，B，且點B的坐標為（8，0），與y軸相切于點D（0，4），過點A，B，D的拋物線的頂點為E．(1)求圓心C的坐標與拋物線的解析式；(2)判斷直線AE與⊙C的位置關系，并說明理由；(3)若點M，N是直線y軸上的兩個動點（點M在點N的上方），且MN＝1，請直接寫出的四邊形EAMN周長的最小值．題型二：存在性問題7．（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）如圖，把兩個全等的和分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F，拋物線經(jīng)過O、A、C三點．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點G為拋物線上位于線段OC所在直線上方部分的一動點，求G到直線OC的最大距離和此時點G的坐標；(3)點P為線段OC上一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM的邊AM與邊BP相等？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2021·浙江臺州·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于點A，B，其中點A（﹣1，0），交y軸于點C（0，2），對稱軸交x軸于點M（，0）．(1)求拋物線的解析式；(2)作點C關于點M的對稱點D，順次連接A，C，B，D，判斷四邊形ACBD的形狀，并說明理由；(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BMP與△BAD相似？若存在，求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．9．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，其中點的坐標為．直線與直線相交于點．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點．①求該拋物線的函數(shù)表達式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點的橫坐標；若不能，試說明理由．10．（2020·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的頂點為D，與y軸的交點為C．過點C的直線CA與拋物線交于另一點A(點A在對稱軸左側(cè))，點B在AC的延長線上，連結(jié)OA，OB，DA和DB．(1)如圖1，當AC∥x軸時，①已知點A的坐標是(﹣2，1)，求拋物線的解析式；②若四邊形AOBD是平行四邊形，求證：b2＝4c．(2)如圖2，若b＝﹣2，＝，是否存在這樣的點A，使四邊形AOBD是平行四邊形？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．11．（2019·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA,OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為好點．點P為拋物線的頂點．（1）當時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數(shù)．（2）當時，求該拋物線上的好點坐標．（3）若點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值范圍．12．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），拋物線上另有一點C在第一象限，滿足為直角，且使．(1)求線段OC的長；(2)求該拋物線的函數(shù)關系式；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．13．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，過點C作軸，與拋物線交于另一點D，直線與相交于點M．(1)已知點C的坐標是，點B的坐標是，求此拋物線的解析式；(2)若，求證：；(3)如圖2，設第（1）題中拋物線的對稱軸與x軸交于點G，點P是拋物線上在對稱軸右側(cè)部分的一點，點P的橫坐標為t，點Q是直線上一點，是否存在這樣的點P，使得是以點G為直角頂點的直角三角形，且滿足，若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．14．（2022·浙江麗水·校聯(lián)考三模）定義：對于拋物線，把它在軸下方的部分圖形作關于軸的軸對稱圖形，所得的圖形稱為的“型曲線”．如圖為的“型曲線”，與軸的交點為，，與軸的交點為，與對稱軸的交點為，有軸．(1)求的值．(2)若直線與的“型曲線”有且只有三個公共點，求的值．(3)在的“型曲線”是否存在點，使得，若存在，求點的橫坐標；若不存在，說明理由．15．（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖，已知拋物線經(jīng)過，，三點．過點作垂直于軸的直線．在拋物線上有一動點，過點作直線平行于軸交直線于點．連接．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點，使得以三點構(gòu)成的三角形與相似．如果存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由（3）當點位于拋物線的對稱軸的右側(cè)．若將沿對折，點的對應點為點．求當點落在坐標軸上時直線的解析式．16．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝2，點A的坐標為（1，0）．（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），連接PC．當∠PCB＝∠ACB時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點為點D，點P的對應點為點Q，當OD⊥DQ時，求拋物線平移的距離．題型三：特殊四邊形問題17．（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，拋物線過點A（0，1）和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標為，四邊形BDEF為平行四邊形．（1）求點F的坐標及拋物線的解析式；（2）若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當△PAB面積最大時，求點P的坐標及△PAB面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標．18．（2019·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）如圖1，拋物線過、兩點，交軸于點，過點作軸的平行線與拋物線上的另一個交點為，連接、．點是該拋物線上一動點，設點的橫坐標為．（1）求該拋物線的表達式和的正切值；（2）如圖2，若，求的值；（3）如圖3，過點、的直線與軸于點，過點作，垂足為，直線與軸交于點，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．19．（2019·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預測）矩形對角線的四等分點叫做矩形的奇特點．如圖，在平面直角坐標系中，點，為拋物線上的兩個動點（在的左側(cè)），且軸，以為邊畫矩形，原點在邊上．（1）如圖1，當矩形為正方形時，求該矩形在第一象限內(nèi)的奇特點的坐標．（2）如圖2，在點，的運動過程中，連結(jié)交拋物線于點．①求證：點為矩形的奇特點；②連結(jié)，若，拋物線上的點為矩形的另一奇特點，求經(jīng)過，，三點的圓的半徑．20．（2017·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點①若平面內(nèi)存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有個；②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．題型四：相似三角形問題21．（2022·浙江嘉興·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（8，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點E．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接PB，PC，當S△PBC＝S△ABC時，求點P的坐標；(3)點N是對稱軸l右側(cè)拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．22．（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0<m<8），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當△PMN的周長是△AOB周長的時，求m的值；(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為30°，連接E′A、E′B，在平面直角坐標系內(nèi)找一點Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出點Q的坐標．23．（2020·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線y＝﹣+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣1，0)和點C(0，2)，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m，0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M.(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式.(2)已知點F(0，)，當點P在x軸正半軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？(3)點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.24．（2019·浙江·校聯(lián)考三模）如圖，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐標系中兩點，其中m為常數(shù)，且m＞0，E（0，n）為y軸上一動點，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，畫射線OA，把△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線y＝ax2+bx+n（a≠0）過E、A′兩點．（1）填空：∠AOB＝°，用m表示點A′的坐標：A′；（2）當拋物線的頂點為A′，拋物線與線段AB交于點P，且時，△D′OE與△ABC是否相似？說明理由；（3）若E與原點O重合，拋物線與射線OA的另一個交點為M，過M作MN垂直y軸，垂足為N：①求a、b、m滿足的關系式；②當m為定值，拋物線與四邊形ABCD有公共點，線段MN的最大值為5，請你探究a的取值范圍．25．（2020·浙江·模擬預測）我們定義：如圖1，在與中，兩三角形有公共頂點，所在射線逆時針旋轉(zhuǎn)到所在射線，所在射線逆時針旋轉(zhuǎn)到所在射線，，則我們稱與互為“旋補比例三角形”．（1）如圖1，與互為旋補比例三角形，時，①________，②___________；（2）如圖2，在中，于點，與互為旋補比例三角形，延長至點，使，連結(jié)，求證：與互為旋補比例三角形；（3）如圖3，在中，，點在軸的正半軸上，，點在第二象限，，拋物線經(jīng)過點，與軸交點為，(點按逆時針排列)與互為旋補比例三角形，點在拋物線的對稱軸上運動，當點構(gòu)成的三角形是以為腰的等腰三角形時，求點的坐標．題型五：其他問題26．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）定義：若n為常數(shù)，當一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標和為n的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象關于n的“恒值點”，例如：點（1，2）是函數(shù)圖象關于3的“恒值點”．

(1)判斷點，，是否為函數(shù)圖象關于10的“恒值點”．(2)如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示．①求翻折后A，B之間的拋物線解析式．（用含b的代數(shù)式表示，不必寫出x的取值范圍）②當新圖象上恰好有3個關于c的“恒值點”時，請用含b的代數(shù)式表示c．27．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）定義：平面直角坐標系中，過二次函數(shù)圖象與坐標軸交點的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標圓．（1）已知點，以為圓心，為半徑作圓．請判斷⊙是不是二次函數(shù)的坐標圓，并說明理由；（2）已知二次函數(shù)圖象的頂點為，坐標圓的圓心為，如圖1，求周長的最小值；（3）已知二次函數(shù)圖象交軸于點，，交軸于點，與坐標圓的第四個交點為，連結(jié)，，如圖2．若，求的值．28．（2022·浙江金華·校聯(lián)考模擬預測）定義：在平面直角坐標系中，對于任意一個函數(shù)，作該函數(shù)y軸右側(cè)部分關于y軸的軸對稱圖形，與原函數(shù)y軸的交點及y軸右側(cè)部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖像，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)的“新生函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它的“新生函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“新生函數(shù)”的解析式為，也可以寫成．(1)在圖③中畫出函數(shù)的“新生函數(shù)”的圖像．(2)函數(shù)的“新生函數(shù)”與直線有三個公共點，求m的值．(3)已知A(－1，0)，B(3，0)，C(3，－2)，D（－1，－2)，函數(shù)的“新生函數(shù)”圖像與矩形ABCD的邊恰好有4個交點，求n的取值范圍．29．（2020·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知拋物線，，，…，（n為正整數(shù)），點A(0，1)．（1）如圖1，過點A作y軸垂線，分別交拋物線，，，…，于點，，，…，（和點A不重合）．①求的長．②求的長．（2）如圖2，點P從點A出發(fā)，沿y軸向上運動，過點P作y軸的垂線，交拋物線于點，，交拋物線于點，，交拋物線于點，，……，交拋物線于點，（在第二象限）．①求的值．②求的值．（3）過x軸上的點Q（原點除外），作x軸的垂線分別交拋物線，，，…，于點，，，…，，是否存在線段（i，j為正整數(shù)），使，若存在，求出i＋j的最小值；若不存在，說明理由．

第11講中考熱點04二次函數(shù)與幾何結(jié)合壓軸題（Ⅱ）目錄：題型一：最值問題；題型二：存在性問題；題型三：特殊四邊形問題；題型四：相似三角形問題；五、其他問題一、解答題題型一：最值問題1．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線經(jīng)過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．(1)①求點A，B，C的坐標；②求b，c的值．(2)若點P是邊BC上的一個動點，連結(jié)AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②(2)（0≤m≤3）；【分析】（1）①根據(jù)坐標與圖形的性質(zhì)即可求解；②利用待定系數(shù)法求解即可；（2）證明Rt△ABP∽Rt△PCM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到n關于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）解：①∵正方形OABC的邊長為3，∴點A，B，C的坐標分別為A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②把點A(3，0)，C(0，3)的坐標分別代入y=?x2+bx+c，得，解得；（2）解：由題意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴Rt△ABP∽Rt△PCM，∴，即．整理，得，即（0≤m≤3）．∴當時，n的值最大，最大值是．【點睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點A，B，C的坐標是解題的關鍵．2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）“距離”是數(shù)學研究的重要對象，如我們所熟悉的兩點間的距離．現(xiàn)在我們定義一種新的距離：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐標系內(nèi)的兩點，我們將稱作P，Q間的“L型距離”，記作L（P，Q），即．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平面直角坐標系內(nèi)的A，B，C三點，其中A，B兩點的坐標為A（－1，0），B（0，3），點C在直線x＝2上運動，且滿足．

(1)求L（A，B）；(2)求拋物線的表達式；(3)已知是該坐標系內(nèi)的一個一次函數(shù)．①若D，E是圖像上的兩個動點，且，求面積的最大值；②當時，若函數(shù)的最大值與最小值之和為8，求實數(shù)t的值．【答案】(1)4；(2)；(3)①面積最大值為；②．【分析】（1）根據(jù)題干中對于“型距離”的定義，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)經(jīng)過點、、三點，所以只要求出點坐標即可：根據(jù)點在直線上運動，所以可設點，根據(jù)列方程求解出的值，利用待定系數(shù)法列方程組即可求出拋物線的表達式；（3）①根據(jù)的一邊長度固定等于5，所以只要求出頂點到的最大距離即可：由所在的直線過固定點,故直線的圖像是繞點旋轉(zhuǎn)的直線，當直線時，點到的距離最大，此時就是的最大面積，根據(jù)三角形面積公式求解即可；②根據(jù)，可得函數(shù)的解析式：，可知函數(shù)的圖像是一個開口向下，對稱軸是的拋物線，由此可知函數(shù)在對稱軸上取得最大值，根據(jù)可知當時有最小值，最后根據(jù)函數(shù)的最大值與最小值之和是8，從而列出方程即可求出的值．【解析】（1）解：由題意得：，；（2）點在直線上運動，設點，且由平面上兩點間距離，利用勾股定理得：即，又二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，，，設代入解析式得：解方程組得：拋物線的表達式為；（3）①令時，直線恒過定點直線的圖像是繞點旋轉(zhuǎn)的直線，當直線時，點到的距離最大，面積也最大，過點作交直線于點

由點到直線的距離，垂線段最短知：，面積的最大值為②二次函數(shù)的對稱軸為二次函數(shù)的圖像開口向下，當時，函數(shù)值取得最大值又當時，函數(shù)值取得最小值函數(shù)的最大值與最小值之和為8整理得：解得：實數(shù)的值為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了對于題干中“型距離”的理解能力、以及根據(jù)“型距離”以及用待定系數(shù)法求拋物線的表達式、根據(jù)垂線段最短求三角形最大面積、根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)求函數(shù)最值等，對知識的綜合性很強．根據(jù)題意靈活運用所學知識以及扎實的計算基礎是解此題的關鍵．3．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．(1)若直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使MA+MC的值最小，求點M的坐標；(3)設P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．【答案】(1)，y＝x+3(2)M的坐標為（﹣1，2）(3)點P的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）設直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小，進而求解；（3）分點B為直角頂點、點C為直角頂點、P為直角頂點三種情況，分別求解即可．【解析】（1）解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），故點B的坐標為（﹣3，0），設拋物線的表達式為y＝＝，將點C坐標代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：；把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得，∴直線的解析式為y＝x+3；（2）解：設直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最?。褁＝﹣1代入直線y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（﹣1，2）；（3）解：設P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），則＝18，＝＝，，若點B為直角頂點時，則，即18+＝，解得t＝﹣2；若點C為直角頂點時，則BC2+PC2＝PB2，即＝18+，解得t＝4，若P為直角頂點時，則，則+＝18，解得t＝，綜上，點P的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、點的對稱性等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．4．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸，y軸分別交于A，D，C三點，已知點A(4，0)，點C(0，4)．若該拋物線與正方形OABC交于點G且CG:GB=3:1．(1)求拋物線的解析式和點D的坐標；(2)若線段OA，OC上分別存在點E，F(xiàn)，使EF⊥FG．已知OE=m，OF=t．①當t為何值時，m有最大值？最大值是多少？②若點E與點R關于直線FG對稱，點R與點Q關于直線OB對稱．問是否存在t，使點Q恰好落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，點D的坐標為(-1，0)；(2)①當時，m有最大值，；②存在，當時點恰好落在拋物線上【分析】（1）先求得點G的坐標，再用待定系數(shù)法求解即可；（2）①證明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性質(zhì)得到m關于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②根據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)先后求得點R(-m，2t)，點Q(2t，-m)，代入二次函數(shù)的解析式得到方程，解方程即可求解．【解析】（1）解：∵點A(4，0)，點C(0，4)，且四邊形OABC是正方形，∴OA=OC=BC=4，∵CG:GB=3:1．∴CG=3，BG=1，∴點G的坐標為(3，4)，設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A(4，0)，C(0，4)，G(3，4)，代入y=ax2+bx+c得，解得，∴拋物線的解析式為y=-x2+3x+4，令y=0，則-x2+3x+4=0，解得x=4或x=-1，∴點D的坐標為(-1，0)；（2）解：①∵EF⊥FG，∴∠EOF=∠GFE=∠GCF=90°，∵∠EFO+∠FEO=∠EFO+∠CFG=90°，∴∠FEO=∠CFG，∴△EOF∽△FCG，∴，即，∴m=-t2+t=-(t-2)2+，∴當t=2時，m有最大值，最大值為；②∵點A(4，0)，點C(0，4)，且四邊形OABC是正方形，∴點B的坐標為(4，4)，設直線OB的解析式為y=kx，把(4，4)，代入得：4=4k，解得k=1，∴直線OB的解析式為y=x，過點R作RS⊥y軸于點S，∵點E與點R關于直線FG對稱，EF⊥FG，∴RF=EF，∠RFS=∠EFO，∴△RFS≌△EFO，∴RS=EO=m，F(xiàn)S=FO=t，則SO=2t，∴點R的坐標為(-m，2t)，∵點R與點Q關于直線OB對稱．同理點Q的坐標為(2t，-m)，把Q(2t，-m)代入y=-x2+3x+4，得：-m=-4t2+6t+4，由①得m=-t2+t，∴t2-t=-4t2+6t+4，解得，（舍去），∵，∴當時點G恰好落在拋物線上．．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解答問題的關鍵．5．（2022·浙江溫州·二模）如圖，對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．(1)求點B的坐標．(2)已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．①求拋物線的解析式．②若點P在拋物線上，且S=4S，求點P的坐標．③設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，請直接寫出線段QD長度的最大值和對應的點Q的坐標．【答案】(1)點B的坐標為(2)①；②或；③有最大值，點的坐標為，．【分析】（1）根據(jù)對稱軸和點坐標直接求出點坐標即可；（2）①先根據(jù)對稱軸求出，再用待定系數(shù)法求出，即可得出解析式；②設點坐標為，根據(jù)面積關系求出的值即可；③用待定系數(shù)法求出的解析式，設出點的坐標，根據(jù)的代數(shù)式求最值即可．【解析】（1）解：對稱軸為直線的拋物線與軸相交于、兩點，、兩點關于直線對稱，點的坐標為，點的坐標為；（2）解：①時，拋物線的對稱軸為直線，，解得，將代入，得，解得，拋物線的解析式為；②拋物線的解析式為，拋物線與軸的交點的坐標為，，設點坐標為，，，即，，解得，當時，，當時，，點的坐標為或；③有最大值，點的坐標為，，設直線的解析式為，將，代入，得，，解得，即直線的解析式為，設點坐標為，，則點坐標為，，當時，有最大值，此時，．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的知識，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．6．（2021·浙江湖州·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系中，⊙C與x軸交于點A，B，且點B的坐標為（8，0），與y軸相切于點D（0，4），過點A，B，D的拋物線的頂點為E．(1)求圓心C的坐標與拋物線的解析式；(2)判斷直線AE與⊙C的位置關系，并說明理由；(3)若點M，N是直線y軸上的兩個動點（點M在點N的上方），且MN＝1，請直接寫出的四邊形EAMN周長的最小值．【答案】(1)C（5，4），yx2x＋4；(2)AE是⊙C的切線，理由見解析；(3)．【分析】（1）如圖1，連接CD，CB，過點C作于M．設⊙C的半徑為r．在Rt△BCM中，利用勾股定理求出半徑，可得點C的坐標，根據(jù)函數(shù)的對稱性，得，用待定系數(shù)法即可求解．（2）結(jié)論：AE是OC的切線．連接AC，CE，由拋物線的解析式推出點E的坐標，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理證明即可解決問題．（3）由四邊形EAMN周長，可得當有最小值時，四邊形周長有最小值，即當點M在線段上時，的最小值為，即可求解．(1)解：（1）如圖，連接CD，CB，過點C作CM⊥AB于M．設⊙C的半徑為r，∵與y軸相切于點D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四邊形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2＋BM2，∴r2＝42＋（8﹣r）2，解得r＝5，∴圓心C（5，4），∴拋物線的對稱軸為x＝5，又∵點B（8，0），∴點A（2，0），則拋物線的表達式為y＝a（x﹣2）（x﹣8），將點D的坐標代入上式得：4＝a×（0﹣2）×（0﹣8），解得a，故拋物線的表達式為y（x﹣2）（x﹣8）x2x＋4．(2)解：結(jié)論：AE是⊙C的切線．理由如下：連接AC，CE．當x＝5時，y，∴頂點E（5，），∵AE，CE＝4，AC＝5，∴EC2，AE2＋AC2∴EC2＝AC2＋AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切線．(3)解：如圖3，作點A關于y軸的對稱點A'（﹣2，0），過點E作EF∥MN，且EF＝MN＝1，連接A'M，A'F，MF，∵點A與點A'關于y軸對稱，∴AM＝A'M，∵EF∥MN，EF＝MN，∴四邊形MNEF是平行四邊形，∴MF＝NE，∵四邊形EAMN周長＝AE＋AM＋MN＋NEAM＋1＋MFA'M＋MF，∴當A'M＋MF有最小值時，四邊形EAMN周長有最小值，∴當點M在線段A'F上時，A'M＋MF的最小值為A'F，∵EF∥MN，EF＝MN＝1，∴點F（5，），∴A'F，∴四邊形EAMN周長的最小值．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與圓的綜合運用，數(shù)形結(jié)合能提高解題效率．題型二：存在性問題7．（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）如圖，把兩個全等的和分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F，拋物線經(jīng)過O、A、C三點．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點G為拋物線上位于線段OC所在直線上方部分的一動點，求G到直線OC的最大距離和此時點G的坐標；(3)點P為線段OC上一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM的邊AM與邊BP相等？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)G點到直線OC的最大距離為，此時G(2，4)(3)存在，P點的坐標為【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得直線OC的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）確定相關點的坐標以及線段長度的數(shù)量關系，得到一元二次方程，求出t的值，從而可解．【解析】（1）解：由題意：A(2，4)，C(4，2)，O(0，0)，因為拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，C，∴，解得，，，∴拋物線解析式為；（2）解：連接GO，GC，過G點作x軸的垂線交OC于點K，GH⊥OC于點H．令G點的橫坐標為m（0<m<4），則G(m，?m2+m)．設直線OC的解析式為y=kx+b，把C(4，2)，O(0，0)代入得：b=0，4k+b=2，k=，∴直線OC的解析式為y=x，則K(m，m)∴，當時，的值最大為6，此時GH的值為最大，，∴，，∴G點到直線OC的最大距離為，此時G(2，4)；（3）解：存在．如圖所示，過點M作于點R，過點P作于點T．由題意：，∴MR=PT，∵AM=BP，∴．∴設點M的橫坐標為t，則．由（2）知：直線OC的解析式為，則∴，當時，解得：，（不合題意，舍去）；當時，無實數(shù)解．∴，此時∴P點的坐標為．【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、相似三角形，涉及到的知識點眾多，難度較大，對學生能力要求較高，有利于訓練并提升學生解決復雜問題的能力．8．（2021·浙江臺州·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于點A，B，其中點A（﹣1，0），交y軸于點C（0，2），對稱軸交x軸于點M（，0）．(1)求拋物線的解析式；(2)作點C關于點M的對稱點D，順次連接A，C，B，D，判斷四邊形ACBD的形狀，并說明理由；(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BMP與△BAD相似？若存在，求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)yx2x＋2(2)矩形，理由見解析(3)存在，（，）或（，）或（，5）或（，﹣5）【分析】(1)根據(jù)對稱軸上的M點坐標得出B點坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；(2)根據(jù)對角線互相平分得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用勾股定理證其中一個角是直角即可得出四邊形ABCD是矩形；(3)過點D作DE⊥x軸于E，得出D點坐標，分別求出BD，AD，AB，BM，分情況利用線段比例關系求出PM的長度，即可確定P點的坐標．【解析】（1）解：∵拋物線對稱軸交x軸于點M（，0），且A（﹣1，0），∴B（4，0），又∵C（0，2），∴，解得，∴拋物線的解析式為：yx2x＋2；（2）解：四邊形ABCD為矩形，理由如下：∵點M是AB的中點，也為CD的中點，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC，BC，AB=5，∴AC2＋BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（3）解：由題知，拋物線的對稱軸為直線x，過點D作DE⊥x軸于點E，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴，∵DE⊥x，，∴，∴，∴DE=OC，AO=BE，∵OC=2，AO=1，∴DE=OC=2，AO=BE=1，∴OE=5-1-1=3，∴OM=ME，∴D（3，﹣2），又∵BD，AD2，AB=5，BM，∠BDA=90°，且點P在對稱軸上，∴∠BMP=90°，即∠BDA=∠BMP=90°，當時，△BMP∽△ABD，即，解得PM，則P（，）或（，），當時，△BPM∽△ABD，即，解得PM=5，則P'（，5）或（，﹣5），綜上，符合條件的P點坐標為（，）或（，）或（，5）或（，﹣5）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關鍵．9．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，其中點的坐標為．直線與直線相交于點．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點．①求該拋物線的函數(shù)表達式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點的橫坐標；若不能，試說明理由．【答案】(1)①；②(2)能，或或或．【分析】（1）①先求頂點的坐標，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；②過點作于點．設直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；（2）設點的坐標為，則點的坐標為．①如圖2-1，當時，存在．記，則．過點作軸于點，則．在中，，進而得出點的橫坐標為6．②如圖2-2，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．③如圖，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．④如圖2-4，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．【解析】（1）解：①∵，∴頂點的橫坐標為1．∴當時，，∴點的坐標是．設拋物線的函數(shù)表達式為，把代入，得，解得．∴該拋物線的函數(shù)表達式為，即．②如圖1，過點作于點．

設直線為，把代入，得，解得，∴直線為．同理，直線為．由解得∴．∴．∵，∴．（2）設點的坐標為，則點的坐標為．①如圖，當時，存在．記，則．∵為的外角，∴．∵．∴．∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為6．

②如圖2-2，當時，存在．記．∵為的外角，∴．∴∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為．

③如圖2-3，當時，存在．記．

∵，∴．∴．∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為．④如圖2-4，當時，存在．記．∵，∴．

∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為．綜上，點的橫坐標為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識，分類討論是解題的關鍵．10．（2020·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的頂點為D，與y軸的交點為C．過點C的直線CA與拋物線交于另一點A(點A在對稱軸左側(cè))，點B在AC的延長線上，連結(jié)OA，OB，DA和DB．(1)如圖1，當AC∥x軸時，①已知點A的坐標是(﹣2，1)，求拋物線的解析式；②若四邊形AOBD是平行四邊形，求證：b2＝4c．(2)如圖2，若b＝﹣2，＝，是否存在這樣的點A，使四邊形AOBD是平行四邊形？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①y＝﹣x2﹣2x+1；②證明見解析；(2)存在這樣的點A，A(﹣，)【分析】(1)①由點A(﹣2，1)得到C(0，1)，利用待定系數(shù)法即可求解；②作DE⊥x軸于E，交AB于點F，利用頂點坐標及點C的坐標求得DF＝，利用“AAS”證得△AFD≌△BCO，得到DF＝OC，即可證得結(jié)論；(2)由題意知頂點坐標D(﹣1，c+1)，設點A(m，﹣m2﹣2m+c)，利用“AAS”證得△AFD≌△BCO，作如圖的輔助線，證得△ANF∽△AMC，結(jié)合已知＝，求得，利用比例線段即可求解．【解析】(1)①∵AC∥x軸，點A(﹣2，1)，∴C(0，1)，將點A(﹣2，1)，C(0，1)代入拋物線解析式中，得：，∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+1；②如圖1，過點D作DE⊥x軸于E，交AB于點F，∵AC∥x軸，∴EF＝OC＝c，∵點D是拋物線的頂點坐標，∴D(，)，∴DF＝DE﹣EF＝＝，∵四邊形AOBD是平行四邊形，∴AD＝OB，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∵∠AFD＝∠BCO＝90°，∴△AFD≌△BCO(AAS)，∴DF＝OC，∴＝c，即b2＝4c；(2)如圖2，∵b＝﹣2．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+c，∴頂點坐標D(﹣1，c+1)，假設存在這樣的點A使四邊形AOBD是平行四邊形，設點A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)，過點D作DE⊥x軸于點E，交AB于F，∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，∵四邊形AOBD是平行四邊形，∴AD＝BO，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∴△AFD≌△BCO(AAS)，∴AF＝BC，DF＝OC，過點A作AM⊥y軸于M，交DE于N，∴DE∥CO，∴△ANF∽△AMC，∴＝，∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，∴，∴，∴點A的縱坐標為﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+c＝c﹣＜c，∵AM∥x軸，∴點M的坐標為(0，c﹣)，N(﹣1，c﹣)，∴CM＝c﹣(c﹣)＝，∵點D的坐標為(﹣1，c+1)，∴DN＝(c+1)﹣(c﹣)＝，∵DF＝OC＝c，∴FN＝DN﹣DF＝﹣c，∵＝，∴，∴c＝，∴c﹣＝，∴點A縱坐標為，∴A(﹣，)，∴存在這樣的點A，使四邊形AOBD是平行四邊形．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)對稱軸頂點坐標的公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)等，求得D的坐標是解題的關鍵．11．（2019·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA,OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為好點．點P為拋物線的頂點．（1）當時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數(shù)．（2）當時，求該拋物線上的好點坐標．（3）若點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值范圍．【答案】（1）好點有：，，，和，共5個；（2），和；（3）.【分析】（1）如圖1中，當m＝0時，二次函數(shù)的表達式y(tǒng)＝﹣x2+2，畫出函數(shù)圖象，利用圖象法解決問題即可；（2）如圖2中，當m＝3時，二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5，如圖2，結(jié)合圖象即可解決問題；（3）如圖3中，拋物線的頂點P（m，m+2），推出拋物線的頂點P在直線y＝x+2上，由點P在正方形內(nèi)部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F(xiàn)（2，2），觀察圖象可知，當點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點時，拋物線與線段EF有交點（點F除外），求出拋物線經(jīng)過點E或點F時Dm的值，即可判斷．【解析】解：（1）當時，二次函數(shù)的表達式為畫出函數(shù)圖像（圖1）圖1當時，；當時，拋物線經(jīng)過點和好點有：，，，和，共5個（2）當時，二次函數(shù)的表達式為畫出函數(shù)圖像（圖2）圖2當時，；當時，；當時，該拋物線上存在好點，坐標分別是，和（3）拋物線頂點P的坐標為點P支直線上由于點P在正方形內(nèi)部，則如圖3，點，圖3當頂點P支正方形OABC內(nèi)，且好點恰好存在8個時，拋物線與線段EF有交點（點F除外）當拋物線經(jīng)過點時，解得：，（舍去）當拋物線經(jīng)過點時，解得：，（舍去）當時，頂點P在正方形OABC內(nèi)，恰好存在8個好點【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，好點的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會正確畫出圖象，利用圖象法解決問題，學會利用特殊點解決問題．12．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），拋物線上另有一點C在第一象限，滿足為直角，且使．(1)求線段OC的長；(2)求該拋物線的函數(shù)關系式；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，【分析】（1）令拋物線中，可得出、的坐標．再由已知證明，得出，從而求出的長度，（2）設，則，在中，可求出的值，繼而就可得出，過點作于點，然后利用解直角三角形的知識，可求出點的坐標，代入可得出二次函數(shù)解析式．（3）設出點坐標，用坐標系兩點間距離公式表示出和的長，分和兩種情況，分別列方程即可求出點坐標．【解析】（1）解：由得，．、兩點坐標分別為：，．由知，．又，，，．．線段的長為．（2）解：由（1）知，，，設，則由得解得，（舍去），過點作于點，的坐標為將點的坐標代入拋物線的解析式得拋物線的函數(shù)關系式為：．（3）由（2）可知拋物線，拋物線的對稱軸，設P點坐標為，的坐標為，的坐標．故：，，，若等腰三角形中，，即：，解得：，此時P點坐標為：，，若等腰三角形中，，即：，解得：，此時P點坐標為：，，綜上所述：在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得是以BC為腰的等腰三角形，符合條件的點P的坐標為：，，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的知識，其中涉及了數(shù)形結(jié)合問題，由拋物線求二次函數(shù)的解析式，用幾何中相似三角形的性質(zhì)求點的坐標等知識．注意這些知識的綜合應用．13．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，過點C作軸，與拋物線交于另一點D，直線與相交于點M．(1)已知點C的坐標是，點B的坐標是，求此拋物線的解析式；(2)若，求證：；(3)如圖2，設第（1）題中拋物線的對稱軸與x軸交于點G，點P是拋物線上在對稱軸右側(cè)部分的一點，點P的橫坐標為t，點Q是直線上一點，是否存在這樣的點P，使得是以點G為直角頂點的直角三角形，且滿足，若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出當時，拋物線的解析式為，由此求出，再求出，求出直線的解析式為，設直線與y軸交于點E，則，得到，則，同理得，從而得到，即可證明；（3）如圖所示，連接，求出拋物線對稱軸為直線，則，推出，求出直線的解析式為，設，然后分當點Q在點P下方時，如圖3-1所示，過點Q、P分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N，證明，得到，解方程即可；當點Q在點P上方時，如圖3-2所示，過點G作軸，過點P、Q分別作直線的垂線，垂足分別為N、M，同理可得，解方程即可．【解析】（1）解：把，代入得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：∵，∴拋物線解析式為，令，則，解得或，∴，∴拋物線對稱軸為直線，∵軸，∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設直線與y軸交于點E，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，連接，∵拋物線解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴；∵，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設，當點Q在點P下方時，如圖3-1所示，過點Q、P分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴，解得（負值舍去）；當點Q在點P上方時，如圖3-2所示，過點G作軸，過點P、Q分別作直線的垂線，垂足分別為N、M，同理可得，∴，∴，，∴，解得（負值舍去）；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．14．（2022·浙江麗水·校聯(lián)考三模）定義：對于拋物線，把它在軸下方的部分圖形作關于軸的軸對稱圖形，所得的圖形稱為的“型曲線”．如圖為的“型曲線”，與軸的交點為，，與軸的交點為，與對稱軸的交點為，有軸．(1)求的值．(2)若直線與的“型曲線”有且只有三個公共點，求的值．(3)在的“型曲線”是否存在點，使得，若存在，求點的橫坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，點的橫坐標是，，【分析】（1）求出點的坐標為(，)以及點的坐標為(，)，利用軸，列出方程即可求解；（2）當直線過點時；當直線與段拋物線一個交點時，兩種情況，畫出圖形求解；（3）過作，交拋物線于點，過作交的延長線于點，證得，求得點，得到直線OE的解析式，與“型曲線”的解析式聯(lián)立求得交點；再延長到，使得，過點作垂直于拋物線的對稱軸直線于點，連接，則，求得點點的坐標，得到直線ON的解析式，然后與“型曲線”的解析式聯(lián)立求得交點即可．（1）解：中，令，則，點的坐標為(，)，對稱軸直線為，，由題意可得，點的坐標為(，)，∵軸，∴，解得．此時．（2）當直線過點時，令，則，解得，∴，∴．當直線與段拋物線一個交點時，可得，即，由，解得∴的值是或．（3）由（1）知，當時，點的坐標為(，)，∴，∵點的坐標為(，)，∴，過作，交拋物線于點，過作交的延長線于點，則，∴，，∴∴，∴∵，∴，解得，，∴，∴點，∴直線的解析式為：，令，解得；令，解得；延長到，使得，過點作垂直于拋物線的對稱軸直線于點，連接，則，∴，，∴點橫坐標為，縱坐標為，∴點的坐標為(，)，∴直線的解析式為：，當，解得．綜上可得，點的橫坐標是，，．【點睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題目，涉及到相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式等，數(shù)形結(jié)合的思想是解決問題的關鍵．15．（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖，已知拋物線經(jīng)過，，三點．過點作垂直于軸的直線．在拋物線上有一動點，過點作直線平行于軸交直線于點．連接．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點，使得以三點構(gòu)成的三角形與相似．如果存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由（3）當點位于拋物線的對稱軸的右側(cè)．若將沿對折，點的對應點為點．求當點落在坐標軸上時直線的解析式．【答案】（1）；（2）存在，，，，，，；（3），，【分析】（1）將，，分別代入拋物線，列出方程組，即可求出函數(shù)解析式．（2）當在下方時，令，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列比例式，求出點的坐標；當在y軸左側(cè)和上方時，令，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列比例式，求出點的坐標；（3）畫出函數(shù)圖形，利用三角形相似，求出點坐標，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．【解析】解：（1）將，，分別代入拋物線得，，解得，函數(shù)解析式為．（2）在下方時，令①，，即，由于，則有，解得（舍去）或，此時，，點坐標為，．②，，即，由于，則有，解得，（舍去）或，點坐標為．③在y軸左側(cè)時，令，，即，，，解得，（舍去）或，點坐標為．④P在l上方時，，，即，解得，（舍去）或，點坐標為，．（3）①如圖（1），若對稱點在軸，則，設解析式為，則或，當時，把代入得，當時，把代入得，此時在對稱軸右側(cè)，符合題意，，或；②如圖（2），若對稱點在軸，設點，，則，．則有，，，，，解得：，，中，由勾股定理得，，解得，，均在拋物線對稱軸的右側(cè)，故點的坐標為或．設一次函數(shù)解析式為，把，，分別代入解析式得，解得，函數(shù)解析式為．把，，分別代入解析式得，解得，函數(shù)解析式為．綜上所述，函數(shù)解析式為，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)解析式、相似三角形的性質(zhì)、翻折變換、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等，題目錯綜復雜，涉及知識面廣，旨在考查邏輯思維能力．題型三：特殊四邊形問題16．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝2，點A的坐標為（1，0）．（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），連接PC．當∠PCB＝∠ACB時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點為點D，點P的對應點為點Q，當OD⊥DQ時，求拋物線平移的距離．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，拋物線頂點坐標是（2，﹣1）；（2）P（，）；（3）拋物線平移的距離為．【分析】（1）由拋物線的對稱性質(zhì)得到點B的坐標，把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值；根據(jù)拋物線解析式求得頂點坐標；（2）過點P作PN⊥x軸于N，過點C作CM⊥PN，交NP的延長線于點M，構(gòu)造矩形COMN和直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求得，故設PM=a，MC=3a，PN=3-a．易得P（3a，3-a），由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征列出關于a的方程，通過解方程求得a的值，易得點P的坐標；（3）設拋物線平移的距離為m，得y=（x-2）2-1-m．從而求得D（2，-1-m）．過點D作直線EF∥x軸，交y軸于點E，交PQ延長線于點F．易推知∠EOD=∠QDF，則tan∠EOD=tan∠QDF，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義列出關于m的方程，通過解方程求得m的值．【解析】解：（1）∵對稱軸為直線x＝2，點A的坐標為（1，0），∴點B的坐標是（3，0）．將A（1，0），B（3，0）分別代入y＝x2+bx+c，得．解得．則該拋物線解析式是：y＝x2﹣4x+3．由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，該拋物線頂點坐標是（2，﹣1）；（2）如圖1，過點P作PN⊥x軸于N，過點C作CM⊥PN，交NP的延長線于點M，∵∠CON＝90°，∴四邊形CONM是矩形．∴∠CMN＝90°，CO＝MN、∴y＝x2﹣4x+3，∴C（0，3）．∵B（3，0），∴OB＝OC＝3．∵∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠BCM＝45°．又∵∠ACB＝∠PCB，∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．∴tan∠OCA＝=tan∠PCM．∴．故設PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．∴P（3a，3﹣a），將其代入拋物線解析式y(tǒng)＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．解得a1＝，a2＝0（舍去）．∴P（，）．（3）設拋物線平移的距離為m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．∴D（2，﹣1﹣m）．如圖2，過點D作直線EF∥x軸，交y軸于點E，交PQ延長線于點F，∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．∴∠EOD＝∠QDF．∴tan∠EOD＝tan∠QDF，∴．∴．解得m＝．故拋物線平移的距離為．【點睛】要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．17．（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，拋物線過點A（0，1）和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標為，四邊形BDEF為平行四邊形．（1）求點F的坐標及拋物線的解析式；（2）若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當△PAB面積最大時，求點P的坐標及△PAB面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標．【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y＝﹣x+1，求出F點的坐標，由平行四邊形的性質(zhì)得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，則可得出答案；（2）設P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（3）聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C（，﹣），設Q（，m），分兩種情況：①當AQ為對角線時，②當AR為對角線時，分別求出點Q和R的坐標即可．【解析】解：（1）設拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），設直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，∵點F的橫坐標為，∴F點縱坐標為﹣+1＝﹣，∴F點的坐標為（，﹣），又∵點A在拋物線上，∴c＝1，對稱軸為：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，∵四邊形DBFE為平行四邊形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；（2）設P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'（n，﹣n+1），∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB?PP'＝﹣n＝﹣，∴當n＝時，△ABP的面積最大為，此時P（，）．（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），設Q（，m），①當AQ為對角線時，∴R（﹣），∵R在拋物線y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②當AR為對角線時，∴R（），∵R在拋物線y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類討論思想是解題的關鍵．18．（2019·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）如圖1，拋物線過、兩點，交軸于點，過點作軸的平行線與拋物線上的另一個交點為，連接、．點是該拋物線上一動點，設點的橫坐標為．（1）求該拋物線的表達式和的正切值；（2）如圖2，若，求的值；（3）如圖3，過點、的直線與軸于點，過點作，垂足為，直線與軸交于點，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為；；（2）點的橫坐標的值為；（3）四邊形是平行四邊形．理由見解析．【分析】（1）由點A、B坐標利用待定系數(shù)法求解可得拋物線解析式為，作BG⊥CA，交CA的延長線于點G，證△GAB∽△OAC得，據(jù)此知BG=2AG．在Rt△ABG中根據(jù)BG2+AG2=AB2，可求得．繼而可得，根據(jù)正切函數(shù)定義可得答案；（2）作BH⊥CD于點H，交CP于點K，連接AK，易得四邊形OBHC是正方形，應用“全角夾半角”可得AK=OA+HK，設K（4，h），則BK=h，HK=HB-KB=4-h，AK=OA+HK=2+（4-h）=6-h．在Rt△ABK中，由勾股定理求得h=，據(jù)此求得點K（4，）．待定系數(shù)法求出直線CK的解析式為y=-x+4．設點P的坐標為（x，y）知x是方程x2-3x+4=-x+4的一個解．解之求得x的值即可得出答案．（3）先求出點D坐標為（6，4），設P（m，m2-3m+4）知M（m，4），H（m，0）．及PH=m2-3m+4），OH=m，AH=m-2，MH=4．①當4＜m＜6時，由△OAN∽△HAP知．據(jù)此得ON=m-4．再證△ONQ∽△HMQ得．據(jù)此求得OQ=m-4．從而得出AQ=DM=6-m．結(jié)合AQ∥DM可得答案．②當m＞6時，同理可得．【解析】（1）將點和點分別代入，得，解得：．∴該拋物線的解析式為．過點作，交的延長線于點（如圖1所示），則．∴．在中，，∴．解得：．∴．在中，．（2）如圖2①，方法一：過點作于點，∴，則，即，解得或m=0（舍）；方法二：如圖2②，過點作于點，交于點，連接．易得四邊形是正方形．應用“全角夾半角”可得．設，則．在中，由勾股定理，得．∴．解得．∴點．設直線的解析式為．將點代入上式，得．解得．∴直線的解析式為．設點的坐標為，則是方程的一個解．將方程整理，得．解得，（不合題意，舍去）．將代入，得．∴點的坐標為，故點的橫坐標的值為．（3）四邊形是平行四邊形．理由如下：∵軸，∴．將代入，得．解得．∴點．根據(jù)題意，得．．①當時，，如圖3，．．．．．．又，∴四邊形是平行四邊形．②當時，同理可得：四邊形是平行四邊形．綜上，四邊形是平行四邊形．【點睛】此題考查二次函數(shù)的綜合問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)及勾股定理，三角函數(shù)，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)及勾股定理、三角函數(shù)．19．（2019·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預測）矩形對角線的四等分點叫做矩形的奇特點．如圖，在平面直角坐標系中，點，為拋物線上的兩個動點（在的左側(cè)），且軸，以為邊畫矩形，原點在邊上．（1）如圖1，當矩形為正方形時，求該矩形在第一象限內(nèi)的奇特點的坐標．（2）如圖2，在點，的運動過程中，連結(jié)交拋物線于點．①求證：點為矩形的奇特點；②連結(jié)，若，拋物線上的點為矩形的另一奇特點，求經(jīng)過，，三點的圓的半徑．【答案】（1），；（2）①見解析；②半徑為【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式，把C點左邊表示成，則，當矩形為正方形時，根據(jù)解出a，即可得到答案.（2）①先把矩形在第一象限上的奇特點找出來，證明可表示成，再結(jié)合拋物線的解析式，可證明.②根據(jù)是奇特點，證，由對稱性得到由對稱性，，D得到，，，四點共圓，且為直徑，根據(jù)三角函數(shù)可求出半徑.【解析】（1）設，則，因為是矩形，易證，，當矩形為正方形時，，解得，∴，，，∴易得矩形在第一象限內(nèi)的奇特點的坐標為，．（2）①證明：設，則，∴矩形在第一象限上的奇特點為，又在拋物線上，∴為與拋物線的交點，即：點為矩形的奇特點．②由是奇特點，設，．可以得到：，，∴，由對稱性，，∴，，，四點共圓，且為直徑，∴，∴，∴，即半徑為．【點睛】本題主要考查了對新給概念的理解，在理解新概念的基礎上做題，結(jié)合拋物線和圓為背景，利用矩形和正方形的性質(zhì)，運用三角函數(shù)的知識是解題的關鍵.20．（2017·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點①若平面內(nèi)存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有個；②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣x﹣，頂點坐標（，﹣）；（2）PB+PD的最小值為；（3）①5;②取值范圍是【分析】二次函數(shù)的表達式有三種方法，這題很明顯可以用頂點式以及交點式更方便些；這一題根據(jù)邊的關系得出∠ABO=30°非常重要，根據(jù)在直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半把所要求的邊轉(zhuǎn)化，再根據(jù)點到直線垂線段最短求得最小值；第三問ABMN組成菱形，只有AB是定點，所以要討論AB是鄰邊還是對角線；最后一問與圓的知識相結(jié)合，有一定的難度，主要根據(jù)∠ABO=30°，AB=2是定值，以AB的垂直平分線與y軸的交點為圓心F，以FA為半徑，則弧AB所對的圓周角為60°，與對稱軸的兩個交點即為t的取值范圍.【解析】（1）方法一：設二次函數(shù)的表達式為，B（0，-）代入解得∴∴頂點坐標為方法二：也可以用三點式設代入三點或者頂點式設代入兩點求得．如圖，過P點作DE⊥AB于E點，由題意已知∠ABO=30°.∴∴要使最小，只需要D、P、E共線，所以過D點作DE⊥AB于E點，與y軸的交點即為P點.由題意易知，∠ADE=∠ABO=30°，,①若A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，分兩種情況，由題意知，AB=2，若AB為邊菱形的邊，因為M為拋物線對稱軸上的一點，即分別以A、B為頂點，AB的長為半徑作圓與對稱軸的交點即為M點，這樣的M點有四個，如圖若AB為菱形的對角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)，作AB的垂直平分線與對稱軸的交點即為M點.綜上所述，這樣的M點有5個，所以對應的N點有5個.②如圖，作AB的垂直平分線，與y軸交于F點．由題意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°∴以F為圓心，AF的長為半徑作圓交對稱軸于M和M'點，則∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，過F點作FG⊥MM'于G點，已知FG=∴，又∵G∴M（，M'∴方法二：設M，M到點F的距離d=AF=也可求得．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、最短問題、圓等知識，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法確定解析式，學會利用垂線最短解決實際問題中的最短問題，學會添加輔助線，構(gòu)造圓解決角度問題，屬于中考壓軸題.題型四：相似三角形問題21．（2022·浙江嘉興·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（8，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點E．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接PB，PC，當S△PBC＝S△ABC時，求點P的坐標；(3)點N是對稱軸l右側(cè)拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)P1（1，10.5），P2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或或（3，11）【分析】（1）直接將A（﹣2，0）和點B（8，0）代入y＝x2+bx+c（a≠0），解出b，c的值即可得出答案；（2）先求出點C的坐標及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過點P作PG⊥x軸，交x軸于點G，交BC于點F，設，根據(jù)三角形PBC的面積列關于t的方程，解出t的值，即可得出點P的坐標；（3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三種情況討論結(jié)合圖形得出邊之間的關系，即可得出答案．【解析】（1）解：∵拋物線y＝x2+bx+c過點A（﹣2，0）和點B（8，0），∴∴拋物線解析式為：；（2）解：當x＝0時，y＝8，∴C（0，8），∴直線BC解析式為：y＝﹣x+8，∵，∴14過點P作PG⊥x軸，交x軸于點G，交BC于點F，設，∴F（t，﹣t+8），∴，∴，即，∴t1＝1，t2＝7，∴P1（1，10.5），P2（7，4.5）；（3）解：存在，點M的坐標為：（3，8），或（3，11）．∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，∴△OBC為等腰直角三角形，拋物線的對稱軸為，∴點E的橫坐標為3，又∵點E在直線BC上，∴點E的縱坐標為5，∴E（3，5），設，①當MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，則，解得或（舍去），∴此時點M的坐標為（3，8），②當ME＝EN，當∠MEN＝90°時，則，解得：或（舍去），∴此時點M的坐標為；③當MN＝EN，∠MNE＝90°時，此時△MNE與△COB相似，此時的點M與點E關于①的結(jié)果（3，8）對稱，設M（3，m），則m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此時點M的坐標為（3，11）；故在射線ED上存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似，點M的坐標為：（3，8）或或（3，11）．【點睛】本題是一道綜合題，涉及二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識點，綜合性比較強，解答類似題的關鍵是添加合適的輔助線．22．（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0<m<8），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當△PMN的周長是△AOB周長的時，求m的值；(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為30°，連接E′A、E′B，在平面直角坐標系內(nèi)找一點Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出點Q的坐標．【答案】(1)(2)m＝4(3)．【分析】（1）把點（8，0）代入y=ax2-6ax+6（a≠0），求得a的值即可；（2）先求出點B的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式為；根據(jù)題意可證明△PNM∽△ABO，根據(jù)相似比可求出PN=6．由E（m，0）（0<m<8），可知P，，所以，OE=m，AE=8-m，求出，進而可求出m的值．（3）由旋轉(zhuǎn)可知，△AOE'∽△BOQ，所以OE′：OA=OQ：OB，∠BOQ=∠AOE′=30°，則可求出OQ=6．如圖，過點Q作QH⊥y軸于點H，所以，，進而可求出Q的坐標．【解析】（1）把（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6（a